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Lógica e Demonstraçoes

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certo tipo e com declarações sobre a existência de um objeto com 
uma	propriedade	específica.
Predicados
Sentenças	que	envolvem	variáveis,	tais	como
“x	>	3”,	 	 “x 5 y +	3”,	 	 “x + y 5 z”,	
“computador x está sob ataque de um hacker” 
e
“computador x está	funcionando	apropriadamente”,	
são	freqüentemente	encontradas	na	matemática,	em	programas	de	computador	e	em	sistemas	de	
especificações.	Essas	declarações	não	são	nem	verdadeiras	nem	falsas	quando	o	valor	das	variá-
veis	não	é	especificado.	Nesta	seção,	vamos	discutir	como	proposições	podem	ser	produzidas	a	
partir dessas declarações.
A	declaração	“x	é	maior	que	3”	tem	duas	partes.	A	primeira,	a	variável	x,	é	o	sujeito	da	decla-
ração.	A	segunda	—	o	predicado,	“é	maior	que	3”	—	refere-se	a	uma	propriedade	que	o	sujeito	
pode ter. Podemos representar a declaração “x é maior que 3” por P (x),	em	que	P indica o predi-
cado “é maior que 3” e x	é	a	variável.	A	declaração,	ou	afirmação,	é	também	chamada	de	o	valor	
da função proposicional P em x. Uma vez que um valor é dado para a variável x,	a	declaração	
P (x)	torna-se	uma	proposição	e	tem	um	valor-verdade.	Considere	os	exemplos	1	e	2.
EXEMPLO 1 Seja P (x)	a	declaração	“x > 3”. Qual o valor-verdade de P (4)	e	P (2)?
Solução: Obtemos a proposição P (4)	substituindo	x = 4 na declaração “x	>	3”.	Então,	P (4),	que	
é	a	proposição	“4	>	3”,	é	verdadeira.	No	entanto,	P (2),	que	é	a	proposição	“2	>	3”,	é	falsa.	 ◄
EXEMPLO 2 Seja A(x)	a	declaração	“O	computador	x está sendo invadido por um hacker”. Suponha que dos 
computadores	do	campus	apenas	o	CS2	e	o	MATH1	estão	sendo	invadidos	por	algum	hacker.	
Quais os valores-verdade de A(CS1),	A(CS2)	e	A(MATH1)?
Solução: Obtemos a proposição A(CS1)	substituindo	x por CS1 na declaração “O computador x 
está	sendo	invadido	por	um	hacker”.	Como	CS1	não	está	na	lista	dos	computadores	invadidos,	
concluímos que A(CS1)	é	falsa.	De	maneira	similar,	como	CS2	e	MATH1	estão	na	lista	dos	inva-
didos,	sabemos	que	A(CS2)	e	A(MATH1)	são	verdadeiras.	 ◄
Também	 podemos	 trabalhar	 com	 afirmações	 que	 envolvam	 mais	 que	 uma	 variável.	 Por	
exemplo,	considere	a	afirmação	“x = y + 3”. Podemos indicá-la por Q (x,	y),	em	que	x e y são 
variáveis e Q	 é	 o	 predicado.	 Quando	 estabelecemos	 valores	 para	 as	 variáveis,	 a	 proposição	 
Q (x,	y)	tem	um	valor-verdade.
EXEMPLO 3 Seja Q (x,	y)	a	representação	de	“x = y + 3”. Quais os valores-verdade de Q (1,	2)	e	Q (3,	0)?
Solução: Para obter Q (1,	2),	basta	tomar	x = 1 e y = 2 na equação representada por Q (x,	y).	
Portanto,	Q (1,	2)	é	a	proposição	“1	= 2 +	3”,	que	é	falsa.	A	afirmação	Q (3,	0)	é	a	proposição	
“3 = 0 +	3”,	que	é	verdadeira.	 ◄
Exemplos
Extras
1-31 1.3	 Predicados	e	Quantificadores	 	31
32	 	1	/	Os	Fundamentos:	Lógica	e	Demonstrações	 1-32
EXEMPLO 4 Seja A(c,	n)	a	representação	de	“O	computador	c está conectado à rede n”,	em	que c é uma va-
riável que indica computadores e n é uma variável que indica redes. Suponha que o computador 
MATH1	está	conectado	à	rede	CAMPUS2,	mas	não	à	rede	CAMPUS1.	Quais	os	valores-verdade	
de A(MATH1,	CAMPUS1)	e	A(MATH1,	CAMPUS2)?
Solução:	Como	MATH1	não	está	conectado	à	rede	CAMPUS1,	vemos	que	A(MATH1,	CAMPUS1)	
é	falsa.	Por	outro	lado,	MATH1	está	conectado	à	rede	CAMPUS2,	logo	A(MATH1,	CAMPUS2)	
é verdadeira. ◄
De	maneira	análoga,	podemos	tomar	afi	rmações	com	três	variáveis,	como	R (x,	y,	z)	represen-
tando “x + y = z”.	Quando	valores	são	atribuídos	às	variáveis,	a	proposição	derivada	tem	um	
valor-verdade.
EXEMPLO 5 Quais os valores-verdade para R	(1,	2,	3)	e	R	(0,	0,	1)?
Solução:	A	proposição	R	(1,	2,	3)	é	obtida	substituindo-se	x =	1,	y = 2 e z = 3 na declaração 
R (x,	y,	z).	Então,	vemos	que	R	(1,	2,	3)	representa	“1	+ 2 =	3”,	que	é	verdadeira.	Também	pode-
mos notar que R	(0,	0,	1)	representa	“0	+ 0 =	1”,	que	é	falsa.	 ◄
Em	geral,	uma	afi	rmação	que	envolva	n variáveis x1,	x2,	...	,	xn pode ser indicada por
P (x1,	x2,	...	,	xn).
