336152 ApostilaCálculo1.10.03.2015

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Apostila 1 de Cálculo 1
-Matemática Básica-
Professor: Alexandro José Correia Scopel
Aracruz - Espírito Santo
2015
ÍNDICE
Funções Reais de uma Variável Real...........................................................................02
O Conceito de Função.....................................................................................................02
Classificação das Funções...............................................................................................04
Função Inversa................................................................................................................06
Composição de Funções.................................................................................................07
Função Crescente e Função Decrescente ......................................................................07
Função Par e Função ímpar............................................................................................08
Função Constante...........................................................................................................09
Função Afim....................................................................................................................10
Função Quadrática..........................................................................................................11
Função Exponencial........................................................................................................12
Logaritmos e Função Logarítimica..................................................................................13
Trigonometria no Triângulo Retângulo..........................................................................16
Ciclo Trigonométrico......................................................................................................19
Seno e Cosseno de um Arco...........................................................................................21
Tangente de um Arco.....................................................................................................23
Funções Trigonométricas...............................................................................................26
Função seno...................................................................................................................26
Função Cosseno..............................................................................................................27
Função Tangente............................................................................................................28
Função Cotangente.........................................................................................................29
Função Secante...............................................................................................................30
Função Cossecante.........................................................................................................30
Exercícios Gerais.............................................................................................................32
Referências.....................................................................................................................47
Funções Reais de uma Variável Real
Introdução
As funções são utilizadas para descrever o mundo real em termos matemáticos, é o que se chama de modelagem matemática para as diversas situações. Podem, por exemplo, descrever o ritmo cardíaco, crescimento populacional, variações de temperatura, movimento de objetos, custos e lucros de uma empresa, oscilações do solo num terremoto, entre muitas outras coisas. A noção de função é a principal ferramenta para o estudo do Cálculo Diferencial e Integral, pois constitui o ambiente no qual o Cálculo é desenvolvido.
O Conceito de Função
As funções surgem quando uma quantidade (variável dependente) depende de outra (variável independente).
Observe os exemplos:
 A temperatura T da água numa panela que á colocada para ferver depende do tempo transcorrido t. Assim, nessa situação T é a variável dependente e t a variável independente.
A área A de um círculo depende de seu raio r e essa dependência se expressa através da fórmula bem conhecida .
O cardiologista avalia o ritmo cardíaco de um indivíduo através do eletrocardiograma. Esse gráfico mostra a variação do potencial elétrico (variável dependente) em relação ao tempo e gera uma imagem em ondas, cujo padrão determina a condição cardíaca do paciente.
Em todos os casos acima temos uma associação que a cada valor da variável independente (tempo ou raio), atribui um único valor à variável dependente.
Definição de função: Uma função de um conjunto para outro conjunto é uma regra (lei) que a cada elemento associa um único elemento . 
Exemplo 01: Para construir um galinheiro retangular um carpinteiro dispõe de 12m de tela. Em um dos lados vai aproveitar uma parede já existente. Veja os desenhos abaixo. Obter uma expressão que relaciona a área do galinheiro com a medida de um dos lados.
Resolução:
Tabela
	x (m)
	 0 
	 1
	 2
	 3
	 4
	 5
	 6
	
y()
	
	
	
	
	
	
	
