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Lógica e Demonstraçoes

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então	 x2 + 1/x2	 ≥	 2.	
[Dica: Comece	com	a	inequação	(x −	1/x)2	≥	0	válida	
para todos os números reais diferentes de zero.]
21. A	média harmônica de dois números reais x e y é igual 
a 2xy/(x + y).	 Computando	 as	 médias	 harmônica	 e	
geométrica dos diferentes pares dos números reais 
positivos,	formule	uma	conjectura	sobre	seus	tamanhos	
relativos e demonstre sua conjectura.
22. A	média quadrática de dois números reais x e y é igual 
a ( ) / .x y2 2 2+ Computando as médias aritmética e 
quadrática de pares diferentes de números reais 
positivos,	formule	uma	conjectura	sobre	seus	tamanhos	
relativos e demonstre sua conjectura.
*23. Escreva os números 1, 2, . . . , 2n em	uma	lousa,	onde	n 
é um número inteiro ímpar. Escolha dois números 
quaisquer,	j e k,	escreva	|	j −	k| na lousa e apague j e k. 
Continue este processo até que um número inteiro seja 
escrito na lousa. Demonstre que este número inteiro 
deve ser ímpar.
*24. Suponha que cinco números um e quatro zeros estão 
organizados em volta de um círculo. Entre dois números 
iguais,	você	insere	um	0	e	entre	dois	números	diferentes	
você	insere	um	1	para	produzir	nove	novos	bits.	Então,	
apague	os	nove	bits	originais.	Mostre	que,	quando	aplicar	
esse	procedimento,	nunca	conseguirá	nove	zeros.	[Dica: 
Trabalhe	a	partir	do	final,	assumindo	que	você	terminou	
com nove zeros.]
25. Formule uma conjectura sobre os dígitos decimais que 
aparecem	como	dígito	final	da	quarta	potência	de	um	
número inteiro.	Demonstre	sua	conjectura,	usando	uma	
demonstração por casos.
26. Formule	uma	conjectura	sobre	os	dígitos	decimais	finais	
do quadrado de um número inteiro. Demonstre sua 
conjectura,	usando	uma	demonstração	por	casos.
27. Demonstre	que	não	há	um	número	inteiro	positivo,	tal	
que n2 + n3 = 100.
28. Comprove que não há soluções para os números inteiros 
x e y na equação 2x2 + 5y2 = 14.
29. Comprove que não existem soluções para os números 
inteiros positivos x e y na equação x4 + y4 = 625.
30. Comprove	 que	 existem	 infinitas	 soluções	 para	 os	
números inteiros positivos x,	y e z na equação x2 + y2 = z2. 
[Dica: Considere x = m2	−	n2,	y = 2mn e z = m2 + n2,	
em que m e n são números inteiros.]
31. Adapte	 a	 demonstração	 do	 Exemplo	 4	 da	 Seção	 1.6	
para demonstrar que se n = abc,	em	que	a, b e c são 
números	 inteiros	 positivos,	 então a n b n≤ ≤3 3, ou 
c n≤ 3 .
32. Comprove que 23 é irracional.
33. Demonstre que entre dois números racionais há um 
número irracional.
34. Demonstre que entre um número racional e um irracio-
nal há um número irracional.
*35. Considere S = x1 y1 + x2 y2 + . . . + xn yn,	em	que	x1, x2, 
. . . , xn e y1, y2, . . . , yn estão ordenados em duas seqüências 
de	números	reais	positivos,	cada	uma	com	n elementos.
a) Mostre que S leva seu valor máximo em todas as 
ordenações	 das	 duas	 seqüências,	 quando	 as	 duas	
seqüências	são	aleatórias	(ou	seja,	os	elementos	em	
cada	seqüência	estão	em	ordem	não	decrescente).
b) Mostre que S assume seu valor mínimo em todas 
as	 ordenações	 das	 suas	 seqüências,	 quando	 uma	
seqüência é sorteada entre as não decrescentes e a 
outra é sorteada entre as não crescentes.
36. Demonstre ou contrarie que se você tem um cântaro de 
água com capacidade para oito galões e dois cântaros 
vazios	com	capacidade	para	cinco	galões	e	três	galões,	
respectivamente,	então	você	pode	medir	4	galões	pondo	
a água de um cântaro no outro.
37. Verifique	a	conjectura	3x + 1 para os números inteiros 
abaixo.
a) 6 b) 7 c) 17 d) 21
38. Verifique	a	conjectura	3x + 1 para os números inteiros 
abaixo.
a) 16 b) 11 c) 35 d) 113
39. Demonstre ou contrarie que você pode usar dominós para 
ladrilhar o tabuleiro de xadrez com os dois cantos adjacen-
tes	removidos	(ou	seja,	cantos	que	não	são	opostos).
40. Comprove ou contrarie que você pode usar dominós para 
ladrilhar o tabuleiro de xadrez com os quatro cantos 
removidos.
