Lista - Regras de Derivação

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Universidade Federal de Sergipe - UFS
Departamento de Matema´tica - DMA
Ca´lculo I - Lista 2 - Regras de Derivac¸a˜o
Equipe de Unificac¸a˜o - 2013.1
1. Quantas retas tangentes a` curva y =
x
x+ 1
passam pelo ponto (1, 2)? Em quais pontos
essas retas tangentes tocam a curva?
2. Se c > 1
2
, quantas retas pelo ponto (0, c) sa˜o normais a` para´bola y = x2? E se c < 1
2
?
3. Para quais valores de a e b a func¸a˜o
f(x) =
{
ax, se x < 2
ax2 − bx+ 3, se x ≥ 2
e´ deriva´vel para qualquer valor de x?
4. Encontre os pontos sobre a curva y =
cosx
2 + sen x
onde a tangente e´ horizontal.
5. Um objeto de massa m e´ arrastado ao longo de um plano horizontal por uma forc¸a
agindo ao longo de uma corda atada ao objeto. Se a corda faz um aˆngulo θ com o
plano, enta˜o a intensidade da forc¸a e´
F =
µmg
µsenθ + cos θ
onde µ e´ uma constante chamada coeficiente de atrito.
(a) Encontre a taxa de variac¸a˜o de F em relac¸a˜o a θ.
(b) Quando esta taxa de variac¸a˜o e´ igual a 0?
6. Se y = f(u) e u = g(x), onde f e g sa˜o func¸o˜es duas vezes deriva´veis, mostre que
d2y
dx2
=
d2y
du2
(
du
dx
)2
+
dy
du
d2u
dx2
.
7. Mostre, fazendo a diferenciac¸a˜o impl´ıcita, que a tangente a` elipse
x2
a2
+
y2
b2
= 1
no ponto (x0, y0) e´
x0x
a2
+
y0y
b2
= 1.
8. Mostre que a soma dos interceptos x e y de qualquer reta tangente a` curva
√
x+
√
y =√
c e´ igual a c.
1
9. Mostre, usando a derivac¸a˜o impl´ıcita, que qualquer reta tangente, em um ponto P, a
um c´ırculo com centro O e´ perpendicular ao raio OP.
10. Encontre uma fo´rmula para f (n) se:
(a) f(x) = x2ex
(b) f(x) = ln (x− 1).
11. Dois lados de um triaˆngulo sa˜o 4m e 5m, e o aˆngulo entre eles esta´ crescendo a uma
taxa de 0, 06rad/s. Encontre a taxa segundo a qual a a´rea esta´ crescendo quando o
aˆngulo entre os lados do comprimento fixo e´ pi/3.
12. Se dois resistores com resisteˆncia R1 e R2 esta˜o conectados em paralelo, enta˜o a re-
sisteˆncia total R, medida em ohms Ω, e´ dada por
1
R
=
1
R1
+
1
R2
Se R1 e R2 esta˜o crescendo a taxas de 0, 3Ω/s e 0, 2Ω/s, respectivamente, qua˜o ra´pido
esta´ variando R quando R1 = 80Ω e R2 = 100Ω?
13. Um velocista corre em uma pista circular de raio 100m a uma velocidade constante
de 7m/s. Seu amigo esta´ parado a uma distaˆncia de 200m do centro da pista. Qua˜o
ra´pido esta´ variando a distaˆncia entre os amigos quando estiverem a uma distaˆncia de
200m?
14. Se uma onda de comprimento L se move a` velocidade v em um corpo de a´gua de
profundidade d, enta˜o
v =
√
gL
2pi
tanh
(
2pid
L
)
em que g e´ a acelerac¸a˜o da gravidade. Explique por que a aproximac¸a˜o
v =
√
gL
2pi
e´ adequada para a´guas profundas.
15. Usando os princ´ıpios da F´ısica, pode ser mostrado que quando um cabo e´ pendurado
entre dois postes, ele toma a forma de uma curva y = f(x), que satisfaz a equac¸a˜o
diferencial
d2y
dx2
=
pg
T
√
1 +
(
dy
dx
)2
2
na qual ρ e´ a densidade linear do cabo, g e´ a acelerac¸a˜o da gravidade e T e´ a tensa˜o
no cabo no ponto mais baixo, e o sistema de coordenada e´ apropriadamente escolhido.
Verifique que a func¸a˜o
y = f(x) =
T
ρg
cosh
(ρgx
T
)
e´ uma soluc¸a˜o dessa equac¸a˜o diferencial.
Sugesto˜es e respostas
1. 2. Tais retas tangentes tocam a` curva nos pontos
(
−2±√3, 1±
√
3
2
)
.
2. 3.1. Note que o eixo dos y esta´ entre estas retas.
3. a =
3
4
, b =
9
4
.
4. x =
7pi
6
+ 2kpi ou x =
11pi
6
+ 2kpi, k ∈ Z.
5. (b) θ = tg−1µ.
6. Use a Regra da Cadeia.
7. Derive implicitamente a equac¸a˜o da elipse. Logo apo´s, escreva a equac¸a˜o da reta
tangente usando a fo´rmula ponto-coeficiente angular.
8. Tome um ponto (x0, y0) na curva. Escreva a equac¸a˜o da reta tangente a` curva neste
ponto. Lembre-se que os interceptos sa˜o os pontos em que a reta toca os eixos dos x e
dos y.
9. Derive a equac¸a˜o do c´ırculo com centro em O e raio a. Lembre-se que duas retas sa˜o
perpendiculares quando o produto de seus coeficientes angulares e´ igual a -1.
10. Derive algumas vezes as func¸o˜es para buscar um padra˜o.
11. Use a fo´rmula A =
1
2
· a · b · senθ.
12. Taxas relacionadas.
13. Use a lei dos cossenos.
3