Diagrama de Flexas
Gráfico cartesiano
Observações:
O domínio da função é o conjunto dos valores de x para os quais a situação é
possível. No exemplo, o domínio é formado pelos valores reais de x que são positivos e menores do que 6, isto é, ]0,6[.
O conjunto imagem da função é formado pelos valores correspondentes aos
valores do domínio. No exemplo, o conjunto imagem é formado pelos valores de y que são positivos e menores ou iguais a18, isto é, ]0,18].
Notação para função:
Quando y é uma função de x, escrevemos y = f(x) (lê-se: y é igual a f de x).
Indica-se por: uma função em que x assume valores no conjunto A e y assume os valores no conjunto B.
Classificação das Funções
Funções sobrejetoras
Definição: Uma função é sobrejetora quando, para todo y pertencente a B, existe um x pertencente a A tal que .
Observação: Quando é sobrejetora, ocorre .
Exemplo 02: Função tal que e , definida pela lei .
Resolução:
Exemplo 03: Função , definida pela lei .
Resolução:
Funções injetoras
Definição: Uma função é injetora quando, para todo e pertencentes a A, se , então .
Exemplo 04: Função tal que e , definida pela lei .
Resolução:
Exemplo 05: Função , definida pela lei .
Resolução:
Funções bijetoras
Definição: Uma função é bijetora quando f é sobrejetora e injetora.
Função inversa
Conceito
Quando x e y são variáveis que se interrelacionam de modo que a cada valor atribuído a x está associado um único valor de y, dizemos que y é funçõ f de x, .
Se também, ocorrer, a cada valor atribuído a y está associado um único valor de x, dizemos que x é função de y. Essa função recebe o nome de função inversa de e é representada por . Simbolicamente, .
Observação: O gráfico de uma função , inversível, e o gráfico de sua inversa, , são simétricos em relação à bissetriz dos quadrantes ímpares.
Exemplo 06: Função , definida pela lei . Verificar se a função é bijetora, determinar sua inversa e num mesmo sistema cartesiano, esboçar o gráfico de ambas.
Resolução:
Exemplo 07: Função , definida pela lei . Verificar se a função é bijetora, determinar sua inversa e num mesmo sistema cartesiano, esboçar o gráfico de ambas.
Resolução:
 
