EXERCICIOS integral dupla

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Lista de Exerc´ıcios
Prof. Renato Targino
Integral Dupla
1. Seja A o retaˆngulo 1 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1. Calcule
∫∫
B
f(x, y)dxdy,
sendo f(x, y) igual a
a) x+ 2y b) x− y
c)
√
x+ y d)
1
x+ y
e) 1 f) x cosxy
g) y cosxy h)
1
(x+ y)2
i) yexy j) xy2
l) x sen piy m)
1
1 + x2 + 2xy + y2
2. Sejam f(x) e g(y) duas func¸o˜es cont´ınuas, respectivamente, nos inter-
valos [a, b] e [c, d]. Prove que∫∫
A
f(x)g(y)dxdy =
(∫ b
a
f(x)dx
)(∫ d
c
g(y)dy
)
onde A e´ o retaˆngulo a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d.
3. Utilizando o Exerc´ıcios 2, calcule
a)
∫∫
A
xy2dxdy, onde A e´ o retaˆngulo 1 ≤ x ≤ 2, 2 ≤ y ≤ 3.
b)
∫∫
A
x cos 2ydxdy, onde A e´ o retaˆngulo 0 ≤ x ≤ 1,−pi
4
≤ y ≤ pi
4
.
c)
∫∫
A
x ln ydxdy, onde A e´ o retaˆngulo 0 ≤ x ≤ 2, 1 ≤ y ≤ 2.
d)
∫∫
A
xyex
2−y2dxdy, onde A e´ o retaˆngulo −1 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 3.
e)
∫∫
A
sen2 x
1 + 4y2
dxdy, onde A e´ o retaˆngulo 0 ≤ x ≤ pi
2
, 0 ≤ y ≤ 1
2
.
1
f)
∫∫
A
xy senx
1 + 4y2
dxdy, onde A e´ o retaˆngulo 0 ≤ x ≤ pi
2
, 0 ≤ y ≤ 1.
4. Calcule o volume do conjunto dado.
a) {(x, y, z) ∈ R3; 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ x+ 2y}.
b) {(x, y, z) ∈ R3; 0 ≤ x ≤ 2, 1 ≤ y ≤ 2, 0 ≤ z ≤ √xy}.
c) {(x, y, z) ∈ R3; 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ xyex2−y2}.
d) {(x, y, z) ∈ R3; 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, x2 + y2 ≤ z ≤ 2}.
e) {(x, y, z) ∈ R3; 1 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1, x+ y ≤ z ≤ x+ y + 2}.
f) {(x, y, z) ∈ R3; 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, 1 ≤ z ≤ ex+y}.
5. Calcule
∫∫
B
ydxdy onde B e´ o conjunto dado.
a) B e´ o triaˆngulo de ve´rtices (0, 0), (1, 0) e (1, 1).
b) B = {(x, y) ∈ R2;−1 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x+ 2}.
c) B e´ o conjunto de todos (x, y) tais que x2 + 4y2 ≤ 1.
d) B e´ triaˆngulo de ve´rtices (0, 0), (1, 0) e (2, 1).
e) B e´ a regia˜o compreendida entre os gra´ficos de y = x e y = x2, com
0 ≤ x ≤ 2.
f) B e´ o paralelogramo de ve´rtices (−1, 0), (0, 0), (1, 1) e (0, 1).
g) B e´ o semic´ırculo x2 + y2 ≤ 4, y ≥ 0.
h) B = {(x, y) ∈ R2;x ≥ 0, x5 − x ≤ y ≤ 0}
6. Calcule
∫∫
B
f(x, y)dxdy sendo dados:
a) f(x, y) = x cos y e B = {(x, y) ∈ R2;x ≥ 0, x2 ≤ y ≤ pi}.
b) f(x, y) = xy e B = {(x, y) ∈ R2;x2 + y2 ≤ 2, y ≤ x e x ≥ 0}.
c) f(x, y) = x e B o triaˆngulo de ve´rtices (0, 0), (1, 1) e (2, 0).
d) f(x, y) = xy
√
x2 + y2 e B o retaˆngulo 0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ 1.
e) f(x, y) = x+ y e B o paralelogramo de ve´rtices (0, 0), (1, 1), (3, 1) e
(2, 0).
f) f(x, y) =
1
ln y
e B =
{
(x, y) ∈ R2; 2 ≤ y ≤ 3, 0 ≤ x ≤ 1
y
}
g) f(x, y) = xy cosx2 e B = {(x, y) ∈ R2; 0 ≤ x ≤ 1, x2 ≤ y ≤ 1}.
h) f(x, y) = (cos 2y)
√
4− sen2 x eB o triaˆngulo de ve´rtices (0, 0),
(
0,
pi
2
)
e
(
pi
2
,
pi
2
)
.
i) f(x, y) = x + y e B a regia˜o compreendida entre os gra´ficos das
func¸o˜es y = x e y = ex, com 0 ≤ x ≤ 1.
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7. Inverta a ordem de integrac¸a˜o.
a)
∫ 1
0
[∫ x
0
f(x, y)dy
]
dx. b)
∫ 1
0
[∫ x
x2
f(x, y)dy
]
dx.
c)
∫ 1
0
[∫ √y
−√y
f(x, y)dx
]
dy. d)
∫ e
1
[∫ x
lnx
f(x, y)dy
]
dx.
e)
∫ 1
0
[∫ y+3
y
f(x, y)dx
]
dy f)
∫ 1
−1
[∫ √1−x2
−√1−x2
f(x, y)dy
]
dx.
i)
∫ 1
−1
[∫ √2−x2
x2
f(x, y)dy
]
dx. j)
∫ 1
0
[∫ x
0
f(x, y)dy
]
dx.
n)
∫ 1
0
[∫ √2x
√
x−x2
f(x, y)dy
]
dx. o)
∫ 3a
0
[∫ √4ax−x2
√
3
3
x
f(x, y)dy
]
dx (a > 0).
p)
∫ pi
0
[∫ senx
0
f(x, y)dy
]
dx. q)
∫ pi
4
0
[∫ cosx
senx
f(x, y)dy
]
dx.
r)
∫ 2
−1
[∫ y+7
3√
7+5y2
3
f(x, y)dx
]
dy. s)
∫ 3
0
[∫ √3x
x2−2x
f(x, y)dy
]
dx.
8. Calcule o volume do conjunto dado.
a) x2 + y2 ≤ 1 e x+ y + 2 ≤ z ≤ 4.
b) x ≥ 0, y ≥ 0, x+ y ≤ 1 e 0 ≤ z ≤ x2 + y2.
c) 0 ≤ y ≤ 1− x2 e 0 ≤ z ≤ 1− x2.
d) x2 + y2 + 3 ≤ z ≤ 4.
e) x2 + 4y2 ≤ 4 e x+ y ≤ z ≤ x+ y + 1
f) x ≥ 0, x ≤ y ≤ 1 e 0 ≤ z ≤ ey2 .
9. Utilizando integral dupla, calcule a a´rea do conjunto B dada.
a) B e´ o conjunto de todos (x, y) tais que ln x ≤ y ≤ 1 + lnx, y ≥ 0 e
x ≤ e.
b) B = {(x, y) ∈ R2;x3 ≤ y ≤ √x}
c) B e´ determinado pelas desigualdade xy ≤ 2, x ≤ y ≤ x+ 1 e x ≥ 0.
d) B e´ limitado pelas curvas y = x2 − x e x = y2 − y.
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