Calculo_I_2012_T02_Lista_06

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Ca´lculo I - Lista de Exerc´ıcios no¯ 6 - 1o¯ semestre/2012
1. Calcule os limites:
(a) lim
x→0
tg x
x
(b) lim
x→0
x
sen x
(c) lim
x→0
sen 3x
x
(d) lim
x→pi
sen x
x− pi
(e) lim
x→0
x2
sen x
(f) lim
x→0
3x2
tg x sen x
(g) lim
x→0
tg 3x
sen 4x
(h) lim
x→0
1− cos x
x
(i) lim
x→pi
2
1− sen x
2x− pi
(j) lim
x→0 x sen
1
x
(k) lim
x→c
tg (x− c)
x2 − c2
, c 6= 0 (l) lim
x→c
sen (x2 − c2)
x− c
(m) lim
x→0
sen (x2 + 1
x
) − sen 1
x
x
(n) lim
x→0
x+ sen x
x2 − sen x
(o) lim
x→0
x− tg x
x+ tg x
(p) lim
x→1
sen pix
x− 1
(q) lim
x→0
x− sen x
x2
(r) lim
x→c
sen x− sen c
x− c
(s) lim
x→c
sec x− sec c
x− c
(t) lim
x→0+
sen x
x3 − x2
(u) lim
u→0+
√
u
tgu
(v) lim
x→0+
sen x√
x
(w) lim
t→0+
t√
tg t
(x) lim
t→0
t cos t
tg t
(y) lim
t→0+
tg t2
sen t3
(z) lim
u→0
u2 − 3senu2
tg 2u
2. A a func¸a˜o f : R → R definida por f(x) = { 2x, se x ≤ 3
7, se x > 3
e´ cont´ınua em p = 3?
Justifique.
3. Determine L para que a func¸a˜o dada seja cont´ınua no ponto dado. Justifique.
(a) f(x) =

x2 − 4
x− 2
, se x 6= 2
L, se x = 2
em p = 2 (b) f(x) =

x2 − x
x
, se x 6= 0
L, se x = 0
em
p = 0
4. Determine o conjunto dos pontos em que a func¸a˜o dada e´ cont´ınua.
(a) f(x) =
{
1, se x ∈ Q
−1, se x 6∈ Q (b) f(x) =
{
2x, se x ≤ 3
7, se x > 3
(c) f(x) = dxe
(d) f(x) =
{
x, se x ∈ Q
−x, se x 6∈ Q (e) f(x) = x− bxc
5. Deˆ exemplo de uma func¸a˜o definida em R que seja cont´ınua em todos os pontos, exceto
em −1, 0 e 1.
6. Deˆ exemplo de uma func¸a˜o definida em R que seja cont´ınua em todos os pontos, exceto
no conjunto dos nu´meros inteiros.
7. Deˆ exemplo de uma func¸a˜o definida em R que seja cont´ınua apenas nos pontos −1, 0 e 1.
UFMS / CCET Disciplina: Ca´lculo I - Turmas: 1 e 2 Professor: Celso Cardoso
8. Deˆ o valor (caso exista) que a func¸a˜o deveria ter no ponto dado para ser cont´ınua neste
ponto. Justifique.
(a) f(x) =
√
x−
√
3
x− 3
em p = 3 (b) f(x) =
| x− 5 |
x− 5
em p = 5
(c) f(x) =
1
x2
em p = 0 (d) f(x) =

x, se x < 1
1
x
, se x > 1
em p = 1
9. Suponha que | f(x) − f(1) |≤ (x− 1)2, para todo x. Prove que f e´ cont´ınua em p = 1.
10. Suponha que para todo x, | g(x) |≤ x4 . Calcule lim
x→0
g(x)
x
.
11. Mostre que a func¸a˜o definida por f(x) = x5+ x+ 1 tem pelo menos uma raiz no intervalo
[−1, 0].
12. Mostre que a equac¸a˜o x3 − 4x2 + x+ 3 = 0 tem pelo menos uma raiz entre 1 e 2.
13. Mostre que a equac¸a˜o x3 − 4x+ 2 = 0 admite treˆs ra´ızes reais distintas.
14. Seja α a menor raiz positiva da equac¸a˜o x3 − 4x+ 2 = 0.
(a) Determine intervalos de amplitudes
1
2
,
1
4
e
1
8
que contenham α.
(b) Implemente um algoritmo que determine, para cada natural n ≥ 1, um intervalo de
amplitude
1
2n
que contenha α.
(c) Use o item (b) para encontrar um intervalo de amplitude
1
1024
que contenha α.
15. Mostre que a equac¸a˜o x3 −
1
1+ x4
= 0 admite pelo menos uma raiz real.
16. Prove que cada um dos conjuntos abaixo admite um ma´ximo e um mı´nimo.
(a) A =
{
x
1+ x2
| −2 ≤ x ≤ 2
}
(b) B =
{
x2 + x
1+ x2
| −1 ≤ x ≤ 1
}
17. Seja f : R→ R dada por x2 + x
1+ x2
.
(a) Prove que f(1) e´ um valor ma´ximo de f.
(b) Prove que existe c ∈ (−1, 0) tal que f(c) e´ valor mı´nimo de f.
UFMS / CCET Disciplina: Ca´lculo I - Turmas: 1 e 2 Professor: Celso Cardoso