FIS26 2013 aula15

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Introduc¸a˜o a` Mecaˆnica Analı´tica
INTRODUC¸A˜O A` MECAˆNICA ANALI´TICA
Mecaˆnica II (FIS-26)
Prof. Dr. Ronaldo Rodrigues Pela´
IEFF-ITA
14 de maio de 2013
R.R.Pela´ Mecaˆnica Analı´tica
Introduc¸a˜o a` Mecaˆnica Analı´tica
Roteiro
1 Introduc¸a˜o a` Mecaˆnica Analı´tica
Introduc¸a˜o
Vı´nculos e Coordenadas Generalizadas
Princı´pio dos Trabalhos Virtuais
R.R.Pela´ Mecaˆnica Analı´tica
Introduc¸a˜o a` Mecaˆnica Analı´tica
Introduc¸a˜o
Vı´nculos e Coordenadas Generalizadas
Princı´pio dos Trabalhos Virtuais
Roteiro
1 Introduc¸a˜o a` Mecaˆnica Analı´tica
Introduc¸a˜o
Vı´nculos e Coordenadas Generalizadas
Princı´pio dos Trabalhos Virtuais
R.R.Pela´ Mecaˆnica Analı´tica
Introduc¸a˜o a` Mecaˆnica Analı´tica
Introduc¸a˜o
Vı´nculos e Coordenadas Generalizadas
Princı´pio dos Trabalhos Virtuais
Motivac¸a˜o
No estudo da Mecaˆnica Cla´ssica conduzido ate´ agora,
ficou clara a importaˆncia das leis de Newton.
Usando a 2a Lei de Newton e dadas as condic¸o˜es iniciais,
somos capazes de obter as equac¸o˜es de movimento de
um sistema e descrever seu movimento.
R.R.Pela´ Mecaˆnica Analı´tica
Introduc¸a˜o a` Mecaˆnica Analı´tica
Introduc¸a˜o
Vı´nculos e Coordenadas Generalizadas
Princı´pio dos Trabalhos Virtuais
Motivac¸a˜o
No entanto, a leis de Newton so´ podem ser usadas se
todas as forc¸as agindo num sistema sa˜o conhecidas.
Em muitas situac¸o˜es, isto complica o problema.
Nesse sentido, dois me´todos foram desenvolvidos para
facilitar a soluc¸a˜o dos problemas: Lagrange e Hamilton.
Estes me´todos na˜o sa˜o resultados de novas teorias na
Mecaˆnica, mas sim sa˜o derivados das leis de Newton.
R.R.Pela´ Mecaˆnica Analı´tica
Introduc¸a˜o a` Mecaˆnica Analı´tica
Introduc¸a˜o
Vı´nculos e Coordenadas Generalizadas
Princı´pio dos Trabalhos Virtuais
Motivac¸a˜o
Realidade virtual
R.R.Pela´ Mecaˆnica Analı´tica
Introduc¸a˜o a` Mecaˆnica Analı´tica
Introduc¸a˜o
Vı´nculos e Coordenadas Generalizadas
Princı´pio dos Trabalhos Virtuais
Motivac¸a˜o
Realidade virtual
R.R.Pela´ Mecaˆnica Analı´tica
Introduc¸a˜o a` Mecaˆnica Analı´tica
Introduc¸a˜o
Vı´nculos e Coordenadas Generalizadas
Princı´pio dos Trabalhos Virtuais
Vantagens da Mecaˆnica Analı´tica
Uso de coordenadas generalizadas
Na˜o ha´ prefereˆncia alguma por coordenadas retangulares
x, y, z, mas sim as que forem mais convenientes.
Podem ser coordenadas generalizadas, um aˆngulo, uma
posic¸a˜o, uma velocidade, um momento angular, ou um
comprimento ao quadrado, etc. – desde que obedec¸am a
algumas exigeˆncias. Ha´ uma grande flexibilidade.
R.R.Pela´ Mecaˆnica Analı´tica
Introduc¸a˜o a` Mecaˆnica Analı´tica
Introduc¸a˜o
Vı´nculos e Coordenadas Generalizadas
Princı´pio dos Trabalhos Virtuais
Vantagens da Mecaˆnica Analı´tica
Uso de grandezas escalares em vez de vetoriais
Sa˜o me´todos baseados em energia.
Isto evita muitas confuso˜es tı´picas de vetores (como
sentido positivo do movimento).
Mecaˆnica Analı´tica: base das Mecaˆnica Estatı´stica e
Quaˆntica.
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Introduc¸a˜o a` Mecaˆnica Analı´tica
Introduc¸a˜o
Vı´nculos e Coordenadas Generalizadas
Princı´pio dos Trabalhos Virtuais
Vı´nculos
Equac¸a˜o de movimento:
mi
d2~ri
dt2
= ~Fi = ~F
(ext)
i +
∑
j
~Fji
sendo ~Fji a forc¸a da partı´cula j sobre a partı´cula i
(~Fii , ~0).
Esta equac¸a˜o, de certa forma, assume que a partı´cula
pode movimentar em qualquer lugar do espac¸o.