A	declaração,	ou	afi	rmação,	indicada	por	P (x1,	x2,	...	,	xn)	é	chamada	de	valor	da	função propo-
sicional P para a n-úpla	(x1,	x2,	...	,	xn),	e	P é chamado de predicado n-ário.
Funções	proposicionais	ocorrem	em	programas	de	computação,	como	mostrado	no	Exemplo	6.
Links
CHARLES	SANDERS	PEIRCE	(1839–1914) Muitos consideram Charles Peirce o intelectual mais original e versá-
til	dos	Estados	Unidos;	ele	nasceu	em	Cambridge,	Massachusetts,	e	fez	importantes	contribuições	em	um	grande	nú-
mero	 de	 disciplinas,	 incluindo	 matemática,	 astronomia,	 química,	 geodésica,	 metrologia,	 engenharia,	 psicologia,	
fi	lologia,	história	da	ciência	e	economia.	Charles	era	também	inventor,	estudante	de	medicina	dedicado,	revisor	de	li-
vros,	dramaturgo	e	ator,	escritor	de	contos,	fenomenologista,	lógico	e	metafísico.	Ele	fi	cou	conhecido	pela	sua	compe-
tência	 fi	losófi	ca	 construtivista	 e	 produtividade	 em	 lógica,	 matemática	 e	 muitas	 outras	 áreas	 da	 ciência.	 Seu	 pai,	
Benjamin	Peirce,	 era	professor	de	matemática	 e	fi	losofi	a	natural	 de	Harvard.	Peirce	 freqüentou	Harvard	 (1855–
1859)	e	 recebeu	 seu	diploma	de	mestrado	em	artes	 (1862)	e	um	diploma	de	doutorado	em	química	pela	Escola	
Científi	ca	Lawrence	(1863).	Seu	pai	o	apoiou	a	seguir	a	carreira	científi	ca,	mas,	em	vez	disso,	ele	escolheu	estudar	
lógica	e	metodologia	científi	ca.
Em	1861,	Peirce	se	tornou	um	membro	da	Agrimensura	da	Costa	dos	Estados	Unidos,	com	o	objetivo	de	melhor	compreender	a	meto-
dologia	científi	ca.	Seus	serviços	para	a	Agrimensura	o	dispensaram	dos	serviços	militares	durante	a	Guerra	Civil.	Enquanto	trabalhava	para	
a	Agrimensura,	Peirce	deu	continuidade	a	seus	trabalhos	nas	áreas	de	astronomia	e	geodésica.	Ele	deu	contribuições	fundamentais	na	criação	
de	pêndulos	e	projetos	de	mapas,	aplicando	novos	desenvolvimentos	matemáticos	na	teoria	de	funções	elípticas.	Ele	foi	a	primeira	pessoa	a	
usar	ondas	de	luz	como	unidade	de	medida.	Peirce	foi	promovido	a	Assistente	na	Agrimensura,	posição	em	que	se	manteve	até	que	foi	obri-
gado	a	largá-la	em	1891,	quando	ele	não	concordou	com	a	direção	tomada	pela	administração	da	Agrimensura.
Embora	tenha	dedicado	a	maior	parte	do	tempo	às	ciências	físicas,	Peirce	desenvolveu	uma	hierarquia	de	ciências,	com	a	matemática	
em	seu	topo,	no	qual	os	métodos	de	uma	ciência	poderiam	ser	adaptados	para	serem	usados	pelas	ciências	que	estivessem	abaixo	na	hierar-
quia.	Ele	foi	também	o	fundador	da	teoria	fi	losófi	ca	americana	de	pragmatismo.
A	única	posição	acadêmica	que	Peirce	conquistou	foi	a	de	mestre	em	lógica	na	Universidade	John	Hopkins,	em	Baltimore,	de	1879	a	
1884.	Seu	trabalho	matemático	durante	esse	período	inclui	contribuições	à	lógica,	teoria	dos	conjuntos,	álgebra	abstrata	e	fi	losofi	a	da	mate-
mática.	Seu	trabalho	é	relevante	até	nos	dias	de	hoje;	alguns	de	seus	trabalhos	em	lógica	foram	recentemente	aplicados	à	inteligência	artifi	-
cial.	Peirce	acreditava	que	o	estudo	da	matemática	poderia	desenvolver	o	poder	mental	da	 imaginação,	abstração	e	generalização.	Suas	
diversas	atividades,	depois	de	aposentar-se	da	Agrimensura,	incluem	a	escrita	para	jornais	e	periódicos	científi	cos,	contribuição	em	dicioná-
rios	escolares,	tradução	de	trabalhos	científi	cos,	palestras	e	escrita	de	livros	teóricos.	Infelizmente,	todas	essas	atividades	não	foram	sufi	cien-
tes	para	afastar	Charles	e	sua	esposa	da	pobreza	abjeta.	Nos	seus	últimos	anos	de	vida,	ele	foi	sustentado	por	um	fundo	criado	por	seus	
admiradores	e	administrado	pelo	fi	lósofo	William	James,	seu	grande	amigo.	Embora	Peirce	tenha	publicado	muitas	obras	em	diversas	áreas,	
ele	deixou	mais	de	100.000	manuscritos	sem	publicar.	Por	causa	da	difi	culdade	de	estudar	suas	obras	manuscritas,	pesquisadores	começaram	
a entender apenas recentemente algumas de suas várias contribuições. Um grupo de pessoas dedica-se a tornar seu trabalho disponível na 
Internet para trazer melhor apreciação do trabalho de Peirce para o mundo.

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