aulas teoricas 2 e 3

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AULAS TEÓRICAS 02 e 03 
 
CAPÍTULO 3. HIDRODINÂMICA 
 
A Hidrodinâmica é a ciência que estuda a água em movimento. Neste capítulo iremos abordar 
aspectos importantes da Hidrodinâmica para a Hidráulica Agrícola, tais como, classificação dos 
escoamentos, regimes de escoamento, equação de continuidade e o teorema de Bernoulli. 
3.1. Classificação dos escoamentos 
O escoamento pode ser classificado em permanente e não permanente (variado). 
a) Permanente: É aquele cujas características (velocidade, pressão, massa específica), em 
cada seção do conduto, não variam ao longo do tempo. 
 Permanente e uniforme: Quando a velocidade não varia ao longo do conduto. 
 Permanente e não uniforme: Quando a velocidade varia ao longo do conduto. 
b) Variado ou não permanente: É aquele cujas características (velocidade, pressão, massa 
específica), em cada seção do conduto, variam ao longo do tempo. 
 Não permanente e uniforme: Quando a velocidade não varia ao longo do conduto. 
 Não permanente e não uniforme: Quando a velocidade varia ao longo do conduto. 
 
3.2. Equação da continuidade 
Admitindo-se o princípio da conservação da massa, no fluxo em um conduto, tem-se que: 
 
 
M1 e M2 = quantidade de massa que entra na 
seção 1 e 2, respectivamente; 
A1 e A2 = áreas das seções 1 e 2, 
respectivamente; 
V1 e V2 = velocidades do fluido nas seções 1 e 
2, respectivamente. 
 
Na condição de escoamento permanente (a quantidade escoada é constante), a quantidade de 
massa (M1) que entra na seção 1 do conduto, por unidade de tempo, é igual à quantidade de massa 
(M2) que sai na seção 2, isto é: 
M1 = M2 ou ρ1A1V1 = ρ2A2V2 
Em que: 
 - Ai = área da seção transversal “i” do conduto 
- Vi = velocidade média na seção transversal “i” do conduto 
- ρi = massa específica do líquido na seção transversal “i” do conduto 
Considerando o líquido incompressível, ρ1 = ρ2, a equação anterior reduz a: 
A1V1 = A2V2 (Equação da continuidade ou de conservação de massa) 
Genericamente: A1V1 = A2V2 = ...... = AnVn 
 
3.3. Teorema de Bernoulli aplicada aos fluidos ideais e reais 
O escoamento dos fluidos se processa de um ponto de maior energia para um ponto de menor 
energia (Figura 3.1). 
 
Figura 3.1. Escoamento do ponto de maior energia para o de menor energia. 
No conduto com fluido em escoamento, identificam-se três formas de energia (Figura 3.2): 
 de posição (potencial) = mgz, metro; 
 de pressão (piezométrica) = pressão/γ = h, metro; 
 cinética (velocidade) = mv2/2, metro. 
As quais podem ser expressas por unidade de peso (carga) como: 
Posição (Eg) 
Z
mg
mgZ
Peso
Eg

 
Cinética (Ec) 
g
v
mg
mv
Peso
Ec
22
1 22

 
Pressão (Ep) 




p
Vo
pVo
Peso
Ep
 
Em que “g” é a energia de posição ou gravitacional 
Então, a energia de um líquido escoante num ponto (Figura 3.2) é dada pela seguinte 
equação: 
z
g
vp
E 


2
2 
 
Figura 3.2. Energia de um líquido escoante. 
 
O Teorema de Bernoulli refere-se ao princípio da conservação da energia. Se o líquido é ideal, 
sem atrito, a carga ou energia total permanece constante em todas as seções (Figura 3.3) é a equação 
de Bernoulli é dada pela equação: 
2
2
22
1
2
11
21
22
z
g
vp
z
g
vp
EE 




 
 
Figura 3.3. Representação gráfica da equação de Bernoulli aplicada aos fuidos ideais. 
Porém, se o líquido é real, para que se desloque da seção 1 para a seção 2 (Figura 3.4), irá 
consumir energia para vencer as resistências ao escoamento entre as seções 1 e 2. Portanto, a carga 
total em 2 será menor do que em 1, e essa diferença é a energia dissipada sob forma de calor. Como 
a energia calorífica não tem qualquer utilidade no escoamento do líquido, diz-se que essa parcela é a 
perda de carga ou de energia, simbolizada comumente por hf. 
 
Figura 3.4. Representação gráfica da equação de Bernoulli aplicada aos fuidos ideais. 
hfEEhfEE  2121
 
hfz
g
vp
z
g
vp




2
2
22
1
2
11
22
 
Que é a equação de Bernoulli aplicada a duas seções quaisquer de um fluido real em 
movimento. 
Exemplo 3.1. Qual a perda de carga para vencer as resistências ao escoamento em um trecho do 
conduto de 100 mm instalado conforme figura abaixo. A pressão na seção 1 é de 0,2 MPa e na 2, igual 
a 0,15 MPa. A velocidade média do escoamento é de 1,5 m s-1. 
 
Solução: 
Aplicando o teorema de Bernoulli aos pontos 1 e 2 do conduto, temos: 
hfz
g
vp
z
g
vp




2
2
22
1
2
11
22
 
em que: 
- p1 = 0,2 MPa = 200.000 Pa = 200.000 N m-2 
- p2 = 0,15 MPa = 150.000 Pa = 150.000 N m-2 
-  ≈ 10.000 N m-3 
 Como o diâmetro da canalização (D) é constante, então v1 = v2, temos: 
hf 17
000.10
000.150
18
000.10
000.200
 
20 + 18 = 15 + 17 + hf 
hf = 6 m.c.a 
 
3.4. Regimes de escoamento 
Os hidráulicos do século XVIII observaram que dependendo das condições de escoamento, a 
turbulência era maior ou menor e, consequentemente, a perda de carga também era. Osborne 
Reynolds fez uma experiência para tentar caracterizar o regime de escoamento. A experiência 
consistiu em escoar o fluido com diferentes velocidades para que se pudesse distinguir a velocidade 
de mudança de comportamento do fluido e caracterizar esse regime. Para visualizar as mudanças ele 
inclui um liquido de contraste. Essa experiência pode ser esquematizada como mostra a Figura 5. 
 
