AVALIAÇÃO CÁLCULO 3

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Todas as questões devem ser devidamente justificadas com explicações
ou cálculos. Questões escritas com grafite não serão revisadas. A solução de
cada questão deve ser escrita de maneira organizada e legível. É obrigatório
assinar a prova e a lista de presença. Não é permitido usar celulares durante a
prova. Coloque apenas uma questão por lauda (duas questões no mesmo
lado de uma folha serão desconsideradas na correção) e use o verso da prova
para resolver uma questão. Escolha 5 questões.
1. Determine o plano que seja tangente à superfície x2 + 3y2 + 2z2 =
11
6
e paralelo ao plano x+ y + z = 10.
2. Determine um plano que passe pelos pontos (5, 0, 1) e (1, 0, 3) e que
seja tangente à superfície x2 + 2y2 + z2 = 7.
3. Admita que T (x, y) = x2+3y2 represente uma distribuição de temper-
atura no plano xy:T (x, y) é a temperatura no ponto (x, y) (supondo T
em
o
C, x e y em cm).
a) Esboce as regiões isotérmicas (com mesma temperatura).
b) Estando-se em
(
2,
1
2
)
, qual a direção de maior crescimento da tem-
peratura? Qual a taxa de crescimento nesta direção?
c) Estando-se em
(
2,
1
2
)
, qual a direção de maior decrescimento da
temperatura? Qual a taxa de decrescimento nesta direção?
4. Determine a equação do plano normal, em (3,2,1), à interseção das
superfícies x2 + y2 + z2 = 14 e xyz = 6.
5. A função diferenciável f(x, y, z) tem, no ponto (1, 1, 1), derivada dire-
cional igual a 1 na direção (0, 4, 3), igual a 2 na direção (−4, 3, 0) e
igual a zero na direção (0, 1, 0). Calcule o valor máximo de
∂f
∂u
(1, 1, 1)
com |u| = 1.
6. Seja f(x, y) =

x2 − y2
x2 − y2 se (x, y) 6= (0, 0)
0 se (x, y) = (0, 0)
. Calcule
∂2f
∂x∂y
e
∂2f
∂y∂x
.
7. Seja z =
∫ x2−y2
1
[ ∫ u
0
sen t2du
]
. Calcule
∂2z
∂y∂x
e
∂2z
∂x2
∣∣∣∣
(1,1)
.
8. Determine o ponto do plano x + y + −z = 4 que se encontra mais
próximo da origem. (Sugestão: Use a função distância ao quadrado.)
Pode ser empregados qualquer método.
9. Estude com relação a máximos e mínimos locais a função f(x, y) =
x4 + xy + y2 − 6x− 5y.