TRABALHO DE ALGEBRA LINEAR

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FACULDADE PARAÍSO DO CEARÁ 
CURSO DE BACHARELADO EM ENGENHARIA CIVIL- NOITE 
GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR 
PROFESSOR: PAULO PINHEIRO 
 
 
 
SUPERFÍCIES QUÁDRICAS 
 
 
 
 
Ângela Cristina Rodrigues dos Santos 
Thais Nunes Rodrigues Souza 
Wiarlley Alves Pereira 
 
 
 
 
 
 
JUAZEIRO DO NORTE-CE 
MAIO-2016 
Índice 
Introdução e definição de superfícies quádricas..............................................................03 
Elipsóide..........................................................................................................................04 
Hiperbolóide....................................................................................................................07 
Parabolóide......................................................................................................................15 
Superfície cônica.............................................................................................................22 
Superfície cilíndrica........................................................................................................23 
Referencias Bibliográficas..............................................................................................24 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Introdução e definição de superfícies quádricas 
Quádrica ou superfície quádrica é em matemática, o conjunto dos pontos do espaço 
tridimensional cujas coordenadas formam um polinômio de segundo grau de no máximo 
três variáveis denominado de equação cartesiana da superfície: 
 
Onde pelo menos um dos coeficientes a, b, c, d, e ou f é diferente de zero, representando 
assim uma superfície quádrica, ou simplesmente, uma quádrica. Se a superfície 
quádrica, for cortada pelos planos coordenados ou por planos paralelos a eles, a curva 
de interseção será uma cônica. Desta equação pode derivar: Uma cônica, quando a 
superfície quádrica for cortada por um plano. Ex: plano xy (z=0) ax2 + by2 + 2dxy + mx + ny 
+ q =0 . A interseção de uma superfície com um plano é chamado traço da superfície no plano. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Elipsóide 
Ao girarmos uma elipse em torno de um eixo, obtemos uma elipsóide de revolução, cuja 
equação será obtida da equação da elipse. 
Obs.: O coeficiente “a” sempre estará no denominador do eixo de simetria. 
Quando a=b=c, temos uma esfera 
A equação-padrão do elipsóide é 
 
 
sendo convencionado que os parâmetros a, b e c são todos positivos. Estes parâmetros 
são os semi-eixos das três elipses obtidas no corte do elipsóide pelos planos 
coordenados z = 0, y = 0 e x = 0, respectivamente, dadas pelas equações. 
 
 
 Estas três elipses aparecem nas cores vermelho, azul e verde nas figuras a seguir: à 
esquerda aparecem as três elipses no elipsóide transparente e à direita aparecem (partes 
d) as mesmas elipses no mesmo elipsóide, agora pintado de marrom. 
 
 É fácil obter os cortes do elipsóide com os eixos coordenados: fazendo z = y = 0 
na equação do elipsóide, obtemos. 
 
e portanto x = ± a. Da mesma maneira obtemos os outros cortes, ou seja, 
 
No primeiro octante, os pontos de cortes do elipsóide com os eixos coordenados são os 
pontos (a, 0, 0), (0, b, 0) e (0, 0, c); na figura ao lado aparecem estes pontos junto com 
os cortes do elipsóide com os planos coordenados no primeiro octante. 
 
 O elipsóide nunca é o gráfico de uma função real de duas variáveis reais, pois 
geralmente ocorrem dois cortes por retas verticais. No entanto, podemos separá-lo em 
dois gráficos, dados pelas duas funções 
 
As curvas de nível de cada uma destas funções 
aparecem ao lado: são elipses dadas pela equação 
 
Com k variando entre c e -c. 
Para k = c temos um ponto na origem e para k = 0 temos a elipse máxima na cor 
carmim. Observe que a simetria do elipsóide é tal que o que foi feito com a 
variável z também pode ser feito com as outras duas variáveis, com o mesmo resultado: 
os cortes do elipsóide por planos paralelos aos planos coordenados sempre são elipses. 
 O elipsóide tem uma versão com ainda maior simetria, que sempre é 
uma superfície de revolução: o esferóide, que ocorre quando pelo menos dois dos três 
semi-eixos são iguais. Neste caso, os cortes do elipsóide por planos paralelos a um ou 
aos três planos coordenados são círculos. Distinguimos três tipos de esferoides: o 
alongado (ou prolato), do tipo bola de futebol americano, com a = b < c, o achatado 
(ou oblato), do tipo disco voador, com a = b > c e, finalmente, a esfera, com a = b = c. 
 
