Micro_1_Exercícios Resolvidos

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Teoria do Consumidor – Questões Práticas (Versão Provisória) 
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Maria Clementina Santos, Helder Valente e Isabel Godinho 
1
TEORIA DO CONSUMIDOR 
EXERCÍCIOS 
 
 
 
Exercício 2.1 Restrição orçamental e efeitos da variação dos preços e do 
rendimento 
 
 
 Suponha que um consumidor gasta a totalidade do seu rendimento mensal, no 
montante de 160 unidades monetárias (u.m.), na aquisição de 2 bens (X e Y) e que o 
preço do bem X é de 20 u. m. e o do bem Y é de 10 u.m.. O rendimento disponível 
deste consumidor é fixo, assim como os preços de mercado destes dois bens, no 
período em análise. 
a) Deduza a expressão analítica da restrição orçamental para este consumidor, 
represente-a graficamente e explique o seu significado económico. 
b) Suponha que o preço de X diminui em 20%, tudo o mais se mantendo constante. 
Qual é a expressão analítica da nova restrição orçamental? Como se posiciona esta 
restrição orçamental relativamente à inicial? 
c) Considere que os preços dos bens são os iniciais e que o rendimento do consumidor 
aumenta em 50%. Determine a expressão analítica da nova recta orçamental e 
represente-a graficamente. 
d) Suponha que, em relação à situação inicial, o rendimento e os preços de cada bem 
aumentam em 50%. Determine a expressão analítica da nova recta orçamental e 
compare-a com a inicial. 
 
 
Resolução 
 
a) Sendo R = 160 u.m., px = 20 u.m. e py = 10 u.m. e dado que o rendimento é totalmente gasto na 
aquisição do bem X e/ou do bem Y, a expressão analítica da restrição orçamental é: 160 = 20 X + 10 Y, 
onde X e Y designam, respectivamente, a quantidade adquirida de cada um dos bens, expressa em 
unidades; 20 X representa a despesa no bem X e 10 Y a despesa no bem Y. 
Resolvendo em ordem a Y: 
 
A expressão (1) é a equação duma recta que tem: 
- 16, por ordenada na origem. Exprime o número de unidades do bem Y que o consumidor pode 
adquirir se gastar a totalidade do seu rendimento neste bem ou seja, é o rendimento real expresso 
em termos do bem Y; 
- (-2), por declive (px /py = -20/10). É igual, em valor absoluto, à razão entre os preços dos dois bens 
e significa que, no mercado, 1 unidade do bem X vale 2 unidades do bem Y, dado que o preço do 
bem X é duplo do do bem Y. Assim, por cada unidade adicional de X que pretenda adquirir, o 
consumidor terá que desistir de 2 unidades de Y, mantendo constante a despesa total. Em termos 
económicos, o declive mede o custo de oportunidade1 do bem X em termos do bem Y. 
 
Para representar graficamente a restrição orçamental (R0 no Figura 2.1-a), basta considerar dois pontos: 
se o consumidor gastar a totalidade do seu rendimento no bem Y, o cabaz de consumo é (X = 0; Y=16), 
coordenadas da ordenada na origem; se gastar a totalidade do seu rendimento no bem X, o cabaz de 
consumo é (X=8; Y = 0), coordenadas da abcissa na origem. 
 
1 Trata-se de um custo de oportunidade objectivo, no sentido em que é determinado pelo mercado. 
X216Y1X
10
20
10
160YX20160Y10 −=⇔−=⇔−= )( 
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Figura 2.1-a) A restrição orçamental 
 
Significado económico: a restrição orçamental indica todas as combinações de X e Y que o consumidor 
pode adquirir, sendo dado o seu rendimento e os preços de ambos os bens. Representa as combinações 
alternativas de ambos os bens que implicam o mesmo nível de despesa total, sendo esta igual ao 
rendimento disponível do consumidor. Delimita as possibilidades de consumo que estão ao alcance do 
poder de compra do consumidor. 
Nota: 
Em termos genéricos, a expressão analítica da restrição orçamental é: R = px X + py Y 
 
onde R designa o rendimento, X e Y as quantidades adquiridas de cada um dos bens e px e py os 
preços dos bens X e Y, respectivamente. 
 
Resolvendo em ordem a Y, obtém-se: 
 
 
 
b) Se o preço do bem X diminuiu em 20%, então o seu preço (px1 ) passa a ser de 16 u.m.: 
 
 
A expressão analítica da restrição orçamental é: 
 
 160 = 16 X + 10 Y, ou seja, Y = 16 -1,6 X 
 
A nova restrição orçamental (R1, na Figura 2.1-b) tem por ordenada na origem 16 e, por abcissa na 
origem2, 10, sendo o seu declive de (-1,6). Verifica-se uma rotação da recta orçamental para a direita 
em torno da ordenada na origem, uma vez que se mantém o montante máximo que o consumidor pode 
adquirir do bem Y, se afectasse a totalidade do seu rendimento a esse bem. No entanto, o montante 
máximo de X que pode adquirir, se nada gastar em Y, será agora de 10 unidades. O declive de R1 é, em 
 
2 Este valor foi obtido dividindo R por Px. 
declive. o ) (- e origem na ordenada a sendo , 
y
x
xy
x
y p
p
p
RX
p
p
p
RY −=
.. 16 8,0 x 20 )2,01(
111
muPPPP xxxx =⇔=⇔−=
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valor absoluto, inferior ao de R0, em resultado de o bem X se ter tornado relativamente mais barato do 
que o bemY3. 
 
 
 
Figura 2.1-b) Efeito da alteração do preço do bem X na restrição orçamental 
 
 
 
 
c) O rendimento do consumidor sofreu um acréscimo de 80 u.m. (0,5 x 160), passando a ser de 240 
u.m.. A expressão analítica da nova restrição orçamental é : 
 240 = 20 X + 10 Y, ou seja, Y = 24 -2 X 
 
Relativamente à alinea a), a ordenada na origem passa para 24 unidades de Y (240/10) e a abcissa na 
origem para 12 unidades de X (240/20) e mantém-se o declive dado que não houve alteração no preço 
relativo dos bens. O rendimento real do consumidor aumentou e a recta orçamental desloca-se 
paralelamente para a direita (comparar R1 com R0 na Figura 2.1-c). O consumidor pode adquirir mais 
de X, mais de Y ou mais de ambos os bens. Se, pelo contrário, o rendimento diminuir, verificar-se-á 
um deslocamento paralelo da recta orçamental para a esquerda (Figura 2.1-c). 
 
 
 
3 Repare que o bem X passou a ser relativamente mais barato, embora o seu preço se mantenha mais 
elevado em termos absolutos. 
 
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Figura 2.1-c) Efeito da alteração do rendimento na restrição orçamental 
 
 
d) Neste caso, a expressão analítica da restrição orçamental é: 240 = 30 X + 15 Y , isto é: Y = 16 - 2X 
A equação da recta orçamental é igual à obtida na alínea a), dado que o rendimento e os preços 
aumentaram na mesma proporção. 
 
 
 
Exercício 2.2 Restrição orçamental não linear 
 
A Joana pretende praticar natação num determinado clube. Existem duas modalidades 
de pagamento: ou paga 5 € de cada vez que utilizar a piscina ou se inscreve como 
sócia do clube, efectuando um pagamento inicial (a jóia) no valor de 30 € e pagando 
por cada ida à piscina 2 €. Para a prática da natação e para a aquisição de outros bens, 
a Joana dispõe de um rendimento de 80 € por mês, que gasta integralmente. 
a) A partir de quantasidas à natação é que vale a pena à Joana tornar-se sócia do 
clube? Justifique. 
b) Qual é a expressão analítica da restrição orçamental? Justifique. Represente-a 
graficamente. 
 
 
Resolução 
 
a) Considere-se que a natação representa o bem X e que Y é o bem compósito, pelo que o seu preço é 
igual à unidade. 
- Se a Joana não se inscrever como sócia, a despesa em X (representada por DXns ) será de: 
 
 DXns = 5 X 
 
- Se ela se inscrever no clube, a despesa em X (notada DXs ) será de: 
 
 DXs = 30 + 2 X 
 
Não vale a pena a Joana aderir ao clube, se a despesa realizada com a prática da natação for maior no 
caso de se tornar sócia, isto é, se: 
 
 DXs > DXns , ou seja 30 + 2 X > 5 X ⇔ X<10 
 
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Em conclusão, se a Joana for menos do que 10 vezes por mês à natação, não lhe compensa ser sócia e, 
se for 10 vezes, tanto lhe faz. Logo, só para mais de 10 idas mensais à natação é que vale a pena à 
Joana aderir ao clube. 
 
b) A restrição orçamental será quebrada, sendo constituída por dois ramos definidos em função do 
intervalo de valores de X correspondentes à não adesão ou de adesão ao clube. 
Se não valer a pena aderir ao clube, a equação da restrição orçamental é: 
 
80 = 5 X + Y⇔ Y = 80 – 5 X (equação de R1 da Figura 2.2) 
 
No outro caso, será: 
 
80 = (30+2 X)+Y ⇔ Y = 50 – 2 X (equação de R2 da Figura 2.2) 
 
Deste modo a restrição orçamental é a linha quebrada ABC da Figura 2.2, cuja expressão analítica é 
 
⎩⎨
⎧
>−=
≤−=
10 para ,250
10 para ,580
XXY
XXY
 
 
Os dois ramos intersectam-se no ponto (X=10; Y=30). 
 
