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1 Faculdades Adamantinenses Integradas Lista de Exercícios de Geometria Analítica e Álgebra Linear Curso: Engenharia Civil - 1º termo Profa.: Simone 01. Dados os vetores u r = (2, -3), v r = (1,-1) e w r = (-2,1), determinar: a) 2u r – v r c) ½ u r – 2 v r - w r b) v r – u r + 2 w r d) 3u r – ½ v r – ½ w r 02. Dados os vetores u r = (3,-1) e v r = (-1,2), determinar o vetor x r tal que: a) 4(u r – v r ) + 1/3 x r = 2u r – x r b) 3 x r – (2 v r – u r ) = 2(4 x r – 3u r ) 03. Dados os pontos A = (-1,3), B = (2,5), C = (3,-1) e 0 = (0,0), calcular a) ABOA − b) BCOC − c) CBBA 43 − 04. Dados os vetores u r = (2,-4), v r = (-5,1) e w r = (-12,6), determinar a e b tais que w r = au r + b v r . 05. Dados os pontos A = (3,-4) e B = (-1,1) e o vetor v r = (-2,3), calcular: a) (B – A) + 2 v r c) B + 2(B – A) b) (A – B) – v r d) 3 v r – 2(A - B) 06. Se u r = (x, y) é um vetor no plano, definimos seu módulo (comprimento) como sendo o número real positivo: |u r | = 22 yx + . Dados os vetores ur = (1,-1), vr = (-3,4) e wr = (8,-6), calcular: a) |u r | c) | w r | e)|2u r – w r | g) v r / | v r | b) | v r | d) |u r + v r | f)| w r – 3u r | h) | u r /|u r || 07. Calcular os valores de a para que o vetor u r = (a,-2) tenha módulo igual a 4. 08. Calcular os valores de a para que o vetor u r = (a, ½) seja unitário. 09. Dados os pontos A = (-1, 3), B = (1,0) e C = (2,-1), determinar D tal que BADC =r . 10. Dados os pontos A = (2,-3,1) e B = (4,5,-2), determinar o ponto P tal que PBAP = 11. Determinar o vetor v sabendo que (3, 7, 1) + 2 v r = (6, 10, 4) – v r . 12. Encontrar a e b tais que vbuaw += , sendo )1,2,1( −=u , )4,0,2( −=v e )14,4,4( −−=w . 13. Determinar a e b de modo que os vetores u r = (4, 1, -3) e v r = (6, a, b) sejam paralelos. 14. Determinar o valor de n para que o vetor ) 5 4 , 5 2 ,(nv =r seja unitário. 15. Seja o vetor .5)2()7( kjmimv rrrr ++++= Calcular m para que 38=vr . Melina Realce Melina Realce Melina Realce Melina Realce Melina Realce Melina Realce Melina Realce Melina Realce Melina Realce Melina Realce Melina Realce 2 16. Dados os pontos A = (3, m - 1, -4) e B = (8, 2m – 1, m), determinar m de modo que 35=AB . 17. Dados os pontos A = (1,0,-1), B = (4,2,1) e C = (1,2,0), determinar o valor de m para que | v r |=7, sendo v r = m AC + BC . 18. Calcule o perímetro do triângulo de vértices A = (0,1,2), B = (-1,0,-1) e C = (2,-1,0). 19. Obter um ponto P, no eixo das abscissas, equidistante de A = (2,-3,1) e B = (-2,1,-1). 20. Dados os vetores u = (1, a, -2a - 1), v = (a, a-1, 1) e w = (a, -1, 1), determinar a de modo que u . v = (u + v) . w. 21. Dados os pontos A = (-1, 0, 2), B = (-4, 1, 1) e C = (0, 1, 3), determinar o vetor x tal que 2x – AB = x + (BC . AB) AC 22. Os lados de um triângulo retângulo ABC (reto em A) medem 5, 12 e 13. Calcular AB . AC + BA . BC + CA . CB. 23. Os pontos A, B e C são vértices de um triângulo equilátero cujo lado mede 10 cm. Calcular o produto escalar dos vetores AB e AC. 24. Sabendo que o ângulo entre os vetores u = (2, 1, -1) e v = (1, -1, m+2) é 3 pi , determinar m. 25. Dados os vetores a = (2, 1, t), b = (t +2, -5, 2) e c = (2t, 8, t), determinar o valor de t para que o vetor a + b seja ortogonal ao vetor c – a. 26. Determinar o vetor v, paralelo ao vetor u = (1, -1, 2), tal que v . u = - 18. 