Calculo_I_2012_T02_Lista_08

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Ca´lculo I - Lista de Exerc´ıcios no¯ 8 - 1
o
¯ semestre/2012
1. Calcule a derivada de cada uma das func¸o˜es abaixo, pelo ca´lculo direto do limite da raza˜o incre-
mental lim
h→0 f(x+ h) − f(x)h .
(a) f(x) = 7x− 5 (b) f(x) = 4x2 − 3x (c) f(x) =
3√
x
− 2 (d) f(x) =
2
x3
(e) f(x) = x3 (f) f(x) = 7 (g) f(x) = ex (h) f(x) = cos x
2. Calcule a derivada f ′(x0) em cada caso.
(a) f(x) = 3x2 − 5x+ 1 e x0 = 2 (b) f(x) =
1
x2
e x0 = −3
(c) f(x) = e2x−3 e x0 = −1 (d) f(x) = x
2 − x+ 2 e x0 =
1
2
3. Calcule as derivadas das func¸o˜es dadas abaixo:
(i) y =
3
5
x
5
3 (ii) y = 3x7 − 4x3 + 12 (iii) y =
1
x
√
x
(iv) y = 2x2
√
x (v) y =
x2 − 3x+ 1
x2 + x+ 5
(vi) y = (x3 − 2)(4x2 + 7x+ 2)
(vii) y =
2x+ 3
3x− 2
(viii) y =
x2
4
+
4
x2
(ix) y =
x3 − 8
x3 + 8
(x) y =
1
ln x
(xi) y = x ln x− x (xxii) y = xex
(xiii) y = 2ex(1+ ln x) (xiv) y =
ex
x2 + 1
(xv) y = x2ex
(xvi) y = (x2 − 1)sen x (xvii) y = ex cos x (xviii) y = sen x cos x
(xix) y = sec x+ tg x (xx) y = x cosec x (xxi) y = ex(2+ tg x)
(xxii) y =
x
cosec x
(xxiii) y =
1+ cos x
2− sec x
(xxiv) y = (x3 + cos x)(3− sen x)
(xxv) y =
x+ sen x
x− cos x
(xxvi) y =
x+ 1
x sen x
(xxvii) y =
ex
x
(xxviii) y = x sen x (xxix) y = x2tg x (xxx) y = sen x+ (x2 + 1) cos x
(xxxi) y =
3
sen x+ cos x
(xxxii) y =
sec x
x2 + 1
(xxxiii) y = 6 cos x+ 7 sec x
(xxxiv) y = x2 ln x+ 2ex (xxxv) y =
x+ 1
x ln x
(xxxvi) y =
ln x
x
(xxxvii) y = 4ex + 3x log2 x (xxxviii) y =
sen x
cos2 x
(xxxix) y = (4+ tg x)(sen x)
(xl) y = x cotg x (xli) y = 4 sec x+ cotg x (xlii) y = (x3 +
√
x)cosec x
(xliii) y = log3 x (xliv) y = logpi x (xlv) y = x cos x+ tg x
(xlvi) y = sec x tg x (xlvii) y = x2 sec x ln x (xlviii) y = x2 cos x(1+ ln x)
(xlix) y = x ex cos x (l) y = (1+
√
x)extg x
UFMS / CCET Disciplina: Ca´lculo I - Turmas: 1 e 2 Professor: Celso Cardoso
4. Calcule as derivadas das func¸o˜es dadas abaixo:
(i) y =
2x
4
√
x− 1
(ii) y = (2x3 − 3x+ 7)4 (iii) y = 3
√
x
x3 + 1
(iv) y =
√
1+ 4x2 (v) y =
√
2− 7x (vi) y = (2x4 − 1)5(5x3 + 6x)
(vii) y =
(x2 − 5)3
(x2 + 4)2
(viii) y = (5− 3x)2/3 (ix) y = (x2 − 1)3/2(x2 − 4)1/2
(x) y =
1√
25− x2
(xi) y = (5− x)1/2 + (x3 + 1)1/4 (xii) y =
√
2x3 − 5x2 + x
(xiii) y =
√
x− 2
3− x
(xiv) y =
√
x2 +
√
x (xv) y = ln(3x− 4)
(xvi) y = ln x2 (xvii) y = ln(4− x2) (xviii) y = ln
√
5− x2
(xix) y = ln |x2 − 4| (xx) y = ln ln x (xxi) y = ln[
√
x(1+ x2)]
(xxii) y =
√
2+ ln
x− 2
3− x
(xxiii) y = ln ln | x | (xxiv) y =
et − e−t
et + e−t
(xxv) y = e5x (xxvi) y = ex
2
(xxvii) y = 2e
√
x
