Máximos Mínimos Absolutos

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Ma´ximos e m´ınimos absolutos Ca´lculo I
MA´XIMOS E MI´NIMOS ABSOLUTOS
Definic¸a˜o(Ma´ximo absoluto): Dizemos que uma func¸a˜o f possui um ma´ximo abso-
luto em x0 se f(x0) ≥ f(x), para todo x ∈ D(f). Neste caso, dizemos que o ponto (x0, f(x0))
e´ um ponto de ma´ximo absoluto do gra´fico de f .
Definic¸a˜o(Mı´nimo absoluto): Dizemos que uma func¸a˜o f possui um mı´nimo abso-
luto em x0 se f(x0) ≤ f(x), para todo x ∈ D(f). Neste caso, dizemos que o ponto (x0, f(x0))
e´ um ponto de mı´nimo absoluto do gra´fico de f .
Exemplo: Sejam f : R → R e g : R → R func¸o˜es cujos gra´ficos sa˜o:
Enta˜o,
(i) o pontos (a, f(a)) e´ um ponto de ma´ximo absoluto do gra´fico de f e o gra´fico de f
na˜o possui nenhum ponto de mı´nimo absoluto;
(ii) o pontos (b, f(b)) e´ um ponto de mı´nimo absoluto do gra´fico de f e o gra´fico de f
na˜o possui nenhum ponto de ma´ximo absoluto;
OBSERVAC¸A˜O: Todo ponto de ma´ximo(mı´nimo) absoluto do gra´fico de uma func¸a˜o
f e´ um ponto de ma´ximo(mı´nimo) relativo do gra´fico de f . Por outro lado, um ponto de
ma´ximo(mı´nimo) relativo do gra´fico de f na˜o e´ necessariamente um ponto de ma´ximo(mı´nimo)
absoluto do gra´fico de f . Por exemplo, seja f : R → R a func¸a˜o cujo gra´fico e´:
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Ma´ximos e m´ınimos absolutos Ca´lculo I
Enta˜o,
(i) pontos de ma´ximos relativos do gra´fico de f : (a, f(a)) e (c, f(c));
(ii) pontos de mı´nimos relativos do gra´fico de f : (b, f(b));
(iii) pontos de ma´ximos absolutos do gra´fico de f : (c, f(c));
(iii) o gra´fico de f na˜o possui nenhum ponto de mı´nimo absoluto.
Teorema: Seja f : [a, b] → R uma func¸a˜o cont´ınua definida no intervalo fechado [a, b].
Enta˜o, f possui pelo menos um ma´ximo absoluto e pelo menos um mı´nimo absoluto em
[a, b].
Exemplo: Seja f : [a, b] → R a func¸a˜o cujo gra´fico e´:
Enta˜o,
(i) (b, f(b)) e´ o ponto de ma´ximo absoluto do gra´fico de f ;
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Ma´ximos e m´ınimos absolutos Ca´lculo I
(ii) (c, f(c)) e´ o ponto de mı´nimo absoluto do gra´fico de f .
Como determinar os ma´ximos e mı´nimos absolutos de uma func¸a˜o cont´ınua f em [a, b]:
Note que um ma´ximo(mı´nimo) absoluto de uma func¸a˜o cont´ınua f : [a, b] → R ocorre
ou em um ma´ximo(mı´nimo) relativo de f em [a, b] ou em um extremo do intervalo [a, b].
Assim, como todo ponto de ma´ximo(mı´nimo) relativo do gra´fico de f e´ necessariamente um
ponto cr´ıtico do gra´fico de f , para determinarmos os pontos de ma´ximo(mı´nimo) absolutos
do gra´fico de f em [a, b], devemos proceder do seguinte modo:
(1) Determinar todos os pontos cr´ıticos do gra´fico de f em [a, b];
(2) Calcular f(a), f(b) e f(c), para todo ponto cr´ıtico (c, f(c)) do gra´fico de f em [a, b];
(3) Comparar os valores: o maior dentre os valores obtidos sera´ um ma´ximo absoluto de
f em [a, b] e o menor dentre os valores obtidos sera´ um mı´nimo absoluto de f em [a, b].
Exemplo: Seja f : [−4, 1] → R a func¸a˜o definida por f(x) = x3 + 2x2 − 4x + 1. Como
f e´ cont´ınua, pois e´ uma func¸a˜o polinomial, o teorema anterior garante que f possui pelo
menos um ma´ximo absoluto e pelo menos um mı´nimo absoluto em [−4, 1]. Para encontra´-los,
seguiremos os passos indicados acima:
(1) Temos que f ′(x) = 3x2 + 4x − 4, para todo x ∈ R. Da´ı, f ′(x) = 0 ⇔ x = −2 ou
x =
2
3
. Como −2, 2
3
∈ [−4, 1], segue que f possui pontos cr´ıticos em x = −2 e x = 2
3
.
(2) Temos que f(−2) = 9, f
(2
3
)
=
−13
27
, f(−4) = −15 e f(1) = 0.
(3) Como f(−2) = 9 e´ o maior de todos os valores obtidos e f(−4) = −15 e´ o menor de
todos os valores obtidos, segue que f possui um ma´ximo absoluto em x = −2 e um mı´nimo
absoluto em x = −4.
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