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1a Questão (Ref.: 201403557173) 
 Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Sendo as matrizes M = (mij)2x3, N = (nij)axb, P = (pij)cx4, Q = (qij)dxe, é possível determinar M+N, NxP e P-Q. Determine o 
valor de a + b + c + d + e: 
 
 15 
 16 
 
14 
 
13 
 
12 
 
 
 
 
 
 2a Questão (Ref.: 201403568629) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
As matrizes A, B e C são do tipo m x 3, n x p e 4 x r, respectivamente. Se a matriz transposta de 
(ABC) é do tipo 5 x 4, então m + n + p + r é 
 
 
18 
 
15 
 nada pode ser afirmado 
 16 
 
17 
 
 
 
 
 
 3a Questão (Ref.: 201403948638) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Funções matemáticas representam um tema recorrente no estudo da Ciência ao longo da vida acadêmica de muitos 
estudantes. Entre as funções mais comuns utilizadas para representar a linguagem dos fenômenos naturais, encontra-se a 
função f(x)=ax, onde o coeficiente "a" é um número real positivo. Com relação a esta função, NÃO PODEMOS AFIRMAR. 
 
 
Funções do tipo f(x)=ax possuem o conjuntos reais como domínio a princípio. 
 
Funções do tipo f(x)=ax recebem estão associadas a forma geométrica linear. 
 
Funções representadas genericamente por f(x)=ax não representam comportamento constante. 
 O valor do coeficiente "a" determina se a função f(x)=a
x é crescente ou decrescente. 
 As funções do tipo f(x)=a
x possuem máximo e mínimo. 
 
 
 
 
 
 4a Questão (Ref.: 201403496926) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Seja f uma função de R em R, definida por f(x) = x
2
 - 1, calcule f(1/2). 
 
 
4/3 
 
3/4 
 
- 0,4 
 
- 4/3 
 - 3/4 
 
 
 
 
 
 5a Questão (Ref.: 201403496930) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Seja f uma função de R em R, definida por f(x) = x
2
 + 1, calcule f(-1/4). 
 
 
- 2/16 
 
16/17 
 9/8 
 
2/16 
 17/16 
 
 
 
 
 
 6a Questão (Ref.: 201403474368) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Sendo as matrizes M = (mij)2x3, N = (nij)axb, P = (pij)cx4, Q = (qij)dxe, é possível determinar M+N, NxP e P- Q, se: 
 
 
 2b = 2c = 2d = a + c 
 b = a + 1, c = d= e = 4 
 b - a = c - d 
 
 a x b = 6, a + 1 = b = c= d= e - 1 
 a = b = c = d= e - 1 
1a Questão (Ref.: 201403564356) 
 Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
as funções podem ser escritas como uma série infinita de potência. O cálculo do valor de sen(x) pode ser representado por: 
sen(x)= x - x^3/3! +x^5/5!+⋯ Uma vez que precisaremos trabalhar com um número finito de casas decimais, esta 
aproximação levará a um erro conhecido como: 
 
 erro de truncamento 
 erro de arredondamento 
 
erro booleano 
 
erro absoluto 
 
erro relativo 
 
 
 
 
 
 2a Questão (Ref.: 201403937605) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Seja a medida exata da área de uma laje igual a 24,8 m2 e o valor aproximado de 25m2. Qual o erro absoluto associado? 
 
 
99,8% 
 
0,992 
 0,2 m2 
 
1,008 m2 
 
0,2% 
 
 
 
 
 
 3a Questão (Ref.: 201403938829) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Considere o conjunto de instruções: Enquanto A ≥ B faça A = A - B Fim enquanto Se os valores iniciais de A e B são, 
respectivamente, 12 e 4, determine o número de vezes que a instrução será seguida. 
 
 
1 
 Indefinido 
 
2 
 3 
 
0 
 
 
 
 
 
 4a Questão (Ref.: 201403948704) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Aprendemos que a Matemática é a linguagem que utilizamos para expressar o conhecimento de várias ciências como a Física, a 
Química, a Economia e diversas outras. Associadas a Matemática estão as técnicas numéricas que nos facilitam a obtenção de 
soluções, inserindo os computadores na execução de rotinas de cálculo. Com relação ao cálculo numérico, podemos afirmar as 
seguintes sentenças, com EXCEÇÃO de: 
 
 Os métodos analíticos conduzem a soluções exatas para os problemas; os métodos numéricos produzem, em 
geral, apenas soluções aproximadas. 
 