Composição de funções
Definição: Sejam e duas funções. Chama-se função composta de g com f a função , em que a imagem de cada é obtida pelo seguinte procedimento:
Aplica-se a x a função f, obtendo-se f(x).
Aplica-se a f(x) a função g, obtendo-se g(f(x)).
Indica-se h(x)=g(f(x)) para todo .
Exemplo 08: Sejam os conjuntos , e e as funções , definida por , e , definida por . Ralacionar as funções f e g através de diagramas de Venn, e, encontraruma regra geral para associar cada elemento do conjunto A com elementos do conjunto C.
Resolução:
Exemplo 09: Se f e g são funções reais definidas por e , determine, f(g(x)) e g(f(x)).
Resolução:
Função Crescente e Função Decrescente
Uma função é chamada de crescente se, para quaisquer valores e de um conjunto A (contido no domínio D), com , temos .
Uma função é chamada de decrescente se, para quaisquer valores e de um conjunto A (contido no domínio D), com , temos .
Máximos e Mínimos
Seja A um subconjunto do domínio D e seja .
Se para todo x pertencente a A, temos , então é o ponto mínimo de em A, e é o valor mínimo de em A.
Se para todo x pertencente a A, temos , então é o ponto máximo de em A, e é o valor máximo de em A.
Função Par e Função Ímpar
Se para todo , então tem o gráfico simétrico em relação ao eixo y. Nesse caso, dizemos que é uma função par.
Exemplo 10: 
Resolução:
Se para todo , então tem o gráfico simétrico em relação à origem. Nesse caso, dizemos que é uma função ímpar.
Exemplo 11: 
Resolução:
Exemplo 12: 
Resolução:
Função Constante
Definição: Uma aplicação tal que onde b é um número real.
Observação: o gráfico de uma função constante é uma reta paalela ao eixo x, passando pelo ponto (0, b).
Exemplo 13: Seja a função 
Resolução:
Função do 1º grau ou Função Afim
Definição: Uma aplicação tal que onde a e b são constatntes reais e .
O gráfico de uma função afim é um conjunto de pontos sobre uma reta.
O coeficiente a é chamado de coeficiente angular ou declividade da reta. O coeficiente angular é a tangente da inclinação da reta, isto é, é a tangente do ângulo que a reta forma com o eixo x.
Sendo e dois pontos distintos da reta, então:
O coeficiente b é chamado de coeficiente linear da reta. Para obtê-lo, basta fazer x=0 em y = ax + b. Daí, y = b. Isso significa que o coeficiente linear é dado pelo ponto (0,b), intersecção da reta com o eixo y.
Observação: Se b = 0 tem-se f(x) = ax e a função é chamada função linear. Neste caso a reta passa pela origem do sistema cartesiano.
Exemplo 14: f(x)= 2x+3
Resolução:
Função do 2º grau ou Função Quadrática
Definição: Uma aplicação tal que onde a, b e c são constantes reais e .
O gráfico de uma função quadrática é uma parábola que tem concavidade para cima, se a > 0 ou concavidade para baixo de a < 0.
O sinal do discriminante determina a posição da parábola em relação ao eixo x.
• Se a parábola intercepta o eixo x nos pontos de abscissas x1 e x2 e que são as raízes da equação .
• Se a parábola tangencia o eixo x nos pontos de abscissas x1 = x2 que são as raízes da equação .
• Se a parábola não intercepta o eixo x.
Quadro das Situações Descritas Anteriormente
O Ponto Vértice da parábola é obtido por: 
Para a função assume:
Instituto Federal do Espírito Santo – Campus Aracruz
Engenharia Mecânica
Disciplina: Cálculo 1
Professor: Alexandro José Correia Scopel, MsC
Valor máximo se a<0
Valor mínimo se a>0
Exemplo 15: 
Resolução:
Função Exponencial
Definição: Chama-se função exponencial qualquer função dada por uma lei do tipo , em que e 
Exemplo 16: 
Resolução:
Exemplo 17: 
Resolução:
Propriedades
Se é crescente e, dados e reais, temos: 
Se é decrescente e, dados e reais temos:
Para todo e , temos:
4) O conjunto imagem de é:
Logaritmos
Definição: Sendo e números reais e positivos com chama-se logaritmo de na base o expoente ao qual se deve elevar a base de modo que a potência seja igual a 
onde: 
Observações:
 é chamado de logaritmo decimal de e convencionou-se, neste caso, escrever simplesmente .
 é chamado de logaritmo neperiano (logaritmo natural) de e convencionou-se, neste caso, escrever .
Chama-se co-logaritmo de a na base b ao oposto do logaritmo de a na base b, isto é: .
Consequências da definição:
Sejam , e número reais com 0 < ≠ 1, > 0 e >0.
P1) 
P2) 
P3) 
Propriedades Operacionais
Se { , , } ; e , então:
P4) 
P5) 
P6) 
P7) Se números reais positivos, com e diferentes de 1. Temos 
Exemplo 18: Calcular tal que 
Resolução:
Exemplo 19: Qual o valor de 
Resolução:
Exemplo 20: Calcular o valor de e de sabendo que e .
Resolução:
Exemplo 21: Qual é a expressão cujo desenvolvimento logarítmico é: , com números reais positivos?
Resolução:
Função Logarítmica
Definição: Dado com , chama-se função logarítmica de base a função de , dada pela lei .
Exemplo22: 
Exemplo23: 
Propriedades do gráfico da função logarítmica
P1) seus pontos pertencem ao 1° e 4° quadrantes. Isto é, 
P2) 
P3) Quando é crescente.
P4) Quando é decrescente.
Trigonometria no Triângulo Retângulo
Observe o triangulo ABC, abaixo:
O lado de medida a, oposto ao ângulo reto, recebe o nome de hipotenusa.
Os lados de medidas b e c recebem os nomes de catetos.
Para um triangulo retângulo definimos as seguintes relações para o ângulo :
Para o ângulo , de modo análogo, temos:
Observação:
, e . Isso ocorre por que os ângulos e são complementares, ou seja, .
Para o triângulo retângulo ABC vale a relação (Teorema de Pitágoras)
Tabela de ângulos notáveis
	
