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1 C�alculo I (2013/02) - Lista IV As Regras do Produto e Quociente Quest~ao 01 Derive: (a) H(u) = (u� p u)(u+ p u); (b) f(z) = (1� e z )(z + e z ); (c) g(t) = t� p t t 1=3 ; (d) f(x) = 1� xe x x+ e x Quest~ao 02 Encontre f 00 onde f(x) = x(x 2 � 1) �1 Quest~ao 03 Encontre equa�c~oes para a reta tangente e para a reta normal �a curva y = 2xe x no ponto (0; 0). Quest~ao 04 Se g(x) = x=e x , determine g (n) (x). Quest~ao 05 Suponha que f(2) = �3, g(2) = 4, f 0 (2) = �2 e g 0 (2) = 7. Encontre h 0 (2) nos seguintes casos: (a) h(x) = 5f(x)� 4g(x); (b) h(x) = f(x)g(x); (c) h(x) = f(x) g(x) ; (d) h(x) = g(x) 1 + f(x) . Quest~ao 06 Se g(x) = xf(x), onde f(3) = 4 e f 0 (3) = �2, encontre uma equa�c~ao da reta tangente ao gr�a�co de g no ponto onde x = 3. Quest~ao 07 Encontre as equa�c~oes de retas tangentes �a curva y = x� 1 x+ 1 que sejam paralelas �a reta x� 2y = 2. Quest~ao 08 Se F (x) = f(x)g(x), onde f e g te^m derivadas de todas as ordens, mostre que F 00 = f 00 g+2f 0 g 0 +fg 00 . Encontre f�ormulas an�alogas para F 000 e F (4) . Conjecture uma f�ormula para F (n) . Quest~ao 09 Encontre os pontos P e Q sobre a par�abola y = 1� x 2 de forma que o tria^ngulo ABC formado pelo eixo x e pelas retas tangentes em P e Q seja equil�atero. 2 Derivadas de Fun�c~oes Trigonom�etricas Quest~ao 01 Derive: (a) y = x 2� tgx ; (b) F (�) = sec � 1 + sec � ; (c) y = x 2 senxtgx. Quest~ao 02 Calcule os limites: (a) lim x!0 sen 3x 5x 3 � 4x ; (b) lim x!0 sen 3xsen 5x x 2 ; (c) lim �!0 sen � � + tg � ; (d) lim x!0 sen (x 2 ) x ; (e) lim x!1 sen (x� 1) x 2 + x� 2 ; (f) lim x!0 1� cos 3 x xsenx cosx ; (g) lim x!1 sen (�x) 1� x 2 ; (h) lim x!� sen (tgx) tgx ; (i) lim x!0 senx+ sen 3x+ sen 5x tg 2x+ tg 4x+ tg 6x ; Quest~ao 03 Calcule: (a) d 35 dx 35 (xsenx); (b) lim x!0 sen (a+ 2x)� 2sen (a+ x) + sen a x 2 ; (c) lim x!� e sen x � 1 x� � ; Quest~ao 04 Usando o princ��pio da indu�c~ao, mostre que d n dx n (sen 4 x+ cos 4 x) = 4 n�1 cos(4x+ n�=2): Quest~ao 05 Encontre a derivada das seguintes fun�c~oes: (a) f(t) = 3 p 1 + tg t; (b) h(t) = (t+ 1) 2=3 (2t 2 � 1) 3 ; (c) y = e u � e �u e u + e �u ; (d)F (t) = e t sen t ; (e) f(t) = tg (e t ) + e tg t ; (f) y = sen (sen (senx)); (g) f(t) = sen 2 (e sen 2 t ); 3 (h) y = q x p x+ p x; (i) y = [x+ (x+ sen 2 x) 3 ] 4 ; Quest~ao 06 Se h(x) = p 4 + 3f(x), onde f(1) = 7 e f 0 (1) = 4, encontre h 0 (1). Quest~ao 07 Suponha que f seja deriv�avel em IR e � seja um n�umero real. Considere F (x) = f(x � ) e G(x) = [f(x)] � . Encontre F 0 (x) e G 0 (x). Quest~ao 08 Se F (x) = f(xf(xf(x))), onde f(1) = 2, f(2) = 3, f 0 (1) = 4, f 0 (2) = 5 e f 0 (3) = 6, encontre F 0 (1). Quest~ao 09 Use a