PC 3 A Fourier Tempo

Esta é uma pré-visualização de arquivo. Entre para ver o arquivo original

Princípio de Comunicações
 Análise de Sinais no Tempo Contínuo: A Série de Fourier
Todo Sinal periódico x(t) com período T0 possui a seguinte propriedade
O menor valor de T0 que satisfaz a condição de periodicidade é o período fundamental de x(t). A equação anterior implica que x(t) inicie –∞ até + ∞.
É importante dizer que a área para qualquer sinal periódico x(t) para o intervalo de duração T0 é a mesma, ou seja, para quaisquer números reais a e b.
Tais resultados tem como princípio que todo sinal periódico assume os mesmo valores em intervalos de T0. Desta forma todos os valores em intervalos T0 são iguais. Assim a área de x(t) para qualquer T0 será representado por: 
1
 Representação de Sinais Periódicos pela Série Trigonométrica de Fourier
 Princípio de Comunicações
 Análise de Sinais no Tempo Contínuo: A Série de Fourier
Sinal Periódico 
2
 Princípio de Comunicações
Considerando um sinal periódico x(t) constituído por senos e cossenos de frequência w0 e todas as suas harmônicas (incluindo a harmônica zero, ou, seja componente contínua ou média) com amplitudes arbitrárias, tem-se: 
Sendo n o número de harmônicas e w0 a frequência fundamental em rad/s. 
Iremos provar, agora, uma propriedade extremamente importante: x(t)(equação anterior) deve ser um sinal periódico, como o mesmo período da frequência angular fundamental, independente dos valores an e bn. Note que o período que o período T0 da fundamental é : 
e
3
 Análise de Sinais no Tempo Contínuo: A Série de Fourier
 Princípio de Comunicações
Para provar a periodicidade de x(t), tudo o que precisamos é mostrar que x(t)=x(t+T0). A partir de: 
4
 Análise de Sinais no Tempo Contínuo: A Série de Fourier
sendo
 Princípio de Comunicações
Assim o resultado obtido x(t+T0)=x(t) mostra que qualquer combinação de senoides de frequencia (0, w0 , 2w0 , nw0 ) é um sinal periódico com o período independente dos valores an e bn das senoides. 
 Análise de Sinais no Tempo Contínuo: A Série de Fourier
Série trigonométrica de Fourier 
5
Desta forma, todo e qualquer sinal periódico pode ser representado pela série trigonométrica de Fourier. 
 Princípio de Comunicações
 Análise de Sinais no Tempo Contínuo: A Série de Fourier
6
 Cálculo dos Coeficientes de da Série de Fourier
Para os cálculos dos coeficiente da Série de Fourier, deve-se considerar a integral I definida por: 
Utilizando a identidade trigonométrica: 
Tem-se que: 
A primeira integral sempre será zero, a segunda será zero apenas quando n=m.
Desta forma, I é zero para n≠m e quando n=m a primeira integral é zero e a segunda é: (desafio, prove tal afirmação).
 Princípio de Comunicações
 Análise de Sinais no Tempo Contínuo: A Série de Fourier
Sendo: 
Portanto, 
Com os argumentos demonstrados anteriormente, deve-se considerar: 
e
7
 Princípio de Comunicações
8
Para determinar a0 integraremos os dois lados da série trigonométrica de Fourier,
com pode ser visto abaixo: 
 Análise de Sinais no Tempo Contínuo: A Série de Fourier
Sabendo que as áreas das funções cosnw0t e sennw0t para um T0, são nulas, tem-se : 
Desta forma, 
8
 Análise de Sinais no Tempo Contínuo: A Série de Fourier
8
 Análise de Sinais no Tempo Contínuo: A Série de Fourier
0 
0 
0 
 Princípio de Comunicações
9
 Análise de Sinais no Tempo Contínuo: A Série de Fourier
Para determinar an devemos multiplicar os dois lados da série de Fourier por cosmw0t, e integrar a equação resultante para um intervalo T0: 
Lembre-se 
Assim
Portanto n=m, tem-se:
; 
e que a integral de no período T0 é igual a zero.
0 
0 
T0/2 
 Princípio de Comunicações
10
 Análise de Sinais no Tempo Contínuo: A Série de Fourier
Para determinar bn devemos multiplicar os dois lados da série de Fourier por sennw0t, e integrar a equação resultante para um intervalo T0: 
Lembre-se 
Assim
e que integral no período T0.
Portanto n=m, tem-se:
; 
0 
0 
T0/2 
 Princípio de Comunicações
 Análise de Sinais no Tempo Contínuo: A Série de Fourier
Desta forma a série trigonométrica de Fourier 
É composta pelo seguintes coeficientes para : 
11
 Princípio de Comunicações
 Forma Compacta da Série de Fourier
 Análise de Sinais no Tempo Contínuo: A Série de Fourier
Os resultados obtidos até este momento são genéricos e são aplicados se x(t) for uma função real ou complexa.
Entretanto, quando x(t) é real, os coeficientes an e bn são reais para todo n e a série trigonométrica de Fourier pode ser expressa em uma forma compacta: 
na qual Cn e qn são relacionados com an e bn por:
12
 Princípio de Comunicações
 Espectro de Fourier
13
(Lathi-Exemplo 6.1)
Determine a série trigonométrica compacta de Fourier do sinal x(t) ilustrado na figura abaixo. Trace o espectro de Amplitude e de fase.
 Análise de Sinais no Tempo Contínuo: A Série de Fourier
(Lathi-Exemplo 6.2)
Determine a série trigonométrica compacta de Fourier do sinal x(t) ilustrado na figura abaixo. Trace o espectro de Amplitude e de fase.