	30°
	45°
	60°
	sen
	
	
	
	cos
	
	
	
	tg
	
	1
	
Exemplo 24: Um pequeno avião deveria partir de uma cidade A rumo a uma cidade B ao norte, distante 60km de A. Por um problema de orientação, o piloto seguiu erradamente rumo a oeste. Ao perceber o erro, ele corrigiu a rota, fazendo um giro de 120° à direita em um ponto C, de modo que seu trajeto, juntamente com o trajeto que deveria ter sido seguido, formaram, aproximadamente, um triangulo retângulo ABC, como mostra a figura.
Com base na figura, qual a distancia, em quilômetros, que o avião voou partindo de A até chegar em B?
Resolução:
Exemplo 25: Na figura a seguir, determine a medida de AB.
Resolução:
Ciclo trigonométrico
Unidades de medida de arcos e ângulos
Grau (x°)
Grau é o ângulo central determinado por um arco cujo comprimento é da circunferência que contém esse arco.
Radiano (x rad)
Um radiano é o ângulo central determinado por um arco cujo comprimento é igual à medida do raio da circunferência que contém esse arco.
Define-se que o ângulo central e o arco por ele determinado tem a mesma medida em radianos.
Comprimento de arcos
Seja uma circunferência de centro O, raio r e ângulo central , medido em radianos. O comprimento l do arco AB, em unidade de comprimento, é dado por:
Ciclo trigonométrico
Consideremos, no plano cartesiano, uma circunferência de raio unitário tal que o centro da circunferência coincida com a origem do sistema de eixos. Essa circunferência é denominada ciclo trigonométrico.
A circunferência fica dividida em quatro partes, chamadas quadrantes.
Os quadrantes são numerados, a partir do ponto A, percorrendo a circunferência no sentido anti-horário.
Os pontos A, B, A’ e B’ não pertencem a nenhum quadrante, estes pontos servem como limitadores dos quadrantes.
Os arcos sobre a circunferência tem origem no ponto A. Se orientados no sentido anti-horário, terão medidas positivas. Se orientados no sentido horário, terão medidas negativas.
Pontos simétricos
Em trigonometria é prático usarmos simetrias que envolvam pontos do primeiro quadrante.
Seno e Cosseno de um Arco
Considere, no ciclo trigonométrico, um arco AM de medida .
No triangulo OPM temos:
 e , como o raio da circunferência trigonométrica vale 1, concluímos que: e .
O eixo AA’ é chamado eixo dos cossenos, e o eixo BB’ é chamado eixo dos senos.
Observação:
O maior valor que o seno pode assumir é 1 e o menor é -1, isto é,O maior valor que o cosseno pode assumir é 1 e o menor é -1, isto é, 
Sinais do Seno e do Cosseno nos Quatro Quadrantes
Seno e Cosseno de um Arco Fora do 1º Quadrante
Para se encontrar o valor do seno (ou do cosseno) de um arco cuja extremidade esteja fora do 1º quadrante:
Determina-se, no 1º quadrante, o correspondente do arco dado;
Mantém-se o sinal do seno (ou do cosseno) do quadrante ao qual a extremidade do arco dado pertence.
Relação Trigonométrica Fundamental
Para todo , vale a seguinte relação: .
Tangente de Um Arco
Considere, no ciclo trigonométrico, o eixo real de origem A(1, 0), perpendicular ao eixo dos cossenos e com a orientação do eixo dos senos. Esse eixo é chamado eixo das tangentes.
Prolonga-se o raio que passa pela extremidade de um arco AM, com M não pertencente ao eixo dos senos, até que esse prolongamento intercepte o eixo das tangentes num ponto T.
A medida do segmento de reta AT é o valor da tangente do arco AM.
Sinais da Tangente
Arcos Notáveis do Primeiro Quadrante
	
	
30°=
	
45°=
	
60°=
	sen
	
	
	
	cos
	
	
	