Figura 3.5. Corte representativo do esquema experimental de Reynolds, mostrando o líquido contraste em 
regime laminar (a) e em turbulento (b). 
 Inicialmente, usando pequenas velocidades, ele observou que o líquido escoava 
ordenadamente, como lamínulas, de tal forma que uma deslizava em relação às outras, e a esse 
estado de movimento ele denominou laminar. Logo que a velocidade foi aumentada gradativamente, 
ele observou que o líquido passou a escoar de forma desordenada, com as partículas do fluido se 
deslocando sem uma direção definida. A esse estado de movimento ele chamou de turbulento ou 
desordenado. 
 Depois, ele repetiu a sua experiência, fazendo o procedimento inverso, ou seja, começando de 
uma velocidade de escoamento maior (regime turbulento), e reduzindo-a, gradativamente. Ele 
observou que o fluido passou do regime turbulento para o laminar, conforme esperado, porém a 
magnitude da velocidade em que ocorreu essa passagem foi menor do que aquela em que o regime 
passou de laminar para turbulento. Ficou, portanto, uma faixa de velocidade onde não se pôde definir 
com exatidão qual o regime de escoamento. A essa faixa chamou de zona de transição. 
Com suas experiências, Reynolds distinguiu, inicialmente, duas velocidades: 
 Velocidade crítica superior: É aquela na qual ocorre a passagem do regime laminar para o 
turbulento. 
 Velocidade crítica inferior: É aquela na qual ocorre a passagem do regime turbulento para o 
laminar. 
Posteriormente, repetiu-se a experiência de Reynolds fazendo-a para várias combinações de 
diâmetros e fluidos, e concluindo que não só a velocidade é importante para caracterizar o regime de 
escoamento, mas também o diâmetro da canalização e o fluido escoante. Chegou-se a uma expressão 
que caracteriza adequadamente o regime de escoamento, sob qualquer situação: 
υ
Dv
Re
 
Em que: 
- Re = número de Reynolds (adimensional) 
- v - velocidade média do fluido (m/s); 
- D - diâmetro da tubulação (m); 
- ν - viscosidade cinemática do fluido (m2/s) (Tabela 3.1). 
Tabela 3.1. Viscosidade absoluta e cinemática da água, em função da temperatura. 
Temperatura (T) 
oCViscosidade absoluta (μ) 
kg s m-2 
Viscosidade cinemática (ν) 
m2 s-1 
0 1,829 x 10-4 1,794 x 10-6 
4 1,598 x 10-4 1,568 x 10-6 
5 1,548 x 10-4 1,519 x 10-6 
10 1,335 x 10-4 1,316 x 10-6 
15 1,167 x 10-4 1,146 x 10-6 
20 1,029 x 10-4 1,011 x 10-6 
30 0,815 x 10-4 0,803 x 10-6 
40 0,666 x 10-4 0,659 x 10-6 
50 0,560 x 10-4 0,556 x 10-6 
60 0,479 x 10-4 0,478 x 10-6 
70 0,415 x 10-4 0,416 x 10-6 
80 0,364 x 10-4 0,367 x 10-6 
90 0,323 x 10-4 0,328 x 10-6 
100 0,290 x 10-4 0,296 x 10-6 
 
 Os regimes de escoamento são caracterizados pelos limites: 
- se Re  2.000  regime laminar 
- se Re  4.000  regime turbulento 
- se 2.000  Re  4.000 zona de transição 
Na zona de transição não se pode determinar com precisão a perda de carga nas 
canalizações. No regime laminar a perda de carga independe da rugosidade das paredes (atrito 
externo), dependendo somente do atrito interno (viscosidade). No regime turbulento a perda de carga 
depende dos dois tipos de atritos. 
Exemplo 3.2: Determinar o número de Reynolds para os dados do exemplo 3.1, considerando a 
temperatura do ambiente de 20 ºC. Caracterizar também o regime de escoamento. 
v = 1,5 m s-1 
D = 0,1 m 
νágua (20 ºC) = 1,011 x 10-6 m2 s-1 (Tabela 3.1) 
126
1
e
sm1,011x10
0,1m1,5ms
υ
Dv
R

 

 
Re = 148.368 
- Conclui-se que o regime de escoamento é turbulento, porque Re é maior que 4.000. 
 De modo geral, por causa da pequena viscosidade da água, o regime dos escoamentos, na 
prática, é turbulento. 
 A perda de carga está diretamente relacionada com a turbulência que ocorre no conduto. Com 
essa ponderação, é possível imaginar que, em uma tubulação retilínea, a perda de carga seja menor 
se comparada com uma tubulação semelhante, mas com uma série de peças especiais, tais como 
curvas, cotovelos, etc. As peças especiais provocam perdas localizadas pela maior turbulência na 
região das peças, pois alteram o paralelismo das linhas de corrente. 
Para fins didáticos, vamos separar as perdas localizadas da perda de carga ao longo de uma 
canalização retilínea, ou perda de carga continua. 
3.5. Cálculo dos condutos forçados 
3.5.1. Perda de carga contínua 
Estudando o comportamento dos fluidos em escoamento, Darcy (Hidráulico Suíço) e outros, 
concluíram que a perda de carga contínua era: 
 Diretamente proporcional ao comprimento do conduto; 
 Proporcional a uma potência da velocidade; 
 Inversamente proporcional a uma potência do diâmetro; 
 Função da natureza das paredes, no caso do regime turbulento; 
 Independente da pressão sob a qual o líquido escoa; 
 Independente da posição da tubulação e do sentido de escoamento. 
a) Equação de Hazen -Williams 
 Originou-se de um trabalho experimental com grande número de tratamentos (vários 
diâmetros, vazões e materiais) e repetições. Ela deve ser utilizada para regime turbulento e para 
canalizações com diâmetros iguais ou superiores a 50 mm. Possui as seguintes variações: 
85,1
87,4
641,10 






