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Fluxo06

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Fluxo de Potência
Revisado em setembro 2007
1 - Introdução
Fluxo de potência é uma das ferramentas básicas em análise de sistemas elétricos. As 
equações de fluxo de potência podem ser aplicadas tanto em sistemas de grande porte quanto 
em pequenas instalações. Através da análise do fluxo de potência pode-se conhecer o 
desempenho de sistemas sob o ponto de vista de operação ou planejamento.
A operação de um sistema é considerada adequada quando os níveis de tensão permanecem 
dentro de determinadas faixas. Em sistemas de grande porte, na maioria das vezes, considera-
se como normal variações de tensão entre 0,95 pu e 1,05 pu. Valores fora desta faixa pode 
significar que o sistema opera precariamente, entretanto existem exceções como por exemplo 
tensões da ordem de 0,90 pu em sistemas de pequeno porte. A análise de fluxo de potência 
deve também considerar os carregamentos dos componentes do sistema.
As equações de fluxo de potência quase sempre se resumem em:
[ ] [ ] [ ] [ ]** / nónónónónó vsivy == 1.0
Na equação acima [y] é a matriz de admitância nodal, [v] é o vetor das tensões, [i] é o vetor 
das correntes de injeções nodais onde a corrente de cada nó é dada pelo conjugado da divisão 
da potência pela tensão. A equação acima pode ter característica linear ou não linear, 
dependendo do modelo das potências nas barras ou de hipóteses simplificadoras.
Um sistema de potência normalmente contém barras de carga e barras de geração. Ao se 
resolver as equações de fluxo de potência, normalmente adotam-se uma barra como referência 
também conhecida como barra de balanço ou barra infinita. O nome de barra infinita vem do 
fato de que a tensão permanece constante independente do valor de corrente ou potência. O 
valor da tensão e do defasamento angular da barra de referência são conhecidos. O mais 
comum é adotar uma barra de geração como referência.
Uma outra denominação para as barras é classificá-las como barras PQ ou barras PV. 
Denominam-se barras PQ as barras onde os valores da potência ativa (P) e potência reativa 
(Q) são conhecidos, tanto as barras de geração quanto as barras de carga podem ser do tipo 
PQ. Nas barras do tipo PQ as correspondentes tensões e defasamentos angulares são 
incógnitas nas equações de fluxo de potência. 
A barra PV é um tipo de barra com tensão controlada ou em outras palavras a barra onde se 
conhece tensão e mantida constante, através de injeções de reativos. Na barra PV a potência 
Fluxo de Potência 1
ativa (P) e o módulo da tensão são conhecidos e a potência reativa (Q) e o defasamento 
angular da tensão são incógnitas.
2 - Fluxo de potência simplificado
O exemplo mais simples é um sistema com duas barras, com uma barra de referência e uma 
barra PQ ou PV. A figura abaixo mostra o diagrama de impedância de um sistema de duas 
barras.
Fig. 2.0
No sistema da figura a potência que flui da barra 1 para a barra 2 é dado por:
[ ]*1011221112 //)( zvzvvvs +−= 2.0
Supondo um sistema sem perdas e desprezando as conexões à terra obtém-se:
[ ] )/()2( 121212112 jXVVVs −−∠−= θθ 2.1
Separando as partes real e imaginária obtém-se:
[ ] 12212112 /)(sen XVVP θθ −= 2.2
[ ] 1221212112 /)(cos XVVVQ θθ −−= 2.3
A equação da potência ativa pode ser simplificada ainda mais nos casos em que a barra 2 é 
controlada por reativos. Supondo que as barras 1 e 2 tenham 0,1=V então obtém-se:
121212 senθBP −= 2.4
Esta última equação, mesmo muito simples, fornece resultados com razoável precisão para 
sistemas onde o efeito resistivo é menor do que o efeito reativo. Estas condições se aplicam às 
diversas configurações especialmente sistemas de grande porte. A figura abaixo mostra a 