Um método numérico é um método não analítico, que tem como objetivo determinar um ou mais valores 
numéricos, que são soluções de determinado problema. 
 
A precisão dos cálculos numéricos é também um importante critério para a seleção de um algoritmo na 
resolução de um dado problema. 
 Em cálculo numérico, erro é a diferença entre dois valores gerados por métodos não analíticos de obtenção do 
resultado. 
 
Nos métodos numéricos é necessário decidir qual a precisão dos cálculos com que se pretende obter a solução 
numérica desejada. 
 
 
 
 
 
 5a Questão (Ref.: 201403948686) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Cálculo Numérico e Programação Computacional estão intimamente relacionados, pois este segundo procedimento, com suas 
metodologias de programação estruturada, é ideal para a execução de rotinas reiteradas. Com relação a este 
contexto, NÃO podemos afirmar: 
 
 
A programação estruturada tem como essência a decomposição do problema, com o objetivo de facilitar o 
entendimento de todos os procedimentos. 
 
A programação estruturada é uma forma de programação de computadores básica que tem como um dos objetivos 
facilitar o entendimento dos procedimentos a serem executados. 
 
A programação estruturada se desenvolve com a decomposição do problema em etapas ou estruturas hierárquicas. 
 A programação estruturada consegue através da decomposição de um problema melhorar a confiabilidade do 
mesmo. 
 A programação estruturada apresenta estruturas de cálculo sem que as mesmas contenham rotinas repetitivas. 
 
 
 
 
 
 6a Questão (Ref.: 201403948651) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
A resolução de equações matemáticas associadas a modelos físico-químicos pode nos conduzir a resultados não compatíveis 
com a realidade estudada, ou seja, "resultados absurdos". Isto ocorre geralmente porque há diversas fontes de erro. Com 
relação a este contexto, NÃO PODEMOS AFIRMAR: 
 
 
Erros de truncatura: são erros decorrentes da 
interrupção de um processo infinito. 
 
Erros de modelo: representam erros que se 
referem a simplificação que realizamos 
quando representamos a realidade através de 
modelos matemáticos. 
 
Erro absoluto: é a diferença entre o valor 
exato de um número e o seu valor 
aproximado. 
 Erro de arredondamento: são erros referentes 
a aproximações dos números para uma forma 
infinita. 
 
Erros de dados: representam erros 
relacionados aos dados coletados através de 
processos experimentais passíveis de erro. 
1a Questão (Ref.: 201403474713) 
 Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Considere a equação e
x
 - 3x = 0, onde e é um número irracional com valor aproximado de 2,718. É correto 
afirmar que existe uma raiz real no intervalo: 
 
 (0,5; 0,9) 
 (-0,5; 0,0) 
 (0,0; 0,2) 
 (0,9; 1,2) 
 (0,2; 0,5) 
 
 
 
 
 
 2a Questão (Ref.: 201403948713) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
O método da bisseção é uma das primeiras aquisições teóricas quando estudamos Cálculo Numérico e se baseia na sucessiva 
divisão de intervalo no qual consideramos a existência de raízes até que as mesmas (ou a mesma) estejam determinadas. 
Considerando a função f(x)= x3-3x2+4x-2, o intervalo [0,5], identifique o próximo intervalo a ser adotado no processo 
reiterado do método citado. 
 
 
[2,5 ; 5] 
 
[3,4] 
 [0; 2,5] 
 [3,5] 
 
[0; 1,5] 
 
 Gabarito Comentado 
 
 
 
 
 3a Questão (Ref.: 201403948881) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Em CinemáticaFísica, temos funções matemáticas que nos fornecem informações da posição, velocidade e aceleração em 
função do tempo e que se relacionam entre si através de operações matemáticas denominas de derivação e integração. Entre 
os diversos métodos numéricos para se obter a integral definida de uma função, podemos citar, com EXCEÇÃO de: 
 
 
Extrapolação de Richardson. 
 Método da Bisseção. 
 
Regra de Simpson. 
 Método de Romberg. 
 