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Introduc¸a˜o a` Mecaˆnica Analı´tica
Introduc¸a˜o
Vı´nculos e Coordenadas Generalizadas
Princı´pio dos Trabalhos Virtuais
Vı´nculos
Isto nem sempre e´ verdade
Francamente, isto nunca e´ verdade: o espac¸o livre e´ uma
idealizac¸a˜o
Por exemplo:
1 o trem de um parque de diverso˜es (felizmente) tem seu
movimento restringido aos trilhos
2 as bolhas de bilhar se movem estritamente na superfı´cie de
uma mesa de sinuca.
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Introduc¸a˜o
Vı´nculos e Coordenadas Generalizadas
Princı´pio dos Trabalhos Virtuais
Vı´nculos
Nos casos em que o movimento e´ restrito por alguma
imposic¸a˜o externa, dizemos que o sistema possui vı´nculos
(que sa˜o dados pela pro´pria imposic¸a˜o externa).
Para expressar a restric¸o˜es impostas pelos vı´nculos,
escrevemos algumas equac¸o˜es matema´ticas que
relacionam as coordenadas entre si.
Os vı´nculos podem ser holonoˆmicos, quando a restric¸a˜o
tem a forma:
f(~r1, ~r2, · · · , t) = 0
ou enta˜o, na˜o-holonoˆmico, caso na˜o seja possı´vel
encontrar uma equac¸a˜o como antes.
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Introduc¸a˜o
Vı´nculos e Coordenadas Generalizadas
Princı´pio dos Trabalhos Virtuais
Vı´nculos
Exemplos de vı´nculos holonoˆmicos.
Partı´cula se movendo no plano xy : z = 0.
Corpo rı´gido: (~ri − ~rj)2 − c2ij = 0.
Exemplos de vı´nculos na˜o-holonoˆmicos:
Quando a restric¸a˜o envolve desigualdades, como z ≥ 0.
Quando a restric¸a˜o depende de derivadas
d~ri
dt
.
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Vı´nculos e Coordenadas Generalizadas
Princı´pio dos Trabalhos Virtuais
Vı´nculos
Os vı´nculos sa˜o um conceito cla´ssico idealizado: nenhum
movimento segue uma restric¸a˜o perfeita na Mecaˆnica
Quaˆntica (devido ao Princı´pio da Incerteza).
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Introduc¸a˜o
Vı´nculos e Coordenadas Generalizadas
Princı´pio dos Trabalhos Virtuais
Vı´nculos
Um vı´nculo holonoˆmico pode envolver uma forc¸a que ate´
assume valores infinitos, se for o caso – na realidade, as
coisas sa˜o mais suaves.
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Introduc¸a˜o
Vı´nculos e Coordenadas Generalizadas
Princı´pio dos Trabalhos Virtuais
Vı´nculos
Um vı´nculo holonoˆmico (que e´ o que iremos considerar no
curso) reduz o nu´mero de varia´veis independentes em 1.
Por exemplo, se z = 0, enta˜o so´ esta˜o livres x e y. De uma
forma geral:
f(~r1, ~r2, · · · , t) = 0 implica x1 = g(y1, z1, ~r2, ~r3, · · · , t)
ou seja, x1 e´ dependente das demais coordenadas, assim
basta encontrar y1(t), z1(t), ~r2(t), · · · que automaticamente
x1(t) fica determinado.
A`s vezes, conforme o vı´nculo, pode ser interesante
realizar uma mudanc¸a de coordenadas, como
x2 + y2 + z2 = R2
seria uma boa escolha mudar para θ e φ (como
coordenadas independentes)
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Vı´nculos e Coordenadas Generalizadas
Princı´pio dos Trabalhos Virtuais
Coordenadas generalizadas
O conjunto de coordenadas independentes capazes de
especificar completamente o problema e´ chamado de
coordenadas generalizadas.
Em princı´pio, na auseˆncia de forc¸as, todos os sistemas de
coordenadas sa˜o iguais (x, y, z e´ o mais simples).
No entanto, as forc¸as quebram essa simetria: alguns
sistemas de coordenadas funcionam melhor que outros.
As coordenadas generalizadas oferecem uma maneira
natural de lidar com sistemas sob a ac¸a˜o de tais forc¸as.
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Introduc¸a˜o
Vı´nculos e Coordenadas Generalizadas
Princı´pio dos Trabalhos Virtuais
Coordenadas generalizadas
Para descrever completamete um sistema de N partı´culas
podem ser necessa´rias 3N coordenadas. No entanto, se
existirem k vı´nculos holonoˆmicos, o nu´mero de
coordenadas (generalizadas) cai para n = 3N − k.
Esse nu´mero n e´ chamado de nu´mero de graus de
liberdade e as coordenadas generalizadas sa˜o
representadas por:
q1, q2, q3, · · · , qn
A seguir, veremos como encontrar a equac¸a˜o de evoluc¸a˜o
temporal de cada coordenadas generalizadas.
