Cálculo Diferencial E integrais 1,2 e 3 (362)

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Cálculo Diferencial e 
Integral I 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Curso de Agroecologia 
Profª Paula Reis de Miranda 
2012/2º semestre 
 
Cálculo I 
Apostila Adaptado do material original de autoria do Professor Flávio Bittencourt 
flavio.bittencourt@ifsudestemg.edu.br 
1 
 
MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO 
SECRETARIA DE EDUCAÇÃO PROFISSIONAL E TECNOLÓGICA 
INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DO SUDESTE DE MINAS 
GERAIS 
 
PROGRAMA ANALÍTICO DE DISCIPLINA 
 
CAMPUS: Rio Pomba 
CURSO: Bacharel em Agroecologia 
PERÍODO: 2º SEMESTRE/ANO: 2º/2012 
DISCIPLINA: 
Cálculo Diferencial e Integral I 
CÓDIGO: MAT 192 
PROFESSOR 
RESPONSÁVEL PELA 
DISCIPLINA: 
Paula Reis de Miranda 
PROFESSOR (ES) 
COLABORADOR (ES): 
 
CARGA HORÁRIA TOTAL: 66 Nº TOTAL DE AULAS: 72 
Nº TOTAL DE AULAS PRÁTICAS: 22 Nº TOTAL DE AULAS TEÓRICAS: 50 
PRÉ-REQUISITO (S):MAT 159 OU 
MAT 151 VIAGEM 
 CO-REQUISITO (S): 
 
EMENTA 
 
Funções de uma variável real e seus gráficos (Revisão). Limites e Continuidade de Funções 
Reais. Derivadas. Aplicações da derivada. Máximos e Mínimos. Integral indefinida. Integral 
definida. Teorema Fundamental do Cálculo. 
 
 
OBJETIVOS 
 
Desenvolver a intuição, a capacidade de raciocínio lógico, a observação, a investigação, a análise e o 
delineamento de conclusões do aluno, testando-os na resolução de problemas no decorrer do curso e 
na vida profissional. 
 
 
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CONTEÚDO PROGRAMÁTICO 
N° AULAS 
T P 
 Funções de uma variável real e seus gráficos (Revisão). 8 4 
Limites e Continuidade de Funções Reais. 8 2 
Derivadas. 8 4 
Aplicações da derivada. 4 4 
Máximos e Mínimos 2 2 
Integral indefinida 8 2 
Integral definida. 4 4 
Teorema Fundamental do Cálculo. 8 0 
 
METODOLOGIA DE ENSINO 
 
O conteúdo será ministrado por meio de aula expositiva dialogada, demonstrativa, trabalhos 
individuais e em equipes, listas de exercícios estimulando o pensamento crítico, levando o aluno a 
construir seu próprio conhecimento. 
 
 
RECURSOS DIDÁTICOS 
 
- Quadro branco, pincel e apagador; 
- Apresentação de slides, computador e TV. 
- Softwares educativos: Winplot e Graphmat 
- Apostilas e listas de exercícios 
- Livros da Biblioteca 
 
 
AVALIAÇÃO 
A avaliação será realizada de forma dinâmica, contínua e processual através de atividades em grupo 
e individual e a partir da observação e análise do desempenho dos alunos durante a aula seguindo os 
seguintes critérios: 
 Iniciativa, interesse e autonomia; 
 Participação nas atividades propostas; 
 Capacidade de assimilação e construção dos conceitos estudados. 
 Provas individuais: 50 pontos 
 Provas em dupla e com consulta: 25 pontos 
 Trabalhos e seminários: 25 pontos 
 
 
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BIBLIOGRAFIA BÁSICA 
BÁSICA: 
ANTON, Howard; BIVENS, Irl; DAVIS, Stephen. Cálculo. 8ª ed. São Paulo: Editora Bookman, 
2006. V. 1. 
FLEMMING, Diva Marília e GONÇALVES, Mirian Buss. Cálculo A: Funções, Limite, 
STEWART, James. Cálculo. 5. ed. São Paulo: Pioneira, 2001. v. 1. 
 
 
BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR (MÍNIMO CINCO) 
ÁVILA, G. Cálculo: Funções de uma variável. Rio de Janeiro: Editora LTC, 1994. 
GUIDORIZZI, H. L. Um curso de cálculo. Rio de Janeiro: LTC, 2001 
HOFFMANN, L. D.; BRADLEY, G. L. Cálculo: um curso moderno e suas aplicações. Tradução 
Ronaldo Sérgio de Biasi. 7. ed. Rio de Janeiro, RJ: LTC, c2002. 
MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO E DO DESPORTO (MEC). Secretaria de Educação à distância. 
Matemática: conversa de professor: matemática. [s.l.]: TV Escola, 1995. Vol. 2. 1 DVD; (2h 
55min). (DVD Escola, 23). 
SWOKOWSKY, E. W. Cálculo com geometria analítica. V.1. São Paulo: Makron Books, 1994. 
 
 
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0. Revisão 
 
0.1 Produtos notáveis 
 As igualdades a seguir são alguns dos produtos notáveis que ocorrem freqüentemente na 
Matemática e com os quais o aluno deverá familiarizar o mais rápido possível. 
a) 
 a c d ac ad  
 
b) 
   2 2a b a b a b   
 
c) 
    2 2 2a b a b a b a 2ab b      
 
d) 
    2 2 2a b a b a b a 2ab b      
 
e) 
    2x a x b x a b x ab     
 
f) 
     3 3 2 2 3a b a b a b a b a 3a b 3ab b        
 
g) 
     3 3 2 2 3a b a b a b a b a 3a b 3ab b        
 
 
Exercícios: 
 
Determinar cada um dos seguintes produtos: 
a) 
 3x 2x 3y
 
b) 
 2 3x y 3x 2y 4 
 
c) 
  3 2 2 33x y 2xy 5 x y 
 
d) 
  2x 3y 2x 3y 
 
e) 
  3 31 5x 1 5x 
 
f) 
  3 2 3 25x x y 5x x y 
 
g) 
 
2
3x 5y
 
h) 
 2x 2
 
i) 
 
2
ax 2by
 
j) 
 
2
4x 6
 
k) 
 
2
3y 2
 
l) 
  x 3 x 5 
 
m) 
  x 2 x 8 
 
n) 
  x 2 x 8 
 
o) 
  2 2t 10 t 12 
 
p) 
 
3
x 2y
 
q) 
 33x 2
 
r) 
 
3
2y 5
 
s) 
 
3
xy 2
 
t) 
 
3
2 2x y y
 
 
0.2 Fatoração 
 Os métodos mais usuais são os seguintes: 
a) Fator monônio comum 
 ac ad a c d  
 
Exemplos: 
 2 3 26x y 2x 2x 3y x  
 
 3 2 2 22x y xy 3x y xy 2x y 3x    
 
b) Diferença de dois quadrados 
  2 2a b a b a b   
 
Exemplos: 
  2x 25 x 5 x 5   
 
  2 24x 9y 2x 3y 2x 3y   
 
c) Trinômio quadrado perfeito 
 22 2a 2ab b a b   
 
 22 2a 2ab b a b   
 
Exemplos: 
 22x 6x 9 x 3   
 
 
22 29x 12xy 4y 3x 2y   
 
d) Outros trinômios 
    2x a b x ab x a x b     
 
    2acx ad bc x bd ax b cx d     
 
Exemplos: 
  2x 5x 4 x 4 x 1    
 
  2 2x xy 12y x 3y x 4y    
 
 
  23x 5x 2 x 2 3x 1    
 
  26x x 12 3x 4 2x 3    
 
 
  28 14x 5x 4 5x 2 x    
 
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Exercícios 
 
Fatore os seguintes polinômios 
a) 
22x 3xy
 
b) 
4x 8y 12z 
 
c) 
2 3 4 3 2 4 4 3 210a b c 15a b c 30a b c 
 
d) 
2x 9
 
e) 
2 225x 4y
 
f) 2 41 m n 
g) 
2 2 4x y 36y
 
h) 81 x 
i) 
3 3x y y x
 
j) 
2x 8x 16 
 
k) 
21 4y 4y 
 
l) 
2 2x 16xy 64y 
 
m) 
2 216m 40mn 25n 
 
n) 
4 2 2 416a 72a b 81b 
 
o) 
2x 6x 8 
 
p) 
2x 6x 8 
 
q) 
2x 2x 8 
 
r) 
2x 2x 8 
 
s) 
3 23x 3x 18x 
 
t) 
4 2y 7y 12 
 
u) 
   2x 1 3 x 1 2   
 
v) 
23x 10x 3 
 
w) 
22x 7x 3 
 
x) 
22y y 6 
 
y) 
2 26x xy 2y 
 
 
Respostas: 
a)
 x 2x 3y
; c)
  2 2 2 2 25a b c 2bc 3ac 6a b
; f)
   2 21 mn 1 mn
; g)
   2y x 6y x 6y
 
