Lista 7 Vetores

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO
INSTITUTO DE CIEˆNCIAS EXATAS E BIOLO´GICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA
Se´tima Lista de Exerc´ıcios de Geometria Anal´ıtica e Ca´lculo Vetorial - MTM 131 (2016/I)
Professor: Vin´ıcius V. P. de Almeida
1. Considere os vetores u = (4, −1, 2), v = (3, −2, −4) e w = (a, b, c). Encontre a, b e c tais que:
a) w − u = v, b) w = 3v, c) u+ w = 2u− v.
2. Considere os vetores u = (−3, 1, 2), v = (4, 0, −8) e w = (6, −1, −4). Encontre escalares α1, α2 e α3 tais
que α1u+ α2v + α3w = (2, 0, 4).
3. Encontre todos os escalares α1, α2 e α3 tais que α1u + α2v + α3w = (0, 0, 0), onde u = (1, 2, −3), v =
(2, 1, −3) e w = (−2, 5, −6).
4. Considere os vetores u = (2, −3, 2), v = (−1, 2, 4).
a) Escreva w = (7, −11, 2) como combinac¸a˜o linear de u e v.
b) O vetor (2, −5, 4) pode ser escrito como combinac¸a˜o linear de u e v? Justifique.
b) Para que valores de k o vetor w = (−8, 14, k) e´ combinac¸a˜o linear de u e v.
d) Encontre condic¸o˜es sobre a, b e c de modo que o vetor w = (a, b, c) seja combinac¸a˜o linear de u e v.
5. Mostre que (1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 1, −1) geram o R3. O que isto significa?
6. Determine condic¸o˜es sobre a, b e c de modo que (a, b, c) ∈ R3 pertenc¸a ao espac¸o gerado pelos vetores
u = (2, 1, 0), v = (1, −1, 2) e w = (0, 3, −4).
7. Para qual valor de k o vetor u = (1, −2, k) ∈ R3 pertenc¸a ao espac¸o gerado pelos vetores v = (3, 0, −2), w =
(2, −1, −5).
8. Determine condic¸o˜es sobre a, b e c para que o vetor v = (a, b, c) ∈ R3 seja combinac¸a˜o linear dos vetores
u = (1, −3, 2), w = (2, −1, 1).
9. Determine [S], onde S = {(1, −2, 5, 4), (2, 3, 1, −4), (3, 8, −3, −5).
10. Determine para que valores de k os vetores abaixo sa˜o linearmente independentes ou linearmente depen-
dentes.
a) u = (1, 1, 2), v = (−1, 2, 3) e w = (k, −1, 1).
b) u = (−1, 0, 7), v = (−4, 5, −3k), w = (0, 4, −2) e z = (2k, 3, 1).
11. Suponha que B = {u, v, w} seja um conjunto l.i. Enta˜o C = {u + v, u − v, u − 2v + w} e´ l.i. ou l.d.?
Justifique!
12. Mostre que:
a) Se u, v, w sa˜o l.i., enta˜o u+ v, u+ w, v + w sa˜o l.i.
b) Se um conjunto A ⊂ V conte´m um vetor nulo, enta˜o A e´ l.d.
c) Os vetores u = (a− 1, a), v = (−a, 1− a), w = (a− 2, a− 1) sa˜o l.d. para todo a ∈ R.
d) Os vetores u = (1− a, 1 + a) e v = (1 + a, 1− a), onde a 6= 0, sa˜o l.i.
e) O conjunto C = {(1, 0, a), (1, 1, a), (1, 1, a2)} e´ l.i. se a 6= 0 e a 6= 1.
f) Se u, v e w sa˜o vetores de um espac¸o, tal que u ∈ [w] e v ∈ [w], enta˜o {u, v} e´ l.d.
2
13. Quais dos conjuntos abaixo formam uma base para R3? Nos que forem, escreva um vetor qualquer de R3
como c.l. dos elementos desse conjunto.
a) {(1, 0, 1), (0, −1, 2), (−2, 1, 4)}.
b) {(2, 1, −1), (−1, 0, 1), (0, 0, 1)}.
c) {(2, 3, −1), (−2, 1, 1), (2, 0, 1)}.
14. Mostre que os vetores v1 = (1, 1, 1), v2 = (1, 2, 3), v3 = (3, 0, 2) e v4 = (2, −1, 1) geram o R3 e encontre
uma base dentre esses vetores.
15. Determine as coordenadas do vetor v = (6, 2) em relac¸a˜o a`s bases:
a) {(3, 0), (0, 2)}.
b) {(1, 2), (2, 1)}.
c) {(1, 0), (0, 1)}.