C
Q
D
L
hf
 
87,485,1
85,1641,10
DC
Q
J 
 
54,063,2279,0 JCDQ 
 
54,063,0355,0 JCDv 
 
Em que: 
hf = perda de carga que ocorre ao longo de toda a canalização (m); 
J = perda de carga que ocorre em um metro de canalização retilínea (m m-1); 
Q = a vazão escoada (m3 s-1); 
v = velocidade média do escoamento (m s-1); 
D = diâmetro interno da canalização (m); 
C = coeficiente que depende da natureza das paredes (Tabela 3.2) 
Tabela 3.2. Valores do coeficiente C da equação de Hazen-Williams. 
 
b) Equação de Flamant 
As equações a seguir são utilizadas para ferro fundido e aço galvanizado. 
75,4
75,1
001404,0
D
Q
J 
 
25,1
75,1
00092,0
D
v
J 
 
Tem sido utilizada para tubos de plásticos e cobre. Para esses tipos de materiais a equação é: 
75,4
75,1
000826,0
D
Q
J 
 
c) Equação de Darcy-Weisbach ou Equação Universal 
Essa fórmula é de uso geral, tanto serve para escoamento em regime turbulento quanto 
laminar, e é também utilizada para todos os diâmetros de canalizações. 
gD
fv
J
2
2

 
52
28
gD
fQ
J


 
em que f é um coeficiente que depende do material (rugosidade), do diâmetro do conduto e do regime 
de escoamento, sendo obtido por meio de tabelas ou pelo diagrama de Moody. 
 A rugosidade relativa é a relação entre a rugosidade do material e seu diâmetro. A tabela 3.4 
fornece a rugosidade dos materiais mais comumente utilizados. 
Tabela 3.3. Valores de f da equação de Darcy-Weisbach. 
 
 
Figura 3.6. Diagrama de Moody. 
Nestas equações a perda de carga é unitária, ou seja, é a perda de carga que ocorre em um 
metro de canalização retilínea. A perda de carga ao longo de toda a extensão da canalização é dada 
por: 
LJhf 
 
em que L é o comprimento total da canalização retilínea, m. 
 Todas as equações têm muito em comum, podendo simplificá-las de um modo geral por: 
n
m
D
Q
J 
 
em que: 
- 
85,1
641,10
C

 
- m = 1,85 
- n = 4,87 
quando se deseja utilizar a equação de Hazen-Williams, 
 
Tabela 3.4. Valores de rugosidade média (e) dos materiais empregados em condutos forçados. 
Tipo de material e (mm) 
Ferro fundido novo 0,26 - 1 
Ferro fundido enferrujado 1 - 1,5 
Ferro fundido incrustado 1,5 - 3 
Ferro fundido asfaltado 0,12 - 0,26 
Aço laminado novo 0,0015 
Aço comercial 0,046 
Aço rebitado 0,92 - 9,2 
Aço asfaltado 0,04 
Aço galvanizado 0,15 
Aço soldado liso 0,1 
Aço muito corroído 2 
Aço rebitado com cabeças cortadas 0,3 
Cobre ou vidro 0,0015 
Concreto centrifugado 0,07 
Cimento alisado 0,3 - 0,8 
Cimento bruto 1 - 3 
Madeira aplainada 0,2 - 0,9 
Madeira não aplainada 1 - 2,5 
Alvenaria de pedra bruta 8 - 15 
Tijolo 5 
Alvenaria de pedra regular 1 
 
ou 
- β = 0,000826 
- m = 1,75 
- n = 4,75 
quando se deseja utilizar a equação de Flamant, para condutos de plástico, 
ou 
- 
g
f



2
8
 
- m = 2 
- n = 5 
quando se deseja utilizar a equação de Darcy- Weisbach ou Universal. 
3.5.2. Perda de carga localizada 
São chamadas também perdas de carga acidental e ocorrem em partes específicas das 
tubulações (acidentes), tais como: válvulas, curvas, uniões, reduções, ampliações, medidores, etc. De 
modo diferente aos trechos retilíneos da canalização, as singularidades elevam a turbulência do fluido 
e causam maior choque das moléculas, intensificando a perda de carga. 
Podem ser consideradas desprezíveis quando o comprimento da tubulação é 
significativamente maior que o diâmetro (L > 4000 D), porém são importantes em sistemas de 
bombeamento e canalizações curtas com muitas peças (instalações prediais). 
No projeto, as perdas localizadas devem ser somadas à contínua. Considerar ou não as 
perdas localizadas é uma decisão que o projetista irá tomar, em face das condições locais e da 
experiência do mesmo. 
Equações 
a) Fórmula de Borda-Belanger: 
 A expressão que calcula as perdas localizadas partiu do teorema de Borda-Belanger. É assim 
apresentada: 
g
v
Kh
2
2

