CAP. IX-DIST. BINOMIAL E NORMAL

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CAPÍTULO IX Professor: Marcone Soares 
DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL E NORMAL
 
9.0 Variável aleatória
Definição: Chama-se variável aleatória (v.a.) de um espaço amostral S, a qualquer aplicação (função) de S para o conjunto IR dos números reais. X é função de IR
	
 	
 IR
Exemplos:
No lançamento de duas moedas: S= ( kk, kc, ck, cc(
X é a v.a. que associa a cada resultado do espaço amostral o número de caras que ocorre.
 S
	 
 IR
 0 1 2
X (s) = Rx = (0,1,2( , onde Rx indica a imagem de S pela v.a. X.
 
 Se X e Y são variáveis aleatórias de um mesmo espaço amostral S, então:
 a) (X+Y) (s) = X(s) + Y(s)
 b) (X+K) (s) = X(s) +K
 c) (K.X)(s) = KX(s)
 d) (X>Y)(s) = X(s) 
 Para cada s ( S e K ( IR.					
9.1 Classificação das variáveis aleatórias: 					
As variáveis aleatórias podem ser discretas ou contínuas.
Variável aleatória discreta.
Seja S um espaço amostral e X uma v.a. em S(X). X é variável discreta quando Rx é finito ou enumerável.
Exemplo: Número de acidentes numa semana em um determinado cruzamento; número de parafusos defeituosos num lote de 100 caixas; número de livros numa estante, etc.
Variável Aleatória Continua.
Uma v.a. é considerada contínua quando podemos tomar qualquer valor de um determinado intervalo. Uma variável contínua tem um número infinito de valores possíveis.
Exemplos; Peso de caixas de laranjas; altura de pinheiros, tempo de uma chamada telefônica.
9.3 Distribuição de uma Variável Aleatória.
A distribuição entre v.a. discretas e contínuas é importante porque há interligação de diferentes modelos (distribuições) de probabilidade dependendo do tipo de variável aleatória considerada.
Definição: Seja X uma v.a. de um espaço amostral S. A cada ponto 
 de 
 vamos associar um número real f(
) (ou pi) 
, tal que f(xi) é a soma das probabilidades de todos os elementos de S que são levados em f(xi) pela v.a. X.
 Nessas condições f(xi) será chamado de probabilidade de xi. O conjunto de todos os pares (xi,f(
)) é que se chama distribuição da variável aleatória X (ou função de probabilidade).
 De um modo geral, uma v.a.X é apresentada na forma:
	x
	
	
	
	...
	
	f(x)
	f(
)
	f(
)
	f(
)
	…
	f(
)
Observações: a) 
= 1 b) 
 c) 
Exemplos:
1) No lançamento de duas moedas; X é a variável aleatória que associa a cada resultado do espaço amostral o número de caras que ocorre. 
 S = {cc, ck, kc, kk} 
Rx = {0, 1, 2}.
A distribuição de X será:
	 
	 0
	 1
	 2 
	 soma
	 f(xi)
	 1/4
	 2/4
	 1/4
	 1
2) No lançamento de dois dados, temos:
S = {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)
 (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),21,6)
 (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)
 (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6)
 (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6)
 (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}
Seja X a v.a. que associa a cada jogada a soma dos pontos.
Rx = { 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} 
a distribuição será:
	xi
	2
	3
	4
	5
	6
	7
	8
	9
	10
	11
	12
	soma
	f(xi)
	1/36
	2/36
	3/36
	4/36
	5/36
	6/36
	5/36
	4/36
	3/36
	2/36
	1/36
	 1
9.4 Valor esperado ou média de uma variável aleatória (esperança de uma v.a. discreta)
Seja X uma variável aleatória discreta com a distribuição:
	x
	
	
	
	...
	
