Fourier Tempo Revisão de simetria Efeito da Simetria

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Princípio de Comunicações
 Análise de Sinais no Tempo Contínuo: A Série de Fourier
Uma função real x(t) é dita uma função par se:
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 Revisão sobre funções pares e Funções Ímpares
Uma função real x(t) é dita uma função ímpar se:
Exemplo:
Algumas Propriedades de funções pares e ímpares.
1)Função par x função ímpar = função ímpar
2)Função ímpar x função ímpar = função par
3)Função par x função par = função par
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 Revisão sobre funções pares e Funções Ímpares
Funções complexas
Componentes pares e ímpares de um sinal 
par 
Impar 
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 Análise de Sinais no Tempo Contínuo: A Série de Fourier
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 Revisão sobre funções pares e Funções Ímpares
Considerando x(t)= e-at u(t).
Escrevendo tal função em termos de componentes pares e ímpares, temos:
		 x(t) = xímpar(t) + xpar(t) 
	 (a) x(t)par = 1/2[e-at u(t) + eat u(-t)] ()
		 (b) x(t)ímpar = 1/2[e-at u(t) - eat u(-t)]
x(t)ímpar = 1/2[e-at u(t) - eat u(-t)]
x(t)par
x(t)par = 1/2[e-at u(t) + eat u(-t)]
0
-a
a
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 Efeito da Simetria
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A série Exponencial do sinal x(t) do Exemplo 6.1 do Lathi é constituída de termos em seno e cosseno. 
Mas se tomarmos a série do sinal x(t) do Exemplo 6.2, tal série é constituída somente por termos em senos. Já no Exemplo 6.4 a série é constituída apenas termos em cosseno.
Pode-se mostrar então que a série de Fourier de uma função par x(t) é constituída apenas por cossenos. Enquanto que para funções x(t) ímpares, tal série é constituída por apenas por senos.
Desta forma, conhecendo o sinal em meio período e sua simetria (par ou ímpar) podemos determinar a forma de onda para todo o período. Assim podemos escrever os coeficientes de Fourier como:
 
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 Efeito da Simetria
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Lembrando que a função cos(nw0t) é uma função Par e que sen(nw0t) é uma função Ímpar.
Então para x(t) par, teremos
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 Efeito da Simetria
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Lembrando que a função cos(nw0t) é uma função Par e que sen(nw0t) é uma função Ímpar.
Então para x(t) ímpar, teremos
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 Convergência da Série de Fourier
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Para a convergência da série de Fourier, coeficientes a0, an e bn devem ser finitos. Desta forma, a existência desses coeficientes é garantida se x(t) for absolutamente integrável em um período, ou seja.
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Condições de Dirichlet
Dirichlet mostrou que se x(t) satisfaz certas condições, a convergência para o ponto de sua série de Fourier é garantida para todos os pontos nos quais x(t) é contínua. Além disso, nos pontos de descontinuidade, x(t) converge para o valor médio entre os dois valores de x(t) dos dois lados da descontinuidade.
Essas condições são:
1) A função x(t) deve ser absolutamente integrável, ou seja, ela deve satisfazer as condições.
2) A função x(t) deve ser apenas um número finito de descontinuidades finitas em um período.
3) A função x(t) deve conter apenas um número finito de máximos ou mínimos em um período. 
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 Efeito de Gibbs
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Como foi explicado durante o curso a série de Fourier tem por objetivo representar qualquer sinal variante no tempo, por meio de um somatório de senos e cossenos.
Entretanto, é possível verificar comportamentos oscilatórios na região de descontinuidade (neste caso uma função trem de pulsos). Tal efeito éindependente do número de Harmônicas adotadas, na série de Fourier. 
O Valor máximo da oscilação é de 9% a mais da amplitude do sinal. Este comportamento é visível nos sinais práticos.
Tal comportamento é conhecido como efeito de Gibbs.
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 Série Exponencial de Fourier
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Usando Euler facilmente podemos converter cosnw0t e sennw0t em termos de exponenciais, e jnw0t e e -jnw0t .
Desta forma, claramente é possível representar a a série de Fourier em termos de exponências com o índice n assumindo todos os valores inteiros de -∞ até ∞, incluído o zero.
A série exponencial de Fourier para um dado sinal periódico x(t) é dada por:
Para obter os coeficientes Dn, multiplicaremos os dois lados da equação anterior por e-jmw0t(m inteiro)e integramos em um período, obetemos 
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 Série Exponencial de Fourier
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Então obtendo o resultado da equação abaixo: 
e 
Desta forma, 
Como foi considerado m =n podemos em fim escrever Dn igual a: 
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 Série Exponencial de Fourier
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Então Dn é igual a: 
E a série exponencial de Fourier é igual a: 
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 Série Exponencial de Fourier
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Podemos relacionar Dn com os coeficientes an e bn da série trigonométrica . Fazendo n=0 obtemos D0 =a0.
Além disso para n≠0 
Os resultados são válidos para x(t) gnérico, real ou complexo. Quando x(t) é real, an e bn são reais mostram que Dn e D-n são conjugados.
				 D-n = D*n
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Sabendo então que D-n = D*n, tems-se:
logo,
Portanto,
Note, que Dn são amplitudes e ∟Dn são os ângulos das várias componentes exponenciais. 
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 Série Exponencial de Fourier
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Exemplo: Determine a série exponencial de Fourier da função abaixo:
Sete caso T0 = p, w0=2p/T0 = 2 rad/s
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 Série Exponencial de Fourier
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 Série Exponencial de Fourier
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Desta forma a série exponencial de Fourier deve ser escrita como:
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 Série Exponencial de Fourier
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Espectro Exponencial de Fourier:
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 Espectro Exponencial de Fourier
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n = (-10:10); D_n = 0.504./(1+j*4*n); clf; 
subplot(2,1,1); stem(n,abs(D_n),'k'); 
xlabel('n'); ylabel('|D_n|');
subplot (2,1,2); stem(n,angle(D_n),'k');
xlabel('n'); ylabel('\angle D_n [rad]');
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 Espectro Exponencial de Fourier
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 Princípio de Comunicações
 Espectro Exponencial de Fourier
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 Princípio de Comunicações
 Teorema de Parseval
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A potência média de um sinal periódico pode ser encontrada pelo seu espectro de Fourier. 
Para um sinal representado pela série compacta de Fourier
Para um sinal representado pela série Exponencial de Fourier
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 Teorema de Parseval
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 Análise de Sinais no Tempo Contínuo: A Série de Fourier
n = (-10:10); D_n = 0.504./(1+j*4*n);
clf; subplot(2,1,1); stem(n,abs(D_n),'k');
xlabel('n'); ylabel('|D_n|');
subplot (2,1,2); stem(n,angle(D_n),'k');
xlabel('n'); ylabel('\angle D_n [rad]');
X=abs((D_n).^2); 
P=sum(X)= 0.3039 W