 
em que: 
- Δh = é a perda de carga causada por uma peça especial (m); 
- K é um coeficiente que depende de cada peça e diâmetro, obtido experimentalmente (Tabela 3.5). 
O Valor de K depende o regime de escoamento. Para escoamento plenamente turbulento (R  
50.000), o valor de K para as peças especiais é praticamente constante, e são os valores encontrados 
nas tabelas e ábacos. 
b) Método dos comprimentos virtuais 
A perda de carga que ocorre em uma peça especial pode ser equivalente à perda que ocorreao longo de uma canalização retilínea de comprimento. Pergunta-se: que comprimento de uma 
canalização provocaria a mesma perda Para saber basta igualar a equação de perda de carga 
localizada, com a de perda de carga contínua. Portanto: 
g
v
Kh
2
2

 perda de carga contínua 
fL
gD
vf
hf
2
2

 perda de carga localizada 
Como hf deve-se igualar a Δh, temos: 
g
v
KL
gD
vf
f
22
22

 
simplificando, 
D
f
K
L f 
 
Na Tabela 3.6 são apresentados alguns valores de comprimento retilineo, equivalentes a cada 
peça especial, denominado de comprimento ficticio (Lf). 
Este método, consiste em adicionar ao trecho retilíneo real da canalização um trecho retilíneo 
fictício, gerando um comprimento virtual maior que o real. Esse comprimento virtual é o que deve ser 
usado na equação de perda de carga contínua total. 
Tabela 3.5. Valores do coeficiente K para o cálculo das perdas de carga localizadas em função do tipo de peça. 
 
Tabela 3.6. Comprimento fictício , em metros, das principais peças especiais, para os diâmetros comerciais mais 
usados. 
 
 
c) Método dos diâmetros equivalentes 
Este método é uma particularidade do método anterior. De acordo com a equação anterior, o 
comprimento fictício depende do diâmetro e da relação K / f. Essa relação depende do número de 
Reynolds e da rugosidade de cada material. Porém, em regimes plenamente turbulentos, K e f passam 
a ficar constantes com o número de Reynolds e a relação fica dependente apenas da rugosidade do 
material. Em termos práticos, e como as perdas localizadas são pequenas em relação à contínua, 
pode se considerar que K e f são constantes. Por conseguinte, o comprimento fictício poderá ser 
expresso em um número de diâmetros: 
D
f
K
L f 
 
n
f
K

 
DnL f 
 
em que n representa o comprimento fictício de cada peça, expressa em número de diâmetros (Tabela 
3.7). 
Tabela 3.7. Diâmetros equivalentes das principais peças especiais. 
 
 
3.6. Problemas práticos 
Nos problemas de condutos forçados, são quatro os elementos hidráulicos: 
- Q - vazão 
- v - velocidade de escoamento 
- J - perda de carga unitária 
- D - diâmetro da canalização 
Na solução dos problemas têm-se disponíveis duas equações: 
nn2211 vA...vAvAQ 
 (Eq. da continuidade) 
n
m
D
Q
J 
 (Eq. genérica da perda de carga) 
Isto significa que, para cada sistema ser determinado, é necessário conhecer 2 dos 4 
elementos hidráulicos. Daí, por combinações, surgem 6 diferentes tipos de problemas: 
Tipo Elementos conhecidos Elementos incógnitos 
1 D e J Q e V 
2 D e V Q e J 
3 D e Q V e J 
4 J e V Q e D 
5 V e Q D e J 
6 J e Q D e V 
 
A existência de peças especiais, bem como o seu número, além do material constituinte da 
tubulação, deverão ser de conhecimento prévio do projetista. Nos problemas práticos a vazão (Q) é 
quase sempre um elemento conhecido. Normalmente o diâmetro (D) é um elemento incógnito e seu 
valor deve ser minimizado, pois reflete diretamente nos custos da canalização. Por outro lado, se o 
escoamento não é por gravidade, um menor diâmetro provocará uma maior perda de carga que 
implicará em um maior consumo de energia. Valores práticos de velocidade existem e podem orientar 
o projetista na definição do melhor diâmetro. 
A literatura cita limites e valores de velocidade média recomendada para as mais diferentes 
situações (Tabela 3.8). 
Tabela 3.8. Valores de velocidade média recomendados em projetos de condução de água. 
Características da condução Faixa de valores recomendados 
Água com material em suspensão v  0,60 m s-1 
Instalações de recalque 0,55 v  2,40 m s-1 
Faixa mais usual 1,00 v  2,00 m s-1 
 
 
Exemplo 3: Dimensionar um conduto forçado em ferro fundido novo, que deverá escoar a vazão de 30 
L s-1, com perda de carga máxima de 0,002 m m-1. 
Solução: 
- Ferro fundido novo 
- Q = 30 L s-1 = 0,03 m3 s-1 
- J = 0,002 m m-1 
- Qual o valor de D? 
a) Utilizando a equação de Hazen-Williams 
87,485,1
85,1641,10
DC
Q
J 
 
87,4
1
85,1
85,1641,10









JC
Q
D
 
241mm0,241m
0,002130
0,0310,641
D
4,87
1
1,85
1,85












 
Esse valor de diâmetro não é disponível no mercado. Ele está compreendido entre os 
diâmetros comerciais de 200 e 250 mm. Em principio o valor a ser adquirido seria o de 250 mm. A 
aquisição do diâmetro de 200 mm implicaria numa vazão menor que 30 L s-1 ou numa perda de carga 
maior que 0,002 m m-1. Ambas as condições devem ser atendidas. Em item posterior poderá ser visto 
que a associação de dois diâmetros comerciais satisfaz as duas condições, tornando menor o custo 
com o conduto. 
Observação: considerando que a água escoará a uma temperatura de 20 oC, o número de 
Reynolds será: 
 
v
D
vAQ 


4
.
2 
 
1
22
61,0
25,0
03,044 





 ms
D
Q
v
 
150991
10011,1
25,061,0
6






x
Dv
Re
 
Como o diâmetro calculado é superior a 50 mm e o regime de escoamento é plenamente 
turbulento, então o uso da fórmula de Hazen-Williams é correto. 
b) Utilizando a equação de Flamant 
75,4
75,1
001404,0
D
Q
J 
 