	f(x)
	f(
)
	f(
)
	f(
)
	…
	f(
)
 Então a média ou valor esperado de X será definido por:
 = E(x) = 
 = 
 ); [(f(
) = p( 
)]
Exemplo: Considere um lançamento de três moedas, não viciadas e se recebe R$ 2,00 por cada cara que apareça.Quanto se esperaria ganhar, se pudesse fazer o jogo apenas uma vez? Ou, de outra maneira; qual é o valor esperado de uma única jogada?
O espaço amostral será: S = {ccc,cck,ckc,ckk,kck,kcc,kkc,kkk} 
N(S) = 8
A distribuição de probabilidade será:
	Número de caras
	 0 1 2 3 
	X: valora ser recebido (R$)
	 0 2 4 6
	Probabilidades: p(
)
	 1/8 3/8 3/8 1
 = E(x) = 
 = 3,00
O valor esperado é uma média em longo prazo. No caso, após várias jogadas se esperaria ganhar R$ 3,00.
Teoremas
Sejam x e y duas variáveis aleatórias e k um número real.
Prova-se que:
E(k x) = k E(x)
E(k) = k
E(k + x) = E(x) + k
E(x + y) = E(x) + E(y)
E(x - 
) = 0 
 E(x - 
) = E(x ) – E(
), como E(x) = 
, temos que
 E(x - 
) = 0
9.5 Variância e desvio padrão para uma variável aleatória discreta
A variância é uma medida de dispersão que avalia o grau de homogeneidade dos valores da variável em torno da média.A definição de variância de uma variável aleatória discreta X é dada por:
 = Var[X] = E 
, desenvolvendo o quadrado da diferença, obtemos uma fórmula prática para o cálculo da variância:
 = 
O desvio padrão é a raiz quadrada positiva da variância.
 = 
Exemplo 1: Suponha que um gerente de uma loja tenha construído a seguinte distribuição para as vendas de televisores por dia:
	
(vendas)
	0
	1
	2
	3
	4
	P(
)
	0,20
	0,30
	0,30
	0,15
	0,05
O número esperado de vendas por dia será:
 = E[x] = 0(0,20) + 1(0,30) = 2(0,30) = + 3 (0,30) + 4(0,05) = 1,55 televisores.
 E[x2] = 02(0,20) + 12(0,30) + 22(0,30) +32(0,15) +42(0,05) = 3,65
Quanto à variância:
 = 
= 3,65 – (1,55)2 = 1,25
E o desvio padrão será de:
 = 
= 
 = 1,1 televisores.
Exemplo 2: Um hotel de Fortaleza registrou o número de hóspedes diários, durante o período de 60 dias. A variável aleatória X anota o número de hóspedes nesse hotel.
	Hóspedes
	100
	110
	120
	130
	140
	150
	160
	170
	Frequência
	4
	6
	10
	12
	11
	9
	5
	3
	Probabilidades
	4/6060=
0,067
	6/60=
0,100
	10/60=
0,167
	12/60=
0,200
	11/60=
0,183
	9/60=
0,150
	5/60=
0,083
	3/60=
0,050
 
Calcule o valor esperado, a variância e o desvio padrão da v.a. X.
= E(X) =
=100(0,067) +110(0,100) +120(0,167) +130(0,200) +
140(0,183) +150(0,015) +160(0,083) + 170(0,050) = 133,64
E(X2) = 670 + 1210 + 2404,8 + 3380 + 3586,8 + 3375 + 2124,8 + 1445 = 18196,4
 = 
 = 18196,4 – (133,64)2 = 18196,4 – 17859,6 = 336,8
 = 
 = 
 = 18,4.
EXERCÍCIOS
1) No lançamento de uma moeda, a variável aleatória, x anota o número de caras obtidas.
Calcule a média, a variância e o desvio padrão da variável aleatória x.
2) No lançamento de dois dados, a variável aleatória x anota o soma dos pontos da face superior. Determine a média, a variância e o desvio padrão da variável aleatória x.
 
3) Calcule a média, a variância e o desvio padrão da variável aleatória x dada por:
	x
	-1
	0
	1
	3
	p(x)
	2/5
	1/5
	1/5
	1/5
4) Considere a distribuição de frequência relativa ao número de acidentes diários em uma rodovia do Ceará, durante o período de um mês.A variável aleatória x anota o número de acidentes que ocorre.
	Acidentes
	0
	1
	2
	3
	4
	Frequências
	17
	6
	4
	2
	1
a) Dê a distribuição de probabilidade da variável aleatória x
b) Determine a esperança, a variância e o desvio padrão da variável aleatória x.
5) Uma moeda é lançada três vezes. Seja x a variável aleatória que associa a cada resultado do experimento, o número de coroas que ocorrem. Determine:a) A esperança de x b) A variância c) o desvio padrão. 
6) Um jogador lança duas moedas. Ele ganha C$ 10,00 quando aparece uma cara, C$ 30,00 quando aparecem duas caras, mas perde C$ 5,00 quando aparecem duas coroas. 
a) Encontre a esperança de lucro do jogador numa única jogada; ( Resposta: 11,250
b) Que taxa poderia pagar o jogador para participar do jogo de modo que houvesse imparciabilidade (11,25)
7) Suponha o experimento: “lançamento simultaneamente de dois dados”.Considere a variável aleatória X que associa a cada resultado, o maior dos números que ocorrem.
Determine à distribuição de X, a esperança, a variância e o desvio padrão da v.a. X .
 
