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Ca´lculo I Unifesp - 1o semestre de 2013 Lista de Exerc´ıcios 2 1. Usando as propriedades de limites determine os seguintes valores: (a) lim x→7 (2x+ 5) (b) lim t→3 8(t− 5)(t− 6) (c) lim h→0 1√ x+ h+ √ x (d) lim y→−5 y2 5− y (e) lim h→0 3 2−√2h+ 1 (f) lim x→5 x− 5 x2 − 25 (g) lim x→2 x2 − 5x+ 6 x− 2 (h) lim y→1 5y3 + 8y3 3y4 − 16y2 (i) lim x→−2 −2x− 4 x3 + 2x2 (j) lim y→0 5y3 + 8y2 3y4 − 16y2 (k) lim v→2 v3 − 8 v4 − 16 (l) lim x→4 4x− x2 2−√x (m) lim x→2 √ x2 + 5 + √ 1 x− 2 (n) lim x→−2 x+ 2√ x2 + 5− 3 (o) lim x→−3 sen ( x2 − 9 x+ 3 pi ) 2. Se √ 5− 2x2 ≤ f(x) ≤ √5 + 2x2 para −1 ≤ x ≤ 1, determine lim x→0 f(x), por mais complicada que possa ser f(x). (Sugesta˜o: use o teorema do confronto). 3. Seja a func¸a˜o h(x) = x2 se x < 2 3 se x = 2 2 se x > 2 . Mostre que (a) lim x→2 h(x) 6= 4 (b) lim x→2 h(x) 6= 3 (c) lim x→2 h(x) 6= 2 4. Usando as propriedades dos limites, determine o valor dos seguintes limites laterais. (a) lim x→− 1 2 − √ x+ 2 x+ 1 (b) lim x→1− ( 1 x+ 1 )( x+ 6 x )( 3− x 7 ) (c) lim h→0 √ h2 + 2h+ 3−√3 h (d) lim h→0+− √ 6−√5h2 + 11h+ 6 h (e) lim x→−3− (x+ 1) |x+ 3| x+ 3 (f) lim x→−3+ (x+ 1) |x+ 3| x+ 3 (g) lim x→1+ √ 2x(x− 1) |x− 1| (h) lim x→1− √ 2x(x− 1) |x− 1| 5. Calcule o valor dos seguintes limites envolvendo infinitos: (a) lim x→∞ pi − 2 x2 (b) lim x→∞ 3− 2 x 4 + √ 2 x2 (c) lim r→∞ r + sen(r) 2r + 7− 5 sen(r) (d) lim x→−∞ excos ( 1 x ) (e) lim x→∞ 3x2 + e−x sen(1/x)− 2x2 (f) lim x→−∞ 9x4 + x 2x4 + 5x2 − x+ 6 (g) lim x→∞ 10x5 + x4 + 31 x6 (h) lim x→∞ 2 + √ x 2−√x (i) lim x→∞ 2x5/3 − x1/3 + 7 x8/5 + 3x+ √ x 6. Determine os seguintes limites e respectivas ass´ıntotas: (a) lim x→0 1 3x (b) lim x→7 4 (x− 7)2 (c) lim x→0 −1 x2(x+ 1) (d) lim x→0− 2 x 1 5 (e) lim x→(pi/2)− tg(x) (f) lim x→0− (1 + cossec(x)) 7. Usando os limites fundamentais lim x→0 sen(x) x = 1 e lim x→∞ ( 1 + 1 x )x = e, calcule: (a) lim x→0 sen(3x) 4x (b) lim x→0 tg(2x) x (c) lim x→0− x+ x cos(x) sen(x) cos(x) (d) lim x→0 sen(x) sen(2x) (e) lim x→0 sen(sen(x)) sen(x) (f) lim x→0 sen(3x) cotg(5x) x cotg(4x) (g) lim n→∞ ( 1 + 2 n )n (h) lim n→∞ ( 1 + 1 