75,4
1
75,1
001404,0









J
Q
D
 
mmmD 255255,0
002,0
03,0
001404,0
75,4
1
75,1










 
c) Utilizando a equação de Darcy-Weisbach 
52
28
gD
fQ
J


 
5
1
2
28










gJ
fQ
D
 
Para usarmos o diagrama de Moody, precisamos da rugosidade relativa e do número de 
Reynolds. 
Pela tabela 3.4, a rugosidade do ferro fundido “e” varia de 0,26 a 1 mm. Por segurança, 
usaremos o valor de e = 1mm. 
No cálculo da rugosidade relativa e do número de Reynolds precisamos conhecer “D”, o qual 
consiste na incógnita do nosso problema. 
Desta forma resolveremos o problema por tentativa e erro, assumindo, inicialmente, D = 150 
mm: 
0067,0
150
1

D
e
 
1
22
70,1
)15,0(
)03,0(44 



 ms
D
Q
v
 
252225
10011,1
)15,0)(70,1(
Re
6






vD
 
Com os valores do número de Reynolds e da rugosidade relativa utiliza-se o diagrama de 
Moody, Figura 3.6 e determina-se o valor de f: 
f = 0,032 
e aplica-se o resultado na equação de Darcy: 
mmmD 260260,0
)002,0)(81,9(
)03,0)(032,0(8
2
2



 
Como este valor é diferente do valor assumido inicialmente (D =150 mm), devemos refazer os 
cálculos utilizando-se o diâmetro comercial mais próximo, isto é: D = 250 mm. 
Desta forma para D = 250 mm: 
004,0
250
1

D
e
 
1
22
61,0
)25,0(
)03,0(44 



 ms
D
Q
v
 
150840
10011,1
)25,0)(61,0(
Re
6






vD
 
Pelo diagrama de Moody, Figura 3.6, 
f = 0,029 
Aplicando-se novamente a equação de Darcy-Weisbach 
mmmD 255255,0
)002,0)(81,9(
)03,0)(029,0(8
2
2



 
Neste caso, o valor calculado na segunda tentativa (255 mm) já está bem próximo do valor 
comercial (250 mm). Portanto, o diâmetro deverá ser de 250 mm. 
Observa-se que as três equações, de Hazen-Williams, de Flamant e de Darcy-Weisbach, 
fornecem valores próximos. A escolha da equação a ser empregada vai ser do projetista, desde que 
ele observe a restrição de cada uma.Quanto ao diâmetro comercial convém adotar o mesmo procedimento usado com o resultado 
da equação de Hazen-Williams. 
 
Exemplo 4a. De um reservatório de nível constante parte uma canalização de 200 mm de diâmetro, 
de ferro fundido, com extensão de 1600 m. A cota do nível da água no reservatório é de 650 m e a 
outra extremidade do conduto, que descarrega na atmosfera, é de 595 m. Determinar a vazão 
escoada. 
 
Aplicando a equação de Bernoulli aos pontos situados na superfície da água no reservatório 
(seção 1) e na extremidade do conduto (seção 2), teremos: 
122
2
2
2
1
1
2
1
22
hfz
p
g
v
z
p
g
v





 
v1 = 0 
p1 = p2 = patm = 0 
z1 = 650 m 
z2 = 595 m 
Desconsiderando a carga cinética na seção 2: 
mzzhf 555956502112 
 
A perda de carga unitária máxima que poderá ocorrer no conduto será: 
112 0344,0
1600
55  mm
L
hf
J
 
Utilizando-se a equação de Hazen-Williams obtém-se a vazão escoada, isto é: 
54,063,2279,0 JDCQ 
 
54,063,2 0344,02,0130279,0 xxxQ 
 
Q = 0,085 m3 s-1 = 85 L s-1 
Cálculo da velocidade e da carga cinética: 
1
222
70,2
2,0
085,044 



 sm
x
x
D
Q
v
 
m
xg
v
37,0
81,92
70,2
2
22
2 
 
a qual é, aproximadamente, 0,67% da perda de carga total disponível. Para condutos curtos, ter-se-ia 
que refazer todos os cálculos, pois a carga cinética passa a representar muito em relação à carga 
total. Mesmo a carga cinética sendo pequena, vamos recalcular a vazão. Agora, o componente 
cinético na seção 2 não será desprezado e a equação de Bernoulli torna-se: 
m
g
v
zzhf 63,5437,0595650
2
2
2
2112 
 
112 0341,0
1600
63,54  mm
L
hf
J
 
Utilizando a equação de Hazen-Williams: 
54,063,2 0341,02,0130279,0 xxxQ 
 
Q = 0,0849 m3 s-1 = 84,9 L s-1 
valor praticamente igual ao anterior. Em vista disso, pode-se concluir que: 
Em escoamento por gravidade, desde que a carga cinética seja pequena em relação à carga 
total, a perda de carga é igual à diferença de nível. 
 
Exemplo 4b. Resolver o problema anterior considerando a necessidade de se ter uma pressão de 30 
mca na extremidade inferior da adutora, necessária para fazer funcionar uma linha de aspersão, 
conforme mostra a figura abaixo. 
 