 
Figura 2.2 Restrição orçamental da Joana 
 
 
 
Exercício 2.3 Restrição orçamental no caso de racionamento 
O Joaquim tem um rendimento mensal de 800 euros para gastar em gasolina e 
outros bens (bem compósito). O preço de cada litro de gasolina é de 0,80 € e o dos 
outros bens é de 1€. Suponha que o governo institui o racionamento de gasolina. 
De acordo com o esquema de racionamento, é atribuido a cada consumidor um 
cupão mensal intransmissível de 50 litros de gasolina. 
a) Qual o efeito desta medida sobre o conjunto das possibilidades económicas de 
consumo? 
b) Admita agora que, recorrendo ao mercado negro, o Joaquim pode adquirir mais 
do que 50 litros de gasolina por mês, embora ao preço de 2 € por litro. Mostre 
qual o efeito da existência de mercado negro. 
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Resolução 
 
a) Se não houver racionamento, a restrição orçamental é dada por : 
 800 = 0,80 X + Y ⇔ Y = 800 – 0,80 X , equação de R0 da Figura 2.3-a) . 
O montante máximo de litros de gasolina que pode adquirir mensalmente, se nada consumir de outros 
bens, é de 1000 litros (abcissa na origem); se não consumir gasolina, o Joaquim gasta os 800 € no bem 
compósito (ordenada na origem). 
Com o racionamente, para montantes inferiores a 50 litros de gasolina, o Joaquim pode consumir 
ambos os bens e substituir um pelo outro à taxa de 0,8 € de outros bens por cada litro de gasolina, pelo 
que, neste intervalo, a sua restrição orçamental coincide com R0. No entanto, a partir de 50 litros de 
gasolina ele não poderá situar-se ao longo da recta orçamental R0, dado que representa consumos de 
gasolina que não pode legalmente realizar. O cabaz de bens economicamente acessíveis ao consumidor 
é definido pela àrea OABC (Figura 2.3-a), sendo que qualquer ponto situado no segmento AB esgota o 
rendimento do consumidor. 
 
Figura 2.3 a) - Conjunto de possibilidades económicas de consumo 
se existir racionamento de gasolina 
 
b) Para adquirir mais do que 50 litros de gasolina por mês, o Joaquim vai ter que pagar cada litro a 2 €. 
Mas, na aquisição dos 50 litros a que tem direito já gastou 40 €, ficando-lhe 760 € para gastar nos 
outros bens e na aquisição de gasolina no mercado negro. Se aplicasse esses 760 € apenas em gasolina 
podia adquirir 380 litros no mercado negro. Como já adquiriu legalmente 50 litros de gasolina, o 
Joaquim pode, dado o seu rendimento, adquirir no máximo 430 litros (50 + 380), valor da abcissa na 
origem da restrição orçamental (R1), no caso de existir mercado negro. Por sua vez o declive desta recta 
orçamental é, em valor absoluto, igual a 2 (nova razão de preços). A restrição orçamental tem dois 
ramos - até ao ponto B, coincide com R0 e, a partir do ponto B, coincide com R14 - sendo definida pela 
linha quebrada ABC da Figura 2.3-b). Em termos analíticos: 
 
4 Este ramo da restrição orçamental é dado pela equação da recta que passa pelos pontos de 
coordenadas (x=50; y=760) e (x=430; y=0) 
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⎩⎨
⎧
≤<−=
≤≤−=
43050,2860
500,8,0800
XparaXY
XparaXY 
 
Figura 2.3-b) Restrição orçamental se existir mercado negro. 
 
 
 
Exercício 2.4 Curvas de indiferença e taxa marginal de substituição – caso 
discreto 
 
 
 A Carolina ocupa parte do seu tempo livre a ir ao cinema e ao teatro. As suas 
preferências em relação a estas duas actividades estão descritas no quadro 2.4, no qual 
U1, U2 e U3 representam os níveis de satisfação e X e Y designam, respectivamente, o 
número de idas ao cinema e ao teatro por mês. 
a) Represente graficamente as três curvas de indiferença, explicando o seu 
significado. 
b) Considere a curva de indiferença U1. 
b.1) Calcule a Taxa Marginal de Substituição (TMS) entre os pontos A (X=1, Y=12) e 
B (X=2, Y=8). Interprete o seu significado económico. 
b.2) Analise o comportamento da TMS à medida que a Carolina substitui Y por X e 
interprete o seu significado. 
 
 
 Quadro 2.4 Preferências da Carolina 
U1 U2 U3 
X Y X Y X Y 
1 12 3 14 5 16 
2 8 4 10 6 12 
3 5 5 7 7 9 
4 3 6 5 8 7 
5 2 7 4 9 6 
6 1,5 8 3 10 5 
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Resolução 
 
a) Uma curva de indiferença mostra as várias combinações alternativas de idas ao cinema e ao teatro 
por mês, que proporcionam à Carolina idêntico nível de satisfação. Deste modo, para a Carolina é 
indiferente ir 1 vez ao cinema e 12 ao teatro (ponto A da curva de índice U1 da Figura 2.4) ou 2 vezes 
ao cinema e 8 ao teatro (ponto B da mesma curva), por exemplo. 
Comparando as combinações alternativas da curva de índice U2 com as da curva de índice U1, constata-
se que ou contêm mais de ambos os bens ou, pelo menos, mais de um dos bens (na Figura 2.4, 
comparar os pontos B e H e os pontos C e J). Deste modo, a curva de indiferença de índice U2 situa-se 
à direita da de índice U1, pelo que as combinações alternativas de idas ao cinema e ao teatro que nela se 
situam representam um nível de bem-estar mais elevado do que o proporcionado pelas que se localizam 
na curva de índice U1. O mesmo se passa com os pontos ao longoda curva de índice U3 relativamente 
aos que estão nas curvas de índice U2 e U1. Em suma, quanto mais afastadas da origem e mais à direita 
se situa uma curva de indiferença, maior é o nível de satisfação que lhe está associado5. 
 
 
Figura 2.4 Curvas de indiferença da Carolina 
 
 
 
b.1) A taxa marginal de substituição mede, ao longo de uma curva de indiferença, a relação de troca 
subjectiva entre os dois bens: indica quanto o consumidor está disposto, segundo as suas preferências, a 
deixar de consumir de um bem para aumentar o consumo do outro, mantendo constante o seu nível de 
satisfação. Como as curvas de indiferença têm declive negativo, a taxa marginal de substituição é 
negativa. Adopta-se, contudo, a convenção usual de a determinar em valor absoluto – calculando-a em 
módulo ou afectando-a do sinal menos – o que requer que, na interpretação do seu valor, se tenha em 
conta esta convenção. 
 
5 Tal como resulta da hipótese de não saciedade da Teoria do Consumidor. 
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Pode-se calcular a taxa marginal de substituição para examinar movimentos descendentes ao longo de 
uma curva de indiferença, caso em que o consumidor substitui o bem Y pelo bem X (taxa marginal de 
substituição de Y por X6) ou movimentos ascendentes ao longo de uma curva de indiferença, quando 
substitui X por Y (taxa marginal de substituição de X por Y7). Os valores obtidos para uma são o 
inverso dos da outra. 
Neste caso, pretende-se calcular a taxa marginal de substituição de teatro (Y) por cinema (X). 
 
 
 :que se- tem, Como , 4 TMS1-2
12-8TMS
xx
yy
TMS BAY,X
BA
Y,X
12
12
XY =⇔=−
−= →→ 
 
 
Ao passar do ponto A para B, a Carolina está disposta a desistir de 4 idas ao teatro para ir mais uma vez 
ao cinema por mês, mantendo-se o seu nível de satisfação. 
 
 
 
b.2) 
Pode concluir-se que a taxa marginal de substituição de Y por X (TMSY,X) é, em valor absoluto, 
decrescente. Significa que, à medida que substitui Y por X, a Carolina está cada vez menos disposta a 
renunciar ao consumo de Y (bem que se vai tornando relativamente mais escasso) para aumentar o 
consumo de X, mantendo constante o seu nível de satisfação. É este comportamento da TMS que 
explica a convexidade das curvas de indiferença. 
 
 
 
 
Exercício 2.5 Curvas de indiferença e taxa marginal de substituição – caso 
contínuo - e não unicidade da função índice de utilidade 
 
Suponha que as preferências da família Gonçalves relativamente ao consumo de peixe 
(bem X) e de carne (bem Y) podem ser descritas pela seguinte função: U=2X0,5 Y0,5, onde 
U designa o nível de utilidade e X e Y são, respectivamente, as quantidades de peixe e de 
carne consumidas mensalmente, expressas em quilogramas. 
1-a) Determine a expressão analítica das curvas de indiferença associadas a esta função 
de utilidade ordinal. 
 b) Represente graficamente as curvas de indiferença de índices de utilidade 10 e 20. 
2- Considere a curva de indiferença de índice 10. 
 a) Determine, analítica e geometricamente, a taxa marginal de substituição associada 
a uma deslocação do ponto A (X=2; Y=12,5) para o ponto B (X=5; Y=5). Explique 
o seu significado económico. 
 b) Determine, analítica e geometricamente, o valor da taxa marginal de substituição 
 
6 “Marginal rate of substitution of X for Y”, em inglês. 
7 “Marginal rate of substitution of Y for X”, em inglês. 
5,0
56
25,1 ,1
45
32 ,2
34
53 ,3
23
85
,,,, =−
−==−
−==−
−==−
−= →→→→ FE XYED XYDC XYCB XY TMSTMSTMSTMS
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no ponto B. 
 c) Analise o comportamento da taxa marginal de substituição de Y por X à medida que 
X aumenta (TMSY,X). Explique o significado económico desse comportamento e 
relacione-o com a curvatura da curva de indiferença. 
3- Admita agora que as preferências desta família em relação a estes dois bens são antes 
descritas pela função: V= XY, onde V designa o índice de utilidade e X e Y as 
quantidades consumidas mensalmente de cada um dos bens, expressas em 
quilogramas. 
 a) Será que houve alteração das preferências desta família em relação a estes bens? 
Justifique a sua resposta. 
 b) Compare as expressões analíticas das utilidades marginais de cada bem (UMgX e 
UMgY) fornecidas pelas funções U e V, bem como o seu valor no ponto C 
(X=20;Y=5). 
 c) Determine o quociente entre a UMgX e a UMgY para cada uma das funções e calcule 
o seu valor no ponto C. Que conclui? 
 