Método do Trapézio. 
 
 
 
 
 
 4a Questão (Ref.: 201403432396) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Seja a função f(x) = x2 - 5x + 4. Considere o Método da Bisseção para cálculo da raiz, e o intervalo [0, 3] o escolhido para a 
busca. Assim, empregando o método, na iteração seguinte, a raiz deverá ser pesquisada no intervalo: 
 
 
[1,3] 
 [0,3] 
 [0,3/2] 
 
[3/2,3] 
 
[1,2] 
 
 Gabarito Comentado 
 
 
 
 
 5a Questão (Ref.: 201403432388) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
De acordo com o Teorema do Valor Intermediário, indique a opção correta de pontos extremos do intervalo para determinação 
da raiz da função f(x) = x3 -7x -1 
 
 
1 e 2 
 4 e 5 
 
3 e 4 
 2 e 3 
 
0 e 1 
 
 Gabarito Comentado 
 
 
 
 
 6a Questão (Ref.: 201403432399) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Seja a função f(x) = x3 - 8x. Considere o Método da Falsa Posição para cálculo da raiz, e os valores iniciais para pesquisa 1 e 2. 
Assim, empregando o método, na iteração seguinte, a raiz deverá ser pesquisada no valor: 
 
 
3 
 
-3 
 
2 
 -6 
 
1,5 
1a Questão (Ref.: 201403568620) 
 Fórum de Dúvidas (1 de 1) Saiba (0) 
 
Considere a função polinomial f(x) = 2x
5
 + 4x + 3. Existem vários métodos iterativos para se determinar as 
raízes reais, dentre eles, Método de Newton Raphson - Método das Tangentes. Se tomarmos como ponto 
inicial x0= 0 a próxima iteração (x1) será: 
 
 -0,75 
 
0,75 
 
1,25 
 1,75 
 
-1,50 
 
 Gabarito Comentado 
 
 
 
 
 2a Questão (Ref.: 201403432427) Fórum de Dúvidas (1 de 1) Saiba (0) 
 
A raiz da função f(x) = x3 - 8x deve ser calculada empregando o Método de Newton Raphson. Assim, considerando-se o ponto 
inicial x0= 4, tem-se que a próxima iteração (x1) assume o valor: 
 
 
0,8 
 2,4 
 
0 
 1,6 
 
3,2 
 
 
 
 
 
 3a Questão (Ref.: 201403938845) Fórum de Dúvidas (1 de 1) Saiba (0) 
 
Considere a descrição do seguinte método iterativo para a resolução de equações. " a partir de um valor arbitrário inicial x0 
determina-se o próximo ponto traçando-se uma tangente pelo ponto (x0, f(x0)) e encontrando o valor x1 em que esta reta 
intercepta o eixo das abscissas." Esse método é conhecido como: 
 
 Método da bisseção 
 
Método de Pégasus 
 
Método do ponto fixo 
 
Método das secantes 
 Método de Newton-Raphson 
 
 
 
 
 
 4a Questão (Ref.: 201403474404) Fórum de Dúvidas (1 de 1) Saiba (0) 
 
Abaixo tem-se a figura de uma função e várias tangentes ao longo da curva. 
 
 
 
Esta é a representação gráfica de um método conhecido como: 
 
 
 Bisseção 
 Newton Raphson 
 Ponto fixo 
 Gauss Jacobi 
 Gauss Jordan 
 
 
 
 
 
 5a Questão (Ref.: 201403432428) Fórum de Dúvidas (1 de 1) Saiba (0) 
 
O método de Newton-Raphson utiliza a derivada f´(x) da função f(x) para o cálculo da raiz desejada. No entanto, existe um 
requisito a ser atendido: 
 
 
A derivada da função deve ser negativa em todas as iterações intermediárias. 
 A derivada da função deve ser positiva em todas as iterações intermediárias. 
 
A derivada da função não deve ser positiva em nenhuma iteração intermediária. 
 
A derivada da função não deve ser negativa em nenhuma iteração intermediária. 
 A derivada da função não deve ser nula em nenhuma iteração intermediária. 
 