	tg
	
	1
	
Outras Relações Trigonométricas
 para todo x real
, com 
, com 
, com 
, com 
Relações Auxiliares
, com 
, com 
Exemplo 26: Determine os valores reais de m para os quais é possível ocorrer .
Resolução:
Exemplo 27: Se e é um ângulo do terceiro quadrante, determine o valor de .
Resolução:
Exemplo 28: Obtenha x no intervalo que verifique simultaneamente e .
Resolução:
Exemplo 29: Mostre que: 
a) 
b) 
Resolução:
Exemplo 30: Sabendo que e x é um ângulo agudo, calcule o valor da expressão, .
Resolução:
Funções trigonométricas
Função Seno
Considere a seguinte circunferência trigonométrica.
Definição: A função seno é uma função que associa cada número real x o número real , ou seja, .
Observações:
O domínio é formado por todos os números reais.
A imagem da função é .
A função é contínua.
A função é crescente nos quadrantes 1 e 4.
A função é decrescente nos quadrantes 2 e 3.
A função seno é ímpar, pois seu gráfico é simétrico em relação à origem.
A função é periódica. Seu período é 
Exemplo 31: Esboçar o gráfico de .
Resolução:
Função Cosseno
Considere a seguinte circunferência trigonométrica.
Definição: A função cosseno é uma função que associa cada número real x o número real , ou seja, .
Observações:
O domínio é formado por todos os números reais.
A imagem da função é .
A função é contínua.
A função é crescente nos quadrantes 3 e 4.
A função é decrescente nos quadrantes 1 e 2.
A função cosseno é par, pois seu gráfico é simétrico em relação ao eixo vertical.
A função é periódica. Seu período é 
Exemplo 32: Esboçar o gráfico de .
Resolução:
Função Tangente
Considere a seguinte circunferência trigonométrica. Seja e P sua imagem. Consideremos .
Definição: A função tangente é uma função que associa cada número real o número real , ou seja, .
Observações:
O domínio é .
A imagem da função é formado por todos os números reais.
A função é contínua sobre seu domínio.
A função é crescente em todos os quadrantes.
A função tangente é ímpar, pois seu gráfico é simétrico em relação à origem.
A função é periódica. Seu período é 
Exemplo 33: Esboçar o gráfico de .
Resolução:
Função Cotangente
A função cotangente é a recíproca da função tangente. Deste modo:
O gráfico de terá assíntotas verticais nos zeros da função seno e nos zeros da função cosseno.
Função Secante
Características importantes da função secante podem ser identificadas a partir do fato dela ser a recíproca da função cosseno.
Onde temos .
O gráfico da função secante tem assíntotas verticais nos zeros da função cosseno.
Um máximo local da função cosseno corresponde a um mínimo local da função secante.
Um mínimo local da função cosseno corresponde a um máximo local da função secante.
Função Cossecante
Características importantes da função cossecante podem ser identificadas a partir do fato dela ser recíproca da função seno.
Onde temos .
O gráfico da função cossecante tem assíntotas verticais nos zeros da função seno.
Um máximo local da função seno corresponde a um mínimo local da função cossecante.
Um mínimo local da função seno corresponde a um máximo local da função cossecante.
Exercícios sobre Funções e Operações sobre Funções
1ª Questão: O valor de uma máquina agrícola, adquirida por U$5.000,00, sofre, nos primeiros anos, depreciação (desvalorização) linear de U$240,00 por ano, até atingir 28% do valor de aquisição, estabilizando-se em torno desse valor mínimo.
Qual é o tempo transcorrido até a estabilização de seu valor?
Qual é o valor mínimo da máquina?
Faça um gráfico que represente a situação descrita no problema.
2ª Questão: Dada a função , determine .
3ª Questão: Seja uma função que tem a propriedade , para todo . Sabendo que , calcule:
4ª Questão: Uma função de variável real satisfaz a condição , qualquer que seja a variável x. sabendo que , determine o valor de:
5ª Questão: Seja uma função definida por , sendo a e b constantes reais. Sabendo que e , determine:
Os valores de a e b.
O domínio da função.
O elemento do domínio cuja imagem vale .
6ª Questão: O desenvolvimento da gestação de determinada criança, que nasceu com 40 semanas, 50,6cm de altura e com 3446 gramas de massa, foi modelado, a partir da 20ª semana, aproximadamente, pelas funções matemáticas:
 e 
onde t indica o tempo em semanas, , h(t) a altura em centímetros e p(t) a massa em gramas. Admitindo o modelo matemático, determine quantos gramas tinha o feto quando sua altura era 35,5 cm.
7ª Questão: Obter a função inversa da . 
8ª Questão: Dadas as funções e , encontre a solução da equação:
.
9ª Questão: Sejam dadas por: e , onde a e b são números reais.
Determine .
Calcule os valores de a e b para os quais os números 0 e 1 sejam raízes da equação .
10ª Questão: Sendo e , determine .
11ª Questão: Sejam e funções reais, sendo e , determine a lei que define .
12ª Questão: Sejam as funções reais e . Determine a lei da função f.
13ª Questão: Se e , calcule o valor de a para que se tenha .
14ª Questão: No interior de uma caverna existe uma estalagmite cuja altura aumenta de modo constante à razão de 1cm a cada 10 anos. Nessas condições, a função , definida por , com , relaciona a altura da estalagmite (em centímetros) com o tempo (em anos) decorrido desde o início de sua formação.
Analise as seguintes informações quanto a sua veracidade justificando sua resposta matematicamente.
A função inversa de é definida por .
