Fundamentos de Matemática: Conceitos de Conjuntos

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FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA - GST1073
Semana Aula: 1
Conjuntos: Conceitos Primitivos, Representação, Relação de Pertinência, Tipos de 
Conjuntos.
Tema
Conjuntos: Conceitos Primitivos, Representação, Relação de Pertinência, Tipos de 
Conjuntos.
Palavras-chave
Objetivos
Ao final desta aula, o aluno deverá ser capaz de: 
Descrever e representar conjuntos.
Estabelecer a relação de pertinência ou não entre um elemento e um conjunto.
Estrutura de Conteúdo
Antes de começarmos com a disciplina propriamente, é importante que haja uma leitura 
atenta do Plano de Aula da disciplina, seus objetivos, o conteúdo que será apresentado e a 
bibliografia recomendada. 
Tópicos referentes ao conteúdo específico: 
UNIDADE I - CONJUNTOS
1.1. Conceitos Primitivos: Conjunto e Elemento.
1.2. Representação de um conjunto.
1.2.1. Representação tabular ou por enumeração.
1.2.2. Representação através de diagramas de Venn.
1.2.3. Representação através de uma propriedade.
1.3. Relação de Pertinência.
1.4. Tipos de conjuntos.
1.4.1. Conjunto Unitário.
1.4.2. Conjunto Vazio.
1.4.3. Conjuntos Finitos.
1.4.4. Conjuntos Infinitos.
1.4.5. Conjuntos Iguais.
1.4.6. Conjuntos Diferentes.
1.4.7. Conjunto Universo.
1.4.8. Conjuntos Disjuntos.
 
Introdução / Motivação. 
Todos os ramos da matemática utilizam a noção de conjuntos de diversas maneiras 
diferentes. Sendo assim, a noção de conjunto ganha um lugar de destaque no ensino da 
matemática. As três noções básicas da teoria dos conjuntos são: conjunto, elemento e 
pertinência, as quais denominamos noções intuitivas. Reconhecer se um elemento 
pertence ou não a um dado conjunto se torna imprescindível. Nesta aula trataremos de 
conceitos básicos da Teoria de Conjuntos. 
 