 
 
 
 
 6a Questão (Ref.: 201403432432) Fórum de Dúvidas (1) Saiba (0) 
 
A raiz de uma função f(x) deve ser calculada empregando o Método das Secantes, empregando como dois pontos iniciais x0e 
x1.Com base na fórmula de cálculo das iterações seguintes, tem-se que x0e x1 devem respeitar a seguinte propriedade: 
 
 
 
f(x0) e f(x1) devem ser iguais. 
 
f(x0) e f(x1) devem ser 
diferentes 
 
 
f(x0) e f(x1) devem ser 
negativos 
 
 
f(x0) e f(x1) devem ter sinais 
diferentes 
 
 
f(x0) e f(x1) devem ser 
positivos 
1a Questão (Ref.: 201403948748) 
 Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Métodos Iterativos para a resolução de um sistema linear representam uma excelente opção matemática para os casos em que 
o sistema é constituído de muitas variáveis, como os Métodos de Método de Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel. Com relação a estes 
métodos, NÃO podemos afirmar: 
 
 Com relação a convergência do Método de Gauss-Seidel, podemos citar o critério de Sassenfeld, que garante a 
convergência tomando-se como referência o "parâmetro beta" inferior a 1. 
 
Considerando uma precisão "e", tem-se uma solução xk quando o módulo de xk-x(k-1) for inferior a precisão. 
 
Se a sequência de soluções xk obtida estiver suficientemente próxima de x(k-1), sequência anterior, segundo um 
critério numérico de precisão, paramos o processo. 
 Adotando-se uma precisão "e" como critério de parada dos cálculos, x
k representa uma solução quando o módulo 
de xk-x(k-1) for superior a precisão. 
 
Ambos os métodos mencionados se baseiam na transformação de um sistema Ax=B em um sistema xk=Cx(k-1)+G. 
 
 Gabarito Comentado 
 
 
 
 
 2a Questão (Ref.: 201403592229) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
A resolução de sistemas lineares pode ser feita a partir de métodos diretos ou iterativos. Com relação a estes últimos é correto 
afirmar, EXCETO, que: 
 
 Sempre são convergentes. 
 Existem critérios que mostram se há convergência ou não. 
 
Consistem em uma sequência de soluções aproximadas 
 
As soluções do passo anterior alimentam o próximo passo. 
 
Apresentam um valor arbitrário inicial. 
 
 Gabarito Comentado 
 
 
 
 
 3a Questão (Ref.: 201403592227) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
O método de Gauss-Jacobi é um método iterativo para a resolução de sistemas lineares. Como todo método iterativo, existe a 
possibilidade ou não de convergência. Um dos critérios adotados para garantir a convergência é denominado: 
 
 Critério dos zeros 
 
Critério das frações 
 
Critério das diagonais 
 Critério das linhas 
 
Critério das colunas 
 
 Gabarito Comentado 
 
 
 
 
 4a Questão (Ref.: 201403474407) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
No cálculo numérico podemos alcançar a solução para determinado problema utilizando os métodos 
iterativos ou os métodos diretos. É uma diferença entre estes métodos: 
 
 o método iterativo apresenta resposta exata enquanto o método direto não. 
 no método direto o número de iterações é um fator limitante. 
 não há diferença em relação às respostas encontradas. 
 os métodos iterativos são mais simples pois não precisamos de um valor inicial para o problema. 
 o método direto apresenta resposta exata enquanto o método iterativo pode não conseguir. 
 
 
 
 
 
 5a Questão (Ref.: 201403948754) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Um dos métodos mais utilizados na resolução de sistemas de equações lineares é aquele denominado Método de Gauss-Seidel. 
Porém, o método só nos conduz a uma solução se houver convergênciados valores encontrados para um determinado valor. 
Uma forma de verificar a convergência é o critério de Sassenfeld. Considerando o sistema a seguir e os valore dos "parâmetros 
beta" referentes ao critério de Sassenfeld, escolha a opção CORRETA. 
 5x1+x2+x3=5 
 3x1+4x2+x3=6 
 3x1+3x2+6x3=0 
 
 
Beta 1= 0,3, beta 2=0,2 e beta 3=0,8, o que indica que o sistema converge. 
 
Beta 1= 0,2, beta 2=0,9 e beta 3=0,4, o que indica que o sistema converge. 
 Beta 1= 0,4, beta 2=0,6 e beta 3=0,5, o que indica que o sistema converge. 
 Beta 1= 0,4, beta 2=0,6 e beta 3=0,5, o que indica que o sistema não converge. 
 