Serão necessários 200 anos para que haja um aumento de 20 cm na altura da estalagmite.
Exercícios sobre Função Quadrática
15ª Questão: Resolva, em , as equações a seguir:
16ª Questão: Resolva, em , as equações biquadradas:
Obs.: substitua por y e por 
17ª Questão: Determine os valores de p a fim de que a função quadrática f dada por admita duas raízes reais e iguais.
18ª Questão: Estabeleça os valores de m para os quais a função f, de em , definida por admita duas raízes reais e distintas.
19ª Questão: Encontre, em função de m, a quantidade de raízes da função f, de em , dada pela lei .
20ª Questão: Qual é o menor número inteiro p para o qual a função f, de em , dada por não admite raízes reais.
21ª Questão: A diferença entre as raízes da equação é igual a 5. Com base nesse dado:
Determine as raízes.
Encontre o valor de p.
22ª Questão: Qual é o conjunto imagem de cada uma das funções abaixo:
23ª Questão: A lei seguinte representa o número de quilômetrosde congestionamento, em função da hora do dia (a partir das 12 horas), registrado em uma cidade: , em que:
f(t) é o número de quilômetros
t é a hora dada pela seguinte convenção: t=0 corresponde às 12 horas, t=1 corresponde às 13 horas, ..., até t=8 (20 horas).
Quantos quilômetros de congestionamento foram registrado às 14 horas?
Em que horário o número de quilômetros de congestionamento é máximo? Qual é esse valor?
24ª Questão: Uma bola, lançada verticalmente para cima, a partir do solo, tem sua altura h (em metros) expressa em função do tempo t (em segundos), decorrido após o lançamento, pela lei: .
Determine:
A altura que a bola se encontra 1 segundo após o lançamento.
O(s) instante(s) em que a bola se encontra a 75 metros do solo.
A altura máxima atingida pela bola.
O instante em que a bola retorna ao solo.
25ª Questão: Faça o gráfico de cada função quadrática definida pela lei dada, destacando os intervalos em que a função é crescente ou decrescente:
26ª Questão: Faça o estudo do sinal de cada uma das funções de em , definidas pelas seguintes leis:
27ª Questão: Segundo previsões de um jornal econômico, o PIB anual de um país (y), em bilhões de dólares, pode ser calculado pela lei: , em que x representa o numero de anos. Daqui a quantos anos o PIB anual desse país ultrapassará 140 bilhões de dólares? 
Exercícios sobre Exponenciais e Função Exponencial
28ª Questão: Independentemente do valor que assume, cada expressão a seguir representa um número real. Determine-o:
29ª Questão: Simplifique as expressões a seguir supondo :
30ª Questão: O tempo de circulação do sangue (em segundos) de um mamífero (o tempo médio que todo o sangue leva para circular uma vez e voltar ao coração) é proporcional à raiz quarta do “peso” do mamífero, isto é,
Para um elefante, cujo “peso” é 5184 quilos, o tempo foi estimado em 150 segundos.
Determine o valor de .
Determine o tempo aproximado para um mamífero de 16 quilos e para outro de 64 quilos.
31ª Questão: O número de bactérias em uma colônia triplica a cada 40 minutos. Em uma experiência de laboratório, foi colocada, em tubo de ensaio, uma amostra de 500 bactérias por ml de solução.
Qual é o número de bactérias existentes após duas horas do início da experiência?
Qual é a lei da função que relaciona o número de bactérias existentes na amostra e o tempo (), em horas, decorrido do início da experiência? 
32ª Questão: Resolva os sistemas seguintes:
33ª Questão: Resolva, em , as equações:
34ª Questão: Resolva, em , as inequações:
35ª Questão: O preço de um automóvel, , desvaloriza-se em função do tempo , dado em anos, de acordo com uma função de tipo exponencial , com e sendo constantes reais. Se, hoje (quando ), o preço do automóvel é de R$20.000,00, e valerá R$16.000,00 daqui a 3 anos (quando ), em quantos anos o preço do automóvel será de R$8,192,00? (Dado: ).
36ª Questão: O lançamento de um filme em uma grande cidade atraiu a presença de espectadores. Uma propaganda agressiva da produtora provocou uma corrida aos cinemas nos dias seguintes. A lei a seguir representa o número de pessoas que já haviam assistido ao filme dias após seu lançamento : , sendo k uma constante real. Sabendo que, dois dias após o lançamento, o filme já havia ido assistido por 4500 pessoas e que esse número triplicou ao se passarem mais dois dias, determine:
O valor de k.
O valor de n(0).
O número de pessoas que já haviam assistido a filme 11 dias após o lançamento. (Use a aproximação )
37ª Questão: A temperatura de um corpo – em função do tempo , dado em minutos – varia de acordo com a expressão sendo a temperatura do meio em que se encontra o corpo e B e k constantes.
Suponha que, no instante t=0, um corpo, com uma temperatura de 75ºC, é imerso em água, que é mantida a uma temperatura de 25ºC. Sabendo que, depois de 1 minuto, a temperatura do corpo é de 50ºC, calcule o tempo para que, depois de imerso na água, a temperatura do corpo seja igual a 37,5ºC.
Exercícios sobre Logaritmos e Função Logarítmica
38ª Questão: Qual é o valor de:
?
?
39ª Questão: Determine o valor da constante real m a fim de que a equação , na variável x, admita uma raiz real dupla. Qual é essa raiz?
 40ªQuestão: Sejam e constantes reais, com , tais que e .
Calcule , em que indica o produto de e .
Determine o valor de que satisfaz a equação .
41ª Questão: Dado que , qual é o valor de ?
42ª Questão: Considerando a aproximação , calcule:
 