8) Suponha que uma loja tenha compilado os seguintes dados sobre vendas de televisores
	Número vendido (
)
	0
	1
	2
	3
	4
	Freq. Relativa p(x)
	0,20
	0,30
	0,30
	0,15
	0,05
Qual é o valor esperado e qual é o desvio padrão?
9) Um investidor julga que em 0,40 de probabilidade de ganhar C$ 25000,00 e 0,60 de probabilidade de perder C$ 15000,00 num investimento.Calcule o ganho esperado.(Resp. 1.000,00)
10) Um empreiteiro faz as seguintes estimativas:
 Prazo de execução Probabilidade
 10 dias 0,30
 15 dias 0,20
 22 dias 0,50
Qual é o prazo esperado para a execução dessa obra, de acordo com essas estimativas? (Resp. 17 dias)
9.6 Distribuição Binomial
Trata-se de um modelo que dá a probabilidade do número de sucessos quando são realizadas n provas do mesmo tipo, o experimento é repetido n vezes. Cada experimento admite dois resultados, sucesso ou fracasso, com probabilidade de p sucesso e 1 – p = q de fracasso, constantes em cada uma das provas.
-Alguns exemplos de experiências binomiais:
-Lançamento de uma moeda n vezes.
-Resposta de um teste com diversas questões do tipo V ou F.
-Sexo das crianças nascidas em determinada maternidade.
-Atirar em um alvo, atingindo-o ou não.
-Alunos de uma escola vacinados ou não vacinados etc.
Para utilizarmos a distribuição binomial, as seguintes hipóteses devem ser atendidas:
- São realizadas n provas do mesmo tipo;
- Cada prova admite dois resultados possíveis;
- As probabilidades p, de sucesso e 1 – p = q, de fracasso, permanecem constantes em todas as provas;
- Os resultados das provas são independentes.
A fórmula do cálculo da probabilidade para que o evento se realize k vezes nas provas é dada pela função:
f(x) = P(x = k) = 
, onde:
P(x = k) é a probabilidade de que o vento se realize k vezes em n provas;
n é o número de provas ou repetição do experimento;
p é a probabilidade de sucesso em cada prova;
q é a probabilidade de fracasso em cada prova
k é o número de sucessos.
 = 
 é o coeficiente binomial de n sobre k
Observações:
n! = n(n -1)(n -2)...3.2.1, com n 
2 
 0! =1 e 1! = 1.
5! = 5.4.3.2.1 = 120
Exemplo; Admite-se que uma válvula eletrônica, instalada em determinado circuito, tenha probabilidade 0,3 de funcionar mais de 600 h. Se ensaiarmos 10 válvulas, qual será a probabilidade de que, entre elas, exatamente duas funcione mais de 600 horas?
n = 10 ensaios. p = 0,3 é a prob. de sucesso de cada válvula funcionar mais de 600 horas. 
q = 1 – p =1 – 0,3 = 0,7 é a prob. de fracasso de cada válvula funcionar menos de 600 horas.
P(x = k) = 
= 45(0,09)(0,058) = 0,2335 ou 26,35%.
9.7 Medidas características
Média ou valor esperado: 
np
Variância: 
Var(x) = npq
Desvio padrão: 
No caso do exemplo anterior, temos:
10(0,3) = 3
Var(x) = 10(0,3)(0,7) = 2,1
= 
= 1,45.
 ERECÍCIOS
1) Uma moeda é lançada 10 vezes. Calcule as seguintes probabilidades:
a) de ocorrer 6 caras;
b) de dar pelo menos duas caras;
c) de não dar nenhuma coroa;
2) Calcule a probabilidade de se obter exatamente duas faces 4 em três lançamentos de um dado?
3) Um exame do tipo teste é constituído de 20 questões, cada uma delas com cinco respostas alternativas, das quais apenas uma é correta. Se um estudante responde as questões ao acaso, qual é a probabilidade que consiga acertar exatamente 10 questões?
4) Uma empresa produz 10% de peças defeituosas. As peças são embaladas em caixas que contêm 12 peças. Calcule a probabilidade de um cliente comprar uma caixa contendo:
a) Nenhuma peça defeituosa; (Resp. 23,01%)
b) Uma peça defeituosa.(Resp. 8,5%)
5) Um levantamento efetuado em uma agência bancária indicou que 20% dos títulos eram pagos com atraso. Se em um determinado dia foram pagos 20 títulos, determine a probabilidade de que:
a) No máximo dois sejam pagos com atrasos; (Resp. 20,6%)
b) No mínimo três sejam pagos com atrasos. (Resp. 79,4%)
6) Considerando que 80% das vendas são realizadas em loja, qual a probabilidade de três em cada quatro vendas serem efetuadas em loja? (Resp. 40,6%)
7) Considerando que há 80% de chance de a venda se realizar em loja, de cada 50 vendas, quantas em média devem ser efetuadas por essa via? Qual o desvio padrão? (Resp. 2,83)
8) Dois times de futebol, A e B, jogam entre si 6 vezes. Encontre a probabilidade de o time A ganhar 4 jogos.
 Resposta: 32,92%
9) A probabilidade de um atirador acertar o alvo é de 2/3. Se ele atirar 5 vezes, qual a probabilidade de acertar exatamente 3 vezes? (Resp. 16,46%)
10) Uma companhia de seguros vendeu apólices a 5 pessoas, todas de meia idade e de boa saúde. De acordo com as tábuas atuais, a probabilidade de que uma pessoa daquela idade esteja viva daqui a 20 anos é 2/3. Calcular a probabilidade de que daqui a 20 anos:
a) Toadas pessoas estejam vivas; (Resp. 0,03%)
b) Pelo menos 3 pessoas estejam vivas; 
c) No máximo duas pessoas estejam vivas.
11) A probabilidade de um aluno que ingressa na FIC de passar em estatística é de 0,4. Determine a probabilidade de entre 5 alunos que conversam muito na sala de aula:
a) Nenhum ser aprovado;
b) Exatamente um ser aprovado;
c) Pelo menos um ser aprovado.
9.8 Distribuição Normal - Curva Normal
Entre as distribuições teóricas de variáveis aleatórias contínuas uma das mais empregadas é a distribuição normal (ou distribuição de Gauss).
Muitas das variáveis analisadas na pesquisa sócio-econômica correspondem à distribuição normal ou dela se aproxima.
A variável aleatória contínua que tenha distribuição simétrica apresenta uma curva em forma de sino e nesse caso se enquadra a uma distribuição normal que tem o aspecto.
 -
 