h)
       4 21 x 1 x 1 x 1 x
; i)
   xy x y x y
; j)
 
2
x 4
; l)
 
2
x 8y
; n)
    
2 2
2a 3b 2a 3b
; 
o)
   x 4 x 2
; s)
   3x x 3 x 2
; u)
   x 3 x 2
; v)
   3x 1 x 3
; w)
   2x 1 x 3
; 
x)
   2y 3 y 2
; y)
   3x 4y 2x 3y
; 
 
 
0.3 Logaritmos 
 Definição:Se 
xb a
, sendo a um número positivo qualquer e b positivo e diferente de 1, o 
expoente x é o logaritmo de a na base b, escrevendo-se 
bx log a
. 
 Exemplos: 
23 9
, logo 2 é logaritmo de 9 na base 3, isto é, 
32 log 9
. 
 
2log 8
 é o número x, a que se deve elevar a base 2 para obter 8, isto é, 
x2 8, x 3 
. Assim, 
2log 8 3
. 
 Propriedades dos logaritmos: 
i) O logaritmo do produto de dois números positivos a e b é igual à soma dos logaritmos dos números, 
isto é: 
c c clog ab log a log b 
 
 
ii) O logaritmo do quociente de dois números positivos a e b é igual à diferença dos logaritmos dos 
números, isto é: 
 c c c
a
log log a log b
b
 
 
iii) O logaritmo da potência p de um número positivo a é igual ao produto p pelo logaritmo do número, 
isto é: 
pc clog a p.log a
 
 
Exemplos: 
a) 
  2 2 2 2log 15 log 3.5 log 3 log 5
 
b) 
 
17
log log17 log24
24
 
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6 
c) 
3
7 7log 5 3log 5
 
 
 
1
3 3
1
log 2 log2 log2
3
 
 
iv) 
blog b 1
 
De fato, fazendo 
blog b x
 tem-se: 
xb b x 1  
 
 
v) 
blog 1 0
 
De fato, fazendo 
blog 1 x
 tem-se: 
x 0b 1 b x 0   
 
 
vi) 
x
blog b x
 
De fato, pelas propriedades (iii) e (vi) temos: 
  xb blog b x.log b x.1 x
. 
 
vii) Mudança de base 
   
*k
b
k
log a
log a , k, com k IR , k 1
log b
 
 
Exercícios 
 
1) Passar da forma exponencial para a logarítmica: 
i) modelo: 
  q pp r q log r
 
ii) 
32 8
 iii) 
24 16
 iv) 
 2
1
3
9
 v) 

2
3
1
8
4
 
 
2) Passar da forma logarítmica para a exponencial: 
i) modelo: 
  25log 25 2 5 25
 
ii) 
2log 64 6
 iii) 
1
4
1
log 2
16
 iv) 
3alog a 3
 v) 
rlog 1 0
 
 
3) Calcular o valor dos logaritmos seguintes: 
i) 
4log 64
 ii) 
3log 81
 iii) 
1
2
log 8
 iv) 
3log 10
 v) 
5log 125 5
 
Respostas: i) 3; ii) 4; iii) 
3
; iv) 
1
3
; v) 
7
2
 
 
4) Resolver as seguintes equações: 
i) 
3log x 2
 ii) 
 4
3
log y
2
 iii) 
xlog 25 2
 iv) 
 x
9 2
log
4 3
 v) 
   2log 3x 2x 4 0
 
Respostas: i) 9; ii) 
1
8
; iii) 5; iv) 
8
27
; v) 

5
1,
3
 
5) Resolver (use logaritmos e calculadora): 
i) 
 2x 2 5x 15 3
 ii) 
 2x 1 x 24 5
 iii) 
 x 1 1 3x3 4.5
 