 
Esferóide Prolato Esferóide Oblato Esfera 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Hiperboloide 
Hiperbolóide de duas folhas 
 
 
 
 
A equação-padrão do hiperbolóide elíptico de duas folhas é 
 
 
 
Interseções com os eixos coordenados: 
- Com o eixo x : fazendo y=0=z na equação obtemos a 
 
 
igualdade , que não possui solução real. Assim, a interseção da 
superfície com o eixo x é vazia. 
 
- Com o eixo y : fazendo x=0=z na equação obtemos a 
 
igualdade , que não possui solução real. Logo, a interseção da 
superfície com o eixo y é vazia. 
 
- Com o eixo z : fazendo x=0=y na equação obtemos a 
 
igualdade , cujas soluções são z=c e z=-c . Donde, a interseção da 
superfície com o eixo z são os pontos (0,0,c) e (0,0,-c). 
Interseções com os planos coordenados: 
- A interseção com o plano coordenado xy , plano de equação z=0 , é uma 
curva C com equações reduzidas C: z=0 , 
 
 Portanto, a interseção é vazia.. 
- A interseção com o plano coordenado xz , plano de equação y=0 , é uma 
curva C com equações reduzidas C: y=0 , 
 
 Ou seja, se trata de uma hipérbole com centro na origem, eixo focal contido no 
eixo z e eixo conjugado contido no eixo x . 
- A interseção com o plano coordenado yz , plano de equação x=0 , é uma 
curva C com equações reduzidas C: x=0 , 
 
 
 Trata-se de uma hipérbole com centro na origem, eixo focal contido no eixo z e 
eixo conjugado contido no eixo y . 
Simetria: 
Já comentamos que esse tipo de superfície é simétrica em relação aos três planos e 
eixos coordenados, possuindo a origem como centro de simetria. 
Seções por planos paralelos aos planos coordenados e limitação: 
- Intersectando a superfície por um plano paralelo ao plano xy , plano de 
equação z=k, obtemos uma curva C , que pode ser degenerada, de equações 
reduzidas C: z=k , . 
 
 
Quando (-c<k<c) temos a desigualdade , isso mostra 
que a seção por plano z=k com é vazia. 
Para ela se degenera nos pontos (0,0,c) e (0,0,-c). 
E, para (k<-c ou c<k) obtemos a igualdade 
 
 donde concluímos que essa seção é uma elipse com centro no ponto (0,0,k) e 
semi-eixos paralelos aos eixos x e y . 
- Intersectando a superfície por um plano paralelo ao plano xz , plano de 
equação y=k , obtemos uma curva C de equações reduzidas C: y=k , 
 
 .Essa seção é uma hipérbole com centro no ponto (0,k,0) , eixo focal paralelo ao 
eixo z e eixo conjugado paralelo ao eixo. 
- Intersectando a superfície por um plano paralelo ao plano yz , plano de 
equação x=k , obtemos uma curva C de equações reduzidas C: x=k 
, . 
Tal seção é uma hipérbole com centro no ponto (k,0,0) , eixo focal paralelo ao 
eixo z e eixo conjugado paralelo ao eixo. 
As seções por planos paralelos aos planos coordenados mostramque o 
hiperbolóide de duas folhas de eixo z é ilimitado no sentido dos três eixos 
coordenados e está contido no complementar da região limitada pelos 
planos z=c e z=-c . 
Esboço da superfície: 
As informações obtidas fornecem uma "tomografia" do hiperbolóide de duas folhas 
e permitem descrevê-lo como a reunião de uma família de curvas. Tais informações 
permitem construir o gráfico do hiperbolóide de duas folhas com eixo z 
 : . 
 
O Hiperbolóide Elíptico de Uma Folha 
 
 
 
 
 
A equação-padrão do hiperbolóide elíptico de 
uma folha é 
 
 
 