 +
Por ser em forma de sino, os valores se espalham em torno da média (mediana e moda) com frequências decrescentes. O valor máximo corresponde ao centro da figura, isto é, à média, à moda e à mediana.
Propriedades da curva normal:
- O gráfico de uma distribuição normal se assemelha muito a um sino. É suave, unimodal e, é simétrico em relação à média;
- A curva se prolonga indefinidamente em qualquer das direções, a partir da média.Tende cada vez mais para o eixo horizontal à medida que aumenta a distância a contar da média, mas nunca chega a tocar no eixo, teoricamente, os valores possíveis vão de -
 a +
;
- Uma importante característica é que a distribuição normal fica caracterizada por dois parâmetros: a média e o desvio padrão, isto é, existe uma única distribuição normal para cada combinação de uma média e um desvio e padrão;
- A área total sob a curva normal apresenta 100% da probabilidade associada à variável.Além disso, como a curva é simétrica em relação à média à probabilidade de observar um valor inferior à média é 50%, como é também a probabilidade de observar um valoracima da média. Como a escala de mensuração é contínua, a probabilidade de observar um valor exatamente igual à média é zero;
- A área sob a curva entre a média e um ponto arbitrário é função do número de desvios padrão entre a média e aquele ponto;
- A probabilidade de uma variável aleatória distribuída normalmente tomar um valor entre dois pontos quaisquer é igual à área sob a curva normal compreendida entre aqueles dois pontos. P(a < x < b) = área sob a curva entre a e b, com a < b.
9.9 Distribuição normal padronizada
A distribuição normal é uma função matemática definida por:
, onde: 
 = desvio padrão;
 = 3,14158...
e = 2,71828 ( número de Euler)
 é a média.
Se uma variável tem distribuição normal, cerca de 68% de seus valores no intervalo de um desvio padrão a contar de cada lado da média; cerca de 95,5% no intervalo de dois desvios padrões a contar da média, e cerca de 99,7% dentro de três desvios padrões a contar da média.
Área sob a curva normal a 1, 2, 3 desvios padrões a contar de cada lado da média.
O gráfico abaixo mostra a idéia:
 
