Apostila de Cálculo 2 (parte 2)

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4 Me´todo da Antiderivada para o Ca´lculo de A´rea
Newton e Leibniz sugeriram que, para encontrar a a´rea sob uma curva y = f(x), deve-se
primeiro considerar o problema mais geral de encontrar a a´rea A(x), sob a curva de um ponto
a ate´ um ponto arbitra´rio x no intervalo [a; b]
Figura 4.1.
Assim,
A(x) =
∫
x
a
f(x)dx.
Eles observaram que A′(x) e´ fa´cil de ser encontrada enta˜o, se a partir de A′(x) conseguimos
encontrar A(x) o problema de a´rea esta´ resolvido.
Lembrando que:
A′(x) = lim
h→0
A(x+ h)− A(x)
h
(4.1)
Figura 4.2.
Observe que A(x + h) − A(x) e´ a diferenc¸a de duas a´reas, onde A(x + h) e´ a a´rea sob a
curva de a ate´ x+ h e A(x) e´ a a´rea sob a curva de a ate´ x.
Supondo c o ponto me´dio entre x e x+ h, enta˜o esta diferenc¸a de a´reas (A(x+ h)− A(x))
pode ser aproximada pela a´rea de um retaˆngulo de altura f(c).
Figura 4.3.
O erro de aproximac¸a˜o tende a zero quando h→ 0, assim:
A(x+ h)− A(x)
h
≈
f(c) · h
h
= f(c) (4.2)
Logo, por (4.1) e (4.2) temos:
A′(x) = lim
h→0
A(x+ h)− A(x)
h
= lim
h→0
f(c) (4.3)
12
como c e´ ponto me´dio de x e x + h, temos que: c = (x+h)+x
2
= 2x+h
2
e, quando h → 0 teremos
c→ x. Isto quer dizer que:
lim
h→0
f(c)⇔ lim
c→x
f(c).
Supondo que f seja cont´ınua, sabemos que:
lim
c→x
f(c) = f(x) (4.4)
Por (4.3) e (4.4), conclu´ımos que:
A′(x) = f(x). (4.5)
Este resultado nos diz que a derivada da func¸a˜o a´rea A′(x) e´ a func¸a˜o f(x) cujo gra´fico
constitui o limite superior da regia˜o.
Vamos ilustrar como funciona o me´todo da antiderivada.
Exemplo 4.1.
Determine a a´rea da regia˜o R limitada por f(x) = x2, o eixo x e as retas x = 0 e x = 1.
Figura 4.4.
Pelo nosso resultado (equac¸a˜o 4.5) temos que A′(x) = f(x) e neste caso A′(x) = x2. Para
encontrar A(x) precisamos procurar uma func¸a˜o cuja derivada seja x2. Podemos perceber que
.−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− e´ uma soluc¸a˜o pois:
Mas esta soluc¸a˜o na˜o e´ u´nica pois, para c, uma constante qualquer temos que:
Logo,
13
Precisamos para determinar a a´rea, saber o valor desta constante, enta˜o, neste exemplo,
observe que onde x = 0 o intervalo [0, x] se reduz a um u´nico ponto, como a a´rea acima de um
u´nico ponto e´ zero, escrevemos:
Assim, A(x) =
1
3
x3 e´ a fo´rmula para a a´rea sob y = x2 no intervalo [0, x].
Para o intervalo [0, 1] fazemos x = 1 e assim A(1) =
1
3
.
Teorema 4.1.
Se f for cont´ınua no intervalo [a, b]. Se f ′(x) = 0 em todo x ∈ (a, b), enta˜o exitira´ uma
constante c tal que f(x) = c para todo x ∈ (a, b).
Teorema 4.2.
Sejam f e g func¸o˜es cont´ınuas no intervalo [a, b]. Se f ′(x) = g′(x) em todo x ∈ (a, b), enta˜o
exitira´ uma constante c tal que:
g(x) = f(x) + c
para todo x ∈ (a, b).
Definic¸a˜o 4.1. Antiderivada
Seja f uma func¸a˜o definida num intervalo [a, b]. Uma antiderivada de f em [a, b] e´ uma
func¸a˜o F definida em [a, b], tal que F ′(x) = f(x) para todo x ∈ [a, b].
Exemplo 4.2.
Dada uma func¸a˜o f definida por f(x) = 12x2 + 2x, as func¸o˜es:
.
.
.
.
.
.
.
Sa˜o antiderivadas da func¸a˜o f , pois
.
5 Integral Indefinida
O processo de encontrar antiderivadas e´ chamado de antidiferencic¸a˜o ou integrac¸a˜o. Assim
se
d
dx
[Fx] = f(x) enta˜o, integrando-se (ou antidiferenciando-se) f(x), obtem-se as antiderivadas
F (x) + C.
Assim para enfatizar esse processo usamos a notac¸a˜o integral∫
f(x)dx = F (x) + C
onde f(x) e´ o integrando, x e´ a varia´vel de integrac¸a˜o e C e´ a constante de integrac¸a˜o.
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Os s´ımbolos dx nas operac¸o˜es diferenciac¸a˜o e antidiferenciac¸a˜o
d
dx
[ ]
e
∫
[ ]dx servem para
indicar a varia´vel independente.
Muitas fo´rmulas ba´sicas de integrac¸a˜o podem ser obtidas diretamente de suas fo´rmulas de
diferenciac¸a˜o.
Algumas das mais importantes esta˜o na tabela abaixo.
Exemplo 5.1.
Sabemos que
d(sen x)
dx
= cos x assim teremos:
∫
cos x dx = sen x+ C.
onde C e´ uma constante qualquer.
Tabela 1: Tabela de Integrac¸a˜o.
Fo´rmula de diferenciac¸a˜o Fo´rmula de Integrac¸a˜o
1
dx
dx
= 1
∫
1dx = x+ C
2
3
4
5
6
7
8
9
10
15
16
5.1 Propriedades ba´sicas das antiderivadas
1. Uma constante pode se mover atrave´s do sinal de integrac¸a˜o, isto e´:
∫
cf(x)dx = c
∫
f(x)dx
2. Uma antiderivada de uma soma e´ a soma das antiderivadas, isto e´:
∫
[f(x) + g(x)]dx =
∫
f(x)dx+
∫
g(x)dx
3. Uma antiderivada de uma diferenc¸a e´ a diferenciac¸a˜o antiderivadas, isto e´:
∫
f(x)− g(x)dx =
∫
f(x)dx−
∫
g(x)dx
Exemplo 5.2.
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OBS: A natureza inversa da integrac¸a˜o e diferenciac¸a˜o pode ser verificada substituindo F ′(x)
por f(x) na definic¸a˜o de integral indefinida para obter:
∫
F ′(x)dx = F (x) + C . A integrac¸a˜o e´ a “inversa” da diferenciac¸a˜o.
d
dx
[ ∫
f(x)dx
]
= f(x) . A diferenciac¸a˜oe´ a “inversa” da integrac¸a˜o.
6 Teorema Fundamental do Ca´lculo - Parte 1
As discuso˜es feitas ate´ enta˜o nos permite enunciar o Teorema Fundamental do Ca´lculo que
estabelece uma conexa˜o entre o ca´lculo diferencial e o ca´lculo integral. O teorema fundamental
do ca´lculo da´ a precisa relac¸a˜o inversa entre a derivada e a integral. A utilizac¸a˜o deste teorema
nos permite computar as a´reas e integrais muito mais facilmente, sem ser necessa´rio calcula´-las
como limites de somas. O teorema fundamental do ca´lculo e´ dividido em duas partes.
Teorema 6.1. Teorema Fundamental do Ca´lculo - Parte 1 (TFC - 1)
Se f for cont´ınua em [a, b], enta˜o f tem uma antiderivada em [a, b]. Enta˜o a func¸a˜o F
definida por:
F (x) =
∫
x
a
f(t)dt
e´ uma antiderivada de f em [a, b]; isto e´, F ′(x) = f(x) para cada x ∈ [a, b], ou em uma notac¸a˜o
diferente, temos:
d
dx
[ ∫ x
a
f(t)dt
]
= f(x).
Ainda temos que F e´ cont´ınua em [a, b] e diferencia´vel em (a, b).
PROVA:
18
.
Exemplo 6.1.
19
7 Curvas integrais
O gra´fico das antiderivadas de uma func¸a˜o f sa˜o denominadas curvas integrais de f ; na˜o e´
uma u´nica curva e sim uma famı´lia de curvas.
Se y = F (x) for uma curva integral de f(x), as demais curvas integrais sa˜o translac¸o˜es desta
curva, ja´ que y = F (x) + C.
Exemplo 7.1.
Se
dy
dx
= x2, logo: y =
∫
x2dx =
x3
3
+ C
Figura 6: Curvas Integrais.
8 Equac¸o˜es Diferenciais
Vamos supor que f(x) seja conhecida e queiramos encontrar uma func¸a˜o F (x), tal que
y = F (x) satisfac¸a a equac¸a˜o:
dy
dx
= f(x) (8.1)
Esta equac¸a˜o (8.1) e´ chamada de Equac¸a˜o Diferencial pois envolve a derivada de uma func¸a˜o
desconhecida.