Interseções com os eixos coordenados: 
- Com o eixo x : fazendo y=0=z na equação obtemos a 
 
igualdade , cujas soluções são x=a e x=-a . Assim, a interseção da superfície 
 com o eixo x são os pontos (a,0,0) e (-a,0,0) . 
- Com o eixo z : fazendo x=0=y na equação obtemos a 
 
igualdade , cujas soluções são z=c e z=-c. Portanto, a interseção da 
superfície com o eixo z são os pontos (0,0,c) e (0,0,-c) . 
- Com o eixo y : fazendo x=0=z na equação obtemos a 
 
igualdade , que não possui solução real. Logo, a interseção da superfície com 
o eixo y é vazia. 
Interseções com os planos coordenados: 
- A interseção com o plano coordenado xy , plano de equação z=0 , é uma 
curva C com equações reduzidas C: z=0 , 
 . 
Ou seja, se trata de uma hipérbole com centro na origem, eixo focal contido no eixo 
x e eixo conjugado contido no eixo y . 
- A interseção com o plano coordenado xz , plano de equação y=0 , é uma 
curva C com equações reduzidas C: y=0 , 
 . 
 Trata-se de uma elipse com centro na origem e semi-eixos contidos nos 
eixos x e z . 
- A interseção com o plano coordenado yz , plano de equação x=0 , é uma 
curva C com equações reduzidas C: x=0 , 
 . 
Donde, a seção é uma hipérbole com centro na origem, eixo focal contido no 
eixo z e eixo conjugado contido no eixo y . 
Simetria: 
Já comentamos que esse tipo de superfície é simétrica em relação aos três planos e 
eixos coordenados, possuindo a origem como centro de simetria. 
Seções por planos paralelos aos planos coordenados e limitação: 
- Intersectando a superfície com um plano paralelo ao plano xy , plano de 
equação z=k , obtemos uma curva C , que pode ser degenerada, de equações 
reduzidas C: z=k , 
 . 
 Quando (k=c ou k=-c) obtemos a igualdade 
 , 
 cujas soluções fornecem duas retas e . Para (-
c<k<c) temos a igualdade 
 
e, concluímos que a seção é uma hipérbole com centro no ponto (0,0,k) , eixo focal 
paralelo ao eixo x e eixo conjugado paralelo ao eixo y . Agora, para (k<-c 
ou c<k) obtemos a igualdade 
 
donde concluímos que as seções são hipérboles com centro no ponto (0,0,k) , eixo 
focal paralelo ao eixo y e eixo conjugado paralelo ao eixo x . 
- Intersectando a superfície com um plano paralelo ao plano yz , plano de 
equação x=k , obtemos uma curva C , que pode ser degenerada, de equações 
reduzidas C: x=k , 
 . 
 A análise dos possíveis valores de k ( , e ) leva a 
conclusões análogas às anteriores. 
- Intersectando a superfície com um plano paralelo ao plano xz , plano de 
equação y=k , obtemos uma curva C de equações reduzidas C: y=k , 
 . 
 Quando obtemos a elipse 
 
 de centro na origem e semi-eixos contidos nos eixos x e z , chamada elipse da 
gola. Para k diferente de zero, reescrevendo a equação de C , obtemos a igualdade 
 
 e, concluímos que as seções são elipses com centro no ponto (0,k,0) e semi-eixos 
paralelos aos eixos x e z . 
As seções por planos paralelos aos planos coordenados mostram que o hiperbolóide 
é ilimitado no sentido dos três eixos coordenados. 
Esboço da superfície: 
As várias seções fornecem uma "tomografia" do hiperbolóide e permitem descrevê-
lo como a reunião de uma família de curvas. Tais informações permitem construir o 
gráfico do hiperbolóide de uma folha de eixo y 
 : . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Parabolóide 
 
O Parabolóide Elíptico 
 
A equação-padrão do parabolóide elíptico é 
 
 
Interseções com os eixos coordenados: 
- Com o eixo x : fazendo y=0=z na equação obtemos a igualdade 
 , 
cuja solução é x=0 . 
 Assim, a interseção da superfície com o eixo x é o ponto origem (0,0,0) . 
- Com o eixo y : fazendo x=0=z na equação obtemos a igualdade 
 , 
 cuja solução é y=0 . Logo, a interseção da superfície com o eixo y é o ponto 
origem (0,0,0) . 
- Com o eixo z : fazendo x=0=y na equação obtemos a igualdade 
 , 
 cuja solução é x=0=y. Portanto, a interseção da superfície com o eixo z é o ponto 
origem (0,0,0) . 
Interseções com os planos coordenados: 
- A interseção com o plano coordenado xy , plano de equação z=0 , é uma 
curva C com equações reduzidas C: z=0 , 
 . 
Logo, a seção reduz-se à origem. 
- A interseção com o plano coordenado xz , plano de equação y=0 , é uma 
curva C com equações reduzidas C: y=0 , 
 . 
Ou seja, se trata de uma parábola no plano y=0 com vértice no ponto (0,0,0) e 
concavidade voltada para o semi-eixo z positivo. 
- A interseção com o plano coordenado yz , plano de equação x=0 , é uma 
curva C com equações reduzidas C: x=0 , 
 
