Fasores e Raias Espectrais

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Análise Sistemas de Potência
 Números Complexos Z.
Os responsáveis pelo o estudo dos números complexos foram Gerolamo Cardano, Karl Friedrich Gauss.
É representado graficamente por um ponto, cuja a coordenada é representada por (a,b) ou Z = a+jb.
Números complexos também podem ser representados em termos de coordenada complexas (r,f).
 a = r cos f.
 b = r sen f.
 Representação Trigonométrica. 
 Z=a+jb = r cos f+ r j sen f
 = r(cosf+jsen f)
Segundo Euller
ejf= cos (f) +j sen (f).
Representação Exponencial.
Z=r ejf 
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Princípio de Comunicações 
 Análise Sistemas de Potência
Princípio de Comunicações 
 Números Complexos
 Módulo e o ângulo do Números complexo.
Observe que r é a distância do ponto z a origem.
Por esta razão é chamado de módulo (ou valor absoluto de z) sedo representado |Z|.
f é chamado de ângulo de Z representado por Z.
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Princípio de Comunicações 
 Complexo Conjugado de Z*
Defini-se Z* como conjugado de Z, Z*= a-jb por Z=r e-jf.
 Z+Z*=(a+jb)+(a-jb)=Re[2a] 
 Z.Z*=(a+jb).(a-jb)=a2+b2=|Z| 
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Princípio de Comunicações 
 Algumas Identidades Úteis.
1) 1e±jp = -1
1e±jnp = -1, de para todo n inteiro e ímpar.
2) e±j2np = 1, para todo n inteiro.
3) ejp/2 = j
4) e-jp/2 = -j
7)
8)
9)
6) j=(-1)1/2
5) (-j)2 =1
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Princípio de Comunicações 
Exemplos
Determine os seguintes números complexos na forma polar:
2+j3
-2+j1
-2-j3
1-j3
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v(t)=A cos(w0t + f)
Princípio de Comunicações 
Da identidade de Euler e jq = cosq +jsenq, tem-se que: 
 Fasor - Representação Abreviada de um número complexo. A Figura abaixo mostra a relação entre o diagrama fasorial e uma onda senoidal.
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Princípio de Comunicações 
 Os Fasores são representados por três parâmetros, amplitude, ângulo de fase e a frequência rotacional.
Desta forma v(t) tem a seguinte representação fasorial v(t)=|A| w0t+f 
 O mesmo Fasor, pode ser descrito no domínio da frequência, para tal, é preciso associar a amplitude e a fase com frequência rotacional f0.
Amplitude x Frequência 
Fase x Frequência 
v(t)=sem(wt)=cos(wt-900)
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Princípio de Comunicações 
 As Figuras anteriores ilustram pontos triviais, portanto, algumas propriedades devem ser levadas em consideração em caso de sinais mais complexos.
f0 (a frequência cíclica) será a variável independente dada em Hertz, podendo ser obtida por meio da frequência angular me rad/s.
2) Os ângulos de fase serão medidos em cossenos, ou equivalentes, tomando como referência o eixo real do diagrama fasorial.
No que tange a amplitude, tal valor deve ser sempre positivo, quando sinais negativos aparecerem, eles devem ser observados em que fase estão sendo utilizados. Desta forma, seus ângulos complementares deverão ser levados em consideração. 
			Exemplo: -A coswt = A cos(wt ± 1800).
4) Os ângulos de fase são usualmente expressos em graus enquanto a frequência é dada em rad/s. Não confundam esta misturas de unidades.
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Princípio de Comunicações 
 Espectro de Fourier
Para reforçar a Idéia da representação de um fasor (sinal) no domínio da frequência (Espectro) vamos considerar o sinal abaixo.
		v(t)=7-10 cos (40t-600)+4 sen (120t)
Pode-se então escrever a equação anterior em termos de cossenos:
v(t)=7 cos (2 0t)+10 cos (2 20t-600+1800)+4 cos(2 60t-900)
Assim temos,
	v(t)=7 cos (2 0t)+10 cos (2 20t+1200)+4 cos(2 60t-900)
Um lado ou espectros positivos
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Princípio de Comunicações 
 Espectro de Fourier
COMPLEXO CONJUGADO
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Princípio de Comunicações 
 Espectro de Fourier
Então:
v(t)=7 cos (2 0t)+10 cos (2 20t+1200)+4 cos(2 60t-900), tem-se: