Aula4 - Transformadas de Laplace

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Sinais e Sistemas
Engenharia de Controle e Automação
Universidade Federal de Lavras
Prof. Bruno Henrique Groenner Barbosa
Notas de Aula 4 – A Transformada de Laplace
Sumário
A Transformada de Laplace e suas Propriedades
Solução de Equações Diferenciais
Diagramas de Blocos
Aplicação em Controle Malha Fechada
Resposta em Frequência e o Diagrama de Bode
Projeto de Filtros
Equações Diferenciais
Os sistemas LCIT
Equações diferenciais:
Análise no Domínio do Tempo
Resposta à Entrada Externa – Caso Contínuo
Condições iniciais nulas e largura do pulso tendendo a zero
?
Análise no Domínio do Tempo
Resposta à Entrada Externa – Caso Contínuo
Assim:
Conhecendo a resposta ao impulso, é possível obter a resposta do sistema (LIT) a qualquer entrada
Integral de Convolução!
Análise no Domínio do Tempo
Resposta à Entrada Externa – Caso Contínuo
Condições iniciais nulas e largura do pulso tendendo a zero
?
E se a entrada for uma exponencial complexa est ?
Análise no Domínio do Tempo
Resposta à uma exponencial complexa
Considerando uma entrada exponencial complexa
Análise no Domínio do Tempo
Resposta à uma exponencial complexa
Autovalor
Autofunção
Função de Transferência!
A Transformada de Laplace
Dual em relação à análise no domínio do tempo
No domínio do tempo quebramos a entrada em impulsos
No domínio da frequência quebramos a entrada em exponenciais complexas est
A Transformada de Laplace é a ferramenta que mapeia o comportamento de sinais e sistemas do domínio do tempo para domínio da frequência
A Transformada de Laplace
Análise no domínio do tempo
Análise no domínio da frequência
h(t)
x(t)
y(t)
H(s)
x(t)
y(t)
L
L -1
X(s)
Y(s)
A Transformada de Laplace
Definição
A Transformada de Laplace mapeia uma função em t para uma função em s
Duas variantes
Bilateral
Unilateral
Notação:
A Transformada de Laplace
Exemplo: Encontre a TL de x1(t)
Região de Convergência
A integral converge se:
A Transformada de Laplace
Exemplo: Encontre a TL de x2(t)
A Transformada de Laplace
Exemplo: Encontre a TL de x2(t)
A Transformada de Laplace
Exemplo: Encontre a TL de x3(t)
A Transformada de Laplace
Exemplos
Função no tempo
Transformada de Laplace
Este problema ocorre apenas na bilateral...
16
A Transformada de Laplace
Exemplo: Encontre a TL de x4(t) 
A Transformada de Laplace
Exemplo: Encontre a TL de x4(t) 
Sinal Par!
A Transformada de Laplace
Interpretação no domínio do tempo:
A Transformada de Laplace
Interpretação no domínio do tempo:
A Transformada de Laplace
Interpretação no domínio do tempo:
A Transformada de Laplace
Interpretação no domínio do tempo:
A Transformada de Laplace
A TL seguinte pode representar quantos sinais?
A Transformada de Laplace
A TL seguinte pode representar quantos sinais?
A Transformada de Laplace
Mais alguns exemplos:
A Transformada de Laplace
Mais alguns exemplos:
Tabela da Transformada de Laplace
Tabela da Transformada de Laplace
Tabela da Transformada de Laplace
A Transformada Inversa de Laplace
Transformar uma equação no domínio s para o domínio de t
Definição:
Integração no plano complexo...
Uso de Tabelas!
A Transformada Inversa de Laplace
Exemplo:
Determine a transformada inversa de Laplace de:
Tabela?
Método de Expansão em Frações Parciais
A Transformada Inversa de Laplace
A maioria dos sinas X(s) são racionais:
As raízes de P(s) são chamadas de zeros
As raízes de Q(s) são chamadas de pólos
A Transformada Inversa de Laplace
A maioria dos sinas X(s) são racionais:
X(s) é chamada de função estritamente própria se n>m
X(s) é chamada de função própria se n=m
X(s) é chamada de função imprópria se n<m
A Transformada Inversa de Laplace
Método de Expansão em Frações Parciais (funções estritamente próprias)
A Transformada Inversa de Laplace
Método de Expansão em Frações Parciais (funções estritamente próprias – raízes múltiplas)
A Transformada Inversa de Laplace
Método de Expansão em Frações Parciais (funções estritamente próprias – raízes múltiplas)
A Transformada Inversa de Laplace
Método de Expansão em Frações Parciais (funções estritamente próprias – raízes múltiplas)
A Transformada Inversa de Laplace
Método de Expansão em Frações Parciais (funções estritamente próprias – raízes complexas)
Completar os quadrados
A Transformada Inversa de Laplace
Método de Expansão em Frações Parciais (funções estritamente próprias – raízes complexas)
A Transformada Inversa de Laplace
Método de Expansão em Frações Parciais (funções estritamente próprias – raízes complexas)
Tabela de Transformadas?
A Transformada de Laplace
Propriedades
Deslocamento no tempo
Deslocamento na Frequência
Diferenciação no Tempo e na Frequência
Integração no Tempo e na Frequência
Escalonamento
Convolução no Tempo e na Frequência
Valor Inicial e Valor Final
Propriedades da Transformada de Laplace
Deslocamento no tempo
Prove!
Propriedades da Transformada de Laplace
Deslocamento no tempo
Exemplo 4.5. Encontre a TL de
Propriedades da Transformada de Laplace
Deslocamento no tempo
Exemplo 4.5. Encontre a TL de
Propriedades da Transformada de Laplace
Deslocamento na Frequência
Propriedades da Transformada de Laplace
Deslocamento na Frequência
Exemplo 4.6
Propriedades da Transformada de Laplace
Diferenciação no Tempo
Prove!
Propriedades da Transformada de Laplace
Diferenciação na Frequência
Propriedades da Transformada de Laplace
Diferenciação no Tempo
Propriedades da Transformada de Laplace
Integração no Tempo 
e na Frequência
50
Propriedades da Transformada de Laplace
Escalonamento
Compressão no tempo causa expansão na frequência do sinal
Expansão no tempo causa compressão na frequência do sinal
Propriedades da Transformada de Laplace
Convolução no Tempo 
e na Frequência
h(t)
x(t)
y(t)
H(s)
x(t)
y(t)
L
L -1
X(s)
Y(s)
Propriedades da Transformada de Laplace
Convolução no Tempo 
Resposta estado nulo
Entrada
Função de Transferência!
Propriedades da Transformada de Laplace
Convolução no Tempo 
Exemplo 4.8: Determine
Transformada Inversa de Laplace:
Propriedades da Transformada de Laplace
Teorema do Valor Inicial
Se x(t) e dx(t)/dt podem ser transformadas por Laplace, então
Desde que os limites existam e que X(s) seja estritamente própria
Propriedades da Transformada de Laplace
Teorema do Valor Final
Se x(t) e dx(t)/dt podem ser transformadas por Laplace, então
Desde que X(s) não possua pólo com parte real positiva ou localizado no eixo imaginário
Propriedades da Transformada de Laplace
Teorema do Valor Inicial
Exemplo 4.9
Transformada de Laplace
 Solução de Equações Diferenciais
Transformada de Laplace
 Solução de Equações Diferenciais
Exemplo 1(condições iniciais nulas):
Transformada de Laplace
 Solução de Equações Diferenciais
Exemplo 1(condições iniciais nulas):
Transformada de Laplace
 Solução de Equações Diferenciais
Exemplo 2(condições iniciais nulas):
Transformada de Laplace
 Solução de Equações Diferenciais
Exemplo 2(condições iniciais nulas):
Transformada de Laplace
 Solução de Equações Diferenciais
Exemplo 3(condições iniciais nulas):
Transformada de Laplace
 Solução de Equações Diferenciais
