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Transformado de Fourier

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Princípio de Comunicações
 Análise de Sinais no Tempo Contínuo: A Transformada de Fourier
Aplicando um processo de limite iremos mostrar que um sinal não-periódico pode ser descrito pela soma contínua (integral) de exponenciais de duração infinita.
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 Representação de Sinais Não Periódicos pela Integral de Fourier
Para representar um sinal não-periódico x(t), como ilustra a figura abaixo, por exponenciais de duração infinita, vamos construir um novo sinal periódico xT0(t), formado pela repetição x(t) em intervalos T0 segundos.
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O sinal periódico xT0(t) pode ser representado por uma serie exponencial de Fourier. Se fizermos T0->∞, os pulsos no sinal periódico irão se repetir após um intervalo infinito, por tanto,
Dessa forma, a série de Fourier que representa XT0(t) também irá representar x(t) no limite de T0 ->∞. A série de Exponencial de Fourier para XT0(t) é dada por: 
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Observe que xT0(t) em (-T0/2, -T0/2) é o mesmo que integrar x(t) em (-∞, ∞). Portanto pode-se escrever a equação (3):
É de interesse ver a natureza do espectro muda quando T0 aumenta. Para compreender esse fascinante comportamento, vamos definir X(w), uma função contínua de w por: 
Analisando rapidamente as equações (4) e (5), tem-se:
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Isso significa que os coeficientes Dn de Fourier são 1/T0 vezes amostras de X(w), uniformemente espaçados de w0 , como mostrado na Figura abaixo. Portanto, (1/T0)X(w) é o envelope para os coeficientes Dn.
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Dobrando T0 dividindo a frequência fundamental w0 , de forma que teremos duas vezes mais componentes (amostras) no espectro. Entretanto, dobrando T0, o envelope (1/T0)X(w) é dividido pela metade como mostra a Figura abaixo.
Se continuarmos a dobrar T0 o espectro se tornará mais denso e sua magnetude se tornará menor. Entretanto, observa-se que a forma relativa do envelope permanece a mesma .
No limite T0->∞, w0->0 e Dn->0, o espectro se torna tão denso que as componentes espectrais ficam espaçadas com intervalos nulos (infinitesimais). 
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Substituído 1 em 4 tem-se:
Quando T0 -> ∞, w0 se torna infinitesimal (w0 -> 0). Logo, podemos substituir w0 por uma notação mais apropriadas, Dw. Em termos dessa nova notação, a Equação torna-se: 
Então a equação (7) torna-se:
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A equação (9) mostra que xT0(t) pode ser descrito pela soma de exponencial de frequências 0, ±Dw, ±2Dw, ±3Dw, ... (a série de Fourier). O total de componentes de frequência nDw é [X(nDw) nDw]/2p. No limite T0->∞, w0->0 e Dn->0. Portanto:
A soma do lado direito da Equação (10) pode ser entendida como a área sob a função X(w)ejwt , como ilustrado na próxima Figura. Assim, 
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A integral do lado direito é chamada de Integral de Fourier. Desta forma temos a representação de um sinal não periódico x(t) pela integral de Fourier e não pela série.
Tal integral é basicamente a série de Fourier com frequência fundamental, Dw->0 . 
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Portanto, a função X(w) funciona como uma função espectral. 
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 Chamamos X(w) de transformada direta de Fourier de x(t).
 x(t) de transformada de Fourier inversa de X(w).
		X(w) = F[x(t)] e x(t) = F-1[X(w)]
Assim:
Ou
Transformada Direta
Transformada Inversa
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Podemos o espectro de X(w)em função de w. Como X(w) é complexo, teremos tanto o espectro de uma amplitude quanto do ângulo de fase. 
Na qual |X(w)| é a amplitude e ∟X(w) é o ângulo ( fase) de X(w). 
Tomando os conjugados dos dois lados dessa equação, teremos 
Essa propriedade é conhecida como propriedade do conjugado. Agora, se x(t) for uma função real de t, então x(t)=x*(t) e da propriedade do conjugado, temos que: 
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Essa é a propriedade de simetria de conjugado da transformada de Fourier, aplicável a x(t) real. Portanto, para x(t) real 
Portanto, para x(t) real, o espectro de amplitude |X(w)| é uma função par e o espectro X(w) é uma função ímpar de w. 
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clear all
A=1; a=1/2; w=-pi:pi/100:pi;
t=0:pi/10:2*pi; 
x=A.*exp(-a.*t);
y=(1./sqrt(a^2 + w.^2));
z=-atan(w./a);
plot(w,y,'b',w,z,'k--'); axis([-3 3 -2 2]);

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