 . 
Logo, se trata de uma parábola no plano x=0 com vértice no ponto(0,0,0) e 
concavidade voltada para o semi-eixo z positivo. 
Simetria: 
Já comentamos que esse tipo de superfície é simétrica em relação a dois planos (no 
caso os planos xz e yz ), um eixo coordenado (no caso o eixo z ) e não possui centro 
de simetria. 
Seções por planos paralelos aos planos coordenados e limitação: 
- Intersectando a superfície por um plano paralelo ao plano xy , plano de 
equação z=k , obtemos uma curva C , que pode ser degenerada, de equações 
reduzidas C: z=k , 
 . 
 Quando k=0 a seção se reduz ao ponto origem. Para k<0 essa seção é vazia e 
quando k>0 podemos reescrever essa equação na forma 
 , 
 concluindo que se trata de uma elipse com centro no ponto (0,0,k) e semi-eixos 
paralelos aos eixos x e y . 
- Intersectando a superfície por um plano paralelo ao plano xz , plano de 
equação y=k , obtemos uma curva C de equações reduzidas C: y=k , 
 . 
Logo, concluímos que se trata de uma parábola no plano y=k de vértice no ponto 
(0,k, ) e concavidade voltada para o semi-eixo z positivo. 
 
- Intersectando a superfície por um plano paralelo ao plano yz , 
plano de equação x=k , obtemos uma curva C de equações reduzidas C: x=k , 
 
 e concluímos que se trata de uma parábola no plano x=k de vértice no ponto 
(k,0, ) e concavidade voltada para o semi-eixo z positivo. 
As seções por planos paralelos aos planos coordenados mostram que o parabolóide 
elíptico 
 
 é ilimitado no sentido dos eixos coordenados x e y , estando contido no semi-
espaço z não-negativo. 
Esboço da superfície: 
As várias seções fornecem uma "tomografia" do parabolóide elíptico e permitem 
descrevê-lo como a reunião de uma família de curvas. Tais informações permitem 
construir o gráfico do parabolóide elíptico 
 