1. Conceitos Primitivos (não-definidos) - Conjunto e Elemento
A ideia de conjunto é a mesma de coleção.
Exemplos:
(a) Uma coleção de revistas é um conjunto; cada revista é um elemento desse conjunto.
(b) Um time de futebol é um conjunto; cada jogador do time é um elemento desse 
conjunto.
(c) Os alunos de sua sala de aula formam um conjunto; cada aluno é um elemento desse 
conjunto.
2. Representação de um Conjunto
Podemos representar os conjuntos de diversas maneiras. Veremos as representações 
tabular, Diagrama de Venn e utilizando uma propriedade comum. 
2.1. Representação tabular
Podemos representar um conjunto sob forma de tabela, escrevendo seus elementos entre 
chaves {} e separados por vírgula.
É usual representarmos os conjuntos por letras maiúsculas A, B, C, D, ... .
Exemplos:
A = {a, e, i, o, u} 
B = {1, 2, 3, 4}
2.2. Representação através de diagramas de Venn
Os elementos de um conjunto são representados por pontos interiores a uma região plana, 
limitada por uma linha fechada simples, isto é, uma linha que não se entrelaça.
Exemplo:
2.3 . Representação através de uma propriedade
Se uma propriedade p é comum a todos os elementos de um conjunto A, e somente esses 
elementos têm a propriedade p, então o conjunto A pode ser descrito por:
A = {x | x tem a propriedade p}.
Lê-se: "A é o conjunto formado por todos os elementos x tal que x tem a propriedade p".
Exemplos:
(a) A = {x | x é país da Europa} 
o conjunto A é formado por todos os países da Europa.
(b) B = {x | x é mamífero} 
o conjunto B é formado por todos os mamíferos.
3. Relação de Pertinência
Nos exemplos:
A = {a, e, i, o, u} 
B = {1, 2, 3, 4}
note que u é elemento do conjunto A e não é elemento do conjunto B. 
Tais fatos serão respectivamente indicados por:
u Î A (lê-se "u pertence a A") e u Ï B (lê-se "u não pertence a B")
De modo geral, para relacionar elemento e conjunto, devemos utilizar os símbolos:
E (pertence) e Ï (não pertence)
4. Tipos de Conjunto
4.1. Conjunto unitário
Conjunto unitário é aquele formado por um único elemento.
Exemplos:
(a) C = {5} 
(b) B = { x | x é estrela do sistema solar}
4.2. Conjunto vazio
Conjunto vazio é o conjunto que não possui elemento algum. Representa-se o vazio por 
Ø ou { }.
Exemplos:
(a) D = {x | x é número e x . 0 = 5} = Ø
(b) E = {x | x é computador sem memória} = { }
4.3.Conjunto finito
Conjunto finito é aquele que conseguimos chegar ao "fim" da contagem de seus 
elementos.
Exemplos:
(a) B = {1, 2, 3, 4}
(b) D = {x | x é brasileiro}
(c) H = {x | x é jogador da seleção brasileira de futebol}
4.4. Conjunto infinito
Conjunto infinito é aquele que, se contarmos seus elementos um a um, jamais 
chegaremos ao "fim" da contagem.
Exemplos:
(a) N = {0, 1, 2, 3, 4, ...}
(b) A = { x E N | x é par} = {0, 2, 4, 6, ...}
5. Conjuntos Iguais
Dois ou mais conjuntos são iguais quando possuem os mesmos elementos. Assim, se A é 
o conjunto das letras da palavra "arte": A = {a, r, t, e} e B é o conjunto das letras da 
palavra "reta": B = {r, e, t, a}, temos A = B, pois os conjuntos possuem os mesmos 
elementos, não importando a ordem em que os elementos foram escritos. Se A não é 
igual a B, escrevemos A ? B (lê-se "A é diferente de B").
6. Conjunto Universo (U)
Conjunto universo de um estudo é um conjunto ao qual pertencem todos os elementos 
desse estudo, ou seja, é o conjunto que possui todos os elementos com os quais se deseja 
trabalhar.
Exemplo: Quais são os números menores que 5? 
A resposta irá depender do conjunto universo considerado.
· Se o conjunto universo for o conjunto dos números naturais, teremos como resposta o 
conjunto solução S = {0, 1, 2, 3, 4}.
· Se o conjunto universo for o conjunto dos números naturais pares, teremos como 
conjunto solução S = {0, 2, 4}
Estratégias de Aprendizagem
Indicação de Leitura Específica
Aplicação: articulação teoria e prática
Sugestão de Leitura:
http://www.somatematica.com.br/emedio/conjuntos.php
http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/medio/conjuntos/conjunto.htm
Sugestão de jogo:
http://estudejogando.com.br/?disciplina=matematica&materia=conjuntos
Sugestão de exercícios:
1. Um certo número de alunos de uma escola de ensino médio foi consultado sobre a 
preferência em relação às revistas A ou B. O resultado obtido foi o seguinte: 180 alunos 
lêem a revista A, 160 lêem a revista B, 60 lêem A e B e 40 não lêem nenhuma das duas.
(a) Quantos alunos foram consultados?
(b) Quantos alunos lêem apenas a revista A?
(c) Quantos alunos não lêem a revista A?
(d) Quantos alunos lêem a revista A ou a revista B?
2. Foram consultadas 500 pessoas sobre as emissoras de TV a que habitualmente 
assistem. Obteve-se o seguinte resultado: 300 pessoas assistem ao canal Z, 270 assistem 
ao canal W e 80 assistem a outros canais distintos de Z e W.
(a) Quantas pessoas assistem aos dois canais?
(b) Quantas pessoas assistem somente ao canal W?
(c) Quantas pessoas não assistem ao canal Z?
3. Uma escola ofereceu cursos paralelos de informática (I), xadrez (X) e fotografia (F) 
aos alunos da 1a série do ensino médio. As inscrições nos cursos foram feitas segundo a 
tabela abaixo. Baseando-se nas informações desta tabela, responda às perguntas que se 
seguem.
(a) Quantos alunos cursavam a 1a série do ensino médio?
b) Quantos alunos optaram somente por um curso?
c) Quantos alunos não se inscreveram no curso de xadrez?
d) Quantos alunos se inscreveram somente no curso de informática?
e) Quantos alunos fizeram inscrição para o curso de informática ou fotografia?
f) Quantos alunos fizeram inscrição para o curso de informática e xadrez?
g) Quantos alunos não se inscreveram no curso de xadrez e nem no de fotografia?
 
Considerações Adicionais
Esta aula encontra-se em anexo.