Beta 1= 1,4, beta 2=0,8 e beta 3=0,5, o que indica que o sistema não converge. 
 
 
 
 
 
 6a Questão (Ref.: 201403938868) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
A resolução de sistemas lineares é fundamental em alguns ramos da engenharia. O cálculo numérico é uma ferramenta 
importante e útil nessa resolução. Sobre os sistemas lineares assinale a opção CORRETA. 
 
 Ao se utilizar um método iterativo para 
solucionar um sistema de equações lineares 
deve tomar cuidado pois, dependendo do 
sistema em questão, e da estimativa inicial 
escolhida, o método pode não convergir para a 
solução do sistema. 
 Nos métodos diretos para a resolução de 
sistemas lineares utilizamos o escalonamento 
que consiste em transformar a matriz 
incompleta em uma matriz identidade 
 
Um sistema é dito linear quando pelo menos 
uma variável tem expoente unitário. 
 
O método da Eliminação de Gauss é um 
método iterativo para a resolução de sistemas 
lineares. 
 
Para o mesmo sistema linear e para um mesmo 
chute inicial, o método de Gauss-Seidel tende a 
convergir para a resposta exata do sistema 
numa quantidade maior de iterações que o 
método de Gauss-Jacobi. 
1a Questão (Ref.: 201403948765) 
 Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Em Cálculo Numérico possuímos o Método de Lagrange para a interpolação polinomial de funções quando conhecemos 
alguns pontos das mesmas. Considerando este método como referência, determine o "polinômio" que melhor representa os 
pontos (1,3), (4,9), (3,7) e (2,5). 
 
 
y=x2+x+1 
 
y=x3+1 
 y=2x+1 
 y=2x-1 
 
y=2x 
 
 Gabarito Comentado 
 
 
 
 
 2a Questão (Ref.: 201403480151) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Dados ¨31¨ pontos distintos ( (x0,f(x0)), (x1,f(x1)),..., (x31,f(x31)). Suponha que se deseje encontrar o polinômio 
P(x) interpolador desses pontos por algum método conhecido - método de Newton ou método de Lagrange. 
Qual o maior grau possível para este polinômio interpolador? 
 
 grau 15 
 grau 31 
 grau 30 
 grau 32 
 grau 20 
 
 
 
 
 
 3a Questão (Ref.: 201403442911) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Você, como engenheiro, efetuou a coleta de dados em laboratório referentes a um experimento tecnológico de sua empresa. 
Assim, você obteve os pontos (0,3), (1,5) e (2,6). Com base no material apresentado acerca do Método de Lagrange, tem-se 
que a função M1 gerada é igual a: 
 
 
-2x2 + 3x 
 
-3x2 + 2x 
 
x2 + 2x 
 -x
2 + 2x 
 
-x2 + 4x 
 
 Gabarito Comentado 
 
 
 
 
 4a Questão (Ref.: 201403442903) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Considere que são conhecidos 3 pares ordenados: (x0,y0), (x1,y1) e (x2,y2). Dado que foram apresentados em sala dois 
métodos de interpolação polinomial (Lagrange e Newton), você pode aplica-los, encontrando, respectivamente, as funções de 
aproximação f(x) e g(x). Pode-se afirmar que: 
 
 f(x) é igual a g(x), se todos os valores das abscissas forem positivos. 
 
f(x) é igual a g(x), se todos os valores das abscissas forem negativos. 
 f(x) é igual a g(x), independentemente dos valores dos pares ordenados. 
 
f(x) é igual a g(x), se todos os valores das ordenadas forem negativos. 
 
f(x) é igual a g(x), se todos os valores das ordenadas forem positivos. 
 
 
 
 
 
 5a Questão (Ref.: 201403442894) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Considere que são conhecidos dois pares ordenados, (2,5) e (1,2). Utilizando o método de Lagrange de interpolação 
polinomial, obtém-se a função: 
 
 
2x + 5 
 
3x + 7 
 3x - 1 
 
x - 3 
 
x + 2 
 
 
 
 
 
 6a Questão (Ref.: 201403938891) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Para analisar um fenômeno um engenheiro fez o levantamento experimental em um laboratório. Nesta análise concluiu que que 
as duas variáveis envolvidas x e y se relacionam linearmente, ou seja, através de um polinômio P(x) do primeiro grau. Qual o 
número mínimo de pontos que teve que obter no ensaio para gerar o polinômio P9x) por interpolação polinomial? 
 