41. Demonstre que você pode usar dominós para ladrilhar o 
tabuleiro de xadrez retangular com um número par de 
quadrados.
42. Comprove ou contrarie que você pode usar dominós 
para ladrilhar um tabuleiro de xadrez 5 por 5 com três 
cantos removidos.
1-103 1.7 Métodos de Demonstração e Estratégia 103
104	 	1	/	Os	Fundamentos:	Lógica	e	Demonstrações	 1-104
43. Use uma demonstração por exaustão para mostrar que 
não existe um ladrilhamento que use dominós de um 
tabuleiro de xadrez 4 por 4 com lados opostos removidos. 
[Dica: Primeiro mostre que você pode assumir que os 
quadrados à esquerda superior e à direita inferior foram 
removidos. Numere os quadrados do tabuleiro original 
de	1	a	16,	começando	na	primeira	fila,	da	esquerda	para	
a	direita,	então	começando	na	esquerda	da	segunda	fila	
e	 indo	 para	 a	 direita,	 e	 assim	 por	 diante.	Remova	 os	
quadrados	1	e	16.	Para	começar	a	demonstração,	note	
que	o	quadrado	2	está	coberto	pelo	dominó	na	horizontal,	
que	 cobre	 os	 quadrados	 2	 e	 3,	 ou	 verticalmente,	 que	
cobre os quadrados 2 e 6. Considere cada um desses 
casos separadamente e trabalhe com todos os subcasos 
que aparecerem.]
*44. Demonstre que quando um quadrado branco e um 
quadrado preto são removidos de um tabuleiro de xadrez 
8	por	8	(colorido	como	no	texto),	você	pode	ladrilhar	o	
restante dos quadrados do tabuleiro usando dominós. 
[Dica: Mostre	 que,	 quando	 um	 quadrado	 preto	 e	 um	
branco	são	removidos,	cada	parte	da	divisão	das	células	
restantes	formada	inserindo	as	barrinhas,	como	mostra	a	
figura,	pode	ser	coberta	pelos	dominós.]
45. Mostre	que,	removendo	dois	quadrados	brancos	e	dois	
pretos	de	um	tabuleiro	de	xadrez	8	por	8	(colorido	como	
no	 texto),	 torna-se	 impossível	 ladrilhar	 os	 quadrados	
restantes com dominós.
*46. Encontre	todos	os	quadrados,	se	eles	existirem,	em	um	
tabuleiro	de	xadrez	8	por	8,	para	que	o	tabuleiro	obtido	
pela remoção desses quadrados possa ser ladrilhado 
Figura para o Exercício 44.
 utilizando-se triominós. [Dica: Primeiro use argumentos 
que	se	baseiam	na	cor	e	na	rotação	das	peças	eliminadas,	
tanto quanto for possível.]
*47. a)	 	Desenhe	cada	um	dos	cinco	diferentes	tetraominós,	
em que um tetraominó é um poliominó com quatro 
quadrados.
b) 	Para	cada	um	dos	cinco	tetraominós,	demonstre	ou	
contrarie que é possível ladrilhar um tabuleiro de 
xadrez usando essas peças.
*48. Demonstre ou contrarie que é possível ladrilhar um 
tabuleiro de xadrez 10 por 10 usando tetraominós retos.
Termos-chave e Resultados
TERMOS
proposição: uma sentença que é verdadeira ou falsa
variável proposicional: variável que representa uma pro-
posição
valor-verdade: verdadeiro ou falso
ÿ p (negação de p): proposição com o valor-verdade oposto do 
valor-verdade de p
operadores lógicos: operadores usados para combinar pro-
posições
proposições compostas: proposição construída pela combina-
ção de proposições usando operadores lógicos
tabela-verdade: tabela que mostra os valores-verdade das 
proposições
p ∨ q (disjunção de p e q): proposição “p ou q”,	que	é	verdadeira	
se e somente se ao menos uma entre p e q for verdadeira
p ∧ q (conjunção de p e q): proposição “p e q”,	que	é	verdadeira	
se e somente se ambas p e q forem verdadeiras
p ⊕ q (ou exclusivo de p e q): proposição “p XOR	q”,	que	é	
verdadeira se e somente se exatamente uma entre p e q for 
verdadeira
p →	q (p implica q): proposição “se p,	então	q”,	que	é	falsa	se	
e somente se p for verdadeira e q for falsa
oposta de p →	q: sentença condicional q →	p
contrapositiva de p →	q: sentença condicional ÿ q →	ÿ p
inversa de p →	q: sentença condicional ÿ p	→	ÿ q
p ↔	q (bicondicional): proposição “p se e somente se q”,	que	
é verdadeira se e somente se p e q tiverem o mesmo valor-
verdade
bit: ou um 0 ou um 1
variável booleana: variável que tem um valor 0 ou 1
operação binária (operação bit): operação em um bit ou em 
bits

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