43ª Questão: As leis seguintes representam as populações (em milhares, indicadas por p(t)) de duas cidades A e B, dentro de t anos, contados a partir de hoje:
Cidade A: 
Cidade B: 
Qual é a população atual de cada uma dessas cidades?
Qual é o número inteiro mais próximo correspondente ao ano em que essas cidades terão o mesmo número de habitantes?
44ª Questão: Um grupo de estudantes resolveu repetir a medição da altura do Pico da Neblina feita na década de 1960. Para isso, escalaram essa montanha e levaram um barômetro. Chegando ao cume da montanha, efetuaram várias medições da pressão atmosférica do local e obtiveram o valor médio de 530mmHg. A pressão atmosférica p(h) a uma dada altura h (em metros, em relação ao nível do mar) é fornecido pela função
Sendo a base do sistema de logaritmos neperianos, mmHg a pressão atmosférica ao nível do mar, e um número que depende principalmente da temperatura média no local da medição.
Sabendo-se que, nas condições desse experimento, e que os estudantes usaram valores aproximados e , qual foi a altura que encontraram para o Pico da Neblina?
45ª Questão: Resolva, em , as seguintes equações logarítmicas:
46ª Questão: Para que valores da constante real m a equação admite duas raízes reais e distintas?
47ª Questão: Quais são os números inteiros que satisfazem a desigualdade ?
48ª Questão: A massa m(t) de um certo material radioativo, no instante t em anos, é expressa por , sendo a massa inicial e um número real positivo. Em um período de 14000 anos, a massa do material sofre uma redução de 80%. Calcule:
Em quantos anos a massa inicial do material reduz-se à metade.
O percentual da massa inicial que restará em 100000 anos.
Observação: considere .
49ª Questão: O número de elementos de uma determinada espécie animal diminuiu à taxa de 10% ao ano. Em quantos anos esse número ficará reduzido à metade de seu valor atual? Indique o número inteiro mais próximo; use as aproximações e .
Exercícios sobre Trigonometria e Função Trigonométrica
50ª Questão: Em certa hora do dia, os raios solares formam um ângulo de 58° com o solo. Nesse instante, um prédio de 80 metros de altura projeta no solo uma sombra de comprimento x. Pergunta-se: quando o ângulo de incidência dos raios solares se reduzir à metade, a sombra do mesmo edifício terá comprimento 2x?
Dados: , , , , e .
51ª Questão: Dois arranha-céus, cujas alturas diferem de 20 metros, estão localizados na mesma horizontal de uma rua plana e distantes 200 metros um do outro. Um engenheiro encontra-se em um ponto da rua, entre os dois edifícios. Com auxílio de um teodolito, ele avista o topo do prédio menor em um ângulo de 40° e o topo do prédio maior em um ângulo de 65°. Desprezando a altura do teodolito, determine:
A distância que o engenheiro se encontra do prédio mais baixo.
A altura do prédio mais alto.
Considere as aproximações: e .
52ªQuestão: Um balão encontrava-se a 130 metros de altura quando foi alvejado, do solo, por um atirador, mediante um ângulo de tiro de 11°. Sabendo que a velocidade do som é de 340m/s, quantos segundos após o tiro o atirador ouviu a explosão do balão?
Dados: , e .
53ª Questão: Seja um ângulo agudo de um triângulo retângulo tal que . Determine o valorde .
54ª Questão: Sabendo que e , determine:
Os possíveis valores de .
Os possíveis valores de x.
 
