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Rogério de Sousa Januário Roselino Ferreira da Silva “Estabilidade das Construções” Centro de Gravidade – Momento de Inércia – Raio de Giro e Módulo de Resistência Altamira - Pará Junho de 2016 Centro de Gravidade – Momento de Inércia – Raio de Giro e Módulo de Resistência Centro de gravidade ou centro de massa - é o ponto em que o corpo está em equilíbrio estático, ou seja, é uma média ponderada das massas das partículas que formam um determinado corpo, é um ponto de equilíbrio na aplicação do peso total de um corpo. O cálculo do Centro de gravidade (Xcg) coincide como centro de massa (Xcm) e é representado desta maneira: 𝑋𝐶𝐺= 𝑋1𝑚1 + 𝑋2𝑚2 + ⋯ + 𝑋𝑛𝑚𝑛 𝑚1 + 𝑚2 + ⋯ + 𝑚𝑛 = ∑𝑛𝑖=1 𝑋𝑖𝑚𝑖 ∑𝑛𝑖=1 𝑚𝑖 Xi é a coordenada de massa; mi é a massa de cada partícula do corpo. O centro de gravidade de um corpo é usado para a verificação de sua estabilidade, uma vez que seu centro de massa não deve ultrapassar sua base de apoio, caso contrário, provoca instabilidade. Centro de gravidade de seções usuais em estruturas Se uma viga apresentar um eixo de simetria, o centro de gravidade estará obrigatoriamente sobre ele, porém, se uma seção admite um centro de simetria horizontal, o centro de gravidade obrigatoriamente coincide com esse centro. A posição do centro de gravidade e a área das seções mais usadas em estruturas são o Quadrado, o Retângulo, o Triângulo, Semicírculo e ¼ de Círculo. Momento de Inércia De acordo com a primeira Lei de Newton a Propriedade de Inércia Rotacional pode ser exemplificada assim: Um corpo de que gira em torno de um eixo deve permanecer girando, a menos que uma força atue sobre ele. No movimento linear a inércia do corpo depende de sua massa, já, no movimento de rotação ela depende da massa e de como ela se distribui no corpo em relação ao eixo da rotação. Assim, observando que a velocidade angular de cada partícula é a mesma, podemos escrever que: 𝐾 = ∑ 1 2 𝑚𝑖(𝜔𝑟𝑖)² Ao se rearranjar a expressão obtemos: 𝐾 = 1 2 ∑(𝑚𝑖𝑟𝑖)𝜔 2 Já o Momento de inércia é representado pela expressão entre parênteses, logo: 𝐼 = ∑ 𝑚𝑖𝑟𝑖 2 Ri = Raio ou distância; Mi = Massa de cada partícula do corpo. Quanto maior o momento de inércia do corpo maior será sua energia cinética de rotação, ou seja, maior será o trabalho realizado para desacelerar ou acelerar esse corpo, caso ele esteja em repouso. Assim, quanto mais distante a massa estiver de seu centro de gravidade, mais resistente, a peça será aos esforços empregados. O teorema dos eixos paralelos permite o cálculo do momento de inércia do conjunto, considerando que: 𝐼 = 𝐼𝑐𝑚 + 𝑚𝑑 2 Onde: Ip = Momento de inércia no eixo considerado. Icm = Momento de inércia doo centro de massa da figura genérica. m = é a massa do corpo. D = distância de cada massa até o eixo considerado. Raio de Giração É uma grandeza física que indica como uma área está distribuída em torno de um eixo. Quanto maior o raio de giração maior é a resistência à flexão da seção. O raio de giração é definido por: 𝑖𝑥 = √ 𝐼𝑥 𝐴 𝑖𝑦 = √ 𝐼𝑥 𝐴 Sendo: i = raio de giração. I = momento de inércia. A = área da seção. O raio de giração mínimo é aquele que corresponde ao menor valor dos valores calculados. Módulo de Resistência O módulo de resistência é definido por: 𝑊𝑥 = 𝐼𝑥 𝑦 𝑊𝑦 = 𝐼𝑦 𝑥 Sendo: W = módulo de resistência. I = momento de inércia. y = distância do centro de gravidade até as bordas da seção transversal considerando como referência o eixo horizontal x. x = distância do centro de gravidade até as bordas da seção transversal considerando como referência o eixo vertical y. Características importantes de seções primitivas. Em Engenharia as seções e suas características geométricas mais usadas são: a) Quadrado 𝐼𝑥 = ℎ4 12 𝑊𝑥 = ℎ3 6 𝑖𝑥 = ℎ √12 b) Retângulo 𝐼𝑥 = 𝑏ℎ3 12 𝑊𝑥 = 𝑏ℎ2 6 𝑖𝑥 = ℎ √12 h b x b x h c) Triângulo 𝐼𝑥 = 𝑏ℎ3 36 𝑊𝑥 = 𝑏ℎ2 12 𝑖𝑥 = ℎ√2 6 d) Círculo 𝐼𝑥 = 𝜋𝐷4 64 𝑊𝑥 = 𝜋𝐷3 32 𝑖𝑥 = 𝐷 4 a) Círculo vazado 𝐼𝑥 = 𝜋(𝐷4 − 𝑑4) 64 𝑊𝑥 = 𝜋(𝐷3 − 𝑑3) 32 𝑖𝑥 = 1 4 √(𝐷2 + 𝑑2) d D b x D x x h Questionário proposto: - Definir o momento de inércia (Ix e Iy) de uma viga de seção transversal 25 x 50 cm. 𝐼𝑥 = 𝑏ℎ3 12 → 𝐼𝑥 = 25𝑥503 12 → 𝐼𝑥 = 260.416,67𝑐𝑚 4 𝐼𝑦 = ℎ𝑏3 12 → 𝐼𝑦 = 50𝑥253 12 → 𝐼𝑦 = 65.104,17𝑐𝑚 4
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