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Lógica e Demonstraçoes

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proposições usando p,	q,	 r e conectivos 
lógicos.
a) As	 bagas	 estão	 maduras	 ao	 longo	 da	 trilha,	 mas	 os	
ursos-cinzentos não são vistos na área.
b) Ursos-cinzentos não são vistos na área e fazer caminhada 
na	trilha	é	seguro,	mas	as	bagas	estão	maduras	ao	longo	
da trilha.
c) Se	 as	 bagas	 estão	maduras	 ao	 longo	 da	 trilha,	 fazer	
caminhada é seguro se e somente se os ursos-cinzentos 
não forem vistos na área.
d) Não	é	seguro	fazer	caminhada	na	trilha,	mas	os	ursos-
cinzentos não são vistos na área e as bagas ao longo da 
trilha estão maduras.
e) Para	 a	 caminhada	 ser	 segura,	 é	 necessário,	 mas	 não	
suficiente,	que	as	bagas	não	estejam	maduras	ao	longo	da	
trilha e que os ursos-cinzentos não sejam vistos na área.
f) Caminhada não é segura ao longo da trilha sempre que 
os ursos-cinzentos são vistos na área e as bagas estão 
maduras ao longo da trilha.
12. Determine se estes bicondicionais são verdadeiros ou 
falsos.
a) 2  2 = 4 se e somente se 1  1 = 2.
b) 1  1 = 2 se e somente se 2  3 = 4.
c) 1  1 = 3 se e somente se macacos puderem voar.
d) 0 > 1 se e somente se 2 > 1.
13. Determine se cada uma destas proposições condicionais é 
verdadeira ou falsa.
a) Se 1  1 =	2,	então	2	 2 = 5.
b) Se 1  1 =	3,	então	2	 2 = 4.
c) Se 1  1 =	3,	então	2	 2 = 5.
d) Se	macacos	puderem	voar,	então	1	 1 = 3.
14. Determine se cada uma destas proposições condicionais é 
verdadeira ou falsa.
a) Se 1  1 =	3,	então	unicórnios	existem.
b) Se 1  1 =	3,	então	cachorros	podem	voar.
c) Se 1  1 =	2,	então	cachorros	podem	voar.
d) Se 2  2 =	4,	então	1	 2 = 3.
1-17 1.1 Lógica Proposicional 17
18	 	1	/	Os	Fundamentos:	Lógica	e	Demonstrações	 1-18
15. Para cada uma destas	sentenças,	determine	se	o	ou	é	inclu-
sivo ou exclusivo. Explique sua resposta.
a) Café ou chá vem com o jantar.
b) Uma senha deve ter ao menos três dígitos ou oito 
caracteres de comprimento.
c) O pré-requisito para o curso é um curso em teoria dos 
números	ou	um	curso	em	criptografia.
d) Você pode jogar usando dólares americanos ou euros.
16.	 Para	cada	uma	destas	sentenças,	determine	se	o	ou	é	inclu-
sivo ou exclusivo. Explique sua resposta.
a) Experiência em C	ou	Java	é	necessária.
b) O almoço inclui sopa ou salada.
c) Para	entrar	no	país,	é	necessário	um	passaporte	ou	um	
cartão de registro eleitoral.
d) Publique ou sucumba.
17.	 Para	cada	sentença,	identifique	o	que	significa	a	sentença,	se	
o	ou	é	inclusivo	(ou	seja,	uma	disjunção)	ou	exclusivo.	Quais	
dos	significados	do	ou	você	pensa	ser	intencional?
a) Para	 cursar	 matemática	 discreta,	 você	 deve	 ter	 tido	
cálculo ou um curso de ciência da computação. 
b) Quando você compra um novo carro da Companhia 
Acme	 Motor,	 você	 pega	 de	 volta	 $	 2.000	 ou	 um	
empréstimo de 2%.
c) Jantar	para	dois	inclui	dois	itens	da	coluna	A	ou	três	
itens da coluna B.
d) A	escola	fecha	se	cair	mais	de	dois	pés	de	neve	ou	se	a	
sensação térmica estiver abaixo de –100.
18. Escreva cada uma destas proposições na forma “se p,	então	
q”	em	português.	(Dica: Recorra à lista de maneiras comuns 
de	expressar	proposições	condicionais	inserida	nesta	seção.)
a) É necessário lavar o carro do chefe para ser promovido.
b) Ventos do sul implicam um degelo primaveril.
c) Uma	condição	suficiente	para	a	garantia	ser	válida	é	
que você tenha comprado o computador em menos de 
um ano.
d) Leo é pego sempre que ele trapaceia.
e) Você pode acessar o site apenas se você pagar uma 
taxa de assinatura.
f) Escolha	as	companhias	certas,	conhecendo	as	pessoas	
certas.
g) Carol	fica	enjoada	sempre	que	está	em	um	barco.
19. Escreva cada uma destas proposições na forma “se p,	então	
q”	em	português.	(Dica: Recorra à lista de maneiras comuns 
de	expressar	proposições	condicionais	inserida	nesta	seção.)
a) Neva sempre que o vento sopra do nordeste.
b) As	macieiras	florescerão	se	continuar	quente	por	uma	
semana.
c) O Palmeiras ganhar o campeonato implica derrotar o 
São Paulo.
d) É necessário andar 8 milhas para chegar ao topo do 
“Pico Long”.
e) Para	conseguir	mandato	como	professor,	é	suficiente	
ser famoso mundialmente.
f) Se	você	dirigir	por	mais	de	400	milhas,	terá	de	comprar	
gasolina.
g) Sua garantia é válida apenas se você comprou seu 
aparelho de som em menos de 90 dias.
h) Jan	nadará	a	menos	que	a	água	esteja	muito	fria.