27. Qual o valor de t para que os vetores a = (t, 5, – 4) e b = (t + 1, 2, 4) sejam ortogonais. 28. Determinar o vetor v, sabendo que |v| = 5, v é ortogonal ao eixo Oz, v . w = 6 e w =(0, 2, 3). 29. Determinar o vetor v, ortogonal ao eixo Oz, que satisfaz as condições v . v1 = 10 e v . v2 = -5, sendo v1 = (2, 3, -1) e v2 = (1, -1, 2). 30. Determinar a projeção do vetor u = (1, 2, -3) na direção do vetor v = (2, 1, -2). 31. Qual o comprimento do vetor projeção de u = (3, 5, 2) sobre o eixo dos x? 32. Calcular o módulo dos vetores u + v e u – v, sabendo que |u| = 4, | v | = 3 e o ângulo entre u e v é de 60º . 33. Dados os vetores u = (2, -1, 1), v = (1, -1, 0) e w = (-1, 2, 2), calcular: a) w ∧ v b) v ∧ (w – u) c) (u + v) ∧ (u – v) d) (2u) ∧ (3v) e) (u ∧ v) . (u ∧ v) f) (u ∧ v) . w e u . (v ∧ w) g) (u + v) . (u ∧ w) 34. Dados os pontos A = (2, -1, 2), B = (1, 2, -1) e C = (3, 2, 1), determinar o vetor CB ∧ (BC – 2CA) Melina Realce Melina Realce Melina Realce Melina Realce Melina Realce Melina Realce 3 35. Determinar um vetor simultaneamente ortogonal a (2a + b) e (b – a), sendo a = (3, -1, -2) e b = (1, 0, -3). 36. Determinar um vetor unitário simultaneamente ortogonal aos vetores v1 = (1,1,0) e v2 = (2, -1, 3) 37. Se |u ∧ v| = 33 , |u| = 3 e 60º é o ângulo entre u e v, determinar |v|. 38. Calcular a área do paralelogramo definido pelos vetores u = (3, 1, 2) e v = ( 4, -1, 0). 39. Calcular a área do paralelogramo cujos lados são determinados pelos vetores 2u e –v sendo u = (2, -1, 0) e v = (1, -3, 2). 40. Calcular a área do triângulo de vértices A = (1,0,1), B = (4, 2, 1) e C = (1, 2, 0). 41. Sejam os vetores u = (1,1,0), v = (2,0,1), w1 = 3u – 2v, w2 = u + 3v e w3 = (1, 1, -2). Determinar o volume do paralelepípedo determinado por w1, w2 e w3. 42. Os vetores a = (2, -1, -3), b = (-1, 1, -4) e c = (m +1, m, -1) determinam um paralelepípedo de volume 42. Calcular m. 43. Calcular o valor de m para que o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores v1 = (2, -1, 0), v2 = (6, m, -2) e v3 = (-4, 0, 1) seja igual a 10. Respostas: 1. a) (3,-5) b) (-5,4) c) (1, - ½ ) d) (13/2, -9) 2. a) (-15/2, 15/2) b) (23/5, -11/5) 3. a) (-4,1) b) (2,5) c) (-5,-30) 4. a = -1 e b = 2 5. a) (-8,11) b) (6, -8) c) (-9,11) d) (-14,19) 6. a) 2 b) 5 c) 10 d) 13 e) 132 f) 34 g) (-3/5 , 4/5) h) 1 7. 32± 8. 2 3± 9. D = (4,-4) 10. P = (3, 1, - ½ ) 11. v = (1,1,1) 12. a = 2 e b = -3 13. a = 3/2 e b = -9/2 14. 5 5± 15. -4 ou -5 16. -3 ou -1 17. 3 ou 5 13 − 18. ( )3112 + 19. P = (1,0,0) 20. a = 2 21. x = (-17, -13, -15) 22. 169 23. 50 24. m = -4 25. 3 ou – 6 26.(-3, 3, -6) 27. -3 ou 2 28. (4, 3, 0) ou (-4, 3, 0) 29. (-1, 4, 0) 30. 10/9 (2, 1, -2) 31. 3 32. 1337 e 33. a) (2, 2, -1) b) (-1, -1, 0) c) (-2, -2, 2) d) (6, 6, -6) e) 3 f) -1 e -1 g) 1 34.(12, -8, -12) 35. x(3, 7, 1), x ∈ R 36. − −− 3 1 , 3 1 , 3 1 3 1 , 3 1 , 3 1 ou 37. 2 38. 117 39. 56 40. 7/2 41. 44 u.v. 42. 2 ou -8/3 43. 6 ou -4 Melina Realce
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