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Introduc¸a˜o a` MecaˆnicaAnalı´tica
Introduc¸a˜o
Vı´nculos e Coordenadas Generalizadas
Princı´pio dos Trabalhos Virtuais
Princı´pio dos Trabalhos Virtuais
Existe um me´todo de estudar o equilı´brio de um corpo
rı´gido que dispensa o ca´lculo das reac¸o˜es vinculares,
reduzindo o nu´mero de equac¸o˜es a serem resolvidas.
Este me´todo esta´ apoiado num princı´pio – conhecido
como Princı´pio dos Trabalhos Virtuais – que foi:
Imaginado por Aristo´teles
Aperfeic¸oado por Galileu e Stevin
Enunciado de forma geral em 1717 pelo matema´tico suı´c¸o
Johanm Bernoulli
Colocado, por Lagrange, na posic¸a˜o singular que ainda
hoje ocupa de princı´pio ba´sico para todas as Mecaˆnicas
Avanc¸adas
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Vı´nculos e Coordenadas Generalizadas
Princı´pio dos Trabalhos Virtuais
Princı´pio dos Trabalhos Virtuais
Deslocamento virtual: de um deslocamento elementar
(infinitesimal) possı´vel de se imprimir a um sistema e que
seja compatı´vel com os vı´nculos.
Veja que o deslocamento virtual e´ hipote´tico (isto e´, apenas
pensado, na˜o realizado) e e´ concebido sem que o tempo
passe
E´ um deslocamento imagina´rio a “tempo congelado” que
respeita os vı´nculos
Para distinguir um deslocamento virtual e um
deslocamento real, e´ costume escrever δ~r para o primeiro
e d~r para o segundo.
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Vı´nculos e Coordenadas Generalizadas
Princı´pio dos Trabalhos Virtuais
Princı´pio dos Trabalhos Virtuais
Se um sistema de N partı´culas e´ descrito com n
coordenadas generalizadas qj(j = 1, · · · , n), enta˜o:
~r1 = ~r1(q1, q2, · · · , qn, t)
~r2 = ~r2(q1, q2, · · · , qn, t)
...
~rN = ~rN (q1, q2, · · · , qn, t)
Imaginando, enta˜o, que cada partı´cula recebeu sofreu um
ligeiro deslocamento virtual e sua posic¸a˜o passou de ~ri
para ~ri + δ~ri, onde temos:
δ~ri =
n∑
j=1
∂~ri
∂qj
δqj
Note a auseˆncia de ∆t
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Vı´nculos e Coordenadas Generalizadas
Princı´pio dos Trabalhos Virtuais
Princı´pio dos Trabalhos Virtuais
Sendo ~Fi a forc¸a total que age na partı´cula i, enta˜o
trabalho virtual de ~Fi e´:
δWi = ~Fi.δ~ri
O trabalho total realizado sobre o sistema e´:
δW =
N∑
i=1
~Fi.δ~ri
Separando em duas partes: ~Fi = ~F
(a)
i +
~fi, onde ~fi e´ a
soma de todas as forc¸as de vı´nculos agindo na partı´cula i
e ~F (a)i as forc¸as aplicadas agindo em i.
OBS.: quando uma forc¸a na˜o e´ vincular, ela e´ chamada de
forc¸a aplicada.
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Vı´nculos e Coordenadas Generalizadas
Princı´pio dos Trabalhos Virtuais
Princı´pio dos Trabalhos Virtuais
As forc¸as de vı´nculos holonoˆmicos realizam trabalho
virtual nulo (geralmente porque sa˜o normais ao
deslocamento ao deslocamento virtuais realizados):
δW =
N∑
i=1
~F
(a)
i .δ~ri =
N∑
i=1
n∑
j=1
~F
(a)
i .
∂~ri
∂qj
δqj
Princı´pio dos trabalhos virtuais:
“A condic¸a˜o necessa´ria e suficiente para que um
sistema permanec¸a em equilı´brio e´ que seja nula a soma
dos trabalhos virtuais das forc¸as aplicadas ao sistema,
num deslocamento reversı´vel qualquer.”
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Vı´nculos e Coordenadas Generalizadas
Princı´pio dos Trabalhos Virtuais
Princı´pio dos Trabalhos Virtuais
A demonstrac¸a˜o de que e´ condic¸a˜o necessa´ria e´ simples.
Por outro lado, a demonstrac¸a˜o de que e´ condic¸a˜o
suficiente e´ complicada e, por isso, omitiremos.
Veja que a condic¸a˜o de equilı´brio implica
~Fi = ~0 = ~F
(a)
i +
~fi
Assim, δW =
N∑
i=1
~Fi.δ~ri = 0.
A vantagem de usar esse princı´pio para obter o equilı´brio
e´ que as forc¸as de vı´nculo na˜o aparecem nas equac¸o˜es,
somente aperecem forc¸a aplicadas (que, em geral, sa˜o
conhecidas).
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	Introdução à Mecânica Analítica
	Introdução
	Vínculos e Coordenadas Generalizadas
	Princípio dos Trabalhos Virtuais