Buscar

Lista de Exercícios Vetores

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você viu 3, do total de 3 páginas

Prévia do material em texto

1 
 
Faculdades Adamantinenses Integradas 
Lista de Exercícios de Geometria Analítica e Álgebra Linear 
Curso: Engenharia Civil - 1º termo 
Profa.: Simone 
 
 
 
01. Dados os vetores u
r
 = (2, -3), v
r
 = (1,-1) e w
r
 = (-2,1), determinar: 
a) 2u
r
 – v
r
 c) ½ u
r
 – 2 v
r
 - w
r
 
b) v
r
 – u
r
 + 2 w
r
 d) 3u
r
 – ½ v
r
 – ½ w
r
 
 
02. Dados os vetores u
r
 = (3,-1) e v
r
 = (-1,2), determinar o vetor x
r
 tal que: 
a) 4(u
r
 – v
r
) + 1/3 x
r
 = 2u
r
 – x
r
 
b) 3 x
r
 – (2 v
r
 – u
r
) = 2(4 x
r
 – 3u
r
) 
 
03. Dados os pontos A = (-1,3), B = (2,5), C = (3,-1) e 0 = (0,0), calcular 
a) ABOA − b) BCOC − c) CBBA 43 − 
 
04. Dados os vetores u
r
 = (2,-4), v
r
 = (-5,1) e w
r
 = (-12,6), determinar a e b tais que w
r
 = au
r
 + b v
r
. 
 
05. Dados os pontos A = (3,-4) e B = (-1,1) e o vetor v
r
 = (-2,3), calcular: 
a) (B – A) + 2 v
r
 c) B + 2(B – A) 
b) (A – B) – v
r
 d) 3 v
r
 – 2(A - B) 
 
 
06. Se u
r
 = (x, y) é um vetor no plano, definimos seu módulo (comprimento) como sendo o número 
real positivo: |u
r
| = 22 yx + . Dados os vetores ur = (1,-1), vr = (-3,4) e wr = (8,-6), calcular: 
a) |u
r
| c) | w
r
| e)|2u
r
 – w
r
| g) v
r
 / | v
r
| 
b) | v
r
| d) |u
r
 + v
r
| f)| w
r
 – 3u
r
| h) | u
r
 /|u
r
|| 
 
07. Calcular os valores de a para que o vetor u
r
 = (a,-2) tenha módulo igual a 4. 
 
08. Calcular os valores de a para que o vetor u
r
 = (a, ½) seja unitário. 
 
09. Dados os pontos A = (-1, 3), B = (1,0) e C = (2,-1), determinar D tal que BADC =r . 
 
10. Dados os pontos A = (2,-3,1) e B = (4,5,-2), determinar o ponto P tal que PBAP = 
 
11. Determinar o vetor v sabendo que (3, 7, 1) + 2 v
r
 = (6, 10, 4) – v
r
. 
 
12. Encontrar a e b tais que vbuaw += , sendo )1,2,1( −=u , )4,0,2( −=v e )14,4,4( −−=w . 
 
13. Determinar a e b de modo que os vetores u
r
 = (4, 1, -3) e v
r
 = (6, a, b) sejam paralelos. 
 
14. Determinar o valor de n para que o vetor )
5
4
,
5
2
,(nv =r seja unitário. 
 
15. Seja o vetor .5)2()7( kjmimv
rrrr
++++= Calcular m para que 38=vr . 
Melina
Realce
Melina
Realce
Melina
Realce
Melina
Realce
Melina
Realce
Melina
Realce
Melina
Realce
Melina
Realce
Melina
Realce
Melina
Realce
Melina
Realce
2 
 
 
16. Dados os pontos A = (3, m - 1, -4) e B = (8, 2m – 1, m), determinar m de modo que 35=AB . 
 
17. Dados os pontos A = (1,0,-1), B = (4,2,1) e C = (1,2,0), determinar o valor de m para que 
| v
r
|=7, sendo v
r
 = m AC + BC . 
 
18. Calcule o perímetro do triângulo de vértices A = (0,1,2), B = (-1,0,-1) e C = (2,-1,0). 
 
19. Obter um ponto P, no eixo das abscissas, equidistante de A = (2,-3,1) e B = (-2,1,-1). 
 
 
20. Dados os vetores u = (1, a, -2a - 1), v = (a, a-1, 1) e w = (a, -1, 1), determinar a de modo que 
u . v = (u + v) . w. 
 
21. Dados os pontos A = (-1, 0, 2), B = (-4, 1, 1) e C = (0, 1, 3), determinar o vetor x tal que 
2x – AB = x + (BC . AB) AC 
 
22. Os lados de um triângulo retângulo ABC (reto em A) medem 5, 12 e 13. Calcular 
AB . AC + BA . BC + CA . CB. 
 
23. Os pontos A, B e C são vértices de um triângulo equilátero cujo lado mede 10 cm. Calcular o 
produto escalar dos vetores AB e AC. 
 
24. Sabendo que o ângulo entre os vetores u = (2, 1, -1) e v = (1, -1, m+2) é 
3
pi , determinar m. 
 
25. Dados os vetores a = (2, 1, t), b = (t +2, -5, 2) e c = (2t, 8, t), determinar o valor de t para que o 
vetor a + b seja ortogonal ao vetor c – a. 
 