 3 
 
5 
 2 
 
4 
 
1 
1a Questão (Ref.: 201403474334) 
 Fórum de Dúvidas (1 de 3) Saiba (0) 
 
 
O valor de aproximado da integral definida utilizando a regra dos trapézios com n = 1 é: 
 
 15,807 
 24,199 
 30,299 
 20,099 
 11,672 
 
 Gabarito Comentado 
 
 
 
 
 2a Questão (Ref.: 201403474187) Fórum de Dúvidas (1 de 3) Saiba (0) 
 
O erro no cálculo de integrais utilizando o método do trapézío deve-se ao fato de que: 
 
 Esta regra não leva a erro. 
 Os trapézios não terem uma boa aplicação de calculo de integrais 
 O melhor é utilizar uma calculadora para o calculo 
 Os trapézíos se ajustarem a curva da função 
 Os trapézios nunca se ajustarem perfeitamente à curva da função 
 
 Gabarito Comentado 
 
 
 
 
 3a Questão (Ref.: 201403558311) Fórum de Dúvidas (1 de 3) Saiba (0) 
 
Seja o método numérico de integração conhecido como regra dos retângulos, isto é, a divisão do intervalo [a,b] em n 
retângulos congruentes. Aplicando este método para resolver uma integral definida com limites inferior e superior iguais a zero 
e cinco e tomando-se n = 200, cada base h terá que valor? 
 
 0,025 
 
0,250 
 0,050 
 
0,100 
 
0,500 
 
 Gabarito Comentado 
 
 
 
 
 4a Questão (Ref.: 201403474180) Fórum de Dúvidas (1 de 3) Saiba (0) 
 
Considere o conjunto de pontos apresentados na figura abaixo que representa o esforço ao longo de uma 
estrutura de concreto. 
 
 
 
 
A interpolação de uma função que melhor se adapta aos dados apresentados acima é do tipo 
 
 Y = ax
2
 + bx + c 
 Y = b + x. ln(a) 
 Y = a
bx+c
 
 Y = b + x. log(a) 
 Y = ax + b 
 
 
 
 
 
 5a Questão (Ref.: 201403474332) Fórum de Dúvidas (1 de 3) Saiba (0) 
 
Dado (n + 1) pares de dados, um único polinômio de grau ____ passa através dos dados (n + 1) pontos. 
 
 menor ou igual a n 
 menor ou igual a n - 1 
 menor ou igual a n + 1 
 n 
 n + 1 
 
 Gabarito Comentado 
 
 
 
 
 6a Questão (Ref.: 201403474185) Fórum de Dúvidas (1 de 3) Saiba (0) 
 
Seja o método numérico de integração conhecido como regra dos retângulos, isto é, a divisão do intervalo 
[a,b] em n retângulos congruentes. Aplicando este método para resolver a integral 
definida com a n = 10, cada base h terá que valor? 
 
 
 1 
 0,2 
 0,1 
 2 
 indefinido 
1a Questão (Ref.: 201403939834) 
 Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Uma técnica importante de integração numérica é a de Romberg. Sobre este método é correto afirmar que: 
 
 
Só pode ser utilizado para integrais polinomiais 
 Tem como primeiro passo a obtenção de aproximações repetidas pelo método dos retângulosTem como primeiro passo a obtenção de aproximações repetidas pelo método do trapézio 
 
É um método de pouca precisão 
 
É um método cuja precisão é dada pelos limites de integração 
 
 Gabarito Comentado 
 
 
 
 
 2a Questão (Ref.: 201403948823) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
O Método de Romberg é uma excelente opção para a obtenção de integrais definidas, exigindo menos esforço computacional 
e oferecendo resultados mais precisos que outros métodos através de cálculos sequenciais. As duas primeiras etapas são 
obtidas através R1,1=(a-b)/2 [f(a)+f(b)] e R2,1=1/2 [R1,1+h1.f(a+h2)], e fornecem aproximações para a integral definida da 
função f(x) sobre o intervalo [a,b]. Considerando o exposto, obtenha R2,1 para a função f(x)=x
2, no intervalo [0,1]. Assinale a 
opção CORRETA com três casas decimais. 
 
