Lista Cáculo Integral

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Lista 1 - Matema´tica para Economia II
1 - Calcule as seguinte integrais e, em seguida, derive seus resultados para conferir as
respostas:
(a)
∫
x(x+ 3)(x+ 1) dx (b)
∫
(3x2 + 5)3 dx (c)
∫
(x
2
3 + 1)2 dx
(d)
∫
(x2 + 1)(x2 − 2)
x
2
3
dx (e)
∫
(x3 − x2)2√
x
dx (f)
∫
ex + 4
ex
dx
2 - Calcule as seguintes integrais usando o me´todo de substituic¸a˜o simples:
(a)
∫
x
5
√
x2 − 1 dx (b)
∫ √
x+ 5 dx (c)
∫
dx√
b− ay
(d)
∫
6x
(5− 3x2)2 dx (e)
∫
2 + ln x
x
dx (f)
∫
sen(2x) cos2(2x) dx
(g)
∫
cos(ax)√
b+ sen(ax)
dx (h)
∫
1
x(lnx)2
dx (i)
∫
x2ex
3
dx
(j)
∫
x+ 3
(x2 + 6x)2
dx (k)
∫
sen(ln)
x
dx (l)
∫
cos(
√
x+ 1)√
1 + x
dx
3 - Calcule as seguintes integrais, usando as substituic¸o˜es dadas:
(a)
∫
dx
ex + 1
, x = −lnu (b)
∫
x dx√
x+ 1
, u =
√
x+ 1
(c)
∫
x dx√
1− x2 , x = sen t (d)
∫
dx
1 +
√
x
dx, t = 1 +
√
x
4 - Calcule as seguintes integrais usando o me´todo de integrac¸a˜o por partes:
(a)
∫
x ex dx (b)
∫
x2 senx dx (c)
∫
x ex
(1 + x)2
dx
(d)
∫
e−x cos(pix) dx (e)
∫
sen(lnx) dx (f)
∫
e
1
x
x3
dx
(g)
∫
x3 sen(5x) dx (h)
∫
x4 cos(2x) dx (i)
∫
(x5 − x3 + x)e−x dx
(j)
∫
ln3x dx (k)
∫ √
x lnx dx (l)
∫
x
√
x+ 1 dx
1
5 - Calcule as seguintes integrais:
(a)
∫
x11cos(x4) dx (b)
∫
e
√
x dx (c)
∫
sen(
√
x) dx (d)
∫
x5ex
2
dx
6 - Calcule as seguintes integrais usando o me´todo de frac¸o˜es parciais:
(a)
∫
x
x2 − 4 , dx (b)
∫
5x2 + 1
x− 1 dx (c)
∫
x+ 3
(x− 1)2 dx
(d)
∫
x2 + 3x+ 1
x2 − 2x− 3 dx (e)
∫
x2 + x+ 1
x2 − x dx (f)
∫
1
x2 − x− 2 dx
(g)
∫
x4 + x+ 1
x3 − x dx (h)
∫
x+ 3
x3 − 2x2 − x+ 2 dx (i)
∫
x− 3
(x− 1)2(x+ 2)2 dx
(j)
∫
x+ 1
(x− 1)4 dx (k)
∫
x− 1
x2(x+ 1)2
dx (l)
∫
3
(x2 − 1)(x2 − 4) dx
Gabarito:
2.
(a) 5
8
(x2−1)4/5+c (b) 2
3
(x+5)3/2+c (c) 2
a
√
b− ax+c a 6= 0 (d) 1
5−3x2 +c (e)
ln2x
2
+2 lnx+
c (f) −1
6
cos3(2x)+c (g) 2
a
√
b+ sen(ax)+c a 6= 0 (h) − 1
lnx
+c (i) 1
3
ex
3
+c (j) −1
2
( 1
x2+6x
)+c (k)
−cos(lnx) + c (l) 2 sen(√x+ 1) + c
3.
(a) x−ln(ex+1)+c (b) 2
3
√
x+ 1(x−2)+c (c) −√1− x2+c (d) 2(1+√x)−2 ln(√x+1)+c
4.
(a) ex(x− 1) + c (b) 2x senx− (x2− 2) cosx+ c (c) ex
1+x
+ c (d) e
−x(pi sen(pix)−cos(pix))
pi2+1
+ c (e)
1
2
x(sen(lnx)−cos(lnx))+c (f) e1/x
x
(x−1)+c (g) cos(5x)( 6x
125
− x3
5
)+sen(5x)(3x
2
25
− 6
625
)+c (h)
sen(2x)(x
4
2
− 3x2
2
+ 3
4
)+cos(2x)(x3− 3x
2
)+c (i) e−x(x5+5x4+19x3+57x2+115x+115)+c (j)
x(ln3x− 3 ln2x+ 6 lnx− 6) + c (k) 2x2/3
9
(e lnx− 2) + c (l) 2
15
(x+ 1)3/2(3x− 2) + c
5.
(a) 1
4
(sen(x4)(x8−2)+2x4cos(x4))+c (b) 2e√x(√x−1)+c (c) 2(sen(√x)−√xcos(√x))+
2
c (d) ex
2
(x
4
2
− x2 + 1) + c
6.
(a) 1
2
ln|x2 − 4|+ c (b) 6 ln|x− 1|+ 10(x− 1) + 5
2
(x− 1)2 + c (c) ln|x− 1| − 4
x−1 + c (d)
x+ 1
4
ln|x+1|+ 19
4
ln|x−3|+c (e) x− ln|x|+3 ln|x−1|+c (f) −1
3
ln|x+1|+ 1
3
ln|x−2|+c (g)
x2
2
− ln|x| + 3
2
ln|x − 1| + 1
2
ln|x + 1| + c (h) −2 ln|x − 1| + 1
3
ln|x + 1| + 5
3
ln|x − 2| + c (i)
7
27
ln|x − 1| + 6
27(x−1) − 727 ln|x + 2| + 1527(x+2) + c (j) − 12(x−1)2 − 23(x−1)3 + c (k) 1x + 3 ln|x| −
3 ln|x+ 1|+ 2
x+1
+ c (l) 1
2
ln|x+1
x−1 |+ 14 ln|x−2x+2 |+ c
3