 
 
Resolução 
 
1-a) Uma curva de indiferença é, por definição, o lugar geométrico das combinações alternativas de 
bens que proporcionam ao consumidor o mesmo nível de satisfação, pelo que, ao longo de uma curva 
de indiferença, o valor do indíce de utilidade se mantém constante. Seja u uma constante positiva 
qualquer. A curva de indiferença de índice u tem por expressão analítica: 
 
( ) . índice de aindiferenç de curvas da analítica expressão a é (1) Y 
 :quadrado ao equação desta membros os ambos Elevando 
2
,
0,5
,
,,
u 
X4
u Y=
X2
u
X2
u YuYX2
2
50
2
50
5,05050
⇔⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=
=⇔=
 
1-b) Para proceder à representação gráfica, há que previamente estudar as características da curva de 
indiferença: 
 
horizontal assimptota é 0lim e verticalassimptota é 00lim
 0
2
d e 0
4
0
3
2
2
2
2
2
 , X== Y , Y==Y
X
u
dX
Y
X
u
dX
dY
XX
∞+
>=<−=
+→+∞→
 
 
Conclui-se que as curvas de indiferença associadas a esta função se caracterizam por serem 
continuamente decrescentes (1ª derivada negativa) e convexas em relação à origem (2ª derivada 
positiva), tendo por assímptotas os próprios eixos coordenadas e, por isso, nunca os interceptando. Em 
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termos geométricos, a curva de indiferença é o ramo de uma hipérbole equilátera definido no 1º 
quadrante (X≥0 e Y≥0) 
 
Substituindo em (1) u pelos valores pretendidos e calculando as coordenadas de alguns dos seus pontos, 
pode-se efectuar o esboço das curvas de indiferença de índice 10 e 20 - Figura 2.5-a): 
 100 (3) 
4
20 20 
 ;25 (2) 
4
10 10 
2
2
 
X
Y= 
X
 Y=u =
 
X
 Y= 
X
 Y=u=
⇔⇒
⇔⇒ 
 
 
 
 Fig. 2.5-a) Curvas de indiferença da família Gonçalves 
 
2- a)8 
52TMS
25
5125TMS
X
YTMS BA XY
BA
XY
BA
XY , 
, ,,, =⇔−
−−=⇔∆
∆−= →→→ 
Geometricamente, a taxa marginal de substituição é dada pelo declive do segmento de recta que une os 
pontos A e B - Figura 2.5-b): 
 
2,5TMS BA XY, =⇔=⇔=⇔= →→→→ 3
5,7TMS
BD
ADTMStgTMS BAY,X
BA
Y,X
BA
X,Y α 
 
Significa que, quan-do a 
família Gonçal-ves 
consome 12,5 Kg de
carne e 2 Kg de peixe
por mês, para aumentaro seu com-sumo de 
peixe para 5 Kg por
mês, ela está disposta
por cada quilograma 
adicional de peixe a
renunciar, em média, ao
com-sumo de 2,5 Kg de
carne por mês, man-
tendo constante o seu
nível de satisfação. 
 
 
 
 
 Fig. 2.5-b) Determinação geométrica da TMSY, X (no arco AB e no ponto B) 
 
8 Ver exercício 2.4, resolução da alínea b.1, para a definição e convenção adoptada no cálculo da TMS. 
u=10 u=20 
X Y X Y 
1 25 4 25 
2 12,5 5 20 
5 5 10 10 
10 2,5 20 5 
25 1 25 4 
0
2 , 5
5
7 , 5
10
12 , 5
15
17 , 5
2 0
2 2 , 5
2 5
2 7 , 5
0 2 , 5 5 7 , 5 10 12 , 5 15 17 , 5 2 0 2 2 ,
5
2 5 2 7 ,
5
Pei xe (Kg/ mês)
u=10
u=20
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2-b) Pretende-se agora calcular o valor da taxa marginal de substituição num ponto da curva de 
indiferença (ponto B), estando-se a considerar variações infinitesimais nas quantidades consumidas na 
vizinhança desse ponto. 
 :menteGeometrica
. lim :enteAnalíticam
βtgTMS
 
dX
dYTMS
∆X
∆Y TMS
B
Y,X
B
Y,X0∆X
B
Y,X
=
=⇔= →
 
 
Usando a expressão analítica - equação (2) - da curva de indiferença de índice 10 tem-se que: 
 
1TMS
5
25TMS5,Y=5X=BpontoNo
X
25TMS
X
25TMS
dX
dYTMS
B
X,Y2
B
X,Y
2X,Y2X,YX,Y
=⇔=
=⇔−=⇔=
 que pelo ),( 
 (4) 
 
Geometricamente, a taxa marginal de substituição é igual ao valor absoluto do declive da tangente a 
esse ponto da curva de indiferença, medindo, em valor absoluto, o declive da curva de indiferença 
nesse ponto - Figura 2.5-b). 
1TMS
DB
DG
OF
OETMStgTMS B X,Y____
___
____
___
B
X,Y
B
X,Y =⇔==⇔= β 
 Examinando a expressão (4) da 
2X
25
XYTMS =, pode-se constatar que, em valor absoluto, a taxa 
marginal de substituição de Y por X decresce à medida que X aumenta, dado que o numerador é 
constante. Alternativamente, pode-se chegar a esta mesma conclusão, através do sinal da 1ª derivada da 
TMSY,X em ordem a X: ( ) 03X50'X,YTMS:XX25TMS 2X,Y <−−== − a ordem em Derivando 
Geometricamente, o 
decrescimento da TMSY,X 
pode observar-se através 
da marcação de sucessivas 
tangentes a pontos desta 
curva de indiferença - 
Figura 2.5-c): os ângulos 
formados vão sendo cada 
vez mais pequenos, pelo 
que o valor absoluto da 
sua tangente trignométrica 
vai sendo cada vez mais 
pequeno: 
 
εδβλ tgtgtgtg >>> . 
 
Figura 2.5-c) Comportamento da TMSY,X ao longo da curva de 
indiferença(“lei da taxa marginal de substituição decrescente”) 
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13
 
É este comportamento da taxa marginal de substituição de Y por X, também conhecido por lei da taxa 
marginal de substituição decrescente, que explica que a curva de indiferença seja (estritamente) 
convexa em relação à origem dos eixos coordenados. Em termos económicos, evidencia uma relutância 
cada vez maior, por parte do consumidor, para continuar a substituir o bem Y pelo bem X e manter o 
mesmo nível de substituição. 
 
3-a) Comparando as funções U e V pode verificar-se que: 
 
2
UYXYX2U 50505050 =⇔= ,,,, 
Elevando ambos os membros ao quadrado: 
0
2
U
dU
dV
4
U2
dU
dV UV
4
UVXYV
4
UXY
2
UXY
222
>=⇔=
===⇔⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=
 : a ordem em Derivando
 :que se- temdosubstituin Como ,
 
 
Deste modo, V(X,Y) é uma função estritamente crescente de U(X,Y), pelo que a função V é consistente 
com a ordenação das preferências do consumidor descritas pela função U, ou seja, descreve as mesmas 
preferências desta família em relação a estes dois bens, apenas atribuindo um número de ordem 
diferente (índice de utilidade) às combinações alternativas destes bens9. 
Exemplificando: 
Sejam as combinações de bens A (X=2, Y=12,5), B (X=5, Y=5) e C (X=20, Y=5). Calculando o valor 
dos índices de utilidade para cada uma das funções: 
 
Pontos U= 2 X0,5 Y0,5 V=XY 
A (X=2, Y=12,5) U= 2 (2 . 12,5)0,5 ⇔ U1=10 V=2 . 12,5 ⇔ V1=25 
B (X=5,Y=5) U= 2 (5 . 5)0,5 ⇔ U1=10 V=5 . 5 ⇔ V1=25 
C (X=20, Y=5) U= 2 (20 . 5)0,5 ⇔ U2=20 V=20 . 5 ⇔ V2=100 
 
Tem-se assim que, quer usando a função U quer usando a função V, o consumidor é indiferente entre as 
combinação A e B (situam-se na mesma curva de indiferença) e considera que C é preferível a B e a A 
(situa-se numa curva de indiferença à direita daquela em que se encontram estas duas últimas, pelo que: 
U2 > U1 e V2 >V1). 
 