(xxviii) y = x2e−x (xxix) y =
ex
3−3x
3
(xxx) y = (x2 − e−2x)3
(xxxi) y =
e2x
sen 3x
(xxii) y = cos ex (xxxiii) y = sen cos x
(xxxiv) y = sen x2 (xxxv) y = sen 2x (xxxviii) y = e−x sen x
(xxxvii) y = esen t (xxxviii) y = tg sen (1− 3x2) (xxxix) y = sec
1
x2 − 1
(xl) y = tg
√
x
x+ 1
(xli) y = (x+ 1)2 sen
1
x+ 1
(xlii) y = cos sen
√
x2 + 1
(xliii) y = sen (1+ et
2
) (xliv) y = x sec(x2 + 1) (xlv) ln(sec x+ tg x)
(xlvi) y = tg 3x (xlvii) y = sec x3 (xlviii) y = cotg x2
(xlix) y =
e−x cos x
x2 + x
(l) y =
te2t
ln(1+ 3t)
(li) y = (sen 3x+ cos 2x)4
(lii) y = e−x sec x2 (liii) y = cos3 x3 (liv) y = x3tg 4x
(lv) y = x2 ln(3x+ 5) (lvi) y = (x2 + cotg x2)3 (lvii) y = xsen 3x
(lviii) y = 5x + log2 x (lix) y = 2
x2 + 32x lx) y = xx sen x
(lxi) y =
(
1+
1
x
)x
(lxii) y = ln(1+ xx) (lxiii) y = xpi + pix
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5. Considere as func¸o˜es f dadas abaixo.
(a) f(x) =
{
x+ 2, se x < 1
2, se x ≥ 1 (b) f(x) =
{
x2 − 2x+ 1, se x ≤ 1
−x2 + 2x− 1, se x > 1
(c) f(x) =
{
−x− 1, se x ≤ 1
x2 − 3, se x > 1
(i) f e´ cont´ınua em p = 1? Por queˆ?
(ii) f e´ deriva´vel em p = 1? Por queˆ?
(iii) Se f for deriva´vel, calcule f ′(1).
(iv) Esboce o gra´fico de f.
6. Em cada caso, calcule
dy
dx
,
d2y
dx2
e
d3y
dx3
.
(a) y = x3 − 7x+ 1 (b) y = cos 5x (c) y = e3x
(d) y = x ln x (e) y = x | x | (f) f(x) =
{
x2 + 3x, se x ≤ 1
5x− 1, se x > 1
7. Em cada caso, encontre a derivada de ordem n.
(a) f(x) = xn (b) f(x) = e4x (c) f(x) = ln x (d) f(x) = cos x
8. Calcule as derivadas das func¸o˜es dadas abaixo por derivac¸a˜o logar´ıtmica.
(a) y = x3(x2 − 2)2(x+ 1)3 (b) y = (2x+ 1)(x2 + 3)(x3 − 1) (c) y =
x(x− 1)(x+ 2)
x+ 1
(d) y =
√
x+ 1√
x− 1
(e) y =
√
x2 − 1
x2 + 1
(f) y = xx
(g) y = xx
x
(h) y = 2x
x
(i) y = (x2 + 1)cos x
9. Em cada caso, determine a equac¸a˜o da reta tangente a` curva y = f(x) em x = a e fac¸a um gra´fico.
(a) f(x) = x2 + 2x− 3, a = 0 (b) f(x) =
1
x2 + 1
, a = 2
(c) f(x) = ln(1− x), a = 0 (d) f(x) = ln(x− 1), a = 3
(e) f(x) = ln(5− x), a = 0 (f) f(x) = ex−1, a = 1
(g) f(x) = ex+4, a = −4 (h) f(x) = x3 +
1
x
, a = 1
10. Determine as equac¸o˜es das retas tangente e normal a` curva y = (x2 − 1)−2 em x = 2.
11. Determine as equac¸o˜es das retas tangente e normal a` curva y = e−x
2
em x = 2.
12. Determine as equac¸o˜es da reta tangente ao gra´fico da curva y = ln(1/x) em x = 2.
13. Determine as retas tangentes a` curva y = xe−x nos pontos x = 0 e x = 2.
14. Determine a equac¸a˜o da reta normal ao gra´fico da func¸a˜o y = ln(x− 3) em x = 4. Esboce o gra´fico
dessa func¸a˜o e da referida normal.
