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Geometria Analı´tica e A´lgebra Linear 2o Lista de Exercı´cios 1) O paralelogramo ABCD e´ determinado pelos vetores −→ AB e −−→ AD, sendo M e N os pontos me´dios dos lados DC e AB, respectivamente. Encontre em termos dos pontos A,B,C,D,M e N , os seguintes vetores: a) −−→ AD + −→ AB b) −→ BA+ −−→ DA c) −→ AC −−−→BC d) −−→ AN + −−→ BC e) −−→ MD + −−→ MB f) −−→ BM − 1 2 −−→ DC 2) Prove que a soma dos vetores com origem no centro de um triaˆngulo equila´tero (regular) e extremidades nos ve´rtices desse triaˆngulo e´ igual ao vetor nulo. O mesmo vale para um quadrado? 3) Dados os vetores ~u = (3,−1) e ~v = (−1, 2), determine ~w tal que: a) 4(~u− ~v) + 1 3 ~w = 2~u− ~w b) 3~w − (2~v − ~u) = 2(4~w − 3~u) 4) Dados os vetores ~u = (3,−4) e ~v = (−9/4, 3), verifique se existem nu´meros a e b tais que ~u = a~v e ~v = b~u. 5) Considere os vetores ~u = (2,−4), ~v = (−5, 1) e ~w = (−12, 6), determine k1 e k2 tais que ~w = k1~u+ k2~v. 6) Considere os pontos A = (−1, 3), B = (1, 0) e C = (2,−1), determine D de modo que −−→ DC = −→ BA. 7) Se os pontos A e B possuem coordenadas (2,−3, 1) e (4, 5,−2), respectiva- mente, encontre o ponto P tal que −→ AP = −−→ PB. 8) Encontre a1 e a2 tais que ~w = a1 ~v1+a2 ~v2 , sendo v1 = (1,−2, 1), v2 = (2, 0,−4) e ~w = (−4,−4, 14). 1 9) Verifique se os seguintes pontos sa˜o colineares: a) A = (−1, 5, 0), B = (2, 1, 3) e C = (−2,−7,−1) b) A = (2, 1,−1), B = (3,−1, 0) e C = (1, 0, 4) 10) Calcule a e b de modo que os pontos A = (3, 1,−2), B = (1, 5, 1) e C = (a, b, 7) sejam colineares. 11) Dados os vetores ~u = (1, a,−2a − 1), ~v = (a, a − 1, 1) e ~w = (a,−1, 1), determine a de modo que: ~u · ~v = (~u+ ~v) · ~w 12) Dados os pontos A = (−1, 0, 2), B = (−4, 1, 1) e C = (0, 1, 3), determine o vetor ~x tal que: 2~x−−→AB = ~x+ (−−→BC · −→AB)−→AC 13) Seja o vetor ~v = (m+7)ˆi+(m+2)jˆ+5kˆ. Calculem de modo que ‖ ~v ‖= √38. 14) Dados os pontos A = (1, 0,−1), B = (4, 2, 1) e C = (1, 2, 0). Encontre m para que ‖ ~v ‖= 7, sendo ~v = m−→AC +−−→BC. 15) Se os pontos A,B e C sa˜o ve´rtices de um triaˆngulo equila´tero de lado 10 cm. Calcule o produto escalar entre os vetores −→ AB e −→ AC. 16) Os lados de um triaˆngulo retaˆngulo ABC (reto em A) medem 5, 12 e 13. Calcule: −→ AB · −→AC +−→BA · −−→BC +−→CA · −−→CB 17) Sabendo que o aˆngulo entre ~u = (2, 1,−1) e ~v = (1,−1,m+2) e´ pi/3, deter- mine m. 18) Determine o vetor ~v ortogonal ao vetor ~u = (2,−3,−12) e colinear ao vetor ~w = (−6, 4,−2). 19) Determine o vetor ~v, colinear ao vetor ~u = (−4, 2, 6) tal que ~v · ~w = −12, sendo ~w = (−1, 4, 2) 20) Verifique se existe aˆngulo reto no triaˆngulo ABC, sendo A = (2, 1, 3), B = (3, 3, 5) e C = (0, 4, 1). 2 21) Encontre o vetor projec¸a˜o do vetor ~u = (1, 2,−3) na direc¸a˜o do vetor ~v = (2, 1,−2). 