16. Considere B = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (1,−1, 1)} base de R3. Determine as coordenadas do vetor v em relac¸a˜o
a B se:
a) v = (2,−3, 4). b) v = (3, 5, 6). c) v = (1,−2, 1).
17. Determine uma base de R4 que contenha os seguintes vetores u = (1, 1, 1, 0), v = (1, 1, 2, 1).
18. Quais as coordenadas do vetor v = (1, 0, 0) em relac¸a˜o a` base B = {(1, 1, 1), (−1, 1, 0), (1, 0,−1)}.
19. Determine as coordenadas do vetor u = (4, 5, 3) em relac¸a˜o a`s seguintes bases:
a) canoˆnica. b) {(1, 1, 1), (1, 2, 0), (3, 1, 0)}. c) {(1, 2, 1), (0, 3, 2), (1, 1, 4)}.
20. Classifique as afirmac¸o˜es em verdadeiro ou falso, justificando a sua resposta:
a) O conjunto B = {(2,−1, a), (1, 0,−2), (1, 1,−a)} e´ uma base de R3 para todo a ∈ R.
b) Se {u, v, w} e´ um conjunto l.i., enta˜o {u+ v, 2u− v + w, −4u+ 5v − 3w} tambe´m e´ um conjunto l.i.
c) Se v1 = (1, 2, 1) e v2 = (0, 1, 1), enta˜o (x, y, z) ∈ [v1, v2] somente se x− y + z = 0.
d) Se v = (3, 5, 6) e β = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (1,−1, 1) e´ base de R3, enta˜o [v]β =
 −311
6
 .
e) [(1, 1, 1, 0), (−1,−1, 0, 1), (−1,−1,−2,−1)] = {(x, y, z, t) ∈ R4; 2x− 2y = 0 e t+ x = z}.
21. Seja S = {(1,−2, 5, 4), (2, 3, 1,−4), (3, 8,−3,−5)}. Verifique se S e´ um conjunto linearmente independente
ou linearmente dependente e, em seguida encontre [S].
22. O vetor v = (−7, 7, 7) pode ser decomposto em func¸a˜o (e´ Combinac¸a˜o Linear) de v1 = (−2, 2, 4) e
v2 = (3,−3, 1)? Justifique.
23. Seja B = {(1,−1, 0), (−1, 1, 2), (3, 1, 2)}.
a) Verifique se B e´ linearmente dependente ou linearmente independente.
b) B e´ uma base de R3? Justifique.
c) B e´ uma base ortogonal de R3? Em caso negativo, encontre a partir de B uma base ortogonal B˜ para
R3.
d) A base B˜, caso exista, e´ ortonormal? Em caso negativo, encontre a partir de B˜ uma base ortonormal
para R3.
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24. Se v e´ o vetor que satisfaz as condic¸o˜es:
(i) v e´ ortogonal aos vetores u = (1, 0, 2) e w = (−2, 1, 0),
(ii) ‖v‖ = √21,
(iii) o aˆngulo entre v e o vetor (0, 1, 2) e´ menor que pi/2.
Encontre o ponto final do representante de v que tem como ponto inicial em (0, 0, 0).
25. Sendo u = (3, 0, 2) e v = (3, 4, 7), encontre proj.uv .
26. Considere o conjunto B = {−→w1,−→w2}, sendo −→w1 = (1, 0,−2) e −→w2 = (1, 1, 1). Verifique se B e´ um conjunto
ortonormal. Caso na˜o seja, encontre a partir de B um conjunto B˜ que seja ortonormal.
27. Seja β = {(2, 1, 0), (1,−2, 0), (0, 0, 3)}. Verifique se β e´ uma base ortogonal para o R3. Em caso afirma-
tivo, usando o produto escalar de R3 , encontre [(5, 5, 5)]β.
28. Seja β = {(1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 2, 2)}. Encontre, a partir de β uma base ortonormal β′ de R3, em relac¸a˜o
ao produto escalar usual.
29. Um corpo e´ deslocado em linha reta do ponto P = (−1, 3) ate´ o ponto Q = (5, 2) por uma forc¸a constante
F = (3, 2). Qual e´ o trabalho realizado?