 
 -3
 -2
 -1
 
 +1
 +2
 +3
Comparação entre as escalas efetiva e padronizada.
 
 70 80 90 100 110 120 130
______________________________________________________________
 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3
Quando a variável x é expressa em termos de unidade reduzida, qualquer outra distribuição normal x com média 
 e desvio padrão 
 pode ser transformada, para efeito de cálculo de área, na distribuição normal padrão z , através da mudança de variável:
z = 
.Conhecendo-se a área especificada na tabela, qualquer outro tipo de área poderá ser calculado usando-se a simetria da curva.Onde:
z = número de desvios padrões a contar da média
x = valor arbitrário
= a média da distribuição normal
 = desvio padrão
As probabilidades associadas à distribuição normal padronizada são encontradas em tabelas, não havendo necessidade de serem calculadas.
A tabela em anexo de distribuição normal reduzida, que nos dá a probabilidade de Z tomar qualquer valor entre a média 0 e um dado valor z, isto é: p(0 <Z < z).
Exemplos. Usando a tabela abaixo, estabeleça o valor de cada probabilidade:
a) P(0 <z < 1,96) b) P(-0,86 < z < 0) c) P(-0,42 < z < 2,28)
d) P(1,35 < z 2,82) e) P(-075 < z < -2,51) f) P(z < 1,94)
g) P(z < -2,07) h) P(z > 0,73) g) P(z > 2,39)
Área para a Distribuição Normal Padronizada Z 
 0 z
 
	 z
	 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
	0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
3,0
3,1
3,2
3,3
3,4
3,5
	0,0000 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,0359 
0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,0753
0,0793 0,0832 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,1141
0,1179 0,1117 0,1225 0,1295 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,1480 0,1517
0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0,1700 0,1736 0,1772 0,1808 0,1844 0,1879
0,1915 0,1950 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123 0,2157 0,2190 0,2224
0,2257 0,2291 0,2324 0,2357 0,2389 0,2422 0,2454 0,2486 0,2518 0,2549
0,2580 0,2612 0,2642 0,2673 0,2704 0,2734 0,2764 0,2794 0,2823 0,2852
0,2881 0,2910 0,2939 0,2967 0,2995 0,3023 0,3051 0,3078 0,3106 0,3133 
0,3159 0,3186 0,3212 0,3238 0,3264 0,3289 0,3315 0,3340 0,3365 0,3389
0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,3621
0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,3729 0,3749 0,3770 0,3790 0,3810 0,3830
0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962 0,3980 0,3997 0,4015
0,4032 0,4049 0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0,4131 0,4147 0,4162 0,4177
0,4192 0,4207 0,4222 0,4236 0,4251 0,4265 0,4279 0,4292 0,4306 0,4319
0,4332 0,4345 0,4357 0,4370 0,4382 0,4394 0,4406 0,4418 0,4429 0,4441
0,4452 0,4463 0,4447 0,4484 0,4495 0,4505 0,4515 0,4525 0,4535 0,4545
0,4554 0,4564 0,4573 0,4582 0,4591 0,4599 0,4608 0,4616 0,4625 0,4636
0,4641 0,4649 0,4656 0,4664 0,4671 0,4678 0,4686 0,4693 0,4699 0,4706
0,4713 0,4719 0,4726 0,4732 0,4738 0,4744 0,4750 0,4756 0,4761 0,4767
0,4772 0,4778 0,4783 0,4788 0,4793 0,4798 0,4803 0,4808 0,4812 0,4817
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 EXERCÍCIOS
1) Os salários dos funcionários de um hotel fazenda têm distribuição normal em torno da média de R$ 1.200,00, com desvio padrão de R$ 190,00. Qual a probabilidade de um funcionário:
a) ganhar entre R$ 1.300,00 e R$ 1.600,00?
b) ganhar acima de R$ 1.500,00?
c) ganhar menos de R$ 1.100,00?
2) Os pesos de 500 malas são normalmente distribuídos com média 66,5 kg e desvio padrão 4,2kg. Determine o número de malas que pesam:
a) menos de 56,3 kg; (Resp, 3,76)
b) entre 64 e 69 kg; (Resp. 225,7)
c) menos de 70 kg;
d) mais de 65 kg. (Resp. 320)
 