 1,567 
 
1,053 
 
0,382 
 0,351 
 
0,725 
 
 
 
 
 
 3a Questão (Ref.: 201403474330) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Existem alguns métodos numéricos que permitem a determinação de integrais definidas. Dentre estes 
podemos citar o de Newton, o de Simpson e o de Romberg. Analise as afirmativas abaixo a respeito do 
método de Romberg: 
 
I - O método de Romberg é mais preciso que o método dos trapézios 
II - O método de Romberg exige menor esforço computacional que o método dos trapézios 
III - O método de Romberg utiliza a regra dos trapézios repetida para obter aproximações preliminares 
 
Desta forma, é verdade que: 
 
 Todas as afirmativas estão erradas. 
 Apenas II e III são verdadeiras. 
 Apenas I e III são verdadeiras 
 Apenas I e II são verdadeiras 
 Todas as afirmativas estão corretas 
 
 
 
 
 
 4a Questão (Ref.: 201403938946) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
No método de Romberg para a determinação de uma integral definida de limites inferior e superior iguais a a e b, 
respectivamente, o intervalo da divisão é dado por hk = (a-b)/2 ^(k-1). . Se a = 1, b = 0 e k =2, determine o valor de h. 
 
 
0 
 1/2 
 
1/3 
 
1/4 
 
1/5 
 
 Gabarito Comentado 
 
 
 
 
 5a Questão (Ref.: 201403948896) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
O Método de Romberg nos permite obter o resultado de integrais definidas por técnicas numéricas. Este método representa 
um refinamento de métodos anteriores, possuindo diversas especificidades apontadas nos a seguir, com EXCEÇÃO de: 
 
 
A precisão dos resultados é superior a obtida no método dos retângulos. 
 
Pode se utilizar de critérios de parada para se evitar cálculos excessivos. 
 Permite a obtenção de diversos pontos que originam uma função passível de integração definida. 
 
As expressões obtidas para a iteração se relacionam ao método do trapézio. 
 
Utiliza a extrapolação de Richardson. 
 
 Gabarito Comentado 
 
 
 
 
 6a Questão (Ref.: 201403948872) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Integrais definidas representam em diversas situações a solução de um problema da Física e podem ser obtidas através da 
Regra do Retângulo, da Regra do Trapézio, da Regra de Simpson e do Método de Romberg. Este último utiliza as expressões 
R1,1=(a-b)/2 [f(a)+f(b)] e R2,1=1/2 [R1,1+h1.f(a+h2)] para as primeiras aproximações, considerando a função f(x) sobre o 
intervalo [a,b]. Considerando o exposto, obtenha R2,1 para a função f(x)=x
3, no intervalo [0,1]. Assinale a 
opção CORRETA com três casas decimais. 
 
 0,313 
 
1,230 
 
0,939 
 0,625 
 
1,313 
1a Questão (Ref.: 201403443081) 
 Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Encontrar a solução da equação diferencial ordinária y' = f ( x, y ) = 3x + 2y + 2 com a 
condição de valor inicial y (3) = 4. Dividindo o intervalo [3;4] em apenas uma parte, ou seja, 
fazendo h =1 e, aplicando o método de Euler, determine o valor aproximado de y (4) para a 
equação dada. 
 
 23 
 25 
 
22 
 
24 
 
21 
 
 Gabarito Comentado 
 
 
 
 
 2a Questão (Ref.: 201403443089) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Encontrar a solução da equação diferencial ordinária y' = f ( x, y ) = 2x + y + 1 com a condição 
de valor inicial y ( 1) = 1. Dividindo o intervalo [ 1; 2 ] em 2 partes, ou seja, fazendoh =0,5 e, 
aplicando o método de Euler, determine o valor aproximado de y ( 1,5 ) para a equação dada. 
 
 
1 
 
2 
 
4 
 3 
 7 
 
 
 
 
 
 3a Questão (Ref.: 201403999481) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Resolva, aproximadamente, pelo Método de Euler a equação diferencial com a condição inicial 
dada, considerando duas divisões do intervalo entre x0 e xn. 
y'=x-yx y(1)=2,5 y(2)=? 
 