Aplicando a equação de Bernoulli aos pontos situados na superfície da água no reservatório (seção 1) 
e na extremidade do conduto (seção 2), teremos: 
122
2
2
2
1
1
2
1
22
hfz
p
g
v
z
p
g
v





 
A carga de pressão em “2” deverá ser igual a: 
mca
p
302 

 
então: 
acm
p
zzhf ..253059565022112 


 
112 0156,0
1600
25  mm
L
hf
J
 
11354,063,2 7,550557,00156,02,0130279,0   sLsmxxxQ
 
Exemplo 5. Um conduto de aço zincado, com 100 mm de diâmetro, conduz uma vazão de 8 L s -1. 
Determinar a perda de carga total, se o comprimento do mesmo é 630 m. 
Utilizando a equação de Hazen-Williams, temos: 
L
DC
Q
hf 



87,485,1
85,1641,10
 
mcahf 03,7630
1,0140
008,0641,10
87,485,1
85,1




 
Exemplo 6. Calcular a perda de carga total em um trecho de uma canalização de alumínio, que 
conduz 20 L s-1, numa extensão de 1200 m. O diâmetro da canalização é 150 mm e ao longo do trecho 
têm-se as seguintes peças especiais, com seus respectivos números: 
Peça especial Número de peças 
Curva de 90º 2 
Cotovelo de 90º 3 
Curva de 45º 2 
Curva de 30º 2 
Válvula de retenção 2 
Registros de gaveta 2 
Medidor venturi 1 
 
Cálculo da perda de carga contínua 
Utilizando a equação de Hazen-Williams, tem-se: 
D = 0,15 m 
C = 145 
Q = 0,02 m3 s-1 
87,485,1
85,1641,10
DC
Q
J



 
1
87,485,1
85,1
0079,0
15,0145
02,0641,10 


 mmJ
 
Cálculo da perda de carga localizada 
Têm-se três métodos: 
a) Equação de Borda-Belanger 
 
g
v
Kh
2
2

 
1
2
13,1
15,0
02,04 


 msv
 
m
g
v
065,0
81,92
13,1
2
22



 
Pela Tabela 3.5, obtêm-se os valores de K para cada peça, conforme mostrado abaixo. No 
caso da curva de 30º, usar o K da de 45º. Fazer o somatório de todos os K e multiplicar pela carga 
cinética. 
Peça especial Número de peças K n K 
Curva de 90º 2 0,4 0,8 
Cotovelo de 90º 3 0,9 2,7 
Curva de 45º 2 0,2 0,4 
Curva de 30º 2 0,2 0,4 
Válvula de retenção 2 2,5 5 
Registros de gaveta 2 0,2 0,4 
Medidor venturi 1 2,5 2,5 
 
ΣK 12,2 
 
g
v
Kh
2
2

 
mcah 79,0065,02,12 
 
hf = J.L = 0,0079.1200 = 9,48 mca 
hfT = 9,48 + 0,79 = 10,27 mca 
b) Método dos comprimentos virtuais 
Pela Tabela 3.6, obtêm-se os valores de comprimento fictício (Lf) de cada peça especial 
(conforme mostrado abaixo), que somados dão o comprimento fictício total, o qual deve ser adicionado 
ao comprimento real da canalização para obter o comprimento virtual do conduto (Lv). O valor de Lf 
para o venturi foi considerado igual ao da válvula de retenção (são similares pela Tabela 3.5). 
Peça especial Número de peças Lf n Lf 
Curva de 90º 2 2,5 5 
Cotovelo de 90º 3 4,3 12,9 
Curva de 45º 2 1,1 2,2 
Curva de 30º 2 1,1 2,2 
Válvula de retenção 2 13 26 
Registros de gaveta 2 1,1 2,2 
Medidor venturi 1 13 13 
 
ΣLf 63,5 
 
Lv = L + Lf 
Lv = 1.200 + 63,5 = 1263,5 m 
hf = J . Lv 
hf = 0,0079 . 1263,5 = 9,98 mca 
c) Método dos diâmetros equivalentes 
Pela Tabela 3.7, obtêm-se o comprimento fictício de cada peça especial expresso em um 
número (nd), conforme mostrado abaixo, que multiplicado pelo diâmetro da canalização, permite obter 
o comprimento fictício corresponde às peças especiais. 
Peça especial Número de peças nd n nd 
Curva de 90º 2 30 60 
Cotovelo de 90º 3 45 135 
Curva de 45º 2 15 30 
Curva de 30º 2 15 30 
Válvula de retenção 2 100 200 
Registros de gaveta 2 8 16 
Medidor venturi 1 100 100 
 
Σnd 571 
 
Lf = 571 . D 
Lf = 571 . 0,15 = 85,65 m 
Lv = 1.200 +85,65 = 1285,65 m 
hf = 0,0079 . 1285,65 = 10,15 mca 
Comparando os resultados, vê-se que a perda de carga total calculada pelos três métodos não 
varia significativamente. Por isso, a escolha do método vai depender do projetista. 
 
4. CONDUTOS EQUIVALENTES 
Um conduto é equivalente a outro ou a outros quando escoa a mesma vazão sob a mesma 
perda de carga total. 
4.1. Condutos em série ou mistos 
 São condutos constituídos por trechos de diferentes diâmetros. 
 
Características hidráulicas: 
Q = Q1 = Q2 = Q3 
hft = hf1 + hf2 + hf3 
Conduto equivalente ao conduto em série: deverá conduzir a mesma Q sob a mesma perda de 
carga hft 
 
Como o conduto equivalente deverá ter a mesma perda de carga que o conduto em série, 
então: 
hfe = hft = hf1 + hf2 + hf3 
Utilizando a fórmula genérica de perda de carga, tem-se: 
3
3
3
32
2
2
21
1
1
1 L
D
Q
L
D
Q
L
D
Q
L
D
Q
n
m
n
m
n
m
en
e
m
e
e 
 
Como as vazões devem ser iguais, Qe = Q1 = Q2 = Q3 = Q, a equação anterior reduz a: 
3
3
3
2
2
2
1
1
1 L
D
L
D
L
D
L
D nnn
en
e
e 





