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lista de exercicios 04 - Calculo 1

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1
C�alculo I (2013/02) - Lista IV
As Regras do Produto e Quociente
Quest~ao 01 Derive:
(a) H(u) = (u�
p
u)(u+
p
u); (b) f(z) = (1� e
z
)(z + e
z
);
(c) g(t) =
t�
p
t
t
1=3
; (d) f(x) =
1� xe
x
x+ e
x
Quest~ao 02 Encontre f
00
onde f(x) = x(x
2
� 1)
�1
Quest~ao 03 Encontre equa�c~oes para a reta tangente e para a reta normal �a curva y = 2xe
x
no ponto (0; 0).
Quest~ao 04 Se g(x) = x=e
x
, determine g
(n)
(x).
Quest~ao 05 Suponha que f(2) = �3, g(2) = 4, f
0
(2) = �2 e g
0
(2) = 7. Encontre h
0
(2) nos seguintes casos:
(a) h(x) = 5f(x)� 4g(x); (b) h(x) = f(x)g(x); (c) h(x) =
f(x)
g(x)
; (d) h(x) =
g(x)
1 + f(x)
.
Quest~ao 06 Se g(x) = xf(x), onde f(3) = 4 e f
0
(3) = �2, encontre uma equa�c~ao da reta tangente ao gr�a�co de
g no ponto onde x = 3.
Quest~ao 07 Encontre as equa�c~oes de retas tangentes �a curva
y =
x� 1
x+ 1
que sejam paralelas �a reta x� 2y = 2.
Quest~ao 08 Se F (x) = f(x)g(x), onde f e g te^m derivadas de todas as ordens, mostre que F
00
= f
00
g+2f
0
g
0
+fg
00
.
Encontre f�ormulas an�alogas para F
000
e F
(4)
. Conjecture uma f�ormula para F
(n)
.
Quest~ao 09 Encontre os pontos P e Q sobre a par�abola y = 1� x
2
de forma que o tria^ngulo ABC formado pelo
eixo x e pelas retas tangentes em P e Q seja equil�atero.
2
Derivadas de Fun�c~oes Trigonom�etricas
Quest~ao 01 Derive:
(a) y =
x
2� tgx
; (b) F (�) =
sec �
1 + sec �
; (c) y = x
2
senxtgx.
Quest~ao 02 Calcule os limites:
(a) lim
x!0
sen 3x
5x
3
� 4x
; (b) lim
x!0
sen 3xsen 5x
x
2
; (c) lim
�!0
sen �
� + tg �
;
(d) lim
x!0
sen (x
2
)
x
; (e) lim
x!1
sen (x� 1)
x
2
+ x� 2
; (f) lim
x!0
1� cos
3
x
xsenx cosx
;
(g) lim
x!1
sen (�x)
1� x
2
; (h) lim
x!�
sen (tgx)
tgx
; (i) lim
x!0
senx+ sen 3x+ sen 5x
tg 2x+ tg 4x+ tg 6x
;
Quest~ao 03 Calcule:
(a)
d
35
dx
35
(xsenx);
(b) lim
x!0
sen (a+ 2x)� 2sen (a+ x) + sen a
x
2
;
(c) lim
x!�
e
sen x
� 1
x� �
;
Quest~ao 04 Usando o princ��pio da indu�c~ao, mostre que
d
n
dx
n
(sen
4
x+ cos
4
x) = 4
n�1
cos(4x+ n�=2):
Quest~ao 05 Encontre a derivada das seguintes fun�c~oes:
(a) f(t) =
3
p
1 + tg t;
(b) h(t) = (t+ 1)
2=3
(2t
2
� 1)
3
;
(c) y =
e
u
� e
�u
e
u
+ e
�u
;
(d)F (t) = e
t sen t
;
(e) f(t) = tg (e
t
) + e
tg t
;
(f) y = sen (sen (senx));
(g) f(t) = sen
2
(e
sen
2
t
);
3
(h) y =
q
x
p
x+
p
x;
(i) y = [x+ (x+ sen
2
x)
3
]
4
;
Quest~ao 06 Se h(x) =
p
4 + 3f(x), onde f(1) = 7 e f
0
(1) = 4, encontre h
0
(1).
Quest~ao 07 Suponha que f seja deriv�avel em IR e � seja um n�umero real. Considere F (x) = f(x
�
) e G(x) =
[f(x)]
�
. Encontre F
0
(x) e G
0
(x).