 
O Parabolóide Hiperbólico 
 
A equação-padrão do parabolóide hiperbólico é 
 
Interseções com os eixos coordenados: 
- Com o eixo x : fazendo y=0=z na equação obtemos a igualdade 
 , 
 cuja solução é x=0 . Assim, a interseção da superfície com o eixo x é o ponto 
origem ( 0,0,0) . 
- Com o eixo y : fazendo x=0=z na equação obtemos a igualdade 
 , 
 cuja solução é y=0 . Logo, a interseção da superfície com o eixo y é o ponto 
origem (0,0,0). 
- Com o eixo z : fazendo x=0=y na equação obtemos a igualdade . Portanto, 
a interseção da superfície com o eixo z é o ponto origem (0,0,0) . 
Interseções com os planos coordenados: 
- A interseção com o plano coordenado xy , plano de equação z=0 , é uma 
curva C com equações reduzidas C: z=0 , 
 . 
Tal seção é formada por duas retas passando pela origem com equações 
 e , 
 que são as assíntotas da hipérbole h:z=0, 
 . 
- A interseção com o plano coordenado xz , plano de equação y=0 , é uma 
curva C com equações reduzidas C: y=0 , 
 . 
 Ou seja, se trata de uma parábola no plano y=0 com vértice no ponto(0,0,0) e 
concavidade voltada para o semi-eixo z negativo. 
- A interseção com o plano coordenado yz , plano de equação x=0 , é uma 
curva C com equações reduzidas C: x=0 , 
 , 
ou seja, se trata de uma parábola no plano x=0 com vértice no ponto(0,0,0) e 
concavidade voltada para o semi-eixo z positivo. 
Simetria: 
Já comentamos que esse tipo de superfície é simétrica em relação a dois planos (no 
caso os planos xz e yz ), um eixo coordenado (no caso o eixo z ) e não possui centro 
de simetria. 
Seções por planos paralelos aos planos coordenados e limitação: 
- Intersectando a superfície por um plano paralelo ao plano xy , plano de 
equação z=k (k diferente de zero), obtemos uma curva C de equações reduzidas C: 
z=k , 
 . 
 Para k>0 se trata de hipérbole com centro em (0,0,k) , eixo focal paralelo ao 
eixo y e eixo conjugado paralelo ao eixo x . Quando k<0 a seção é uma hipérbole 
com centro em (0,0,k) , eixo focal paralelo ao eixo x e eixo conjugado paralelo ao 
eixo y. 
- Intersectando a superfície por um plano paralelo ao plano xz , plano de 
equação y=k, obtemos uma curva C de equações reduzidas C: y=k , 
 . 
Logo, se trata de uma parábola no plano y=k com vértice no ponto (0,k, ) e 
concavidade voltada para o semi-eixo z negativo. 
- Intersectando a superfície por um plano paralelo ao plano yz, plano de 
equação x=k , obtemos uma curva C de equações reduzidas C: x=k , 
 . 
Donde, a seção é uma parábola no plano x=k com vértice no ponto (k,0, ) e 
concavidade voltada para o semi-eixo z positivo. 
As seções por planos paralelos aos planos coordenados mostram que o parabolóide 
hiperbólico é ilimitado no sentido dos três eixos coordenados. 
Esboço da superfície: 
As várias seções fornecem uma "tomografia" do parabolóide hiperbólico e permitem 
descrevê-lo como a reunião de uma família de curvas. Tais informações permitem 
construir o gráfico do parabolóide hiperbólico 
 . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Superfícies cônicas 
Superfície cônica ou cone , é a superfície gerada por uma reta móvel (denominada 
geratriz) passante por um ponto fixo(vértice ) e que se apoia em uma curva dada( 
diretriz). 
 Sendo a diretriz uma circunferência, uma parábola uma elipse ou uma hipérbole, ter-
se-á respectivamente uma superfícies cônica circular parabólica, elíptica ou hiperbólica. 
Quando a diretriz for uma reta, a superfície cônica se degenera num plano. 
 O vértice se separa a superfície cônica em duas partes distintas, denominadas folhas 
e que são opostas pelo vértice. Em nome da simplificação, os cones são figurados 
costumeiramente apenas com uma folha, porém deve-se sempre admitir a existência de 
duas folhas. 
 A superfície quádrica tem como equação: 
𝑥2
𝑎2
 + 
𝑦2
𝑏2
 - 
𝑧2
𝑐2
 = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
DENOMINA-SE SUPERFICIE CÔNICA 
Se X=0 
𝑦2
𝑏2
 = 
𝑧2
𝑐2
 |𝑦|= ⌊
𝑏
𝑐
 𝑧⌋ Duas retas 
Se Y=0 
𝑋2
𝑎2
 = 
𝑧2
𝑐2
 |𝑋|= ⌊
𝑎
𝑐
 𝑧⌋ Duas retas 
Se Z=0 
𝑋2
𝑎2
 + 
𝑦2
𝑏2
 = 0 Ponto ( 0,0,0) 
Se Z=K 
𝑋2
𝑎2
 + 
𝑦2
𝑏2
 = 
𝐾2
𝑐2
 Elipse ( Se a = b,circunferência) 
 
 
CARACTERÍSTICAS 
 -Traço no plano x0z é constituído por duas retas que passam pela origem; 
 -Os traços nos planos z=k são elipses; 
 -Se a = b, são circunferências, obtendo-se a superfície cônica circular reta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Superfície cilíndrica 
 Superfície cilíndrica ou cilindro é a superfície gerada por uma reta g móvel que se 
apoia sobre uma curva c fixa, conservando-se paralela uma direção dada. 
 
 
 
 
A reta que se move é denominada GERATRIZ e a curva é a DIRETRIZ da superfície 
cilíndrica. Consideramos apenas superfícies cilíndricas cuja diretriz é uma curva que se 
encontra num dos planos coordenados e a geratriz é uma reta pararalela ao eixo 
coordenado não contido no plano , neste caso a equação da superfície cilíndrica é a 
mesma de sua diretriz. 
 Se a diretriz for uma parábola 𝑥2= 2y, a equação da superfície cilíndrica também 
será 𝑥2= 2y 
 
 Assim de modo geral se diretriz for uma circunferência, elipse, hipérbole ou parábola, 
a superfície cilíndrica é chamada circular, elíptica hiperbólica ou parabólica. 
 
 Cilindro parabólico Cilindro elíptico Cilindro hiperbólico 
Referencias Bibliográficas 
http://www.mat.ufrgs.br/~calculo/quadrica/elipso.htm 
http://www.sato.prof.ufu.br/GeoAnalitica/Quadricas_com_centro4.html 
http://www.mat.ufrgs.br/~calculo/quadrica/hiper1.htm 
Livro: 
GEOMETRIA ANALÍTICA Alfredo STEINBRUCH, Paulo WINTERLE.