RESUMO EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

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RESUMOS DE ELEMENTOS DE ANA´LISE E A´LGEBRA II
por Anto´nio Malheiro
Equac¸o˜es diferenciais ordina´rias
1. Uma equac¸a˜o diferencial ordina´ria e´ uma qualquer equac¸a˜o que envolva uma
func¸a˜o inco´gnita y(x), numa so´ varia´vel x, e as suas derivadas. A ordem da
equac¸a˜o diferencial e´ a ordem da maior derivada que surge na equac¸a˜o. O
grau da equac¸a˜o diferencial e´ a poteˆncia a que se encontra elevada a derivada
de maior ordem.
2. Uma soluc¸a˜o (particular) de uma equac¸a˜o diferencial na func¸a˜o inco´gnita y(x),
na varia´vel x, no intervalo I e´ uma func¸a˜o y(x) que verifica a equac¸a˜o para
todo o x ∈ I. A soluc¸a˜o geral de uma equac¸a˜o diferencial e´ o conjunto de
todas as suas soluc¸o˜es.
3. Um problema de valor inicial consiste numa equac¸a˜o diferencial juntamente
com condic¸o˜es relativas a` func¸a˜o inco´gnita e suas derivadas num mesmo valor
da varia´vel independente x.
Equac¸o˜es diferenciais de primeira ordem
4. Equac¸o˜es com varia´veis separa´veis
Chama-se equac¸a˜o com varia´veis separa´veis a uma equac¸a˜o diferencial de
primeira ordem da forma
y′(x) = f(x) g(y(x)).
Se g(y) 6= 0, enta˜o esta equac¸a˜o pode-se escrever na forma 1
g(y(x))
y′(x) = f(x),
donde primitivando em ordem a x obte´m-se
P
(
1
g(z)
)
z=y(x)
= P (f(x)),
onde no membro esquerdo surge a primitiva relativamente a` varia´vel z da
func¸a˜o 1
g(z)
a qual se substitui por y(x).
5. Equac¸o˜es diferenciais exactas
Uma equac¸a˜o diferencial de primeira ordem diz-se exacta se e´ da forma
M(x, y) +N(x, y)y′(x) = 0, (1)
onde M(x, y) = ∂F
∂x
e N(x, y) = ∂F
∂y
, para alguma func¸a˜o F : D ⊆ R2 → R.
Neste caso teremos
(1)⇔ d
dx
F (x, y(x)) = 0,
donde F (x, y(x)) = c, para algum c ∈ R.
1
6. Condic¸a˜o necessa´ria e suficiente para a equac¸a˜o (1) ser exacta:
Se D ⊆ R2 e´ um conjunto convexo (i.e., o segmento de recta que une quaisquer
dois pontos de D esta´ contido em D), enta˜o a equac¸a˜o (1) e´ exacta se, e so´ se,
∂M
∂y
=
∂N
∂x
.
7. Como obter uma equac¸a˜o exacta? - Factor integrante:
Por vezes a equac¸a˜o (1) na˜o e´ exacta mas pode-se encontrar uma func¸a˜o I(x, y)
de tal modo que a equac¸a˜o
I(x, y)M(x, y)︸ ︷︷ ︸
M˜
+ I(x, y)N(x, y)︸ ︷︷ ︸
N˜
y′(x) = 0,
seja exacta.
Se 1
N
(
∂M
∂y
− ∂N
∂x
)
≡ g(x) e´ uma func¸a˜o dependente unicamente de x, enta˜o
I(x, y) = eP (g(x)).
Se 1
M
(
∂M
∂y
− ∂N
∂x
)
≡ h(y) e´ uma func¸a˜o dependente unicamente de y, enta˜o
I(x, y) = e−P (h(y)).
8. Equac¸o˜es lineares
Chama-se equac¸a˜o linear de primeira ordem a uma equac¸a˜o diferencial da
forma
y′(x) + a(x)y(x) = f(x). (2)
Associada a esta esta´ a chamada equac¸a˜o homoge´nea y′(x) + a(x)y(x) = 0.
Um factor integrante de (2) e´ I(x) = eP (a(x)), pelo que uma sua soluc¸a˜o e´
y(x) = e−P (a(x))P (f(x)eP (a(x))).
Equac¸o˜es diferenciais lineares
9. Uma equac¸a˜o linear de ordem n tem a forma:
bn(x)y
(n) + · · ·+ b1(x)y′ + b0(x)y = g(x). (3)
10. Consideremos o problema de valor inicial de equac¸a˜o (3) com condic¸o˜es iniciais
y(x0) = c0, y
′(x0) = c1, ..., y(n−1)(x0) = cn−1. Se as func¸o˜es bi(x) (i = 0, . . . , n)
e g(x) sa˜o cont´ınuas num intervalo I contendo x0 e bn(x) 6= 0 em I, enta˜o o
problema de valor inicial dado tem uma e so´ uma soluc¸a˜o definida em I.
Nestas condic¸o˜es a equac¸a˜o (3) pode-se escrever na forma:
y(n) + an−1(x)y(n−1) + · · ·+ a1(x)y′ + a0(x)y = φ(x). (4)
2
11. Se na equac¸a˜o (4) todos os coeficientes ai (i = 0, . . . , n − 1) sa˜o constantes a
equac¸a˜o diz-se de coeficientes constantes, caso contra´rio, esta diz-se de coefi-
cientes varia´veis.
12. Designa-se por L(y) o operador diferencial linear
L(y) ≡ y(n) + an−1(x)y(n−1) + · · ·+ a1(x)y′ + a0(x)y,
escrevendo-se neste caso a equac¸a˜o (4) na forma L(y) = φ(x), e em particular,
podemos definir a equac¸a˜o diferencial linear homoge´nea que lhe esta´ associada
L(y) = 0.
13. (Princ´ıpio da superposic¸a˜o) Se y1 e y2 sa˜o soluc¸o˜es da equac¸a˜o homoge´nea
L(y) = 0 enta˜o c1y1 + c2y2 e´ soluc¸a˜o de L(y) = 0, para quaisquer c1, c2 ∈ R.
14. A equac¸a˜o diferencial linear homoge´nea L(y) = 0 tem n soluc¸o˜es linearmente
independentes. Se y1(x), . . . , yn(x) representam essas soluc¸o˜es, enta˜o a soluc¸a˜o
geral yH da equac¸a˜o homoge´nea e´
yH(x) = c1y1(x) + · · ·+ cnyn(x),
onde c1, . . . , cn sa˜o constantes arbitra´rias.
15. A soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o (4) e´ da forma
y = yE + yH ,
onde yH designa a soluc¸a˜o da equac¸a˜o diferencial linear homoge´nea L(y) = 0
e yE designa uma soluc¸a˜o particular da equac¸a˜o (4).
Equac¸o˜es diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes
constantes
16. A` equac¸a˜o L(y) = 0 corresponde uma equac¸a˜o alge´brica L(λ) = 0 mediante a
substituic¸a˜o de y′′, y′, y por λ2, λ, 1, respectivamente, i.e., a` equac¸a˜o y′′+a1y′+
a0y = 0 corresponde a equac¸a˜o
λ2 + a1λ+ a0 = 0. (5)
17. Sejam λ1 e λ2 as ra´ızes da equac¸a˜o (5). Ha´ treˆs casos a considerar:
• Caso λ1 6= λ2 sejam duas ra´ızes reais distintas: a soluc¸a˜o geral e´ da forma
c1e
λ1x + c2e
λ2x.
3
• Caso λ1 = λ2 seja uma raiz real de multiplicidade 2: a equac¸a˜o geral e´
da forma
c1e
λ1x + c2xe
λ1x.
• Caso as ra´ızes sejam complexas λ1 = a+ bi, λ2 = a− bi: a soluc¸a˜o geral
e´ da forma
c1e
ax cos(bx) + c2e
ax sin(bx).
18. (Me´todo dos coeficientes indeterminados)
Admite-se que em (4) a soluc¸a˜o particular yE seja uma soma das parcelas que
compo˜em φ(x) e das suas derivadas.
Caso φ(x) = pn(x) seja um polino´mio de grau n. Procura-se uma soluc¸a˜o
yE(x) da forma
y(x) = Anx
n + · · ·+ A1x+ A0,
onde Ai (i = 0, 1, . . . , n) sa˜o coeficientes constantes a determinar atrave´s da
substituic¸a˜o de y(x) na equac¸a˜o (4).
Caso φ(x) = ceαx, com c, α ∈ R. Procura-se uma soluc¸a˜o yE(x) da forma
Aeαx Axeαx · · · Axneαx
onde A e´ um coeficiente constante a determinar atrave´s da substituic¸a˜o na
equac¸a˜o (4).
Caso φ(x) = c sin(αx) ou φ(x) = c cos(αx), com c, α ∈ R. Procura-se uma
soluc¸a˜o yE(x) da forma
A sin(αx)+B cos(αx) x(A sin(αx)+B cos(αx)) · · · xn(A sin(αx)+B cos(αx))
onde A,B sa˜o coeficientes constantes a determinar atrave´s da substituic¸a˜o na
equac¸a˜o (4).
Observac¸a˜o: Se qualquer termo da soluc¸a˜o acima proposta for tambe´m uma
soluc¸a˜o da soluc¸a˜o homoge´nea yH(x), enta˜o deve-se alterar a soluc¸a˜o proposta
(multiplicando-a por xm - com o menor m poss´ıvel) de modo a que na˜o tenha
um termo em comum com a soluc¸a˜o homoge´nea.
19. (Me´todo da variac¸a˜o das constantes arbitra´rias)
Sejam y1(x), . . . , yn(x), n soluc¸o˜es linearmente independentes de L(y) = 0.
Procura-se uma soluc¸a˜o particular da equac¸a˜o L(y) = φ(x) pelo que partindo
da soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o homoge´nea e fazendo variar as constantes ar-
bitra´rias, se obtera´ uma soluc¸a˜o que sera´ da forma
yE(x) = v1y1(x) + · · ·+ vnyn(x),
onde vi sa˜o func¸o˜es na inco´gnita x. Substituindo na equac¸a˜o (4) deduz-se que
os vi tera˜o de satisfazer, no caso n = 2, o seguinte sistema:{
v′1y1 + v
′
2y2 = 0
v′1y
′
1 + v
′
2y
′
2 = φ(x)
4