20. Escreva cada uma destas proposições na forma “se p,	então	
q”	em	português.	(Dica: Recorra à lista de maneiras comuns 
de	expressar	proposições	condicionais	inserida	nesta	seção.)
a) Eu lembrarei de enviar para você o endereço apenas se 
você me mandar um e-mail.
b) Para	ser	um	cidadão	americano,	é	suficiente	que	você	
tenha nascido nos Estados Unidos.
c) Se	você	mantiver	seu	livro	teórico,	ele	será	uma	refe-
rência útil em seus cursos futuros.
d) O São Paulo vencerá o Campeonato Brasileiro se seu 
goleiro jogar bem.
e) Conseguir o emprego implica você ter as melhores 
credenciais.
f) Haverá erosão na praia sempre que houver uma tem-
pestade.
g) Para	ter	uma	senha	válida,	é	necessário	que	inicie	uma	
conexão no servidor.
h) Você alcançará o cume a menos que você comece a 
escalada muito tarde.
21. Escreva cada uma destas proposições na forma “p se e so-
mente se q” em português.
a) Se	está	calor	lá	fora,	você	compra	um	sorvete	e	se	você	
compra um sorvete é porque está calor lá fora.
b) Para	que	você	ganhe	na	loteria,	é	necessário	e	suficien-
te que você tenha o único bilhete premiado.
c) Você	será	promovido	apenas	se	você	tiver	contatos,	e	
você só terá contatos se for promovido.
d) Se	você	assistir	à	televisão	sua	mente	se	deteriorará,	e	
vice-versa.
e) Os trens atrasam exatamente nos dias em que eu os 
pego.
22. Escreva cada uma destas proposições na forma “p se e so-
mente se q” em português.
a) Para	que	você	obtenha	um	A	neste	curso,	é	necessário	
e	 suficiente	que	você	aprenda	como	 resolver	proble-
mas de matemática discreta.
b) Se	você	ler	jornal	todos	os	dias,	você	estará	informado,	
e vice-versa.
c) Chove	se	é	final	de	semana,	e	é	final	de	semana	quando	
chove.
d) Você poderá ver o feiticeiro apenas se ele não estiver 
escondido,	e	o	feiticeiro	não	estará	escondido	apenas	
se você puder vê-lo.
23.	 Determine	a	oposta,	a	contrapositiva	e	a	inversa	de	cada	
uma das proposições condicionais.
a) Se	nevar	hoje,	esquiarei	amanhã.
b) Eu venho à aula sempre que há uma prova.
c) Um inteiro positivo é um primo apenas se não tem di-
visores além de 1 e dele mesmo.
24.	 Determine	a	oposta,	a	contrapositiva	e	a	inversa	de	cada	
uma das proposições condicionais.
a) Se	nevar	esta	noite,	então	ficarei	em	casa.
b) Eu vou à praia sempre que faz um dia ensolarado de 
verão.
c) Quando	me	deito	tarde,	é	necessário	que	eu	durma	até	
o meio-dia.
25. Quantas linhas aparecem em uma tabela-verdade para 
cada uma destas proposições compostas?
a) p	→	ÿ p
b) (p ∨ ÿ r)	∧	(q ∨ ÿ s)
c) q ∨ p ∨ ÿ s ∨ ÿ r ∨ ÿ t ∨ u
d) (p ∧  r ∧ t)	↔	(q ∧ t)
26. Quantas linhas aparecem em uma tabela-verdade para 
cada uma destas proposições compostas?
a) (q	→	ÿ p)	∨	(ÿ p	→	ÿ q)
b) (p ∨ ÿ t)	∧	(p ∨ ÿ s)
c) (p	→	r)	∨	(ÿ s →	ÿ t)	∨	(ÿ u	→	v)
d) (p ∧ r ∧ s)	∨	(q ∧ t)	∨	(r ∧ ÿ t)
27. Construa uma tabela-verdade para cada uma destas pro-
posições compostas.
a) p ∧ ÿ p b) p ∨ ÿ p
c) (p ∨ ÿ q)	→	q d)	 (p ∨ q)	→	(p ∧ q)
e) (p	→	q)	↔	(ÿ q	→ ÿ p)
f) (p	→	q)	→	(q	→ p)
28. Construa uma tabela-verdade para cada uma destas pro-
posições compostas.
a) p	→	ÿ p b) p	↔	ÿ p
c) p ⊕	(p ∨ q)	 d)	 (p ∧ q)	→	(p ∨ q)
e) (q	→	ÿ p)	↔	(p	↔	q)
f) (p	↔ q)	⊕	(p	↔	ÿ q)
29. Construa uma tabela-verdade para cada uma destas pro-
posições compostas.
a) (p ∨ q)	→	(p ⊕ q)	 b)	 (p ⊕ q)	→	(p ∧ q)
c) (p ∨ q)	⊕	(p ∧ q)	 d)	 (p	↔ q)	⊕	(ÿ p	↔	q)
e) (p	↔ q)	⊕	(ÿ p	↔ ÿ r)
f) (p ⊕ q)	→	(p ⊕ ÿ q)
30. Construa uma tabela-verdade para cada uma destas pro-

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