Respostas: i) 1,898; ii) 3,958; iii) 0,6907 
 
6) Sabendo que 
6 6log 5 0,898 e log 2 0,386 
 calcular (somente use a calculadora nas operações 
de multiplicação e divisão): 
a) 
6log 10
 b) 
6log 2,5
 c) 
2log 5
 d) 
6log 20
 e) 
6
5
log
12
 f) 
6log 5
 
Respostas: a) 1,284; b) 0,512; c) 2,326; d) 1,67; e) 
 0,488
; f) 0,449 
 
 
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1. Principais Funções Elementares 
 
1.1 Função Constante 
 Dado um número real c, denominamos função constante à função 
f : IR IR
 definida por 
 f x c
. 
Gráfico 
 
Propriedades: 
a)
  D f IR
; 
b)
   Im f c
; 
c) f é função par, pois 
       f x f x c, x IR
; 
d) f é limitada, pois 
    c f x c, x IR
. 
 
 
1.2 Função Identidade 
Denominamos função identidade à função 
f : IR IR
 definida por 
 f x x
. 
Gráfico 
 
Propriedades: 
a)
  D f IR
; 
b)
  Im f IR
; 
c) f é função ímpar, pois 
       f x x f x
, 
 x IR
; 
d) f não é limitada. 
 
 
1.3 Função Afim 
Dados os reais a e b, 
a 0
, denominamos função afim à função 
f : IR IR
 definida por 
 f x ax b 
 
Gráfico 
 
Propriedades: 
a)
  D f IR
; 
b)
  Im f IR
; 
c) Se 
b 0
, f é função ímpar, pois 
             f x a x ax f x , x IR
 
 Se 
b 0
, f não é função par, nem ímpar; 
d) f não é limitada; 
e) O gráfico intercepta o eixo x no ponto cuja abscissa 
é a raiz da equação 
ax b 0 
; portanto em 
b
; 0
a
 
 
 
. 
A interseção com o eixo y é 
 0; b
. 
 
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8 
1.4 Função Quadrática 
 Dados os reais a, b e c, 
a 0
, denominamos função quadrática à função 
f : IR IR
 definida 
por 
  2f x ax bx c  
. 
Gráfico 
2
Se a 0
e b 4ac 0

   
 
Se a 0
e 0

 
 
Se a 0
e 0

 
 
 
 
Se a 0
e 0

 
 
Se a 0
e 0

 
 
Se a 0
e 0

 
 
 
 O vértice da parábola é o ponto V de coordenadas: 
v
b
x
2a


 e 
2
v
b 4ac
y
4a 4a
  
 
. 
Propriedades: 
a)
  D f IR
; 
b)
         v vIm f y IR | y y y ; , se a 0;
 ou 
 
         v vIm f y IR | y y ; y , se a 0;
 
c) Se 
a 0
, f tem um valor mínimo para 
v
b
x x
2a

 
; 
 Se 
a 0
, f tem um valor máximo para 
v
b
x x
2a

 
; 
 O valor mínimo (ou máximo) de f é 
vy
4a


; 
d) Se 
b 0
, f é função par, pois 
             
2 2f x a x c ax c f x , x IR
; 
e) f não é limitada; 
f) Quando 
0 
, o gráfico intercepta o eixo x nos pontos 
 1x ; 0
 e 
 2x ; 0
 onde 
1x
e 
2x
 são raízes da 
equação 
2ax bx c 0  
. 
 Quando 
0 
, o gráfico intercepta o eixo x nos pontos 
 1x ; 0
onde 
1x
 é raiz da equação 
2ax bx c 0  
. 
 Quando 
0 
, o gráfico não intercepta o eixo x. 
Em qualquer caso, a interseção com o eixo y é o ponto 
 0; c
. 
 