n )n+3 (i) lim n→∞ ( 1 + 3 n )n+2 (j) lim n→∞ ( n+ 7 n+ 4 )n 8. Em quais intervalos as func¸o˜es abaixo sa˜o cont´ınuas? (a) f(x) = 1 x− 2 − 3x (b) f(x) = x+ 4 x2 − 3x− 10 (c) f(x) = |x− 1|+ sen(x) (d) f(x) = 2 + x cos(x) (e) f(x) = √ 2x+ 3 (f) f(x) = x tg(x) x2 + 1 9. Determine os limites infinitos e as ass´ıntotas pedidas abaixo: (a) lim x→3− 2 x− 3, limx→3+ 2 x− 3, e a equac¸a˜o da reta ass´ıntota vertical, (b) lim x→5− x+ 1 x− 5, limx→5+ x+ 1 x− 5, e a equac¸a˜o da reta ass´ıntota vertical, (c) lim x→∞ x3 + 5x 2x3 − x2 + 4 (d) lim x→−∞ √ 3x+ 5 x− 4 10. Dada a func¸a˜o f(x) = 3 + 2x 5− x , determine: (a) limites laterais para x→ 5, (b) limites no infinito, (c) ass´ıntotas horizontal e vertical, (d) esboc¸o do gra´fico. 11. Em um reator qu´ımico, a concentrac¸a˜o de uma substaˆncia varia no tempo de acordo com a expressa˜o: C(t) = 50t 200 + t , onde C representa a concentrac¸a˜o em mg/m3 e t representa o tempo em minutos. Apo´s um tempo suficientemente longo, verificou-se que a concentrac¸a˜o da substaˆncia se estabilizou. Em que valor a concentrac¸a˜o se estabilizou? Respostas 1. (a) 19 (b) 48 (c) 1 2 √ x (d) 5 2 (e) 3 (f) 1 10 (g) −1 (h) −1 (i) −1 2 (j) −1 2 (k) 3 8 (l) 16 (m) 2 (n) −3 2 (o) 0 2. √ 5 4. (a) √ 3 (b) 1 (c) 1√ 3 (d) − 5√ 6 (e) 2 (f) −2 (g) √ 2 (h) −√2 5. (a) pi (b) 3 4 (c) 1 2 (d) 0 (e) −3 2 (f) 9 2 (g) 0 (h) −1 (i) ∞ 6. (a) f(x) → +∞ se x → 0+; f(x)→ −∞ se x→ 0−; x = 0 (b) f(x)→ +∞; x = 7 (c) f(x)→ −∞; x = 0 (d) f(x)→ −∞; x = 0 (e) f(x)→ +∞; x = pi 2 (f) f(x)→ −∞; x = 0 7. (a) 3 4 (b) 2 (c) 2 (d) 1 2 (e) 1 (f) 12 5 (g) e2 (h) e (i) e3 (j) e3 8. (a) S = {x ∈ R|x 6= 2} (b) S = {x ∈ R|x 6= 5 ou x 6= −2} (c) S = {x ∈ R} (d) S = {x ∈ R|x 6= (2n+ 1)pi 2 , ∀n ∈ Z} (e) S = {x ∈ R|x ≥ − 3 2 } (f) S = {x ∈ R|x 6= (2n+ 1)pi 2 , ∀n ∈ Z} 9. (a) lim x→3− f(x) = −∞; lim x→3+ f(x) = +∞;x = 3 (b) lim x→5− f(x) = −∞; lim x→5+ f(x) = +∞;x = 5 (c) lim x→∞ f(x) = 1 2 (d) lim x→−∞ f(x) = √ 3 10. (a) lim x→5+ f(x) = −∞; lim x→5− f(x) = +∞ (b) lim x→∞ f(x) = −2; limx→−∞ f(x) = −2 (c) hor. y = −2; ver. x = 5 11. Estabilizou em 50mg/m3.
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