30. Um campo ele´trico uniforme induz uma forc¸a constante dada pelo vetor F = (10, 2,−5) em uma part´ıcula
carregada eletricamente. Sejam A = (1, 1, 3), B = (2, 3, 2), C = (2, 2, 1), pontos de R3 e TAB, TBC , TCA o
trabalho realizado de A a B, de B a C e de C a A, respectivamente. Sabendo que o trabalho total e´ dado
por T = TAB + TBC + TCA e que trabalho e´ o produto interno da forc¸a pelo vetor que da´ o deslocamento,
encontre o trabalho total realizado quando uma part´ıcula se move na trajeto´ria que comec¸a e termina no
ponto A.
31. Para quais valores de k o conjunto de vetores {(2, 3, 0), (k2, 1, 1), (0, k, 2)} e´ l.i.?
32. Determine k de modo que o conjunto de vetores {(1, 0, 1), (k2, 0, 1), (0, k, 2)} seja uma base para R3.
33. Os vetores u = (1, 0, 1), v = (0, 1, 0) e w = (1, 2, 3) formam uma base para R3?
34. Calcule a a´rea do triaˆngulo de ve´rtices A = (1, 0, 1), B = (4, 2, 1) e C = (1, 2, 0).
35. Calcule a a´rea do triaˆngulo de ve´rtices A = (−1, 0, 2), B = (−4, 1, 1) e C = (0, 1, 3).
36. Determine o volume do paralelep´ıpedo determinado pelos vetores w1 = (−1, 3,−2), w2 = (7, 1, 3) e
w3 = (1, 1,−2).
37. Determine o volume do paralelep´ıpedo determinado pelos vetores u = (3, 5, 7), v = (2, 0,−1) e w =
(0, 1, 3).
38. Encontre o valor de m para que −→u = (m, 2,−1), −→v = (1,−1, 3) e −→w = (0,−2, 4) sejam coplanares.
39. Considere os vetores u = (−2, 1, 2) e v = 2i− j + 2k. Encontre o versores de u e de v. Encontre tambe´m
u× v.
40. Em um triaˆngulo ABC, mostre que a altura h relativa ao lado AB e´ dada por h =
|−→AB ×−→AC|
|−→AB| .
4
41. Classifique as afirmac¸o˜es em verdadeiro ou falso, justificando a sua resposta:
a) Se u e v sa˜o dois vetores tais que ‖u‖ = ‖v‖ = ‖u+ v‖ = 1, enta˜o o aˆngulo entre u e v e´ pi/6.
b) Se u e v sa˜o dois vetores tais que ‖u‖ = ‖v‖ = 1 e ‖u− v‖ =
√
6
2
, enta˜o o aˆngulo entre u e v e´ pi/6.
c) Para todos vetores v e w vale 〈v, w〉 = 1
4
(‖v + w‖2 − ‖v − w‖2).
d) Se u, ve w sa˜o vetores que satisfazem a u + v + w = 0; ‖u‖ = 2; ‖v‖ = 3 e ‖w‖ = √5, enta˜o
〈u, v〉+ 〈u, w〉+ 〈v, w〉 = 9.
e) O conjunto de vetores B =
{(
1
2
,
1
2
, 2
)
,
(
2
9
,
2
9
,
−1
9
)}
e´ um conjunto ortonormal.
f) Se u, v sa˜o vetores quaisquer, enta˜o (‖u‖+ ‖v‖)2 ≥ ‖u+ v‖2.
g) Se u, v sa˜o vetores quaisquer, enta˜o |〈u, v〉|2 ≤ ‖u‖2‖v‖2.
h) Se u = (1, 2, 0), v = (0,−1, 3) e w = (1, 4, 2), enta˜o (u× v)× w = (−2,−13, 27).
i) Se u = (1, 2, 0), v = (0,−1, 3) e w = (1, 4, 2), enta˜o (u× v).w = −8.
j) Se ‖u‖ = 9, enta˜o u.u = 3.
k) Sendo u = (3, 0, 4), enta˜o o versor de u e´ dado por u˜ =
(
3
5
, 0,
4
5
)
e ‖u˜‖ = 1.
l) O conjunto α = {(1, 2, a), (1,−1, 1), (2, 3, 1)}, e´ uma base para o R3, somente se a 6= 2
5
.
m) Se v.w = v.u, onde u, v e w sa˜o vetores na˜o nulos, enta˜o w = u.
n) Se u× w = v × w, com u, v e w vetores quaisquer e u na˜o nulo, enta˜o necessariamente u = v.
o) Para todos vetores u e v vale a identidade ‖u× v‖2 = ‖u‖2‖v‖2 − (u.v)2.
p) Os pontos A = (1, 1, 1), B = (−2,−1,−3) e C = (0, 2,−2) na˜o sa˜o coplanares.