 
Para uma mesma rugosidade do material βe = β1 = β2 = β3 e a equação anterior simplifica-se 
para: 
nnnn
e
e
D
L
D
L
D
L
D
L
3
3
2
2
1
1 
 
Aplicação a um conduto com dois diâmetros: 
nnn
e
e
D
L
D
L
D
L
2
2
1
1 
 
Le = L1 +L2 
Outra forma de calcular os comprimentos dos trechos L1 e L2 : 
Le= L1 +L2 e hfe = hf1 + hf2 
Je Le = J1 L1 + J2 L2 
Da primeira equação: L1 = Le – L2 
Je Le = J1(Le – L2) + J2 L2 
Resolvendo a equação anterior para L2 obtém-se: 
e
e L
JJ
JJ
L
12
1
2



 
4.2. Condutos em paralelo ou múltiplos 
 São condutos em que a pressão no inicio de todos os condutos é a mesma e a pressão no 
final de todos os condutos também é a mesma. 
 
Características hidráulicas: 
Qt = Q1 + Q2 + Q3 
hf = hf1 = hf2 = hf3 
Conduto equivalente ao conduto em paralelo: deverá conduzir a mesma Q t sob a mesma 
perda de carga hft . 
 
 Como o conduto equivalente deverá conduzir a mesma vazão que o conduto em paralelo, então: 
Qe = Q1 + Q2 + Q3 
Da equação genérica de perda de carga tem-se que: 
 mn
L
Dhf
Q
1










 
Usando esta equação na anterior, tem-se: 
m
n
m
n
m
n
m
ee
n
ee
L
Dhf
L
Dhf
L
Dhf
L
Dhf
1
33
33
1
22
22
1
11
11
1







































 
Como as perdas de cargas devem ser iguais, isto é hfe = hf1 = hf2 = hf3 , a equação anterior 
reduz a: 
m
n
m
n
m
n
m
ee
n
e
L
D
L
D
L
D
L
D
1
33
3
1
22
2
1
11
1
1







































 
Para uma mesma rugosidade do material: βe = β1 = β2 = β3 
m
mn
m
mn
m
mn
m
e
mn
e
L
D
L
D
L
D
L
D
1
3
3
1
2
2
1
1
1
1

 
Se os comprimentos dos trechos forem iguais: 
mnmnmnmn
e DDDD 321 
 
Exemplo 7. A cota do nível da água no reservatório R1 é de 685 m e do reservatório R2 de 642 m. 
Dimensionar um conduto que os interligue, sabendo-se que a distância que os separa é de 2.200 m. 
Utilizar tubos de cimento amianto. A vazão que deverá ser transportada por gravidade de R1 para R2 é 
de 50 L/s. Desconsiderar as perdas localizadas. 
 
Vazão: 50 L s-1 = 0,050 m3 s-1 
Comprimento: 2200 m 
Tubos de cimento amianto: C = 135 
Qual o diâmetro do conduto? 
Para resolver o problema precisamos determinar qual a perda de carga que poderá ocorrer no 
conduto. 
Solução: 
Perda de carga contínua: hf = 685 - 642 = 43 m 
Perda de carga unitária: J = hf/L = 43/2200 = 0,0195 m m-1 
Cálculo do diâmetro utilizando Hazen-Williams: 
mmm
x
JC
Q
181181,0
0195,0135
05,0641,10641,10 87,4
1
85,1
85,187,4
1
85,1
85,1

















 
Este diâmetro não é comercial. A solução técnica e econômica é montar o conduto misto com 
trechos de diâmetros comerciais iguais a 200 mm e 150 mm. 
Considerando D1 = 200 mm e D2 = 150 mm 
Perda de carga unitária no tubo de D1 = 200 mm: 
1
87,485,1
85,1
1 0121,0
2,0135
05,0641,10  mmJ
 
Perda de carga unitária no tubo de D2 = 150 mm: 
1
87,485,1
85,1
2 0491,0
15,0135
05,0641,10  mmJ
 
Comprimento da tubulação de D2 = 150 mm 
mL
JJ
JJ
L 4402200
0121,00491,0
0121,00195,0
12
1
2 






 
Número de tubos D2 = 150 mm: 440/6 = 73,33 = 73 
Portanto: L2 = 73 x 6 = 438 m 
Comprimento da tubulação de D1 = 200 mm 
mLLL 1762438220021 
 
Número de tubos D1 = 200 mm: 1762/6 = 293,66 
Serão 293 tubos mais um pedaço de 4 m 
Exemplo 8. Um proprietário encomendou um projeto de adução, de ferro fundido, para irrigar 40 ha, 
com aspersão, cuja dotação de água é 0,7 L s-1 ha-1. A jornada de trabalho prevista era de 18 horas 
por dia. O diâmetro escolhido, que satisfazia as necessidades, foi de 150 mm, com uma extensão de 
630 m. Por questões trabalhistas ele teve que reduzir a jornada para 12 horas por dia. O que ele 
deverá fazer para continuar irrigando os mesmos 40 há, com a mesma dotação? (Fazer o ajuste mais 
econômico possível). 
Condição original do projeto: 
- Área irrigada: 40 ha 
- Dotação de água: 0,7 L s-1 ha-1 
- Jornada de trabalho prevista: 18 horas por dia 
- Diâmetro da tubulação: 150 mm (ferro fundido) 
- Extensão: 630 m 
 Nova condição do projeto: 
- Jornada de trabalho prevista: 12 horas por dia 
O que deverá ser feito para que o produtor continue irrigando os 40 ha com a mesma 
dotação de água? 
Colocar uma tubulação em paralelo áquela já existente para completar a vazão para a nova 
condição. 
Cálculo da perda de carga no conduto original: 
1
1 2,3740
18
24
7,0  sLha
has
L
Q
 