9 Isto acontece porque a função índice de utilidade (abordagem ordinal da teoria do consumidor) não é única, ao contrário do que 
ocorre com a função de utilidade cardinal. Na abordagem ordinal, a função utilidade descreve a ordenação das preferências do 
consumidor, enquanto que, na abordagem cardinal, se quantifica a satisfação retirada do consumo de cada cabaz de bens. 
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14
 
 
Em suma, a ordenação das pre-
ferências do consumidor mantém-se, 
apenas mudando o número de ordem 
atribuído a cada combinação por cada 
uma das funções - Figura 2.5-d). As 
curvas de indiferença associadas a 
cada uma das funções índice de 
utilidade são idênticas, embora os 
valores dos índices de utilidade 
difiram, sendo que v=u2/4. Tomar uma 
transformação crescente da função 
utilidade, equivale a renumerar, em 
conformidade, as curvas de 
indiferença. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.5-d) Curvas de indiferença da família Gonçalves, 
segundo as funções U(X,Y) e V(X,Y) 
 
 
3-b) Utilizando a função U=2X0,5Y0,5 
 
2UMg5
20UMg50UMgUMg5, Y20X
Y
XUMgYXUMg
Y
UUMg
X
YUMgYXUMg
X
UUMg
C
Y
C
Y
C
X
C
X
Y
5050
YY
X
5050
XX
=⇔==⇔===
=⇔=⇔∂
∂=
=⇔=⇔∂
∂=
−
−
 e 20
5 :)( C ponto No 
 
 
,
,,
,,
 
 
Utilizando a função V=XY 
 
5UMg20UMg
XUMg
Y
VUMgYUMg
X
VUMg
C
Y
C
X
YYXX
==
=⇔∂
∂==⇔∂
∂=
 e :C ponto No
 e 
 
 
 
3-c) Ao calcular o quociente da utilidade marginal de X e de Y, obtém-se a mesma expressão analítica 
e o mesmo valor para este quociente no ponto C. 
 
 Função U Função V 
 Expressão Analítica Valor no ponto C Expressão Analítica Valor no ponto C 
UMgX X -0,5Y 0,5 0,5 Y 5 
UMgY X 0,5Y -0,5 2 X 20 
UMgX /UMgY Y/X 0,25 Y/X 0,25 
 
Este quociente é, por sua vez, igual à TMSY,X , o que confirma que as funções U(X,Y) e V(X,Y) 
descrevem as mesmas preferências. Tem-se, assim, uma forma alternativa de calcular a TMSY,X . Com 
efeito, considere-se a função U=U(X,Y) e proceda-se à sua diferenciação total: 
0
2,5
5
7,5
10
12,5
15
17,5
20
22,5
25
27,5
0 2,5 5 7,5 10 12,5 15 17,5 20 22,5 25 27,5
Peixe (Kg/mês)
u=20; v=100 
u=10;v=25 
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15
 
 De notar que a expressão (5) exprime o facto de, para manter constante o seu nível de satisfação, a 
diminuição de utilidade associada à redução do consumo de Y ter que ser igual ao aumento de utilidade 
resultante do acréscimo do consumo de X. 
 
Em suma, enquanto que a grandeza das utilidades marginais de X e de Y depende da função índice de 
utilidade escolhida para descrever as preferências do consumidor – como resulta dos cálculos 
realizados na alínea anterior – o mesmo não ocorre com a do quociente das utilidades marginais, o qual 
é independente da forma particular de função índice de utilidade que se utiliza, desde que uma se possa 
obter da outra através de uma transformação estritamente crescente. 
 
 
Exercício 2.6 Curvas de indiferença e taxa marginal de substituição – 
preferências (estritamente) convexas 
 
Suponha que a ordenação das preferências da Mariana em relação à prática de natação 
e de ginástica é descrita pela função utilidade U= xy, sendo que x≥0 e y≥0. Nesta 
função, x e y designam, respectivamente, o número de horas de natação e de ginástica 
que pratica por mês e U representa o nível de satisfação. 
a) Determine a expressão analítica das curvas de indiferença associadas a esta função 
utilidade. 
b) Represente graficamente as curvas de indiferença associadas aos índices de 
utilidade 75, 150 e 225. 
c) Considere a curva de indiferença de índice 75. 
 c.1) Calcule o valor da taxa marginal de substituição associada a uma deslocação 
do ponto A (x=5,y=15) para o ponto B (x=10,y=7,5) e explique o seu 
significado económico. 
 c.2) Determine valor da taxa marginal de substituição de ginástica por natação nos 
pontos A, B e C (x=15, y=3). 
 c.3) Analise o comportamento da taxa marginal de substituição de Y por X à 
medida que aumenta o consumo de X. Explique o significado económico desse 
comportamento e relacione-o com a curvatura da curva de indiferença. 
 
 (5) 
 que pelo altera, se não satisfação de nível o aindiferenç de curva uma de longo ao definição,Por 
 e que sendo , 
Y
X
XY
Y
X
XYYX
YX
UMg
UMg
 TMS
UMg
UMg
dX
dY
dXUMgdYUMgdYUMgdXUMg0
0dU
UMg
Y
U UMg
X
UdY
Y
UdX
X
UdU
=⇔=−⇔
⇔=−⇔+=
=
=∂
∂=∂
∂
∂
∂+∂
∂=
,
:
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16
 
Resolução 
 
a) As curvas de indiferença são definidas no espaço de bens (X,Y), sendo a sua expressão analítica do 
tipo y=f(x) ou x=g(y). Para qualquer nível de utilidade u, onde u é uma constante positiva, a curva de 
indiferença que lhe está associada tem por expressão: 
 (1) 1y=ux
x
u yuxy −⇔=⇔= 
b) Estas curvas de indiferença são continuamente decrescentes e convexas em relação à origem dos 
eixos coordenados, uma vez que a 1ª derivada é positiva e a 2ª derivada negativa: 
0ux2
dx
y
0ux
dx
dy
3
2
2
>=
<−=
−
−
2d
 :derivada 2ª
 ; :derivada 1ª
 
Por outro lado, como 1uxy −= , 
horizontal assimptota é lim e verticalassimptota é lim 0 , x== y 0 , y=0=y
0xx
∞+
+→+∞→
 
pelo que as curvas de indiferença admitem como assímptotas os próprios eixos coordenados e, 
consequentemente, nunca os intersectam. 
Para u = 75, tem-se, por substituição em (1), que a expressão desta curva de indiferença é igual a 
y=75/x, ou seja, é o ramo de uma hipérbole equilátera definido no 1º quadrante (x≥0 e y≥0). 
Analogamente, as curvas de indiferença de índices 150 e 225 têm por expressão analítica y=150/x e 
y=225/x, respectivamente. Para proceder à representação gráfica destas curvas de indiferença − Figura 
2.6-a) − seleccionam-se alguns valores, tais como: 
 
 
u=75 u=150 u=225 
x y x y x y 
2,5 30 5 30 7,5 30 
5 15 7,5 20 10 22,5 
7,5 10 10 15 15 15 
10 7,5 15 10 20 11,25 
15 5 20 7,5 22,5 10 
20 3,75 25 6 25 9 
30 2,5 30 5 30 7,5 
 
 
 
 
Figura 2.6-a) Curvas de indiferença da Mariana 
 
c.1) A taxa marginal de substituição mede, ao longo de uma curva de indiferença, a taxa a que o 
consumidor está disposto, segundo as suas preferências, a substituir o bem Y pelo bem X; indica a 
quantidade que está disposto a desistir de Y para aumentar o consumo de X de uma unidade adicional, 
mantendo constante o seu nível de satisfação. 
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17
5,1TMS
5
5,7TMS
510
155,7 TMS
X
YTMS BAY,X
BA
Y,X
BA
Y,XX,Y =⇔−=⇔−
−=⇔= →→→ ∆
∆ 
Significa que, neste intervalo, para 
praticar mais 1 hora de natação por mês 
a Mariana está disposta, em média, a 
deixar de praticar 1 hora e meia de 
ginástica, mantendo constante o seu 
nível de satisfação. 
Geometricamente, a taxa marginal de 
substituição no arco AB é dada pelo 
declive do segmento de recta que une os 
pontos A e B, como se pode ver na 
figura 2.6- b), ou seja: 
5,1TMS
5
5,7TMS
BD
ADTMStgTMS
BA
Y,X
BA
Y,X
BA
Y,X
BA
X,Y
=⇔=⇔
⇔=⇔=
→→
→→
 
 α
 
 
 
Figura 2.6- b) Representação geométrica da taxa de 
marginal de substituição 
c.2) Neste caso, pretende-se calcular o valor da taxa marginal de substituição num ponto da curva de 
indiferença, a qual mede o valor do declive da curva de indiferença nesse ponto. Geometricamente é 
dada pelo valor absoluto do declive da recta tangente ao ponto considerado. Com efeito: 
Analiticamente: 
dX
dYTMS
∆X
∆Y limTMS BY,X0∆X
B
Y,X =⇔= → 
 Geometricamente: βtgTMS BY,X = 
Sendo y=75/x a expressão analítica desta curva de indiferença, a expressão analítica da TMSy,x que lhe 
está associada é: 
)3(3,0TMS
15
75= TMS15x
75,0TMS
10
75= TMS10x
3TMS
5
75= TMS5x
x
75TMS
x
75TMS
dx
dyTMS
C
x,y2
C
x,y
B
Y,X2
B
Y,X
A
x,y2
A
x,y
2x,y2x,yx,y
=⇔=
=⇔=
=⇔=
=⇔−⇔−=
 se-obtem (2) em dosubstituin , C, ponto no 
 se-obtem (2) em dosubstituin , B, ponto no 
 se-obtem (2) em dosubstituin , A, ponto no Como,
 . (2) 
 
 
c.3) Examinando a expressão (2), pode concluir-se que à medida que aumenta o consumo de X, em 
valor absoluto, a TMSy,x decresce10, como aliás decorre dos cálculos realizados na alínea anterior. 
É este decrescimento da taxa marginal de substituição que explica que a curva de indiferença seja 
estritamente convexa em relação à origem, uma vez que, em valor absoluto, o declive vai sendo cada 
 
10 A idêntica conclusão se chega, derivando a expressão da TMSy,x em ordem a X , uma vez que esta derivada é negativa. 
 
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18
vez menor. Este comportamento exprime o facto de a Mariana estar cada vez menos disposta a reduzir 
o número de horas que dedica à prática da ginástica para aumentar o tempo que afecta à natação, à 
medida que vai aumentando o número de horas de prática de natação por mês, mantendo constante o 
seu nível de satisfação. 
 