Exercícios 
 
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9 
1) Se 
 
2x 3
f x
x 1



, achar: (i)
 f 0
, (ii)
 f 4
, (iii)
 f 2a
, (iv)
1
f
z
 
 
 
, (v)
 f x 3
. 
2) Se 
  2f x x 2x 
, achar 
   f a h f a
h
 
. 
3) Traçar o gráfico, dar o domínio e imagem das funções: 
i) 
 f x 3 
 
ii) 
 
5
f x
2
 
 
iii) 
 f x 2x 
 
iv) 
 
x
f x
2

 
v) 
 f x 2x 2  
 
vi) 
  2f x x x 6  
 
vii) 
  2f x x 6x 8   
 
viii) 
  2f x x 6x 9   
 
ix) 
  2f x x 2x 4  
 
4) Seja 
f : IR IR
 tal que 
  2f x 1 x x 1   
 para todo x real. Pede-se: 
a) Calcular 
 f 1
. 
b) Expressar 
 f x
 como um polinômio inteiro de potências decrescentes na variável real x. 
5) Seja a função 
    f x ax b, x IR
, onde a e b são constantes reais. Pede-se determinar a e b não 
nulos e tais que 
     2f f x b f x b  
 para todo x real. 
6) Os produtos farmacêuticos devem especificar as dosagens recomendadas para adultos e crianças. 
Duas fórmulas para modificações da dosagem de adulto para uso por crianças são: 
Regra de Cowling: 
  
1
y t 1 a
24
 
Regra de Friend: 

2
y ta
25
 
Onde a denota a dose de adulto (em miligramas) e t a idade da criança (emanos). 
a) se a = 100, faça o gráfico das duas equações lineares no mesmo sistema de eixos para 
 0 t 12
. 
b) para que idade as duas fórmulas especificam a mesma quantidade? 
7) Considere a função 
f : IR IR
, tal que 
       2f x ax bx c, f 0 5; f 3 11e f 5 15     
. Calcular 
as constantes a, b e c. 
8) A resistência elétrica R (em ohms) para um fio de metal puro está relacionada com sua 
temperatura T (em 
o
C) pela fórmula 
 oR R 1 aT 
, para constantes positivas a e 
oR
. 
a) Para que temperatura se tem 
oR R
? 
b) Supondo que a resistência seja 0 (zero) se 
oT 273 C 
 (zero absoluto), determine a. 
c) Um fio de prata tem uma resistência de 1,25 ohms a 0
o 
C. A que temperatura a resistência é igual a 
2 ohms? 
9) Sejam a e h reais e dadas as funções: i) 
   f x 5x 2
 e ii) 
   f x 3 4x
, determine para cada uma 
delas: 
a) 
 f a h
 b) 
   f a f h
 c) 
   f a h f a
h
 
 
10) Considere a função 
f : IR IR
, tal que 
       2f x ax bx c, f 0 5; f 3 11e f 5 15     
. Calcular 
as constantes a, b e c. 
11) O gráfico de 
  2f x x bx c  
, onde b e c são constantes, passa pelos pontos 
   0,0 e 1,2
. 
Calcule 
2
f
3
 
 
 
. 
12) Seja 
 f x 2x 3 
. Encontre 
( )( )xff
 e faça o gráfico. 
13) No gráfico ao lado representadas as funções (I) e (II), definidas por 
y 3 x e y kx t   
, respectivamente. Os valores de k e t são, 
respectivamente, 
14) Obter o valor das constantes m e n, dado que o gráfico da função 
  3 2f x x x mx n   
 é uma curva quem passa pelos pontos 
   0,2 e 2,10
. 
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10 
15) Um muro será usado como um dos lados de um galinheiro retangular. Para os outros lados será 
usado um rolo de 25 metros de tela de arame. Determinar quais devem ser as dimensões do 
galinheiro para que sua área seja máxima. 
16) A parábola de equação 
2y 2x bx c   
 passa pelo ponto 
 1, 0
 e seu vértice é o ponto 
 3,v
. 
Qual o valor de v? 
17) A parábola de equação 
2y ax bx c  
 contém a origem do sistema de coordenadas e é 
tangente à reta de equação 
y 4
 no ponto
 2,4
. Obter 
a b c 
. 
 