Exemplo 3(condições iniciais nulas):
Transformada de Laplace
 Solução de Equações Diferenciais
Exemplo 4 – Carga no Capacitor:
Transformada de Laplace
 Solução de Equações Diferenciais
Exemplo 4 – Carga no Capacitor:
Transformada de Laplace
 Solução de Equações DiferenciaisExemplo 4 – Carga no Capacitor:
Transformada de Laplace
 Solução de Equações Diferenciais
Exemplo 4 – Carga no Capacitor:
Transformada de Laplace
 Solução de Equações Diferenciais
Exemplo 5 – Massa-mola:
Transformada de Laplace
 Solução de Equações Diferenciais
Exemplo 5 – Massa-mola:
Transformada de Laplace
 Solução de Equações Diferenciais
Exemplo 5 – Massa-mola:
Transformada de Laplace
 Solução de Equações Diferenciais
Exemplo 6 – Descarga do capacitor:
Transformada de Laplace
 Solução de Equações Diferenciais
Exemplo 6 – Descarga do capacitor:
Transformada de Laplace
 Solução de Equações Diferenciais
Exemplo 7 – Corrente de Inrush:
Transformada de Laplace
 Solução de Equações Diferenciais
Exemplo 7 – Corrente de Inrush:
Transformada de Laplace
 Solução de Equações Diferenciais
Exemplo 7 – Corrente de Inrush:
Transformada de Laplace
 Solução de Equações Diferenciais
Exemplo 7 – Corrente de Inrush:
Transformada de Laplace
 Solução de Equações Diferenciais
Exemplo 7 – Corrente de Inrush:
Transformada de Laplace
 Solução de Equações Diferenciais
Exemplo 4.10 – Resolva a equação:
Domínio do Tempo
Domínio da Frequência
Transformada de Laplace
 Solução de Equações Diferenciais
Exemplo 4.10 – Resolva a equação:
Domínio do Tempo
Domínio da Frequência
Transformada de Laplace
 Solução de Equações Diferenciais
Exemplo 4.10 – Resolva a equação:
Componente entrada nula
Componente estado nulo
Transformada de Laplace
 Estabilidade
H(s) e h(t) são descrições externas do sistema 
Estabilidade BIBO se todos os pólos de H(s) estiverem no SPE, todos os termos de h(t) são exponenciais decrescentes – h(t) absolutamente integrável
Q(s) é uma descrição interna. Se não houver cancelamento de pólos e zeros, o denominador de H(s) é Q(s). Assim, pode-se analisar a estabilidade interna (assintótica) a partir do denominador de H(s)
Transformada de Laplace
 Estabilidade Assintótica
Quando P(s) e Q(s) não possuírem fatores comuns, pode-se dizer que um sistema LCIT é:
Assintoticamente estável, se todos os pólos de H(s) estiverem no SPE
Marginalmente estável, se não existirem pólos no SPD e existir algum pólo não repetido no eixo imaginário
Instável se ao menos um pólo estiver no SPD ou se existirem pólos repetidos no eixo imaginário
Isso para sinais e sistemas causais...
Transformada de Laplace
 Estabilidade
Estável
Neutro
Instável
Transformada de Laplace
 Diagramas de Blocos
Transformada de Laplace
 Diagramas de Blocos
Realimentação. Controle em Malha Fechada...
Transformada de Laplace
 Aplicação em Controle MF
Transformada de Laplace
 Aplicação em Controle MF
Lembrando de Introdução ECA
Malha Aberta
Transformada de Laplace
 Aplicação em Controle MF
Lembrando de Introdução ECA
Malha Aberta
Transformada de Laplace
 Aplicação em Controle MF
Lembrando de Introdução ECA
Malha Fechada
Em determinados sistemas, a utilização de controlador, malha fechada, é necessária para satisfazer alguns critérios de controle:
Rejeição à perturbação
Erro em estado estacionário
Resposta transiente
Sensibilidade à mudança de parâmetros da planta
Transformada de Laplace – Controle MF
A implantação de um sistema de controle geralmente envolve :
Escolha dos sensores para medir os sinais de retroalimentação
Escolha dos atuadores
Obter modelos da planta, sensores e atuadores
Implementar o controlador baseado nos modelos e nos critérios de controle
Avaliar o desempenho do controle, por simulação e finalmente no sistema físico 
Repetir esse procedimento de modo a obter uma resposta do sistema físico satisfatória
Transformada de Laplace – Controle MF