Exercício 2.7 Curvas de indiferença e taxa marginal de substituição – 
preferências côncavas 
 
Admita que as preferências da Marta em relação à prática de natação e de ginástica 
são descritas pela função S=2X2+Y2, com X≥0 e Y≥0 , onde X e Y designam, 
respectivamente, o número de horas de natação e de ginástica que pratica por mês e S 
representa o índice de utilidade. 
a) Represente graficamente as curvas de indiferença de índices 600, 900 e 1800. 
b) Considere a curva de indiferença de índice 600. Calcule a taxa marginal de 
substituição de Y por X, para X=5, X=10 e X=15. 
c) Examine o comportamento da TMSY,X à medida que X aumenta e relacione-o com 
curvatura da curva de indiferença. 
d) Compare as preferências da Marta com as da Mariana (ver exercício 2.6) em 
relação à prática destas duas modalidades desportivas. 
 
Resolução 
 
a) Para proceder à representação gráfica, há que previamente examinar as características das curvas de 
indiferença associadas a esta função. Seja s uma constante positiva qualquer : 
0)X2(sX4)X2(s2
dX
Yd:
0)X2X(s2
dX
dY :
X2s-) Y=+1 ( X2s Ys YX2
5,1225,02
2
2
5,02
22222
<−−−−=
<−−=
⇔−=⇔=+
−−
−
 derivada2ª
 derivada1ª 
As curvas de indiferença são continuamente decrescentes e côncavas em relação à origem. Intersectam 
o eixo das abcissas e o eixo das ordenadas, respectivamente, nos pontos de coordenadas: 
 
)sY;0X()0Y;2
sX( ==== e 
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19
Substituindo em (1) os valores do índice de utilidade (600, 900 e 1800) obtêm-se as expressões 
analíticas das curvas de indiferença representadas na figura 2.7, usadas para calcular as coordenadas de 
alguns dos seus pontos. 
 
 
 
 
Figura 2.7: Curvas de indiferença da Marta 
 
 
b) Utilizando a função utilidade: 
 (2) 
 e 
Y
X2TMS
Y2
X4TMS
UMg
UMg
TMS
Y2
Y
SUMgX4UMg
X
SUMg
Y,XY,X
Y
X
X,Y
YXX
=⇔=⇔=
=∂
∂==⇔∂
∂=
 
Para calcular o valor da taxa marginal de substituição é preciso conhecer os valores de Y. Considerando 
a expressão da curva de indiferença de índice 600 – obtida via substituição de s por 600 em 
(1): 2X2600Y −= – tem-se que, para X=5, X=10 e X=15, os valores correspondentes de Y são: 
150Y:15X ; 20 Y=10 . 2-600 Y= :10 X=; 45,23 Y5 . 2-600 Y=:5X= 22 ==⇔≅⇔ 
Substituindo estes valores de X e de Y na expressão (2) da TMSY,X: 
45,2TMS:)25,12, Y15(X
1TMS)20, Y=10 (X=
43,0TMS)45,23, Y5(X=
Y,X
Y,X
Y,X
≅≅=
=
≅≅
 ponto No
 : ponto No
 : ponto No
 
 
c) Pode concluir-se que, à medida que X aumenta, Y vai diminuindo cada vez mais, pelo que, em valor 
absoluto, a TMSY,X é crescente, o que explica a concavidade das curvas de indiferença. Significa que, 
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20
para aumentar o número de horas de natação, a Marta está disposta a renunciar a um cada vez maior 
número de horas de ginástica, mantendo constante o seu nível de satisfação, evidenciando o facto de ela 
preferir praticar apenas uma única modalidade em vez de praticar as duas simultaneamente. 
 
d) Tanto a Mariana como a Marta consideram a possibilidade de substituição de uma modalidade por 
outra. No entanto, a convexidade das curvas de indiferença, representativas das preferências de 
Mariana, exprime que este processo de substituição se torna cada vez mais difícil e, no limite, 
impossível - em valor absoluto, a TMSY,X é decrescente – o que significa que ela prefere diversificar o 
seu consumo, praticando ambas modalidades desportivas. A Marta, pelo contrário, prefere especializar-
se, praticando uma única modalidade desportiva, razão pela qual, em valor absoluto, a TMSY,X é 
crescente. 
 
Exercício 2.8 Curvas de indiferença e taxa marginal de substituição – bens 
substitutos perfeitos 
 
Considere que as preferências da Margarida em relação à prática de natação e de ginástica 
são descritas pela função utilidade V=X+Y, com X≥0 e Y≥0, na qual X e Y designam, 
respectivamente, o número de horas de natação e de ginástica que pratica por mês e V 
representa o índice de utilidade. 
a) Calcule a expressão analítica das curvas de indiferença associadas a esta função e 
represente graficamente as de índice 10, 20 e 30. 
b) Calcule a taxa marginal de substituição de ginástica por natação e explique o seu 
significado económico. 
 
Resolução 
 
a) Seja v uma constante 
positiva qualquer: v=X+Y, pelo que a 
expressão geral das curvas de 
indiferença é: Y = v - X. 
Graficamente, as curvas de 
indiferença, associadas a esta função, 
são representadas por linhas rectas 
com declive igual a (-1) - Figura 2.8. 
Substituindo os valores de v do 
enunciado obtem-se a expressão de 
cada uma das curvas de indiferença 
pedidas : 
Y=10-X ; Y=20-X e Y=30-X 
 
 Figura 2.8 Curvas de indiferença da Margarida 
 
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21
b) 1TMS
dX
dYTMS X,YX,Y =⇔= 
A taxa marginal de substituição é constante, o que significa que, para aumentar o tempo afecto à prática 
de natação em 1 hora por mês, a Margarida está disposta a desistir sempre do mesmo tempo dedicado à 
prática de ginástica, mantendo constante o seu nível de satisfação. Isto significa que, para a Margarida, 
estas duas modalidades desportivas são perfeitamente substituíveis. Como a taxa marginal de 
substituição é igual a um, significa ainda que ela atribui exactamente o mesmo valor a uma e a outra 
modalidade. 
 
 
Exercício 2.9 Curvas de indiferença e taxa marginal de substituição – bens 
complementares perfeitos 
 
Suponha que, em relação à prática de natação e de ginástica, as preferências da Maria são 
descritas pela função : T= min {2X ,Y}. com X≥0 e Y≥0, na qual X e Y designam, 
respectivamente, o número de horas de natação e de ginástica que pratica por mês e T 
representa o índice de utilidade. 
a) Que relação existe entre estas duas modalidades desportivas para a Maria? 
b) Represente graficamente as curvas de indiferença de índices 5, 10 e 15. 
 c) Examine o comportamento da taxa marginal de substituição de ginástica por natação. 
 
Resolução 
 
a) Para a Maria estas duas modalidades desportivas são perfeitamente complementares. Para obter um 
dado nível de satisfação ela tem que praticar simultaneamente as duas modalidades, mas numa 
proporção fixa. Concretamente, o tempo dedicado à ginástica é sempre metade do que o que é afecto à 
natação. As curvas de indiferença têm a forma de ângulos rectos, cujos vértices se expandem ao longoda linha que define aquela proporção fixa : Y=0,5 X 
b) 
 
 
 Figura 2.9: Curvas de indiferença da Maria 
 
 Teoria do Consumidor – Questões Práticas (Versão Provisória) 
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22
 
c) Considere-se, por exemplo, a curva de indiferença de índice 5, cujo vértice tem como coordenadas 
(X=10, Y=5). No seu ramo horizontal, a taxa marginal de substituição de ginástica por natação é zero, 
porque se aumentar a prática desta modalidade para além de 10 horas por mês, a Maria não estará 
disposta a desistir da prática de nenhuma hora de ginástica, mantendo constante o seu nível de 
satisfação. No seu ramo vertical, o valor da TMSY,X é igual a infinito, pois para aumentar a prática da 
ginástica para mais de 5 horas por mês, ela não está disposta a reduzir a prática de natação em menos 
de 10 horas por mês, mantendo-se constante o seu nível de satisfação. No vértice, a TMSY,X é 
indeterminada. 
 
Exercício 2.10 Equilíbrio do Consumidor 
 
Considere as preferências da família Gonçalves em relação ao consumo de peixe (bem 
X) e de carne (bem Y) do exercício 2.5, descritas pela função: U=2x0,5y0,5 
Suponha que o orçamento mensal que esta família dispõe para gastar integralmente na 
aquisição destes dois bens é de 40 unidades monetárias (u.m.) e que os preços médios 
de cada um deles são: Px = 4 u.m./kg e Py = 1 u.m./kg. 
1-a) Determine a quantidade de cada bem que, em equilíbrio, esta família adquirirá 
mensalmente. 
 b) Explique por que razão a combinação (x=8; y=8) não é de equilíbrio, bem como 
o processo conducente ao equilíbrio. Ilustre a sua resposta graficamente. 
2) Admita agora que as preferências da família Fonseca em relação a estes dois bens 
são descritas pela função de utilidade ordinal: T = 2x + y, onde x designa a 
quantidade de peixe, em kg/mês, e y a quantidade de carne, em kg/mês, e T é o 
índice de utilidade. Esta família gasta, também, mensalmente 40 u.m. na aquisição 
destes bens. 
a) Calcule a TMS y,x e interprete o seu significado. Que conclui sobre a relação entre 
estes dois bens para esta família? 
b) Determine a situação de equilíbrio da família Fonseca e ilustre-a graficamente. 
3) Examine o efeito da duplicação do preço da carne sobre a situação de equilíbrio de 
cada uma destas famílias. Ilustre a sua resposta graficamente. 
 