regra da cadeia para mostrar que, se � for medido em graus, ent~ao d d� (sen �) = � 180 cos �: Observe que isto explica o fato de que medimos na unidade radianos, pois as f�ormulas s~ao mais simples. Lembre-se 1 o = �=180 rad. Quest~ao 10 Escrevendo jxj = p x 2 , mostre que d dx jxj = x jxj : Calcule a derivadas das fun�c~oes f(x) = jsen xj e g(x) = sen jxj. Deriva�c~ao Impl��cita Quest~ao 01 Encontre dy=dx nos itens abaixo: (a) x 2 + xy � y 2 = 4; (b) x 4 (x+ y) = y 2 (3x� y); (c) 1 + x = sen (xy 2 ); (d) e y senx = x+ xy; (e) e x=y = x� y; (f) arctg (x 2 y) = x+ xy 2 ; Quest~ao02 Se g(x) + xsen g(x) = x 2 , e g �e deriv�avel em 0, calcule g 0 (0). Quest~ao 03 Encontre y 00 por deriva�c~ao impl��cita, onde p x+ p y = 1. Quest~ao 04 Mostre, fazendo deriva�c~ao impl��cita, que a tangente �a elipse x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 no ponto (x 0 ; y 0 ) �e x 0 x a 2 + y 0 y b 2 = 1 . 4 Quest~ao 05 Mostre, usando deriva�c~ao impl��cita, que qualquer reta tangente em um ponto P a um c��rculo com centro O �e perpendicular ao raio OP . Quest~ao 06 Encontre a derivada da fun�c~ao, simpli�cando quando poss��vel: (a) y = arctg (x� p 1 + x 2 ); (b) y = arccos(arcsen t); (c) y = arccos � b+ a cosx a+ b cosx � ; Quest~ao 07 Suponha que f seja uma fun�c~ao injetiva, deriv�avel e que sua inversa seja deriv�avel. Mostre que (f �1 ) 0 (x) = 1 f 0 (f �1 (x)) ; desde que o denominador seja diferente de zero. Use este resultado para calcular (g �1 ) 0 (1), onde g(x) = x+e x . Quest~ao 08 A �gura abaixo mostra uma la^mpada localizada tre^s unidades �a direita do eixo y e uma sombra originada pela regi~ao el��ptica x 2 + 4y 2 � 5. Se o ponto (�5; 0) estiver na borda da sombra, qual a altura da la^mpada acima do eixo? Derivadas de Fun�c~oes Logar��tmicas Quest~ao 01 Derivar as seguintes fun�c~oes: (a) sen(lnx); (b) f(x) = log 5 (xe x ); (c) f(u) = u 1 + lnu ; (c) h(x) = ln(x+ p x 2 � 1); (d) y = ln j1 + t� t 3 j; (e) y = tg[ln(ax+ b)]; (f) y = log 2 (e �x cos(�x)); Quest~ao 02 Encontre y 0 e y 00 , onde y = ln(secx+ tgx). Quest~ao 03 Determine o dom��nio de f(x) = ln ln lnx e calcule a sua derivada. Quest~ao 04 Use a deriva�c~ao logar��tmica para achar a derivada das seguintes fun�c~oes: (a) y = p xe x 2 (x 2 + 1) 10 ; (b) y = x x ; (c) y = x cos x ; (d) y = (cosx) x ; (e) y = (lnx) cos x ; 5 Quest~ao 05 Encontre y 0 se x y = y x . Quest~ao 06 Derivar as seguintes fun�c~oes: (a) f(x) = arctg � cotg(sec(x 5 + 3x)) cossec( p x)arcsenx � ; (b) f(x) = arcsen � arctg(lnx 4 ) sec x � ; (c) f(x) = arctg(x xx ), onde x > 0. (d) f(x) = � tg 2 � arcsen( p x 2 + 1 � + 3 � arctg ( log 5 (jcossec 2 x+1j) ) .
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