Respostas: 
1) (i)
3
; (ii)
13
3

; (iii)
24a 3
2a 1


; (iv)
 
21 3z
z 1 z


; (v)
2x 6x 6
x 2
 

 
2) 
2a 2 h 
 
4) a) 3; b) 
  2f x x x 1  
 
5) 
a 1 e b 2 
 
13) 
1
2
 e 0 
14) 
m 2 e n 2  
 
15) 12,5 por 6,25 
16) 8 
17) 3 
 
1.5 Função Recíproca 
 Dado um número real x não nulo, o recíproco (ou inverso multiplicativo ou, apenas inverso) de 
x é o real 
1
x
. Denominamos função recíproco à função 
* *f : IR IR
 definida por 
 
1
f x
x

. 
Gráfico 
 
Propriedades: 
a)
   *D f IR
; 
b)
   *Im f IR
; 
c) f é função ímpar, pois 
    

1 1
f x
x x
, 
  *x IR
; 
d) f não é limitada. 
 
 
1.6 Função Modular 
Denominamos função modular à função 
f : IR IR,
 definida por 
 f x x
. 
Pela definição de módulo, 
 
x se x 0
f x
-x se x 0

 

 
Gráfico 
 
Propriedades: 
a)
  D f IR
; 
b)
  Im f IR
; 
c) f é função par, pois 
         f x x x f x , x IR
; 
d) f não é limitada. 
 
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11 
Exercícios 
 
1) Traçar o gráfico, dar o domínio e imagem das funções: 
i) 
 f x 2x 
 ii) 
  2f x x 2x 
 iii) 
    2f x x 5x 6
 
iv) 
 
1
f x
2x

 v) 
 
 
2
1
f x
x 2


 vi) 
 
 
3
1
f x
x 4


 
vii) 
1
y
x 2


 viii) 
   2
1
f x
x
 ix) 
  
1
f x
x
 
2) Numa determinada comunidade economicamente ativa, o número de pessoas cuja renda anual 
excede o valor x (em real) é igual a 
12
2
10
x
. Quantas pessoas nessa comunidade têm uma renda anual 
entre R$20.000,00 e R$50.000,00? 
3) À medida que a altitude de uma nave espacial aumenta, o peso do astronauta diminui até atingir 
um estado de imponderabilidade. O peso de um astronauta de 60kg, a uma altitude de x quilômetros 
acima do mar, é dado por 
 
  
 
2
6400
W 60
6400 x
. A que altitude o peso do astronauta será inferior a 
2kg? 
4) Provar que se 
 



2x 1
f x
x 2
, então 
   f f x x
. 
5) A reta e a parábola, representadas no plano cartesiano ao lado, 
são gráficos de uma função do 1º grau f e de uma função do 2º grau 
g, respectivamente. Observe os gráficos e responda: 
a) Para quais valores de x 
   f x g x
? 
b) Qual é o domínio e a imagem de f e g? 
 
Respostas: 
2) 2100 
3) 
x 28.654,24368 km
 
 
 
1.7 Função Exponencial 
 Dado um número real a positivo, 
a 0
, denominamos função exponencial de base a à 
função 
f : IR IR
 definida por 
  xf x a
. 
Gráfico 
Se a 1
 
 
Se 0 a 1 
 
 
Propriedades: 
a) 
  D f IR
; 
b) 
  
*Im f IR
; 
c) f não é função par, nem 
ímpar; 
d) f não é limitada. 
 
Exercícios 
 
1) Se 
  xf x 2
, mostrar que 
     
15
f x 3 f x 1 f x
2
   
. 
2) Traçar o gráfico, dar o domínio e imagem das funções: 
i) 
  xf x 3
 ii) 
  xf x e
 iii) 
  xf x e
 iv) 
 
x
1
f x
3
 
  
 
 
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12 
v) 
   x 1f x 2
 vi) 
   2xf x 2
 vii) 
   xf x 2 2
 viii) 
   xf x 2 1
 