Resolução 
 
1-a) O problema a resolver é: 
yx440
yx2UMAX 5050
yx
+=
=
 a sujeito
 ,,
, 
O consumidor está em equilíbrio, maximizando o nível de satisfação que está ao alcance do seu poder 
de compra, se não for induzido a redistribuir o seu rendimento entre a aquisição dos bens X e Y. Tal 
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23
ocorre quando, em valor absoluto, o declive da curva de indiferença for igual ao declive da recta de 
orçamento. Isto significa que, em valor absoluto, a taxa a que o consumidor está disposto, segundo as 
suas preferências, a substituir um bem pelo outro - a razão de troca subjectiva entre os dois bens 
(TMSy,x) - é igual à taxa a que se podem substituir estes dois bens no mercado , ou seja, é igual à sua 
razão de preços (Px /Py). 
 
Deste modo, para haver equilíbrio é necessário que se verifiquem as seguintes condições: 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+=
=
=
yPxPR
P
P
TMS
yxU
yx
y
x
xy,
5,05,02
 (1) 
Estas condições são, também, condições suficientes para a maximização do nível de satisfação, quando 
a solução de equilíbrio é interior (em equilíbrio o consumidor adquire ambos os bens), o que é o caso 
presente dado que as curvas de indiferença são estritamente convexas e não intersectam os eixos 
coordenados. 
 
x
yTMS
UMg
UMgTMS x,y
y
x
x,y =⇔= 
Substituindo os valores em (1) e resolvendo o sistema: 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
=
=⇔=
⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+=
=⇔
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+=
=
=
5x
20y
20U20.52U
x4x440
x4y
___
yx440
4
x
y
yx2U 5,05,0 
 
 
Alternativamente: 
2
2
xyxy
x4
UTMS
dx
dyTMS =⇔−= ,, 
A solução de equilíbrio obtém-se através da resolução do sistema: 
 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
=
⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+=
=
⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧ =
⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+=
=
⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=⇔
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+=
=
=
20y
20U
5x
20y
4yx
yy40
yx4yx2
x4U
Yx2x4
x16U
yx440
4
x4
U
yx2U 50505050
22
2
2
5050
__
/
___
___
___
______
___ ,,,,
,,
 
Em equilíbrio, a família Gonçalves consome mensalmente 5 kg de peixe e 20 kg de carne, situando-se 
na curva de indiferença de índice 20. 
 
1-b) Se esta família adquirir mensalmente 8 kg de peixe e 8 kg de carne, esgotará o rendimento que 
utiliza para comprar estes dois bens, mas não alcança a máxima satisfação que está ao alcance do seu 
poder de compra - ponto A da figura 2.10-a) - pelo que não estará em equilíbrio. Com efeito, nesta 
combinação a TMSy,x é igual a 1 (TMSy,x = y/x), sendo inferior à razão de preços que é igual a 4. Deste 
modo, para adquirir uma quantidade adicional de peixe (bem X), esta família está disposta a prescindir 
de igual montante de carne (bem Y), mantendo constante o seu nível de satisfação, enquanto que no 
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24
mercado terá de renunciar a uma quantidade de carne que é quádrupla daquela, mantendo constante a 
sua despesa total. 
Consequentemente, no 
mercado, o valor do bem X 
em termos do bem Y é 
superior ao que esta família 
lhe atribui, pelo que ela pode 
aumentar o seu nível de 
satisfação transferindo 
dinheiro da compra do bem X 
para a do bem Y. Por esta via, 
e mantendo constante a sua 
despesa, ela vai adquirindo 
combinações de bens que se 
situam em curvas de 
indiferença de nível mais 
elevado, aumentando o seu 
nível de satisfação - por ex: 
ponto B, da figura 2.10-a). 
 
Figura 2.10 - a) Equilíbrio da família Gonçalves 
Este processo de redistribuição do rendimento da compra do bem Y para a compra do bem X cessa 
quando ela se situar no ponto C da figura 2.10-a), onde a recta de orçamento tangencia a curva de 
indiferença de índice 20. Neste ponto, a taxa a que esta família está disposta a substituir um bem pelo 
outro é igual à taxa a que pode substituir um bem pelo outro no mercado, pelo que não poderá aumentar 
o seu nível de satisfação através da redistribuição do seu rendimento entre a aquisição dos dois bens, 
tendo alcançado a situação de equilíbrio. 
 
2-a) Família Fonseca: T=2x+y 
1UMg
y
TUMg2UMg
x
TUMgTMS
UMg
UMg
TMS yyxxxy
y
x
xy =⇔∂
∂==⇔∂
∂==⇔= e pois 2,, 
Significa que para aumentar o consumo de peixe em 1 kg por mês, esta família está disposta a 
prescindir do consumo de 2 kg de carne, mantendo constante o seu nível de satisfação. Sendo a TMSy,x 
constante, então para a família Fonseca estes dois bens são substitutos perfeitos. 
 
2-b) Neste caso, o valor da TMSy,x é sempre inferior à razão de preços, pelo que o consumidor está em 
equilíbrio quando gasta todo o seu rendimento na aquisição do bem Y (solução de canto), adquirindo40 
kg de carne por mês (y=R/Py) e nenhum quilograma de peixe (x=0), situando-se na curva de 
indiferença de índice 40 - figura 2.10-b). 
 
De facto, segundo as preferências desta 
família, o bem X é duas vezes mais 
 
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25
valioso do que o bem Y (TMSy,x=2), mas 
custa quatro vezes mais no mercado 
(Px/Py =4). Em consequência ela desiste 
de comprar o bem X, pois atribui-lhe 
relativamente menos valor do que ele 
custa no mercado, e gasta todo o seu 
rendimento no bem Y, maximizando o 
seu nível de satisfação. 
 
 
Figura 2.10-b) Equilíbrio da Família Fonseca 
 
3) Família Gonçalves: 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
≅
⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
−
⇔
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+=
=
=
5x
10y
1414U
x840
x2y
y2x440
2
x
y
yx2U 5050 ,
,,
 
O aumento do preço da carne conduz à diminuição do nível de satisfação desta família, a qual 
consumirá agora 5 kg de peixe e 10 kg de carne por mês, situando-se numa curva de indiferença que se 
encontra mais próxima da origem dos eixos- ponto E1 em (i) da figura 2.10-c). 
 
Família Fonseca: Se o preço da carne duplicar, a razão de preços entre os dois bens é igual a 2, 
passando o declive da recta de orçamento a ser igual ao das curvas de indiferença. Deste modo, o valor 
que esta família atribui ao peixe em termos da carne é igual à taxa a que se troca um pelo outro no 
mercado. Em consequência, a solução de equilíbrio não é única e é indeterminada, no sentido em que, 
qualquer combinação de bens que se situe na curva de indiferença de índice 20, que coincide com a 
recta de orçamento, é de equilíbrio. Esta família poderá consumir só peixe (10 kg por mês), só carne 
(20 kg por mês) ou qualquer combinação de carne e peixe que lhe seja economicamente acessível – ver 
(ii) da figura 2.10-c) -, alcançando um nível de satisfação inferior ao que usufruía antes do aumento do 
preço da carne. 
 
 
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26
 
 
 
 
Figura 2.10-c) Efeito da duplicação do preço da carne sobre a situação de equilíbrio 
 
2.11 Equilíbrio do consumidor 
 
Suponha que o rendimento afecto mensalmente à prática de natação e de ginástica 
pela Marta, Mariana, Margarida e Maria, cujas preferências foram examinadas nos 
exercícios 2.6 a 2.9, é de 60 unidades monetárias: 
a) Determine a situação de equilíbrio para cada uma delas, admitindo que o preço de 
cada hora de natação e de ginástica é igual a 2 u.m. 
b) Examine o efeito sobre a situação de equilíbrio resultante de o preço de 1 hora de 
natação ter aumentado para 3 u.m. Ilustre graficamente a sua resposta. 
 
 
Resolução 
 
a.1) Mariana (exercício 2.6: U=XY) 
 ;
X
YTMS
UMg
UMg
TMSXUMgYUMg Y,X
Y
X
X,YYX =⇔=== 
Em equilíbrio: 
 
⎩⎨
⎧
=
=⇔
⎩⎨
⎧
=
=⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+=
=
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+=
=
15
15
4602260
1
 :doSubstituin ,
X
Y
X
XY
YX
X
Y
YPXPR
P
PTMS
YX
Y
X
XY 
 
A Mariana praticará 15 horas de natação e de ginástica por mês, ponto que se situa na curva de 
indiferença de índice 225 (U= 15 x 15), onde a recta de orçamento é tangente a essa curva – ver ponto 
Eo da figura 2.11-a). 
 
a.2) Marta (exercício 2.7 : S=2X2+Y2 e TMSy,x=2X/Y ) 
 
(i) Família Fonseca 
(ii) Família Gonçalves 
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27
Neste caso, como se viu, as preferências são côncavas, pelo que a Marta prefere praticar uma das 
modalidades desportivas a qualquer combinação das duas, a solução de equilíbrio sendo uma solução 
de canto. Ela praticará apenas natação (X>0, Y=0) ou só ginástica (X=0, Y>0), escolhendo aquela que, 
tendo em conta os preços, lhe permita obter a máxima satisfação11. Examinemos cada um dos casos: 
 
− Se praticar só natação, com o rendimento que possui, poderá praticar 30 horas desta 
modalidade por mês (X= R/PX), alcançando a curva de indiferença de índice 1800 
(S=2x302+0) - ver ponto Eo da figura 2.11-b) ; 
− Se praticar apenas ginástica, poderá praticar 30 horas por mês (Y=R/PY) e atingirá a curva de 
indiferença de índice 900 (S=2x02+302) - ver ponto E1 da figura 2.11-b). 
Consequentemente, em equilíbrio, a Marta praticará apenas natação (30 horas por mês), pois é essa a 
situação em que maximiza o seu nível de satisfação - ponto Eo da figura 2.11-b). 
 