55ª Questão: Quais são os valores reais de m para os quais podemos ter, simultaneamente, e .
56ª Questão: Sabendo que , determine o valor da expressão: .
57ª Questão: Dois observadores encontram-se nas extremidades de uma via de contorno retilíneo, distantes entre si 800 metros. Ambos avistam o topo de um edifício localizado nessa via, sob ângulos e , respectivamente. Sabendo que e , determine:
A altura do edifício.
A menor distância entre um dos observadores e o edifício. 
58ª Questão: Resolva as equações trigonométricas:
59ª Questão: Resolva as seguintes equações:
60ª Questão: Determine os valores reais de m para que as seguintes equações tenham solução:
61ª Questão: Determine os valores reais de m para que exista um número real x que satisfaça as seguintes igualdades:
62ª Questão: Sabendo que e , calcular as demais funções circulares de x.
63ª Questão: Sabendo que , calcular o valor da expressão .
64ªQuestão: Sabendo que e , calcular o valor da expressão .
65ª Questão: Calcular e sabendo que .
66ª Questão: Prove as seguintes identidades:
67ª Questão: (UFPB) No estudo de trigonometria, Maria e João se depararam com as seguintes desigualdades:
Está(ão) correta(s) apenas:
I
II
III
I e II
I e III
68ª Questão: No ciclo trigonométrico são marcados dois arcos de medidas e tais que . Com base nesta situação, classifique cada uma das afirmações como V (verdadeira) ou F (falsa).
( ) 
( ) 
( ) 
( ) 
( ) 
69ª Questão: Sendo e , determine os valores de e .
70ª Questão: Obtenha , com , de modo que e .
71ª Questão: Resolva as equações trigonométricas seguintes considerando .
72ª Questão: Resolver a equação: , para .
73ª Questão: Para , qual é o valor da expressão ?
74ª Questão: Demonstre que cada uma das igualdades é identidade no respectivo universo :
 em .
 em .
Referências
DEMANA, Franklin ... [et al.]. Pré Cálculo. 2 ed. São Paulo: Pearson, 2013.
IEZZI, Gelson. Matemática: Ciência e Aplicações. 6 ed. São Paulo: Saraiva, 2010.
PAIVA, Beto. ASSIS, Leo Paulo de. FERRITE. Odimar Navas. Matemática e suas Tecnologias. Saraiva: São Paulo, 2010.
SAFIER, Fred. Teoria e Problemas de Pré Cálculo. Porto Alegre: Bookman, 2003.