Lista 04

Prévia do material em texto

Ca´lculo I
Unifesp - 1o semestre de 2013
Lista de Exerc´ıcios 4
1. Calcule as integrais a seguir
(a)
∫ 5
1
(2 + 3x− x2) dx (Resposta: 8
3
)
(b)
∫ √pi
0
(cosx) dx (Resposta: sen(
√
pi))
(c)
∫ 2
1
(− 2
x
+ 3ex − 1) dx (Resposta: −2ln2 + 3e2 − 3e− 1)
(d)
∫ 1
0
(3 + x
√
x) dx (Resposta: 17
5
)
(e)
∫
(1− t)(2 + t2) dt (Resposta: 2t+ 1
3
t3 − t2 − 1
4
t4 + C)
(f)
∫
(2x+ 1√
1−x2 ) dx (Resposta: x
2 + arcsen(x) + C)
(g)
∫ (
x2 + 1 + 1
x2+1
)
dx (Resposta: 1
3
x3 + x+ tan−1 (x) + C)
(h)
∫
(2ey − cossec2(y))dy (Resposta: 2ey + cotan(y) + C)
(i)
∫ 1
0
2
1+x2
, dx , com −pi
2
< x < pi
2
(Resposta: pi
2
)
(j)
∫
x+1
x
dx (Resposta: x+ ln|x|+ C)
(k)
∫
3tan2(a)da (Resposta: 3tan(a)− 3a+ C)
(l)
∫ √
x3+
3√
x2−2x−1
3x
dx (Resposta: 2
9
x
3
2 + 1
2
x
2
3 + 2
3
x−1 + C)
2. Calcule as integrais seguir, por substituic¸a˜o
(a)
∫ a
0
(x
√
a2 − x2) dx (Resposta: a3
3
)
(b)
∫ 1
0
(xe−x
2
) dx (Resposta: 1−e
−1
2
)
(c)
∫
cos(3x) dx (Resposta: sen(3x)
3
+ C)
(d)
∫
2x3(x4 + 2)7 dx (Resposta: (x
4+2)8
16
+ C)
(e)
∫
tg(y) dy (Resposta: −ln|cos(y)|+ C)
(f)
∫
dx
n+x
(Resposta:ln|n+ x|+ C)
(g)
∫ e4
e
1
x
√
ln(x)
dx (Resposta: 2)
(h)
∫ pi/2
0
xsen(x2)dx (Resposta: 1/2)
(i)
∫ 1/2
1/6
cossec(pit)cotg(pit)dt (Resposta: 1/pi)
(j)
∫
etg(x)sec2(x)dx (Resposta: etg(x) + C)
(k)
∫ pi
2
0
cosx.esen(x)dx (Resposta: e− 1)
(l)
∫ 1
0
x3
1+x2
dx (Resposta: 1
2
− ln(2)
2
)
3. Calcule as seguintes integrais de func¸o˜es trigonome´tricas
(a)
∫
cos3(x)dx (Resposta: sen(x)− sen3(x)
3
+ C)
(b)
∫ pi/2
−pi/2
cos2(x)dx (Resposta: pi/2)
(c)
∫
cos7(3x)sen3(3x)dx (Resposta: − cos8(3x)
24
+ cos
10(3x)
30
+ C)
(d)
∫
cos2(t)sen2(t)dt (Resposta: 1
16
(
2t− sen(4t)
2
)
+ C)
(e)
∫
sen4(x)dx (Resposta: 1
32
(12x− 8sen(2x) + sen(4x)) + C)
(f)
∫
tg3(x)sec(x)dx (Resposta: 1
3
sec3(x)− sec(x) + C)
4. Calcule as integrais seguir, por partes
(a)
∫
xe2x dx (Resposta: e
2x
2
(
x− 1
2
)
+ C)
(b)
∫ 3
1
ln(2x)dx (Resposta: ln(108)− 2)
(c)
∫
3x4lnx dx (Resposta: 3x
5
5
(lnx− 1
5
) + C)
(d)
∫
exsenx dx (Resposta: 1
2
ex(senx− cosx) + C)
(e)
∫ −1
−2 x
2e−2xdx (Resposta: 1
4
e2(5e2 − 1))
(f)
∫
x2sen(ax) dx (Resposta: −x2 cos(ax)
a
+ 2x sen(ax)
a2
+ 2cos(ax)
a3
+ C)
(g)
∫
eaxsen(bx) dx (Resposta: b
2
a2+b2
[
−eaxcos(bx)
b
+ ae
axsen(bx)
b2
]
+ C)
(h)
∫
3x2ex dx (Resposta: 3ex(x2 + x− 1) + C)
5. Calcule as integrais abaixo utilizando o me´todo mais adequado
(a)
∫ 0
−1 e
2xdx (Resposta: 1
2
(1− e−2))
(b)
∫
sen3(x)√
cos(x)
dx (Resposta: 2
√
cos(x)
(
cos2(x)
5
− 1
)
+ C)
(c)
∫ e
1
dx
x
√
1 + ln(x)
(Resposta: 2
√
2− 2)
(d)
∫
dx
sen−1(x)
√
1−x2 (Resposta: ln|sen−1(x)|+ C)
(e)
∫
x sen(x)cos(x)dx (Resposta: −x
4
cos(2x) + 1
8
sen(2x) + C)
(f)
∫
(ln(x))2dx (Resposta: x ln2(x)− 2(xln(x)− x) + C)
(g)
∫
x
ex
dx (Resposta: −(x+ 1)e−x + C)
(h)
∫
xr ln(x)dx, r ∈ R Resposta:
{
xr+1
r+1
ln(x)− xr+1
(r+1)2
+ C se r 6= −1
ln2(x)
2
+ C se r = −1
(i)
∫
sen−1(x)dx (Resposta: x sen−1(x) +
√
1− x2 + C)
(j)
∫
sec3(x)dx (Resposta: 1
2
sec(x)tg(x) + 1
2
ln|sec(x) + tg(x)|+ C)
(k)
∫
sen(ln(x))dx (Resposta: x
2
[sen(ln(x))− cos(ln(x))] + C)
(l)
∫
sen3
(
x
2
)
cos5
(
x
2
)
dx (Resposta:
cos8(x2 )
4
− cos
6(x2 )
3
+ C)