Note-se que, a solução interior não é de equilíbrio - ver ponto A da figura 2.11-b)-, pois implica um 
menor nível de satisfação: 
 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
=
=⇔+=
⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=⇔
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+=
=
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+=
=
+=
10X
20Y
600S20102S
X660
X2Y
Y2X260
1
Y
X2
YPXPR
P
P
TMS
YX2S 22
YX
Y
X
XY
22
 . ______
 :doSubstituin , 
 
 
a.3) Margarida (exercício 2.8: V=X+Y e TMSy,x=1) 
 
Para a Margarida a TMSY,X é constante e igual à unidade. Como a razão de preços é igual a 1, então a 
recta de orçamento coincide com a curva de indiferença de índice 30 (60=2X+2Y Ù 30=X+Y). Deste 
modo, a solução de equilíbrio não é única e é indeterminada: praticar só natação ou só ginástica ou 
qualquer combinação das duas modalidades ao alcance do seu poder de compra proporciona-lhe o 
mesmo nível de satisfação, sendo qualquer uma dessas alternativas uma solução de equilíbrio - na 
figura 2.11-c), qualquer um dos pontos situados no segmento AB. 
 
a.4) Maria (exercício 2.9: T= min {2X ,Y}) 
 
Para a Maria as duas modalidades desportivas são estritamente complementares e praticadas na 
proporção fixa: Y=0,5 X 
⎩⎨
⎧
=
=⇔
⎩⎨
⎧
+=
−⇔
⎩⎨
⎧
+=
=
20X
10Y
X502X260Y2X260
X50Y
),(
,
 
 
Consequentemente, em equilíbrio, ela praticará 20 horas de natação, gastando nessa modalidade 40 
u.m., e 10 horas de ginástica, onde gasta 20 u.m., esgotando assim o seu rendimento (60 u.m.) - ver 
ponto Eo da figura 2.11-d). A curva de indiferença mais elevada que alcança é a de índice 10: 
T=min {2 x 10, 10} Ù T=10 
 
11 Note-se que poderá existir, também, uma solução de equilíbrio múltiplo, caracterizada pelo facto de qualquer uma das 
soluções (X=0, Y>0) e (X>0, Y=0) poder ser de equilíbrio. Isso acontecerá se a recta de orçamento intersectar a curva de 
indiferença de nível mais elevado nos dois pontos em que esta curva intersecta os eixos coordenados. 
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28
 
b) Para examinar o efeito do aumento do preço sobre a situação de equilíbrio tem que calcular-se a 
nova situação de equilíbrio e compará-la com a calculada na alínea a). 
 
b.1) Mariana (exercício 2.6) 
 
Em equilíbrio: 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
=
⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=⇔
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+=
=
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+=
=
=
10X
15Y
150U
X660
X51Y
Y2X360
2
3
X
YYPXPR
P
P
TMS
XYU
YX
Y
X
XY ,
______
 :doSubstituin , 
 
 
 
O aumento do preço da 
natação teve por efeito que 
a Marta reduzisse a prática 
desta modalidade em 5 
horas por mês, embora 
continue a praticar o 
mesmo número de horas 
de ginástica, reduzindo o 
seu nível de bem-estar. O 
ponto de equilíbrio 
deslocou-se de Eo para 
E1 na figura 2.11-a). 
 
Figura 2.11-a) Equilíbrios da Mariana 
 
 
b.2) Marta (exercício 2.7) 
 
A solução é de canto: 
- se só praticar natação: X=20, pois X=R/PX , e o nível de satisfação é: S= 2 x 202+0 Ù S= 800; 
- se só praticar ginástica: Y=30, pois Y=R/PY , e o nível de satisfação é: S=2 x 0+302 Ù S=900. 
 
Consequentemente, em equilíbrio, a Marta passará a praticar apenas ginástica (X=0, Y=30), ou seja, a 
mudança do preço relativo dos bens provocou que ela alterasse totalmente o seu consumo, deixando de 
praticar natação e passando a praticar só ginástica – comparar ponto E1 da Figura 2.11-b) com o ponto 
Eo. 
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29
 
Figura 2.1-b) Equilíbrios da Marta 
 
 
 
b.3) Margarida (exercício 2.8) 
 
Como a TMSY,X=1, en-quanto que a 
razão de preços é igual a 1,5, em 
equilíbrio, a Margarida apenas 
praticará ginástica, pois é uma 
modalidade relativamente mais 
barata que a natação e, para ela, a 
ginástica e a natação são substitutos 
perfeitos e têm o mesmo valor. Ela 
gastará todo o seu ren-dimento nesta 
modalidade e fará ginástica 30 horas 
por mês, situando-se na curva de 
indiferença de índice 30. 
 
 
 
Figura 2.11-c) Equilíbrios da Margarida 
 
Neste caso, a alteração dos preços relativos acabou por não afectar o nível de bem-estar, mas provocou 
uma alteração radical do consumo de equilíbrio. Antes daquela alteração, qualquer ponto do segmento 
AB da figura 2.11-c) era um ponto de equilíbrio e, após, apenas o ponto B é de equilíbrio. 
 
 
 
b.4) Maria (exercício 2.9) 
 
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30
⎩⎨
⎧
=
=⇔
⎩⎨
⎧
+=
−⇔
⎩⎨
⎧
+=
=
15X
57Y
X502X360Y2X360
X50Y ,
),(
,
 
 
O aumento do preço da 
natação vai fazer com que 
a Maria reduza o número 
de horas que dedica a cada 
modalidade, pois para ela 
as duas modalidades são 
estritamente complemen-
tares, diminuindo o seu 
nível de bem-estar. A 
solução de equilíbrio 
passará a ser de 15 horas 
de natação e de 7,5 horas 
de ginástica e situa-se na 
curva de indiferença de 
índice 5 – ponto E1 da 
figura 2.11-d). 
 
Figura 2.11-d) Equilíbrios da Maria 
 
 
Nota: Da resolução deste exercício pode concluir-se que a solução de equilíbrio nem sempre é única. 
 
 
 
 
 
Exercício 2.12 Curva Consumo Rendimento, Curva de Engel, Curva Consumo 
Preço e Curva da Procura 
 
Considere que a ordenação das preferências de um consumidor é representada pela 
função índice de utilidade: U=X1X2, onde X1 e X2 representam, respectivamente, 
unidades dos bens X1 e X2 consumidas por período de tempo. 
Os preços dos dois bens são: PX1 = 10 u.m. e PX2 = 4 u.m. e o rendimento gasto 
integralmente pelo consumidor na sua aquisição é de 80 u.m. 
a) Qual é a combinação de bens que este consumidor deverá, racionalmente, 
adquirir? 
b) Defina curva consumo-rendimento e curva de Engel, explicitando os 
pressupostos subjacentes a estes conceitos? 
b-1) Determine as expressões analíticas daquelas curvas e comente o seu 
significado económico. Represente-as graficamente. 
b-2) Se, para um rendimento de 60 u.m., este consumidor adquirir 2 unidades do 
bem X1, estará a ser racional? 
c) Defina curva consumo-preço e curva da procura do bem X1, explicitando os 
pressupostos subjacentes a estes conceitos? 
c-1) Determine as expressões analíticas daquelas curvas e represente-as 
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_______________________________________________________________________________ 
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31
graficamente. 
c-2) Comente a configuração da curva consumo-preço. 
d) Calcule as expressões analíticas das elasticidades preço directa e cruzada da 
procura do bem X1, bem como a sua a elasticidade rendimento. Que conclui? 
 
Resolução 
 
a) Sendo a função utilidade de tipo Cobb-Douglas12, em equilíbrio o consumidor adquire ambos os 
bens (solução interior). A combinação óptima de bens é obtida através da resolução do sistema (1), que 
satisfaz as duas condições de equilíbrio do consumidor: 
 e que dado
, pois )( 
1X
2
X2X
1
X
1
2X
X
X
XX
X
2X1X
X
X
1
2
X2X1
X
XX
X
XUMg
X
UUMgXUMg
X
UUMg
X
X
TMS
UMg
UMg
TMS 
XPXPR
P
P
X
X
1
PXPXR
P
P
TMS
2211
2
1
2
12
1
21
2
1
21
2
12
1
=⇔∂
∂==⇔∂
∂=
=⇔=
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+=
=⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+=
=
 
Substituindo os valores de R e dos preços em (1): 
⎩⎨
⎧
=
=⇔
⎩⎨
⎧
+=
−⇔
⎩⎨
⎧
+=
=⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+=
=
4X
10X
X10X1080X524X1080
X5,2X
X4X1080
4
10
X
X
1
2
1111
12
21
1
2
, . 
 
