Sistemas Coordenadas cilíndricas e esféricas

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SISTEMAS DE COORDENADAS 
Faculdade de Engenharia ÓPTICA E ELECTROMAGNETISMO – MIB 2007/2008 
 1 
 
COORDENADAS CARTESIANAS 
 
 
 
Coordenadas cartesianas (x, y, z) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
vector de posição 
zyx uzuyuxr ˆˆˆ ++=
r
 
 
elemento de comprimento 
zyx udzudyudxld ˆˆˆ ++=
r
 
 
elementos de superfície 
dydzdsx = (superfície perpendicular a xuˆ ) 
dxdzds y = 
dxdyds z = 
 
elemento de volume 
dxdydzdv = 
 
· 
P (x, y, z) 
z 
x 
y 
xuˆ 
yuˆ 
zuˆ 
r
r
 
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 2 
gradiente 
zyx uz
V
u
y
V
u
x
V
VVgrad ˆˆˆ
¶
¶
+
¶
¶
+
¶
¶
=Ñ= 
 
divergência 
z
A
y
A
x
A
AAdiv zyx
¶
¶
+
¶
¶
+
¶
¶
=×Ñ=
rr
 
 
rotacional
z
xy
y
zx
x
yz
zyx
zyx
u
y
A
x
A
u
x
A
z
A
u
z
A
y
A
AAA
zyx
uuu
AArot ˆˆˆ
ˆˆˆ
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ø
ö
çç
è
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¶
-
¶
¶
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ø
ö
ç
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¶
+÷÷
ø
ö
çç
è
æ
¶
¶
-
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¶
=
¶
¶
¶
¶
¶
¶
=´Ñ=
rr
 
 
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COORDENADAS CILÍNDRICAS 
 
 
 
Coordenadas cilíndricas ( z,, fr ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
fr cos=x 
fr sin=y 
 
versores 
yx uuu ˆsinˆcosˆ ffr += 
yx uuu ˆcosˆsinˆ fff +-= 
 
 
vector de posição 
zuzur ˆˆ += rr
r
 
 
elemento de comprimento 
zudzududld ˆˆˆ ++= fr frr
r
 
 
elementos de superfície 
· 
P ( z,, fr ) 
z 
x 
y 
zuˆ 
r
r
 
ruˆ 
fuˆ 
r 
f 
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dzdds frr = 
dzdds rf = 
frr ddds z = 
 
elemento de volume 
dzdddv frr= 
 
gradiente 
zuz
V
u
V
u
V
VVgrad ˆˆ
1ˆ
¶
¶
+
¶
¶
+
¶
¶
=Ñ= fr frr
 
 
divergência 
( )
z
AA
AAAdiv z
¶
¶
+
¶
¶
+
¶
¶
=×Ñ=
fr
r
rr
f
r
11rr
 
 
rotacional 
( ) zzz
z
z
u
A
Au
A
z
A
u
z
AA
AAA
z
uuu
AArot
ˆ1ˆˆ1
ˆˆˆ
1
ú
û
ù
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ë
é
¶
¶
-
¶
¶
+÷÷
ø
ö
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è
æ
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¶
-
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¶
+÷÷
ø
ö
çç
è
æ
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¶
-
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¶
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¶
¶
¶
¶
¶
=´Ñ=
f
r
rrrfr
r
fr
r
r
r
ff
r
r
f
fr
fr
rr
 
 
 
NOTA: pf 20 ££ 
 
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COORDENADAS ESFÉRICAS 
 
 
 
Coordenadas esféricas ( fq ,,R ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
fq cossinRx = 
fq sinsinRy = 
qcosRz = 
 
versores 
zyxR uuuu ˆcosˆsinsinˆcossinˆ qfqfq ++= 
zyx uuuu ˆsinˆsincosˆcoscosˆ qfqfqq -+= 
yx uuu ˆcosˆsinˆ fff +-= 
 
vector de posição 
RuRr ˆ=
r
 
 
· 
P ( fq ,,R ) 
z 
x 
y 
r
r
 
Ruˆ 
fuˆ qsinR 
f 
quˆ 
q 
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elemento de comprimento 
fq fqq udRudRudRld R ˆsinˆˆ ++=
r
 
 
elementos de superfície 
fqq ddRdsR sin
2= 
fqq ddRRds sin= 
qf ddRRds = 
 
elemento de volume 
fqq dddRRdv sin2= 
 
gradiente 
fq fqq
u
V
R
u
V
R
u
R
V
VVgrad R ˆsin
1ˆ1ˆ
¶
¶
+
¶
¶
+
¶
¶
=Ñ= 
 
divergência 
( ) ( )
fq
q
qq
i
q ¶
¶
+
¶
¶
+
¶
¶
=×Ñ=
A
R
A
R
AR
RR
AAdiv R sin
1
sin
sin
11 2
2
rr
 
 
rotacional 
( )
( ) ( ) fqqf
q
f
fq
fq
qfq
f
q
qq
q
fq
q
q
u
A
AR
RR
uAR
R
A
R
u
A
A
R
ARARA
R
uRuRu
R
AArot
RR
R
R
R
ˆ1ˆ
sin
11
ˆsin
sin
1
sin
ˆsinˆˆ
sin
1
2
úû
ù
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¶
-
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¶
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¶
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¶
¶
¶
¶
¶
¶
=´Ñ=
rr
 
 
NOTA: pq ££0 
 pf 20 ££