 
 
15555 
 
1,7776 
 1,6667 
 
1,0000 
 
1,5000 
 
 
 
 
 
 4a Questão (Ref.: 201403948909) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
O Método de Euler nos fornece pontos de curvas que servem como soluções de equações diferenciais. Sabendo-se que um 
dos pontos da curva gerada por este método é igual a (4; 53,26) e que a solução exata é dada por y=ex, determine o erro 
absoluto associado. Assinale a opção CORRETA. 
 
 2,54 
 
2,50 
 1,34 
 
1,00 
 
3,00 
 
 Gabarito Comentado 
 
 
 
 
 5a Questão (Ref.: 201403948902) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Na descrição do comportamento de sistemas físicos dinâmicos, frequentente utilizamos equações diferenciais que, como o 
nome nos revela, podem envolver derivadas de funções. Um método comum para resolução de equações diferenciais de 
primeira ordem é o Método de Euler, que gera pontos da curva aproximada que representa a resolução do sistema. Para 
gerarmos os pontos, utilizamos a relação yk+1=yk+h.f(xk,yk), onde "h" representa o passo adotado. Considerando a equação 
diferencial y'=y com y(0)=1, gere o ponto da curva para k=1 e passo igual a 1. Assinale a opção CORRETA. 
 
 
1 
 -1 
 
-2 
 2 
 
0 
 
 
 
 
 
 6a Questão (Ref.: 201403948905) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
O Método de Euler é um dos métodos mais simples para a obtenção de pontos de uma curva que serve como solução de 
equações diferenciais. Neste contexto, geramos os pontos, utilizando a relação yk+1=yk+h.f(xk,yk), onde "h" representa o passo 
adotado. Considerando a equação diferencial y'=y com y(0)=2, gere o ponto da curva para k=1 e passo igual a 0,5. Assinale a 
opção CORRETA. 
 
 
-3 
 3 
 -2 
 
0 
 
1 
1a Questão (Ref.: 201403477172) 
 Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Em relação ao método de Runge - Kutta de ordem "n" são feitas três afirmações: 
I - é de passo um; 
II - não exige o cálculo de derivada; 
III - utiliza a série de Taylor. 
É correto afirmar que: 
 
 todas estão corretas 
 todas estão erradas 
 apenas II e III estão corretas 
 apenas I e III estão corretas 
 apenas I e II estão corretas 
 
 
 
 
 
 2a Questão (Ref.: 201403477177) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Considere a equação diferencial y´= y, sendo y uma função de x. Sua solução geral é y(x) = a.e
x
, onde a é 
um numero real e e um número irracional cujo valor aproximado é 2,718. Se a condição inicial é tal que y(0) 
= 2, determine o valor de a para esta condição. 
 
 0,25 
 0 
 0,5 
 1 
 2 
 
 
 
 
 
 3a Questão (Ref.: 201403938907) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Considere a equação diferencial ordinária y´= y, sendo y uma função de x, ou seja, y = y (x). A solução geral desta EDO é a 
função y(x) = k.ex,onde k é um número real e e um número irracional cujo valor aproximado é 2,718. Considerando a 
condição inicial tal que y(0) = 5, determine o valor da constante k para esta condição. 
 
 
1/2 
 
4 
 5 
 2 
 
1/5 
 
 
 
 
 
 4a Questão (Ref.: 201403558291) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Considere a equação diferencial y´= y, sendo y uma função de x. Sua solução geral é y(x) = a.e^x, onde a é um numero real 
e e um número irracional cujo valor aproximado é 2,718. Se a condição inicial é tal que y(0) = 2, determine o valor de a para 
esta condição. 
 
 
3 
 
1/2 
 
0 
 2 
 
1 
 
 Gabarito Comentado 
 
 
 
 
 5a Questão (Ref.: 201403480157) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Considere a equação diferencial ordinária y´= y +3, tal que y é uma função de x, isto é, y (x). Marque a 
opção que encontra uma raiz desta equação. 
 
 y = e
x
 + 2 
 y = e
x
 - 2 
 y = e
x
 + 3 
 y = e
x
 - 3 
 y = ln(x) -3