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Princípio de Comunicações Análise de Sinais no Tempo Contínuo: A Transformada de Fourier Aplicando um processo de limite iremos mostrar que um sinal não-periódico pode ser descrito pela soma contínua (integral) de exponenciais de duração infinita. 1 Representação de Sinais Não Periódicos pela Integral de Fourier Para representar um sinal não-periódico x(t), como ilustra a figura abaixo, por exponenciais de duração infinita, vamos construir um novo sinal periódico xT0(t), formado pela repetição x(t) em intervalos T0 segundos. Princípio de Comunicações 2 Representação de Sinais Não Periódicos pela Integral de Fourier Análise de Sinais no Tempo Contínuo: A Transformada de Fourier O sinal periódico xT0(t) pode ser representado por uma serie exponencial de Fourier. Se fizermos T0->∞, os pulsos no sinal periódico irão se repetir após um intervalo infinito, por tanto, Dessa forma, a série de Fourier que representa XT0(t) também irá representar x(t) no limite de T0 ->∞. A série de Exponencial de Fourier para XT0(t) é dada por: Princípio de Comunicações 3 Representação de Sinais Não Periódicos pela Integral de Fourier Análise de Sinais no Tempo Contínuo: A Transformada de Fourier Observe que xT0(t) em (-T0/2, -T0/2) é o mesmo que integrar x(t) em (-∞, ∞). Portanto pode-se escrever a equação (3): É de interesse ver a natureza do espectro muda quando T0 aumenta. Para compreender esse fascinante comportamento, vamos definir X(w), uma função contínua de w por: Analisando rapidamente as equações (4) e (5), tem-se: Princípio de Comunicações 4 Representação de Sinais Não Periódicos pela Integral de Fourier Análise de Sinais no Tempo Contínuo: A Transformada de Fourier Isso significa que os coeficientes Dn de Fourier são 1/T0 vezes amostras de X(w), uniformemente espaçados de w0 , como mostrado na Figura abaixo. Portanto, (1/T0)X(w) é o envelope para os coeficientes Dn. Princípio de Comunicações 5 Representação de Sinais Não Periódicos pela Integral de Fourier Análise de Sinais no Tempo Contínuo: A Transformada de Fourier Dobrando T0 dividindo a frequência fundamental w0 , de forma que teremos duas vezes mais componentes (amostras) no espectro. Entretanto, dobrando T0, o envelope (1/T0)X(w) é dividido pela metade como mostra a Figura abaixo. Se continuarmos a dobrar T0 o espectro se tornará mais denso e sua magnetude se tornará menor. Entretanto, observa-se que a forma relativa do envelope permanece a mesma . No limite T0->∞, w0->0 e Dn->0, o espectro se torna tão denso que as componentes espectrais ficam espaçadas com intervalos nulos (infinitesimais). Representação de Sinais Não Periódicos pela Integral de Fourier Análise de Sinais no Tempo Contínuo: A Transformada de Fourier Princípio de Comunicações 6 Representação de Sinais Não Periódicos pela Integral de Fourier Análise de Sinais no Tempo Contínuo: A Transformada de Fourier Substituído 1 em 4 tem-se: Quando T0 -> ∞, w0 se torna infinitesimal (w0 -> 0). Logo, podemos substituir w0 por uma notação mais apropriadas, Dw. Em termos dessa nova notação, a Equação torna-se: Então a equação (7) torna-se: Princípio de Comunicações 7 Análise de Sinais no Tempo Contínuo: A Transformada de Fourier Representação de Sinais Não Periódicos pela Integral de Fourier A equação (9) mostra que xT0(t) pode ser descrito pela soma de exponencial de frequências 0, ±Dw, ±2Dw, ±3Dw, ... (a série de Fourier). O total de componentes de frequência nDw é [X(nDw) nDw]/2p. No limite T0->∞, w0->0 e Dn->0. Portanto: A soma do lado direito da Equação (10) pode ser entendida como a área sob a função X(w)ejwt , como ilustrado na próxima Figura. Assim, Princípio de Comunicações 8 Representação de Sinais Não Periódicos pela Integral de Fourier Análise de Sinais no Tempo Contínuo: A Transformada de Fourier A integral do lado direito é chamada de Integral de Fourier. Desta forma temos a representação de um sinal não periódico x(t) pela integral de Fourier e não pela série. Tal integral é basicamente a série de Fourier com frequência fundamental, Dw->0 . Representação de Sinais Não Periódicos pela Integral de Fourier Análise de Sinais no Tempo Contínuo: A Transformada de Fourier Portanto, a função X(w) funciona como uma função espectral. Princípio de Comunicações 9 Representação de Sinais Não Periódicos pela Integral de Fourier Análise de Sinais no Tempo Contínuo: A Transformada de Fourier Chamamos X(w) de transformada direta de Fourier de x(t). x(t) de transformada de Fourier inversa de X(w). X(w) = F[x(t)] e x(t) = F-1[X(w)] Assim: Ou Transformada Direta Transformada Inversa Representação de Sinais Não Periódicos pela Integral de Fourier Análise de Sinais no Tempo Contínuo: A Transformada de Fourier Princípio de Comunicações 10 Representação de Sinais Não Periódicos pela Integral de Fourier Análise de Sinais no Tempo Contínuo: A Transformada de Fourier Podemos o espectro de X(w)em função de w. Como X(w) é complexo, teremos tanto o espectro de uma amplitude quanto do ângulo de fase. Na qual |X(w)| é a amplitude e ∟X(w) é o ângulo ( fase) de X(w). Tomando os conjugados dos dois lados dessa equação, teremos Essa propriedade é conhecida como propriedade do conjugado. Agora, se x(t) for uma função real de t, então x(t)=x*(t) e da propriedade do conjugado, temos que: Representação de Sinais Não Periódicos pela Integral de Fourier Análise de Sinais no Tempo Contínuo: A Transformada de Fourier Princípio de Comunicações 11 Representação de Sinais Não Periódicos pela Integral de Fourier Análise de Sinais no Tempo Contínuo: A Transformada de Fourier Essa é a propriedade de simetria de conjugado da transformada de Fourier, aplicável a x(t) real. Portanto, para x(t) real Portanto, para x(t) real, o espectro de amplitude |X(w)| é uma função par e o espectro X(w) é uma função ímpar de w. Princípio de Comunicações 11 Representação de Sinais Não Periódicos pela Integral de Fourier Análise de Sinais no Tempo Contínuo: A Transformada de Fourier clear all A=1; a=1/2; w=-pi:pi/100:pi; t=0:pi/10:2*pi; x=A.*exp(-a.*t); y=(1./sqrt(a^2 + w.^2)); z=-atan(w./a); plot(w,y,'b',w,z,'k--'); axis([-3 3 -2 2]);
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