15. Seja f(x) = x2 +
1
x
. Determine o ponto do gra´fico de f em que a reta tangente, neste ponto, seja
paralela ao eixo x e esboce o gra´fico de f.
16. Uma part´ıcula desloca-se sobre o eixo x com func¸a˜o de posic¸a˜o x = 3+ 2t− t2, t ≥ 0.
(a) Determine a velocidade no instante t.
(b) Determine a acelerac¸a˜o no instante t.
(c) Estude a variac¸a˜o do sinal no instante t.
(d) Esboce o gra´fico da func¸a˜o de posic¸a˜o.
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17. Uma part´ıcula desloca-se sobre o eixo x com func¸a˜o de posic¸a˜o x =
1
2
t+ 1, t ≥ 0.
(a) Determine a velocidade no instante t.
(b) Determine a acelerac¸a˜o no instante t.
(c) Esboce o gra´fico da func¸a˜o de posic¸a˜o.
18. Expresse a taxa de crescimento do volume de uma esfera, relativamente ao raio, em func¸a˜o do raio.
Fac¸a o mesmo para a superf´ıcie da esfera. Calcule essas taxas quando o raio for igual a 5 cm.
19. Expresse a taxa de crescimento do volume de uma esfera, relativamente a` superf´ıcie, em func¸a˜o do
raio da esfera. Fac¸a o mesmo para o raio, relativamente ao volume.
20. Qual a taxa me´dia de variac¸a˜o da a´rea de um c´ırculo em relac¸a˜o ao raio, quando este varia de r a
r+ ∆r? Calcule essa taxa para r = 1, 5m e ∆r = 5 cm.
21. Se o raio de um c´ırculo cresce a` taxa de 30 cm/s, a que taxa cresce a a´rea em relac¸a˜o ao tempo?
22. Uma escada de 8 metros esta´ encostada em uma parede. Se a extremidade inferior da escada for
afastada do pe´ da parede a uma velocidade constante de 2m/s, com que velocidade a extremidade
superior estara´ descendo no instante em que a inferior estiver a 3 metros da parede?
23. Enche-se um reservato´rio, cuja forma e´ a de um cone circular reto, de a´gua a uma taxa de 0, 1m3/s.
O ve´rtice do cone esta´ a 15m do topo e o raio do topo e´ de 10m. Com que velocidade o n´ıvel h
da a´gua esta´ subindo no instante em que h = 5m?
24. Dois trens se deslocam sobre trilhos paralelos, separados por um quarto de quiloˆmetro; a velocidade
do primeiro e´ de 40km/h e a do segundo e´ de 60km/h no mesmo sentido que o primeiro. O
passageiro A do trem mais lento observa o passageiro B do trem mais ra´pido. Com que velocidade
muda a distaˆncia entre ambos quando
(a) esta˜o exatamente um em frente ao outro?
(b) A esta´ a 1/8 de quiloˆmetro a` frente de B?
(c) B esta´ a 1/8 de quiloˆmetroa` frente de A?
25. Dois carros partem de um mesmo ponto, um em direc¸a˜o leste, com velocidade constante de 60
quiloˆmetros por hora, e o outro em direc¸a˜o norte, com velocidade constante de 80 quiloˆmetros por
hora. Deduza uma expressa˜o para a taxa de variac¸a˜o da distaˆncia entre os carros em relac¸a˜o ao
tempo.
26. Expresse
dy
dx
em termos de x e de y, onde y = y(x) e´ uma func¸a˜o deriva´vel, dada implicitamente
pela equac¸a˜o
(a) y3 + sen xy = 1. (b) ey + xy = x.
(c) yx + x = y2. (d) x cosy+ y cos x = 2.
27. Seja y = f(x) definida e deriva´vel num intervalo contendo 1 e suponha que f seja dada implicitamente
pela equac¸a˜o y3 + x2y = 130. Determine as equac¸o˜es das retas tangente e normal ao gra´fico de f,
no ponto (1, 5).
28. Determine uma reta que seja paralela a reta de equac¸a˜o x + y = 1 e que seja tangente a` curva de
equac¸a˜o x2 + xy+ y2 = 3.
29. Determine uma reta que seja tangente a` elipse de equac¸a˜o x2 + 2y2 = 9 e que intercepta o eixo y
no ponto de ordenada
9
4
.
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