26. Determinar o vetor v, paralelo ao vetor u = (1, -1, 2), tal que v . u = - 18. 
 
27. Qual o valor de t para que os vetores a = (t, 5, – 4) e b = (t + 1, 2, 4) sejam ortogonais. 
 
28. Determinar o vetor v, sabendo que |v| = 5, v é ortogonal ao eixo Oz, v . w = 6 e w =(0, 2, 3). 
 
29. Determinar o vetor v, ortogonal ao eixo Oz, que satisfaz as condições v . v1 = 10 e v . v2 = -5, 
sendo v1 = (2, 3, -1) e v2 = (1, -1, 2). 
 
30. Determinar a projeção do vetor u = (1, 2, -3) na direção do vetor v = (2, 1, -2). 
 
31. Qual o comprimento do vetor projeção de u = (3, 5, 2) sobre o eixo dos x? 
 
32. Calcular o módulo dos vetores u + v e u – v, sabendo que |u| = 4, | v | = 3 e o ângulo entre u e 
v é de 60º . 
 
33. Dados os vetores u = (2, -1, 1), v = (1, -1, 0) e w = (-1, 2, 2), calcular: 
a) w ∧ v b) v ∧ (w – u) c) (u + v) ∧ (u – v) d) (2u) ∧ (3v) 
e) (u ∧ v) . (u ∧ v) f) (u ∧ v) . w e u . (v ∧ w) g) (u + v) . (u ∧ w) 
 
34. Dados os pontos A = (2, -1, 2), B = (1, 2, -1) e C = (3, 2, 1), determinar o vetor CB ∧ (BC – 2CA) 
Melina
Realce
Melina
Realce
Melina
Realce
Melina
Realce
Melina
Realce
Melina
Realce
3 
 
 
35. Determinar um vetor simultaneamente ortogonal a (2a + b) e (b – a), sendo a = (3, -1, -2) e 
b = (1, 0, -3). 
 
36. Determinar um vetor unitário simultaneamente ortogonal aos vetores v1 = (1,1,0) e v2 = (2, -1, 3) 
 
37. Se |u ∧ v| = 33 , |u| = 3 e 60º é o ângulo entre u e v, determinar |v|. 
 
38. Calcular a área do paralelogramo definido pelos vetores u = (3, 1, 2) e v = ( 4, -1, 0). 
 
39. Calcular a área do paralelogramo cujos lados são determinados pelos vetores 2u e –v sendo 
u = (2, -1, 0) e v = (1, -3, 2). 
 
40. Calcular a área do triângulo de vértices A = (1,0,1), B = (4, 2, 1) e C = (1, 2, 0). 
 
41. Sejam os vetores u = (1,1,0), v = (2,0,1), w1 = 3u – 2v, w2 = u + 3v e w3 = (1, 1, -2). Determinar o 
volume do paralelepípedo determinado por w1, w2 e w3. 
 
42. Os vetores a = (2, -1, -3), b = (-1, 1, -4) e c = (m +1, m, -1) determinam um paralelepípedo de 
volume 42. Calcular m. 
 
43. Calcular o valor de m para que o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores 
 v1 = (2, -1, 0), v2 = (6, m, -2) e v3 = (-4, 0, 1) seja igual a 10. 
 
 
 
 Respostas: 
 
 
1. a) (3,-5) b) (-5,4) c) (1, - ½ ) d) (13/2, -9) 2. a) (-15/2, 15/2) b) (23/5, -11/5) 
 
3. a) (-4,1) b) (2,5) c) (-5,-30) 4. a = -1 e b = 2 5. a) (-8,11) b) (6, -8) c) (-9,11) d) (-14,19) 
 
6. a) 2 b) 5 c) 10 d) 13 e) 132 f) 34 g) (-3/5 , 4/5) h) 1 
 
7. 32± 8. 
2
3± 9. D = (4,-4) 10. P = (3, 1, - ½ ) 
 11. v = (1,1,1) 12. a = 2 e b = -3 13. a = 3/2 e b = -9/2 14. 
5
5± 
15. -4 ou -5 16. -3 ou -1 17. 3 ou 
5
13
−
 
18. ( )3112 + 19. P = (1,0,0) 20. a = 2 21. x = (-17, -13, -15) 22. 169 23. 50 
 
24. m = -4 25. 3 ou – 6 26.(-3, 3, -6) 27. -3 ou 2 28. (4, 3, 0) ou (-4, 3, 0) 29. (-1, 4, 0) 
 
30. 10/9 (2, 1, -2) 31. 3 32. 1337 e 
33. a) (2, 2, -1) b) (-1, -1, 0) c) (-2, -2, 2) d) (6, 6, -6) e) 3 f) -1 e -1 g) 1 34.(12, -8, -12) 
 
35. x(3, 7, 1), x ∈ R 36. 





 −





 −−
3
1
,
3
1
,
3
1
3
1
,
3
1
,
3
1
ou 37. 2 38. 117 39. 56 
40. 7/2 41. 44 u.v. 42. 2 ou -8/3 43. 6 ou -4 
 
Melina
Realce

Outros materiais

Outros materiais