O desempenho de um sistema é analisado em duas etapas:
Transiente
Estado estacionário
Transformada de Laplace – Controle MF
Transformada de Laplace – Controle MF
A resposta transitória é definida como a parte da resposta que tende a zero quando o tempo tende a infinito:
A resposta de estado estacionário é a parte da resposta que permanece quando a resposta transitória se iguala a zero, podendo ser constante ou um sinal que varia no tempo com padrão constante
Transformada de Laplace – Controle MF
Sinais de Teste (degrau, rampa, parábola):
Transformada de Laplace – Controle MF
96
Considerando um sistema de primeira ordem:
Para uma entrada do tipo impulso unitário:
Transformada de Laplace – Controle MF
Para uma entrada tipo degrau unitário:
Transformada de Laplace – Controle MF
Considerando um sistema de segunda ordem:
Considerando-se realimentação unitária negativa:
Transformada de Laplace – Controle MF
A resposta temporal para uma entrada em degrau é:
Fator de amortecimento
Transformada de Laplace – Controle MF
Transformada de Laplace – Controle MF
A resposta temporal para uma entrada em degrau é:
Transformada de Laplace – Controle MF
Classificação dos sistemas de segunda ordem:
Transformada de Laplace – Controle MF
Classificação dos sistemas de segunda ordem:
Transformada de Laplace – Controle MF
Classificação dos sistemas de segunda ordem:
Transformada de Laplace – Controle MF
Interpretação no lugar das raízes:
Transformada de Laplace – Controle MF
Erro em estado estacionário:
Transformada de Laplace – Controle MF
Erro em estado estacionário:
Transformada de Laplace – Controle MF
Erro em estado estacionário:
Transformada de Laplace – Controle MF
Erro em estado estacionário:
Transformada de Laplace – Controle MF
Erro em estado estacionário:
Para uma entrada tipo degrau unitário:
Transformada de Laplace – Controle MF
Erro em estado estacionário:
Para uma entrada tipo rampa:
Transformada de Laplace – Controle MF
Erro em estado estacionário:
Transformada de Laplace – Controle MF
Erro em estado estacionário:
Transformada de Laplace – Controle MF
Controle de Posição:
Transformada de Laplace – Controle MF
Controle de Posição:
Transformada de Laplace – Controle MF
Controle de Posição:
Transformada de Laplace – Controle MF
Controle de Posição:
Transformada de Laplace – Controle MF
Controle de Posição:
Transformada de Laplace – Controle MF
Controle de Posição:
Transformada de Laplace – Controle MF
Controle de Posição:
Transformada de Laplace – Controle MF
Relembrando...
Resposta em Frequência
Até agora vimos que a resposta de um sistema LIT a uma exponencial complexa é:
E se s for igual a jw? 
Na forma polar: 
Resposta em Frequência
Resposta em frequência!
Resposta em Magnitude
Resposta em Fase
Se a entrada de um sistema linear e invariante no tempo é uma cossenoide infinita, então a saída será uma cossenoide infinita com mesma frequência, e possivelemnte com diferentes amplitude e fase:
Resposta em Frequência
Sistema LIT
Exemplo:
Encontre a resposta em frequência de um sistema com a seguinte FT:
Encontre a resposta do sistema para as entradas:
 
 
Resposta em Frequência
Exemplo:
Encontre a resposta em frequência de um sistema com a seguinte FT:
Resposta em Frequência
Resposta em Frequência
Exemplo:
Para a entrada
Assim: 
Resposta em Frequência
Exemplo:
Para a entrada
Assim:
Resposta em Frequência
Exemplo:
Atrasador ideal de T segundos:
Assim,
ou seja, atrasar o sinal não afeta sua amplitude apenas a fase.
Resposta em Frequência
Exemplo:
Diferenciador ideal:
Assim,
o diferenciador amplifica componentes de alta frequência.
Resposta em Frequência
Exemplo:
Integrador ideal:Assim,
o integrador suprime componentes de alta frequência.
Resposta em Frequência
Até agora consideramos entradas senoidais de duração infinita 
E para entradas senoidais causais?