3) Na figura ao lado está representado o gráfico de 
  xf x ka
, 
sendo k e a constantes reais positivas, com 
a 1
. Calcule, 
baseando-se no gráfico, o valor de 
 f 2
. 
4) Após x anos um capital de R$1.000,00 aplicado à taxa de 21% ao 
ano dará um montante (capital + rendimento) 
   
x
M x 1000 1,21
. 
Calcule: 
a) O montante após meio ano; 
b) O rendimento em meio ano. 
5) Suponha que daqui a t anos o valor de um certo carro seja dado por 
   
t
0V t V 0,9
, onde 
0V
 é o 
valor atual do carro. Qual a porcentagem de desvalorização desse carro em um ano (relativamente ao 
valor inicial). 
6) Numa cultura de bactérias existem inicialmente 1000 bactérias presentes e a quantidade após t 
minutos é 
  0,7tN t 1000.3
. Verifique que em 10 minutos a quantidade de bactérias presentes na 
cultura será superior a 2.000.000. 
7) O radium é uma substância que se desintegra ao longo do tempo. Partindo de uma quantidade 
inicial 
0Q
, suponha que a quantidade de radium existente após t anos seja dada por 
   
t
1000
0Q t Q 1,5


. 
a) Calcule a porcentagem da quantidade de radium existente após 1.000 anos, relativamente à 
quantidade inicial. 
b) Que porcentagem da quantidade inicial se desintegra entre o 1000
o
 e 2000
o
 ano? 
 
Respostas: 
4) a) R$1.100,00; b) R$100,00 
5) 10% 
7) a) 66%; b) 22% 
 
 
1.8 Função Logarítmica 
 Denominamos função logarítmica à função 
 
*f : IR IR
 definida por 
  af x log x
. 
Gráfico 
Caso 
a 1
 
 
Caso 
0 a 1 
 
 
Propriedades: 
a) 
  
*D f IR
; 
b) 
  Im f IR
; 
c) f não é função par, nem ímpar; 
d) f não é limitada.Exercícios: 
 
1) Se 
 f x logx
, mostrar que 
     f 2x f x f 2 
. 
2) Se 
  a
1
f x log
x

, mostrar que 
 3f a 3 
 e 
 1z 1f a
z


. 
3) Traçar o gráfico, dar o domínio e imagem das funções: 
i) 
  3f x log x
 ii) 
  1
3
f x log x
 iii) 
 f x lnx
 iv) 
    2f x log x 1
 
4) Determine, em 
IR
, o conjunto solução de cada uma das equações: 
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13 
a) x
3 27
2 8
 
 
 
 b) 
3 x25 5
 c) 
 3log 6x 9 4 
 d) 
xlog 32 5 
 
5) Suponha que uma substância radioativa se desintegre, de modo que partindo de uma quantidade 
0Q
, a quantidade existente após t anos seja dada por 
  0,05t0Q t Q .e

. Dado 
ln2 0,693
, calcule t 
de modo que se tenha 
  0
Q
Q t
2

. (Este valor de t é denominado meia-vida da substância). 
6) Partindo de uma quantidade inicial de 
0Q
 bactérias de uma dada espécie, após t horas a 
quantidade existente é 
  kt0Q t Q .e
 onde k é uma constante. Se a quantia inicial dobrar em hora, 
quanto tempo levará para se ter 1.000.000 bactérias partindo de uma quantidade inicial de 1.000 
bactérias? Dado 
log2 0,3
. 
7) Sabendo que 
2k 110 7 
, 
log7 0,845
 e 
log5 0,699
, calcule t para que se tenha 
kt 110 5 
. 
8) O álcool no sangue de um motorista alcançou o nível de 2 gramas por litro logo depois dele ter 
bebido uma considerável quantidade de cachaça. Considere que esse nível decresce de acordo com 
a fórmula 
   
t
N t 2 0,5
, onde t é o tempo medido em horas a partir do momento em que o nível é 
constatado. Quanto tempo deverá o motorista esperar antes de dirigir seu veículo com segurança se 
o limite permitido de álcool no sangue é de 0,8 gramas por litro? Use 
log2 0,301.
 
9) Partindo de uma quantidade inicial de 
0Q
 bactérias de uma dada espécie, após t horas a 
quantidade existente é 
   kt0Q t Q .e
 onde k é uma constante. Se a quantia inicial triplicar em hora, 
quanto tempo levará para se ter 1.000.000.000 bactérias partindo de uma quantidade inicial de 1.000 
bactérias? Dados: 
ln3 1,099
 e 
6ln10 13,816
. 
10) O período T de um pêndulo simples de comprimento c é dado pela fórmula 
T 2 c / g 
, onde g é 
a aceleração da gravidade. Achar T(em segundos), sabendo que 
c 281,3cm
 e 
2g 981,0cm/s
. 
Tomar 
2 6,283 
. 
11) Resolver a seguinte equação de hidráulica: 1,32
20,0 0,0613
14,7 x
 
  
 
. 
12) Dada a fórmula 
T 2 c / g 
, achar c se 
T 2,75, 3,142 e g 32,16   
. 
13) Dados 
A 0,0807, G 0,0056 e P 1250  
 encontre D na fórmula 
 
3
P
D
05236 A G


. 
 