22) Qual o comprimento do vetor projec¸a˜o de ~u = (3, 5, 2) sobre os eixos x, y e z? 23) Escreva o vetor W = (2, 3, 1) como a soma W = U + V , sabendo que o ve- tor U possui a direc¸a˜o do vetor S = (−3,−1, 0) e o vetor V e´ ortogonal ao vetor U . 24) Mostre que se ~u e ~v sa˜o vetores na˜o-nulos tais que ~u+~v e ~u−~v sa˜o ortogo- nais, enta˜o ‖ ~u ‖=‖ ~v ‖. 25) Mostre que se ~u e´ ortogonal a ~v e a ~w, ~u tambe´m sera´ ortogonal a ~v + ~w e a ~u− ~w. 26) Calcule o mo´dulo dos vetores ~u+~v e ~u−~v, sabendo que ‖ ~u ‖= 4, ‖ ~v ‖= 3 e o aˆngulo entre ~u e ~v e´ 60o. 27) Determine o vetor ~u · ~v + ~u · ~w + ~v · ~w, sabendo que ~u + ~v + ~w = ~0, ‖ ~u ‖= 2, ‖ ~v ‖= 3 e ‖ ~w ‖= √5. 28) O vetor ~v e´ ortogonal aos vetores ~a = (1, 2, 0) e ~b = (1, 4, 3) e forma um aˆngulo agudo com o eixo dos x. Determine ~v, sabendo que ‖ ~v ‖= 14. 29) Dados os vetores ~u = (2, 1, 1), ~v = (1,−1, 0) e ~w = (−1, 2, 2), calcule: a) ~w × ~v b) ~v × (~w − ~u) c) (~u+ ~v)× (~u− ~v) d) (2~u)× (3~v) e) (~u×~v) ·(~u×~v) f) (~u×~v) · ~w e ~u ·(~v× ~w) g) (~u×~v)× ~w e ~u×(~v× ~w) 30) Determine um vetor simultaneamente ortogonal aos vetores 2~a+~b e~b−~a, sendo ~a = (3,−1,−2) e~b = (1, 0,−3). 31) Encontre um vetor unita´rio que perpendicular aos vetores ~v1 = (1, 1, 0) e ~v2 = (2,−1, 3). 32) Mostre que o quadrila´tero cujos os ve´rtices sa˜o os pontos A = (1,−2, 3), B = (4, 3,−1), C = (5, 7,−3) eD = (2, 2, 1) e´ um paralelogramo e calcule sua a´rea. 3 33) Calcule a a´rea do triaˆngulo de ve´rtices: a) A = (−1, 0, 2), B = (−4, 1, 1) e C = (0, 1, 3) b) A = (1, 0, 1), B = (4, 2, 1) e C = (1, 2, 0) 34) Determine ~v tal que ~v e´ ortogonal ao eixo dos y e ~u = ~v × ~w, sendo ~u = (1, 1,−1) e ~w = (2,−1, 1). 35) Sendo ~u e ~v vetores do espac¸o, com ~v 6= ~0. a)Determine o nu´mero real r tal que ~u−r~v seja ortogonal a ~v. O que representa o vetor r~v ? b) Mostre que (~u+ ~v)× (~u− ~v) = 2(~v × ~u). 36) Mostre a identidade de Lagrange: ‖ ~u× ~v ‖2=‖ ~u ‖2‖ ~v ‖2 −(~u · ~v)2 37) Sejam ~u e ~v vetores do espac¸o quaisquer. Mostre as seguintes desigualda- des: a) |~u · ~v| ≤‖ ~u ‖ ‖ ~v ‖ b) ‖ ~u+ ~v ‖2≤ (‖ ~u ‖ + ‖ ~v ‖)2 38) Verifique se os seguintes pontos sa˜o coplanares: a) A = (1, 1, 1), B = (−2,−1,−3), C = (0, 2,−2) e D = (−1, 0,−2) b) A = (1, 0, 2), B = (−1, 0, 3), C = (2, 4, 1) e D = (−1,−2, 2). 39) Encontre o valor de k que torna os seguintes vetores coplanares: a) ~a = (2,−1, k), ~b = (1, 0, 2) e ~c = (k, 3, k) b) ~a = (2, 1, 0), ~b = (1, 1,−3) e ~c = (k, 1,−k) 40) Sejam os vetores ~u = (1, 1, 0), ~v = (2, 0, 1), ~w1 = 3~u − 2~v, ~w2 = ~u + 3~v e ~w3 = iˆ+ jˆ − 2kˆ. Determine o volume do paralelepı´pedo definido por ~w1, ~w2 e ~w3. 41) Dados os pontos A = (1,−2, 3), B = (2,−1,−4), C = (0, 2, 0) e D = (−1,m, 1), determine o valor de m para que seja de 20 unidades de volume, o volume do paralelepı´pedo determinado pelos vetores −→ AB, −→ AC e −−→ AD. 4
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