Resposta em Frequência
Exemplo entrada senoidal causal:
Resposta em Frequência
Exemplo entrada senoidal causal:
Resposta em Frequência
Exemplo 2:
A resposta total é
Resposta em Frequência
Diagrama Vetorial
O valor de H(s) no ponto s=s0, pode ser determinado graficamente usando análise vetorial
Cada fator no numerador/denominador, corresponde a um vetor do zero/pólo até s0, o ponto de interesse no plano s
plano s
Exemplo: Encontre a resposta do sistema
 para a entrada
O denominador de é um vetor com tamanho e ângulo . A resposta do sistema é, portanto,
Diagrama Vetorial
pano s
Diagrama Vetorial
pano s
Diagrama Vetorial
pano s
Diagrama Vetorial
pano s
Diagrama Vetorial
pano s
Diagrama Vetorial
pano s
Diagrama Vetorial
pano s
Diagrama Vetorial
pano s
Diagrama Vetorial
pano s
Diagrama Vetorial
pano s
Diagrama Vetorial
pano s
Diagrama Vetorial
pano s
Diagrama Vetorial
pano s
Diagrama Vetorial
pano s
Diagrama Vetorial
pano s
Diagrama Vetorial
pano s
Diagrama Vetorial
pano s
Diagrama Vetorial
pano s
Diagrama Vetorial
pano s
Diagrama Vetorial
pano s
Diagrama Vetorial
pano s
Diagrama Vetorial
pano s
Diagrama Vetorial
pano s
Diagrama Vetorial
pano s
Diagrama Vetorial
pano s
Diagrama Vetorial
pano s
Diagrama Vetorial
pano s
Diagrama Vetorial
pano s
Diagrama Vetorial
pano s
Diagrama Vetorial
pano s
Diagrama Vetorial
pano s
Diagrama de Bode
Esboçar a resposta em frequência 
Técnica usual para representar resposta em frequência que foi desenvolvida por H. W.Bode (entre 1932 e 1942)
Utiliza escalas logarítmicas
Permite analisar uma faixa grande de frequências
 Curva de ganho
 Traçada em função da frequência, escala log-log
 Eixo das ordenadas em decibéis
 Curva de fase
 Traçada em função da frequência, escala linear-log
Diagrama de Bode
Transformada de Fourier...
Diagrama de Bode
 
Diagrama de Bode
Etapas para Construção:
Considerando a função de transferência:
Substitua a variável complexa s por jw:
Regras a aplicar em sistemas com n pólos e m zeros SPE
Diagrama de Bode
Etapas para Construção:
Curva de ganho:
Cálculo do módulo:
Representação em escala logarítmica
Diagrama de Bode
Etapas para Construção:
Curva de fase:
Diagrama de Bode
Exemplos:
Diagrama de Bode
Exemplos (assíntotas):
Diagrama de Bode
Exemplos (assíntotas):
Exemplos (assíntotas):
Diagrama de Bode
Exemplos:
Diagrama de Bode
Exemplos:
Diagrama de Bode
Exemplos:
Diagrama de Bode
Exemplos:
Diagrama de Bode
plano
Exemplos:
Diagrama de Bode
plano
Exemplos:
Diagrama de Bode
plano
Exemplos:
Diagrama de Bode
plano
Exemplos:
Diagrama de Bode
plano
Exemplos:
Diagrama de Bode
plano
Exemplos:
Diagrama de Bode
plano
Exemplos:
Diagrama de Bode
plano
Exemplos:
Diagrama de Bode
plano
Exemplos:
Diagrama de Bode
plano
Sistema de fase não-mínima
Diagrama de Bode
Sistema de fase não-mínima
Diagrama de Bode
Sistema de fase não-mínima
Diagrama de Bode
Sistema de fase não-mínima
Diagrama de Bode
Exemplo
Considere a seguinte função de transferência:
Reescrevendo:
Determine o diagrama de Bode
Diagrama de Bode
Exemplo
Passos
1 – Encontre onde o eixo-x encontra o eixo-y (“offset”)
O termo constante é 100=40dB
2 – Para cada termo de pólo e zero, desenhe as assímptotas
Zeros: um na origem e um em w=100
Pólos: um em w=2 e um em w=10
Some todas as assímptotas
Diagrama de Bode
Exemplo
Diagrama de Bode
Exemplo
Diagrama de Bode
Tipos:
Passa-baixas
Passa-altas
Passa-faixa
Rejeita-faixa (notch)
Filtros
Tipos:
Filtros
Efeito dos pólos:
Filtros
Efeito dos zeros:
Filtros
Passa-baixas:
Filtros
Butterworth, Chebyshev...
Passa-faixa
Filtros
Rejeita-faixa (Notch)
Filtros