3) O levantamento do custo unitário de produção de um item da empresa revelou que sua distribuição é normal com média 50 e desvio padrão 4. Se o preço de venda unitário desse produto é de 60, qual é a probabilidade de uma unidade desse item escolhida ao acaso ocasionar prejuízo à empresa? (Resp. 99,38%)4) Uma empresa produz um equipamento cuja vida útil admite distribuição normal com média 300 h e desvio padrão 20h. Se a empresa garantiu uma vida útil de pelo menos 280h para uma das unidades vendidas, qual a probabilidade de ela ter que repor essa unidade? (Resp. 84,13%)
5) Os balancetes semanais realizados em uma empresa mostraram que o lucro realizado distribui-se normalmente com média 48000 u.m. e desvio padrão 8.000 u.m. Qual a probabilidade de que:
a) Na próxima semana o lucro seja maior que 50.000 u.m? (Resp. 40,13%)
b) Na próxima semana o lucro esteja entre 40.000u.m e 45.000u.m? (Resp. 19,33%)
c) Na próxima semana haja prejuízo? (Resp. 50%)
6) Que receita pode esperar um restaurante freqüentado em média por 185 pessoas/dia (e desvio padrão 18 pessoas) que gastam R$ 30,00 em média? Qual a chance de receita diária:
a) ser menor que r$ 5.200,00? (Resp 25,78%)
b) ser maior que R$ 5.000,00? (Resp. 84,61%)
c) ficar entre R$ 5.3000,00 e 5.800,00? (Resp. 35,44%)
7) Os pesos de 600 estudantes são normalmente distribuídos com média 65,3 kg e desvio padrão 5,5 kg. Determine o número de estudantes que pesam:
a) Entre 60 e 70khg; (Resp. 380)
b) Mais que 62,3 kg; (Resp 425)
c) Menos que 68kg. (Resp. 413)
8) Um teste padronizado de escolaridade tem distribuição normal com média 100 e desvio padrão 10. Determine a probabilidade de um indivíduo submetido ao teste ter nota:
a) Maior que 120? b) Entre 85 e 115; c) Menor que 100.
9) Através de observações constatadas, verificou-se que o tempo médio para se fazer um teste padrão de estatística é aproximadamente normal com média de 90 minutos e desvio padrão de 25 minutos.
a) Qual a probabilidade de candidatos que levará menos de 80 minutos para fazer o teste? (Resp. 25,14%)
b) Que percentagem não terminará o tese, se o tempo máximo permitido é de 130 minutos? (Resp. 9,18%)
c) Se 300 pessoas fazem o teste, quantas pessoas podemos esperar que o terminem na primeira hora? (Resp 37)
10) A duração de um certo componente eletrônico tem média de 850 dias e desvio padrão de 40 dias. Sabendo que a duração é normalmente distribuída, calcule a probabilidade de esse componente durar:
a) Entre 700 e 1000 dia? (100%) b) Mais de 800 dias? (84,44%) c) Menos de 750 dias: (0,62%)
11) Suponha que a quantidade de colesterol em 100ml de plasma sanguíneo humano tem distribuição normal com média 200mg e desvio padrão 20mg. Uma pessoa é selecionada ao acaso:
a) Qual a prob. de uma pessoa apresentar entre 200 e 225mg de colesterol por 100ml de plasma? (Resp.39,44%)
b) Qual a prob. de uma pessoa apresentar manos de 190mg de colesterol por 100ml de plasma? (Resp.30,86%)
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