1
87,485,1
85,1
1 0305,0
15,0130
0372,0641,10  mmJ
 
mLJhf 22,196300305,0111 
 
Na nova condição, a vazão necessária para irrigar 40 ha será: 
15640
12
24
7,0  sLha
has
L
QT
 
A tubulação a ser instalada em paralelo à original deverá conduzir a vazão de: 
1
12 8,182,3756
 sLQQQ T
 
A nova tubulação deverá ter a mesma perda de carga que a original, isto é: 
mhfhf 22,1912 
 
mLJ 22,1922 
 
1
2 0305,0
630
22,19  mmJ
 
A nova tubulação deverá conduzir a vazão de 18,8 L s-1 com perda de carga unitária de 0,0305 
mm-1. Portanto o diâmetro deverá ser de: 
mmmD 116116,0
0305,0130
0188,0641,10 87,4
1
85,1
85,1
2 









 
Este diâmetro não é comercial. Montar o conduto misto com trechos de diâmetros comerciais 
iguais a 125 mm e 100 mm. 
Considerando D1 = 125 mm e D2 = 100 mm 
Perda de carga unitária no tubo de D1 = 125 mm: 
1
87,485,1
85,1
21 0210,0
125,0130
0188,0641,10  mmJ
 
Perda de carga unitária no tubo de D2 = 100 mm: 
1
87,485,1
85,1
22 mm0621,0
100,0130
0188,0641,10
J

 
 Comprimento da tubulação de D2 = 100 mm 
mL
JJ
JJ
L 62,145630
021,00621,0
021,00305,0
2
2122
212
22 






 
Número de tubos D2 = 100 mm: 145,62/6 = 24,27 
Portanto: L2 = 24 x 6 = 144 m 
Comprimento da tubulação de D1 = 125 mm 
mLLL 48614463022221 
 
Número de tubos D1 = 125 mm: 486/6 = 81 tubos 
 
Exercícios propostos 
1) Você estava em uma indústria e observou um tubo horizontal de diâmetro constante de 125 mm por 
onde escoava água. Numa seção 1, observou que a pressão do manômetro era 30 psi, na outra seção 
2, distante 120 m, a pressão de 280 kPa. Qual o sentido de escoamento? Qual a perda de carga no 
trecho? 
R = -7,46 m 
2) Observou ainda a existência de um Venturi instalado que apresentava a deflexão de 10,5 cm e na 
plaqueta do mesmo viu que o coeficiente k do equipamento era 0,96 e o diâmetro interno da seção 
estrangulada era 90 mm. Qual a vazão escoada? Qual a velocidade média do escoamento? Qual o 
regime de escoamento se a temperatura da água era de 40 ºC? 
R: Q = 36,57 L/s; v = 2,98 m/s e Re = 565.250 
3) Dimensionar um conduto em PVC de 3.200 m, para escoar uma vazão de 28 L/s, com uma perda 
de carga unitária máxima de 0,008 m/m. A temperatura da água é de 20 ºC. 
4) Você estava numa fazenda e observou que um conduto de ferro fundido novo de 200 mm de 
diâmetro interno conduzia água de um reservatório na cota 200 m e após percorrer a extensão de 
3200 m a descarregava na atmosfera na cota 150 m. Determine a vazão escoada? 
R: 55,76 L/s 
5) Em uma tubulação em aço galvanizado de 100 mm de diâmetro escoa água com velocidade de 1,35 
m/s, por uma extensão de 870 m. Nesta instalação tem-se as seguintes peças especiais e respectivas 
quantidades (ud): cotovelo de 45º (8);curva de 90º de raio curto (12); medidor Venturi (1); entrada 
normal (1); registro de gaveta ab (4); válvula de retenção (3); saída da canalização (1). Calcular a 
vazão e as perdas de carga contínua, localizada e total. 
Obs: Utilizar a equação de Hazen-Williams para calcular a perda de carga contínua e os métodos de 
Borda-Belanger, comprimentos virtuais e diâmetros equivalentes para calcular a perda de carga 
localizada. 
R: Q = 10,6 L/s 
hf = 20,1 m (utilizando Hazen-Williams); Δh = 1,89 m (Borda-Belanger) e hfT = 21,99 m 
hf = 20,1 m (utilizando Hazen-Williams); Δh = 1,67 m (Borda-Belanger) e hfT = 21,77 m 
hf = 20,1 m (utilizando Hazen-Williams); Δh = 2,35 m (Borda-Belanger) e hfT = 22,45 m 
6) Um produtor precisa fazer a adução de 40 L/s de água da cota 681 m para a cota 647 m, numa 
extensão de 1200 m, utilizando PVC, porém ele quer aproveitar 200 tubos de 100 mm que se encontra 
estocado na propriedade. Dimensionar o encanamento visando o aproveitando dos tubos. 
Obs: Os tubos de PVC tem comprimentos de 6 m 
R: D = 130 mm (diâmetro não comercial) 
Trecho 1: D1 = 150 mm e L1 = 378 m 
Trecho 2: D2 = 100 mm e L2 = 822 m 
7) Um produtor precisando de conduzir 15 L/s de água da cota 46 m à cota 19 m, numa extensão de 
1500 m, resolveu, por conta própria, comprar tubos de 125 mm de PVC. Após instalá-los viu que a 
vazão era superior a necessária. Que recomendação você daria para este produtor para obter a vazão 
necessária? 
8) Alguns meses depois este produtor te procurou, dizendo que agora precisaria de 30 L/s, e não mais 
somente 15 L/s. Como resolveria o problema dele. 
R: Q = 11,19 L/s (conduto em paralelo) 
D = 103 mm (não comercial) 
Trecho 1: D1 = 125 mm e L1 = 306 m 
Trecho 2: D2 = 100 mm e L2 = 1194 m