Algebra linear - L. Fernando - Gbt lista7

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RESPOSTA E SUGESTÕES DA LISTA 7 
 
1- i)Como dimP2 = 3,basta mostrar que os três vetores são LL em P2.(verifique!) 
 ii) [ Q]B =










−1
2
3
⇔ Q = 3p+ 2q -1r. Assim, Q(x) = 3(x2 – 3) + 2 (x-4) -1(-1)=3x2+2x-16 
 
2- (1, 2, 2)]B = 










−1
2
3
 ⇔ (1, 2, 3) = 3( 31 , 0, 0 ) + 2(0, 0, 3) -1(0, 0, 3). 
B = { ( 31 , 0, 0 ), (0, 0, 3),1(0, 0, 3)} é base de R
3
. (verifique!) 
3-
B












−
−
31
22
= 












−
−
1
3
2
1
⇔ 





−
−
31
22
 = 1 





00
02
- 2 





00
10
 +3








− 0
3
1
00
 -1 





− 30
00
 
B =














−







−












30
00
,0
3
1
00
,
00
10
,
00
02 é uma base de M(2x2).(verifique!) 
 
4- O vetor w = (0, -2, 3) e não (0, 2, 0). i)Verifique, realmente, que estes vetores são LI. 
ii)Por escalonamento, obtemos (1, -1, -3) = 
7
5 (2, 0, 0) -
7
3
 (1, -1, 2) -
7
5 (0, 2, 3) ⇔ [(1, -1, 
3)]= 










−
−
5
3
5
. 
5- i)Como dimM(2x2) = 4, basta mostrar, por escalonamento, que estes quatro vetores 
são LI. 
 
ii) -1 





03
21
+2 





20
13
 + 3 





12
30
-1 





31
32
= . 





42
93
 
 
6- i) -1+1+0 = 0 e 0-1+1 = 0 ⇒ u, v ∈ U. Por escalonamento, tem-se (x, y, z) 
=(-y-z,y,z) = (y+x)(-1, 1, 0) + z(0, -1, 1). Do fato que estes vetores são LI (prove!), logo 
formam bases de U. 
 
ii) 1-2 + 1 = 0 ⇒ (1, -2, 1) ∈ U (1, -2, 1) = -1(-1, 1, 0) +1 (0, -1, 1) ⇒ [(1, -2, 3]B 
= 




−
1
1
. 
7- i) Como dimR2 =2, e u e v não são colineares, logo formam uma base de R2. 
 ii) [x]B = 




−
1
1
. 
8- P : matriz de passagem de B para B’, onde B ={ p, q, r}, p(x) = x2 – 1, q(x) = x – 4, 
r(x)= -1. Seja B’ = { u, v, w}. Assim 
u = 1p +0q +0r 
v = 2p +2q +4r 
w =-1p +1p +1r. Assim, u(x) = x2 +1, v(x) = 2x2 +2x -10, w(x) = -x2 + -2 
 
 
9- i) P : matriz de passagem da base canõnica . para base B: 
 
 P = 












−
2
2
2
2
2
2
2
2
, ii) M:matriz de passagem da base B para base .: P-1=












−
2
2
2
2
2
2
2
2
. 
10) 





y
x
= [(x,y)]
.
 = P[(x,y)]B = P 




−
3
1
 , P: . → B , x= )331(
2
1
+
−
, y = )33(
2
1
− . 
11) a) x’ = )433(
2
1
+ , y’ = )343(
2
1
− , b) x’ = )343(
2
1
− , y’ = - )433(
2
1
− ,c) x’ =7 2 , 
y = - 2 , d) x’ = 4, y’= 3. 
 
12) 2u2 + 8v2 = 1 : elipse