Quest~ao 08 Se F (x) = f(xf(xf(x))), onde f(1) = 2, f(2) = 3, f
0
(1) = 4, f
0
(2) = 5 e f
0
(3) = 6, encontre F
0
(1).
Quest~ao 09 Use a regra da cadeia para mostrar que, se � for medido em graus, ent~ao
d
d�
(sen �) =
�
180
cos �:
Observe que isto explica o fato de que medimos na unidade radianos, pois as f�ormulas s~ao mais simples.
Lembre-se 1
o
= �=180 rad.
Quest~ao 10 Escrevendo jxj =
p
x
2
, mostre que
d
dx
jxj =
x
jxj
:
Calcule a derivadas das fun�c~oes f(x) = jsen xj e g(x) = sen jxj.
Deriva�c~ao Impl��cita
Quest~ao 01 Encontre dy=dx nos itens abaixo:
(a) x
2
+ xy � y
2
= 4; (b) x
4
(x+ y) = y
2
(3x� y); (c) 1 + x = sen (xy
2
);
(d) e
y
senx = x+ xy; (e) e
x=y
= x� y; (f) arctg (x
2
y) = x+ xy
2
;
Quest~ao02 Se g(x) + xsen g(x) = x
2
, e g �e deriv�avel em 0, calcule g
0
(0).
Quest~ao 03 Encontre y
00
por deriva�c~ao impl��cita, onde
p
x+
p
y = 1.
Quest~ao 04 Mostre, fazendo deriva�c~ao impl��cita, que a tangente �a elipse
x
2
a
2
+
y
2
b
2
= 1
no ponto (x
0
; y
0
) �e
x
0
x
a
2
+
y
0
y
b
2
= 1
.
4
Quest~ao 05 Mostre, usando deriva�c~ao impl��cita, que qualquer reta tangente em um ponto P a um c��rculo com
centro O �e perpendicular ao raio OP .
Quest~ao 06 Encontre a derivada da fun�c~ao, simpli�cando quando poss��vel:
(a) y = arctg (x�
p
1 + x
2
); (b) y = arccos(arcsen t); (c) y = arccos
�
b+ a cosx
a+ b cosx
�
;
Quest~ao 07 Suponha que f seja uma fun�c~ao injetiva, deriv�avel e que sua inversa seja deriv�avel. Mostre que
(f
�1
)
0
(x) =
1
f
0
(f
�1
(x))
;
desde que o denominador seja diferente de zero. Use este resultado para calcular (g
�1
)
0
(1), onde g(x) = x+e
x
.
Quest~ao 08 A �gura abaixo mostra uma la^mpada localizada tre^s unidades �a direita do eixo y e uma sombra
originada pela regi~ao el��ptica x
2
+ 4y
2
� 5. Se o ponto (�5; 0) estiver na borda da sombra, qual a altura da
la^mpada acima do eixo?
Derivadas de Fun�c~oes Logar��tmicas
Quest~ao 01 Derivar as seguintes fun�c~oes:
(a) sen(lnx); (b) f(x) = log
5
(xe
x
); (c) f(u) =
u
1 + lnu
; (c) h(x) = ln(x+
p
x
2
� 1);
(d) y = ln j1 + t� t
3
j; (e) y = tg[ln(ax+ b)]; (f) y = log
2
(e
�x
cos(�x));
Quest~ao 02 Encontre y
0
e y
00
, onde y = ln(secx+ tgx).
Quest~ao 03 Determine o dom��nio de f(x) = ln ln lnx e calcule a sua derivada.
Quest~ao 04 Use a deriva�c~ao logar��tmica para achar a derivada das seguintes fun�c~oes:
(a) y =
p
xe
x
2
(x
2
+ 1)
10
; (b) y = x
x
; (c) y = x
cos x
;
(d) y = (cosx)
x
; (e) y = (lnx)
cos x
;
5
Quest~ao 05 Encontre y
0
se x
y
= y
x
.
Quest~ao 06 Derivar as seguintes fun�c~oes:
(a) f(x) = arctg
�
cotg(sec(x
5
+ 3x))
cossec(
p
x)arcsenx
�
;
(b) f(x) = arcsen
�
arctg(lnx
4
)
sec x
�
;
(c) f(x) = arctg(x
xx
), onde x > 0.
(d) f(x) =
�
tg
2
�
arcsen(
p
x
2
+ 1
�
+ 3
�
arctg
(
log
5
(jcossec
2
x+1j)
)
.

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