A soluc¸a˜o desta equac¸a˜o diferencial sa˜o antiderivadas de f(x) e sabemos que elas podem
ser obtidas integrando-se.
Nas equac¸o˜es diferenciais as inco´gnitas sa˜o func¸o˜es e muitas vezes estamos interessados em
encontrar uma func¸a˜o cuja curva integral passa por um ponto espec´ıficado (x0, y0), assim:
dy
dx
= f(x) y(x0) = y0 (8.2)
E´ denominado Problema de Valor Inicial e a exigeˆncia y(x0) = y0 e´ uma condic¸a˜o
inicial para ele.
20
Exemplo 8.1.
Resolver o problema de valor inicial:
dy
dx
= cos(x) e y(0) = 1.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
9 Me´todo da Substituic¸a˜o
Seja F uma antiderivada de f e seja uma func¸a˜o diferencial a derivada de F (g(x)), pela
regra da cadeia, e´:
(
F
(
g(x)
))′
= F ′
(
g(x)
)
· g′(x)
na forma integral: ∫
F ′
(
g(x)
)
· g′(x)dx = F
(
g(x)
)
+ C
Como F e´ antiderivada da f temos F ′(x) = f(x), enta˜o:∫
f
(
g(x)
)
· g′(x)dx = F
(
g(x)
)
+ C (9.1)
E´ muito u´til fazer a seguinte mudanc¸a de varia´vel:
u = g(x) enta˜o u′ = g′(x) (A) ou g′(x) =
du
dx
(B)
Na forma diferencial temos: du = g′(x)dx
(
por (B)
)
ou du = u′dx
(
por (A)
)
.
Assim, usandoesta notac¸a˜o reescrevemos (9.1):∫
f
(
g(x)︸︷︷︸
u
)
· g′(x)dx︸ ︷︷ ︸
du
= F
(
g(x)︸︷︷︸
u
)
+ C
mudando para u = g(x):
∫
f(u)du = F (u) + C . (9.2)
21
Exemplo 9.1.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
OBS 1:Passos para utilizar o me´todo da substituic¸a˜o:
1. Escolher a func¸a˜o u e calcular du.
2. Reescrever a integral em termos de u.
3. Expressar a resposta em termos de x.
OBS 2: O me´todo da substituic¸a˜o falha se ao escolher u e calcular du produzir um integrando
no qual persistirem expresso˜es envolvendo x.
Exemplo 9.2.
Dada a integral
∫
2x(x2 + 1)50 cos xdx e´ poss´ıvel calcula´-la utilizando o me´todo da substi-
tuic¸a˜o?
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
22
Exemplo 9.3.
Calcule usando o me´todo da substituic¸a˜o as integrais indefinidas abaixo:
23
10 Teorema Fundamental do Ca´lculo - Parte 2
Ate´ o momento de nosso estudo computamos as integrais definidas a partir da definic¸a˜o como
um limite de somas de Riemann e percebemos que esse procedimento e´ a`s vezes trabalhoso e
dif´ıcil. A segunda parte so Teorema Fundamental do Ca´lculo que segue facilmente da primeira
parte, nos fornece um me´todo muito mais simples para o ca´lculo das integrais o qual e´ a principal
ferramenta para o ca´lculo das integrais definidas.
Para motivar os resultados que estamos procurando, vamos pensar numa func¸a˜o f na˜o-
negativa e cont´ınua em um intervalo [a, b], neste caso, a a´rea sob o gra´fico de f no intervalo
[a, b] e´ representado pela integral definida.
A =
∫
b
a
f(x)dx (1)
Figura 10.1.
Sabemos que, se A e´ a a´rea sob f de a ate´ x, enta˜o:
.
.
.————————————————- (2)
.
.————————————————- (3)
.
.————————————————- (4)
.
Por (2) temos que A(x) e´ uma antiderivada da f ; isso significa que toda antiderivada da
f(x) pode ser obtida acrescentando uma constante a A(x).
Assim, seja: F (x) =−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− uma antiderivada qualquer da f .
Subtraindo F (a) de F (b) temos:
F (b)− F (a) = [A(b) + C]− [A(a) + C]
= A(b) + C − A(a)− C
= A(b)− A(a)
= A− 0
= A
Logo, (1) pode ser expressa como:
.
.
.
.
.