(2) 
 
A combinação óptima de bens é constituída por 4 unidades do bem X1 e 10 unidades do bem X2 por 
período de tempo. 
 
b) 
A curva consumo-rendimento é o lugar geométrico dos pontos de equilíbrio do consumidor quando 
varia o seu rendimento nominal, tudo o mais constante. É definida sob as hipóteses de que as 
preferências do consumidor e os preços dos bens permanecem constantes, apenas variando o 
rendimento nominal do consumidor. 
A curva de Engel de um bem é derivada a partir da curva consumo-rendimento, pelo que assenta nos 
mesmos pressupostos. Mostra a relação entre a quantidade consumida desse bem, no equilíbrio do 
consumidor, e o rendimento nominal do consumidor, ceteris paribus. 
 
b-1) A curva consumo-rendimento é definida no espaço (X1,X2), para R variável. A sua expressão 
analítica relaciona X1 com X2 e é do tipo X2=f(X1) ou X1=g(X2). É obtida a partir da condição de 
igualdade entre a taxa marginal de substituição e o preço relativo dos bens13: 
 
12 Uma função utilidade do tipo Cobb-Douglas é igual a U=X1αX2β, α > 0 e β > 0 (neste caso α =1 e β =1) . As curvas de 
indiferença que lhe estão associadas são ramos de hipérboles (
βα
β
1
2
X
uX
1
= , onde u é uma constante positiva), cujas 
assímptotas coincidem com os eixos coordenados. Daí que, a solução de equilíbrio seja sempre, neste caso, uma solução interior. 
13 Se apenas variar o rendimento nominal do consumidor, a recta orçamental desloca-se paralelamente a si própria no espaço 
dos bens (X1, X2). Os sucessivos pontos de equilíbrio são dados pelos pontos de tangência entre as curvas de indiferença e a recta 
orçamental associada a cada nível de rendimento, satisfazendo portanto a condição de igualdade entre a taxa marginal de 
substituição entre os bens e a sua razão de preços. 
 Teoria do Consumidor – Questões Práticas (Versão Provisória)_______________________________________________________________________________ 
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32
12
1
2
X
X
XX X52X4
10
X
X
P
P
TMS
2
1
21
,, =⇔=⇔= 
A curva consumo-rendimento é uma recta que passa pela origem dos eixos coordenados e tem declive 
positivo, o que significa que os bens X1 e X2 são bens normais, dado que o rendimento nominal do 
consumidor e o consumo de cada um destes bens variam no mesmo sentido, ceteris paribus. 
A curva de Engel do bem X1 tem expressão analítica do tipo X1=f(R), enquanto que a da curva de 
Engel do bem X2 é do tipo X2=g(R). Para as calcular, considera-se o sistema definido pelas equações 
da curva consumo-rendimento e da recta orçamental, considerando-se R variável e PX1 e PX2 constantes 
(10 u.m e 4 u.m, respectivamente). 
 
⎪⎩
⎪⎨
⎧ =⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−
=⇔
⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=⇔⎪⎩
⎪⎨⎧ =
−
⎪⎩
⎪⎨⎧ +=
−⇔⎪⎩
⎪⎨⎧ +=
=
_
2X bem do Engel de Curva ,
1X bem do Engel de Curva 
_
, . 
,
 (3)
8
R
2X20
R522X
20
R
1X1X20R1X5241X10R2X41X10R
X52X 12
 
Confirma-se que ambos os bens são normais, uma vez que o declive das suas curvas de Engel é 
positivo. 
 
 
 
 
Figura 2-12 a) Curvas consumo-rendimento e de Engel 
 
b-2) Utilizando a equação da curva de Engel do bem X1, acima claculada, conclui-se que, para R=60 
u.m, X1=3. Consequentemente, se o consumidor adquirir 2 unidades deste bem por período de tempo, 
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33
ele não estará em equilíbrio, pois não maximiza o seu nível de satisfação, não sendo o seu 
comportamento racional. 
 
c) A curva consumo-preço do bem X1 é o lugar geométrico dos pontos de equilíbrio do consumidor 
quando varia o preço do bem X1, ceteris paribus. Assume-se, portanto, que se mantêm constantes as 
preferências do consumidor, o seu rendimento e o preço do outro bem. 
A curva da procura individual do bem X1 é deduzida a partir da curva consumo-preço, pelo que assenta 
nos mesmos pressupostos que a esta estão subjacentes. Descreve a relação entre o preço deste bem e a 
quantidade procurada desse bem no equilíbrio do consumidor, ceteris paribus. 
 
c-1) A curva consumo-preço é definida no espaço (X1,X2), para PX1 variável e a sua expressão é do tipo 
X2=f(X1) ou X1=g(X2). Para a calcular considera-se o sistema (4), no qual PX1 é variável e PX2 e R são 
constantes (4 u.m. e 80 u.m., respectivamente), e resolve-se de modo a encontrar a relação entre X1 e X2 
que se pretende: 
 
⎩⎨
⎧
=
−⇔
⇔
⎩⎨
⎧
+=
−⇔
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+=
=
⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+=
=⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+=
=
1
,
X bem do preço-consumo Curva 
 
(5) 
 (4)
10X
X4X480
X4X
X
X4
80
X
X4
P
X4XP80
4
P
X
X
XPXPR
P
P
TMS
2
22
21
1
2
1
2
X
21X
X
1
2
2X1X
X
X
XX
1
1
1
21
2
1
12
 
 
A curva da procura do bem X1 tem por expressão analítica do tipo: X1 = f(PX1) e obtém-se a partir da 
resolução do sistema (4)14 , mas de modo a encontrar a relação entre X1 e PX1: 
 
 
X bem do procura da Curva 
 
1⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=⇔=⇔+=
=
⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+=
=
1
1
1
1
1
1
1
X
11X
1X
1X
1X
2
21X
X
1
2
P
40XXP280
4
XP
4XP80
4
XP
X
X4XP80
4
P
X
X
 
A curva da procura é o ramo de uma hipérbole equilátera que tem por assímptotas os eixos 
coordenados, pelo que se trata de uma curva da procura de elasticidade preço constante e igual à 
unidade. 
 
 
 
14 Note-se que a expressão da curva da procura podia ter sido obtido atrás, se se tivesse completado a resolução do sistema (4), 
substituindo a expressão obtida para a curva consumo preço na equação (5) desse sistema. 
 Teoria do Consumidor – Questões Práticas (Versão Provisória) 
_______________________________________________________________________________ 
Maria Clementina Santos, Helder Valente e Isabel Godinho 
34
 
 
 Figura 2.12b) Curva consumo-preço e curva da procura do bem X1 
 
 
 
c-2) A curva consumo preço do bem X1 é uma recta com declive nulo (dX2 /dX1 = 0). Se se 
convencionar representar graficamente o bem X1 no eixo dos abcissas (eixo dos XX) e o bem X2 no 
eixo das ordenadas (eixo dos YY), obtém-se uma recta paralela ao eixo dos XX, com ordenada na 
origem igual a 10. Daí decorre que o consumo do bem X2 permanece constante e igual a 10 unidades 
por período de tempo, quando varia o preço do bem X1, ceteris paribus. Significa que os bens X1 e X2 
são independentes no consumo. 
Mas, se o consumo do bem X2 não se altera, com a variação do preço do bem X1, e uma vez que o preço 
do bem X2 é por hipótese constante e igual a 4 u.m., então a despesa que o consumidor realiza com a 
aquisição do bem X2 é sempre a mesma (40 u.m.). Em consequência, a despesa realizada pelo 
consumidor na aquisição do bem X1 terá, também, de ser sempre a mesma (PX1 X1 = R – PX2 X2), ou 
seja, de 40 u.m., qualquer que seja o preço do bem X1. Tal significa que a elasticidade preço-directa da 
procura do bem X1 é constante e igual à unidade. 
Em suma, quando a curva consumo preço do bem X1 tem declive nulo, a curva da procura do bem X1 é 
isoelástica e de elasticidade unitária, sendo a elasticidade cruzada da procura do bem X2 em relação ao 
preço do bem X1 nula15. 
 
 
 
15 Note que se está perante um caso especial em que a função procura ordinária de cada bem depende apenas do preço do próprio 
bem e do rendimento do consumidor, o qual resulta de as preferências deste consumidor serem do tipo Cobb-Douglas. 
 Teoria do Consumidor – Questões Práticas (Versão Provisória) 
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Maria Clementina Santos, Helder Valente e Isabel Godinho 
35
d) Em primeiro lugar, tem que se calcular a expressão analítica da procura do bem X1 em função das 
suas determinantes: X1 = f (PX1, PX2, R), que relaciona a quantidade procurada óptima de X1 com os 
preços de cada bem e o rendimento nominal do consumidor. 
 X bem do Procura Função 
-
1
 
P2
RX
XP2R
-
XPXPR
P
XP
PXPR
P
XP
X
XPXPR
P
P
X
X
1
111
2
1
21
2
1
21
2
1
X
1
1X1X1X
X
1X
X1X
X
1X
2
2X1X
X
X
1
2
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
−
⇔
⇔
⎩⎨
⎧
=⇔⎩⎨
⎧
+=⇔
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+=
=
⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+=
=
 
 
Confirma-se que a função procura16 do bem X1 não depende do preço do bem X2. Utilizando esta 
expressão da função procura, podem-se calcular as suas elasticidades: 
 
 
• Elasticidade Preço-directa da Procura (EX1, PX1) 
 
1E
R
P2
P2
RE
P2
R
P
P2
RE
X
P
P
X
E
X1
1
1
1X1
1
1
1
1X1
1
1X1 PX
2
X
2
X
PX
X
X
2
X
PX
1
X
1X
1
PX =⇔=⇔⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
−−=⇔∂
∂−= ,,,, 
 
• Elasticidade Preço-cruzada da Procura (EX1, PX2) 
 
0
P
X
0E
X
P
P
X
E
2
2Y1
2
2
2Y1
X
1
PX
1
X
X
1
PX =∂
∂=⇔∂= que dado , ,, 
 
• Elasticidade Rendimento da Procura (EX1, R) 
 
1E
R
RP2
P2
1E
P2
R
R
P2
1E
X
R
R
X
E RX
X
X
RX
X
X