representação gráfica da equação simplificada da potência ativa. 
Fluxo de Potência 2
∼
1 2
∼
Fig. 2.1
A figura 2.1 mostra que a máxima potência transferida ocorre quando o deslocamento angular 
atinge 90°. Portanto existe um limite para a capacidade de transferência de potência ativa em 
sistemas com corrente alternada.
Exemplo 2.1 - Qual é o limite de capacidade de transporte de uma LT 69kV com 100 km de 
extensão? Considere a reatância indutiva série da linha igual a 0,5 Ω/km e tensões nas 
extremidades iguais a 69 kV , despreze os efeitos resistivo e capacitivo da linha. Utilize como 
tensão base 69 kV e potência de 100 MVA.
SOLUÇÃO - O valor da reatância da linha é:
puX 05,11005,0 =Ω×=
Através da equação simplificada a máxima transferência de potência é:
2,95952,005,1/90senmax === pupuP
 MW
Exemplo 2.2 - Determine a potência máxima que pode ser transferida através de uma LT 138 
kV com 1000 km de extensão e reatância indutiva série de 0,5 Ω/km. Despreze os efeitos 
resistivo e capacitivo e considere como base respectivamente 138 kV e 100 MVA.
SOLUÇÃO: A ratância indutiva da linha de transmissão é:
625,21005,0 =Ω×=X pu
Portanto a máxima potência transferível é:
1,38381,0/0,1 === puXP MW
Fluxo de Potência 3
P
θ
3 - Método de Gauss - Seidel
As equações de fluxo de potência não lineares não têm soluções analíticas e a única 
maneira de resolvê-las é através de métodos iterativos. Existem diversos métodos iterativos 
para resolver equações não lineares. Os métodos mais empregados em fluxo de potência são o 
de Gauss - Seidel e o de Newton - Raphson. O método de Gauss - Seidel é de concepção mais 
simples, entretanto sua aplicação é mais trabalhosa, pois a convergência do processo é lenta. O 
método de Newton Raphson é de concepção mais complexa, entretanto os resultados são 
alcançados com poucas iterações. Dentre os dois métodos, o de Gauss - Seidel muitas vezes 
não alcança soluções que podem ser obtidas pelo de Newton - Raphson.
O método de Gauss - Seidel, devido a sua simplicidade, ainda é bastante utilizado em 
termos acadêmicos. A sua aplicação facilita a compreensão dos processos iterativos. O 
sistema mostrado na figura 3.0 pode ser utilizado para desenvolver o método iterativo de 
Gauss - Seidel.
Fig. 3.0
O método de Gauss-Seidel clássico utiliza as equações separadamente. A avaliação da 
tensão de cada nó corresponde ao termo da diagonal. Por exemplo, para avaliar a tensão da 
barra 2 utiliza-se a seguinte equação:
*
22323222121 )/( vsvyvyvy =−+− 3.0
Isolando a tensão da barra 2 na equação acima obtém-se:
[ ] 22323121*222 /)/( yvyvyvsv ++= 3.1
Em termos de processos iterativos a equação 3.1 pode ser adaptada como:
[ ] 22323121*222 /)/( yvyvyvsv antigoantigoantigonovo ++= 3.2
No processo de Gauss-Seidel clássico repete-se a avaliação da equação 3.2 para cada 
barra. Se os valores das tensões não atingiram a precisão desejada, repete-se o processo 
Fluxo de Potência 4
1 2 3
P+jQ P+jQv
≈
quantas vezes forem necessárias. Isto demonstra que o processo é simples mas requer uma 
quantidade enorme de cálculos repetitivos.
O método de Gauss - Seidel pode ser melhorado ao se considerar inversões matriciais. 
Neste caso o seu desempenho compete com os métodos de Newton - Raphson, entretanto 
somente se aplica a redes que não contenham barras controladas por reativos. O sistema da 
figura 3.0 pode também ser utilizado para deduzir as fórmulas do método de Gauss - Seidel 
modificado.
A equação matricial simulando o sistema da figura 3.0 é:








=








=
















−
−−
−
*
3
*
3
*
2
*
2
1
3
2
1
3
2
1
3332
232221
1211
/
/
0
0
vs
vs
i
i
i
i
v
v
v
yy
yyy
yy
3.3
As cargas correspondentes as barras 2 e 3 podem ser transferidas para a diagonal da 
matriz de admitância, portanto:








=









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