24
Podemos observar que este resultado foi obtido considerando, por hipo´tese, que f e´ na˜o-
negativa em [a, b], pore´m essa hipo´tese na˜o e´ essencial, como sera´ provado na parte 2 do teorema
fundamental do ca´lculo.
Teorema 10.1. Teorema Fundamental do Ca´lculo - Parte 2 (TFC - 2)
Se f for cont´ınua em [a, b] e se F for uma antiderivada de f em (a, b), enta˜o:
∫
b
a
f(x)dx = F (b)− F (a).
Podemos expressar:
∫
b
a
f(x)dx = F (x)
∣∣∣b
a
= F (b)− F (a).
PROVA:
25
OBS:
Exemplo 10.1.
Calcule as seguintes integrais definidas aplicando o TFC - 2.
26
11 Integral Definida e Integral Indefinida
A fo´rmula
∫
b
a
f(x)dx = F (x)
∣∣∣∣
b
a
=
[∫
f(x)dx
]b
a
mostra que ha´ uma relac¸a˜o entre as inte-
grais:
∫
b
a
f(x)dx e
∫
f(x)dx
A integral definida e´ um nu´mero (a´rea com sinal entre o gra´fico de y = f(x), o eixo x e o
intervalo [a, b].)
A integral indefinida e´ uma func¸a˜o, ou melhor, um conjunto de func¸o˜es (antiderivadas de
f). Neste caso, integrando uma func¸a˜o em x obtemos uma func¸a˜o de x ou integrando uma
func¸a˜o de t, obtemos uma func¸a˜o de t.
Exemplo 11.1.∫
x dx = e
∫
t dt =
Ja´ nas integrais definidas, a varia´vel da integrac¸a˜o na˜o interfere no ca´lculo.
Exemplo 11.2.∫ 2
1
x dx = e
∫ 2
1
t dt =
Como a varia´vel de integrac¸a˜o em uma integral definida na˜o desempenha nenhum papel,
ela e´ usualmente chamada de varia´vel muda.
12 A Integral da Velocidade
Se um objeto em movimento retil´ıneo apresentar velocidade constante v, esta˜o a distaˆncia
percorrida ao longo do intervalo [t1, t2] sera´ igual a v · (t2 − t1).
Figura 12.1.
Podemos interpretar essa fo´rmula em termos de a´rea, observando que o gra´fico e´ uma reta
horizontal de altura v e v · (t2 − t1) e´ a a´rea da regia˜o retangular entre o gra´fico e o intervalo
[t1, t2]. Assim: Distaˆncia percorrida ao longo de [t1, t2] e´ a a´rea abaixo do gra´fico da velocidade
e acima de [t1, t2].
Figura 12.2.
27
Podemos verificar essa afirmac¸a˜o, entendendo que se a velocidade na˜o for positiva, enta˜o a
integral calcula a variac¸a˜o l´ıquida da posic¸a˜o ou o deslocamento. De fato se s(t) for a posic¸a˜o
no instante t, enta˜o v(t) = s′(t) e´ a velocidade e:
∫
t
2
t1
v(t)dt =
∫
t
2
t1
s′(t)dt =−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
Exemplo 12.1. A velocidade de uma part´ıcula e´ v(t) = t3 − 10t2 + 24tm/s. Calcule o deslo-
camento durante os primeiros 4s.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
13 Me´todo da Substituic¸a˜o para Integrais Definidas
Para Calcular:
∫
f(g(x)).g′(x)dx fazemos u = g(x) e calcularmos du = g′(x)dx assim,
reescrevemos a integral em termos de u =
∫
f(u)du e revolvemos.
Para calcular
∫
b
a
f(g(x)g′(x))dx
Fazemos a mesma substituic¸a˜o:
u = g(x) e du = g′(x)dx e usamos a relac¸a˜o, u = g(x) para substituir os limites em x, x = a
e x = b, pelos correspondentes limites em u, u = g(a) e u = g(b).
Isso nos da´:
Que e´ expressa inteiramente em u.
Exemplo 13.1.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
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Exemplo 13.2.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
14 Integrais definidas de func¸o˜es sime´tricas
O pro´ximo teorema usa a Regra da Substituic¸a˜o para as Integrais Definidas para simplificar
o ca´lculo de integrais de func¸o˜es que possuam propriedades de simetria.
Teorema 14.1. Suponha que f e´ cont´ınua em [−a, a].
(a) Se f for par [f(−x) = f(x)], enta˜o
∫
a
−a
f(x)dx = 2
∫
a
0
f(x)dx.
(b) Se f for ı´mpar [f(−x) = −f(x)], enta˜o
∫
a
−a
f(x)dx = 0.
PROVA:
29