Respostas: 
5) 14 anos 
6) 10 horas 
7) 3,884 
8) 
4
3
 hora. 
9) 12,57 horas 
10) 
T 3,365 segundos
 
11) 
x 0,0486
 
12) 6,16 
13) 31,7 
 
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14 
 
1.9 Função definida por várias sentenças 
 Uma função f pode ser definida por várias sentenças abertas, cada uma ligada a um D 
diferente contido no domínio definido. 
Gráficos (Exemplos) 
a) 
 
1, se x 0
f x 2, se 0 x 1
1, se x 1


  
 
 b) 
 
2
x, se x 0
f x
x , se x 0
 
 

 
 
Gráficos: 
1 x
y
1
2
 
x
y
 
  D f IR
 e 
   Im f 1,2
 
  D f IR
 e 
  Im f IR
 
 
Exercícios 
 
1) Traçar o gráfico e dar o domínio e imagem: 
i) 
  2
1 se x 1
f x x se 1 x 2
4 se x 2


  
 
 ii) 
  2
2x+3 se x 0
f x x se 1 x 2
1 se x 2


  
 
 iii) 
 
x 1, se x 3
f x
x 2, se x 3
  
 
 
 
iv)
 
2
2, se x 1
f x
x 3x, se x 1
 
 
 
 v)
 
   

  
  
2x x 2, se x 0
f x 1, se 0 x 2
x 2, se x 2
 vi)  
 

   

   

   
  
log 2x , se x 1
f x 1, se 1 x 1
x
log , se x 1
3
 
2) De acordo com o World Wildlife Found, um grupo que lidera a luta contra o comércio ilegal de 
marfim, o preço do marfim (em euros por quilo) compilado de várias fontes é aproximado pela função: 
 
8,37x 7,44 se 0 x 8
f x
2,84x 51,68 se 8 x 30
  
 
  
 
Onde x é medido em anos, considera 
t 0
 corresponde ao início de 1970, 
t 1
 corresponde ao 
início de 1971 e assim por diante. 
a) Esboce o gráfico da função f; 
b) Qual era o preço do marfim no início de 1970? E no início de 1990? 
3) O cálculo do imposto de renda devido por um contribuinte é feito da seguinte forma: depois de 
algumas deduções sobre o total de rendimentos anuais, chega-se a um valor denominado base de 
cálculo. Sobre a base de cálculo aplica-se uma alíquota e, do resultado obtido, deduz-se uma 
parcela. A alíquota e a parcela dependem da base de cálculo conforme o quadro: 
Base de cálculo Alíquotas Parcela a deduzir 
Até $12.696,00 0 0 
De $12.696,01 a $25.380,00 15% $1.904,40 
Acima de $25.380,00 27,5% $5.075,90 
Seja 
 f x
 o valor do imposto devido quando a base de cálculo for x reais. Dê uma expressão para 
 f x
 e esboce seu gráfico. 
 
Respostas: 
2) b) 7,44 euros e 108,48 euros. 
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15 
3) 
 
0, 0 x 12.696,00
f x 0,15x 12.696,00 x 25.380,00
0,275x 3.172,50 x 25.380,00
 

  
  
 
 
 
1.10 Funções polinomiais 
 Dados os números reais 
0 1 2 3 n 1 na ,a ,a ,a ,...,a ,a
, denominamos função polinomial à função 
f : IR IR
 definida por 
  n n 1 n 20 1 2 n 1 nf x a x a x a x ... a x a
 
     
. Os números 
0 1 2 3 n 1 na ,a ,a ,a ,...,a ,a
 
são os coeficientes. 
 As funções constante, afim e quadrática são casos particulares da função polinomial. 
 Demais comentários sobre as funções polinomiais serão vistos nas aplicações de derivadas, 
ou no decorrer do curso. 
 
 
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16 
2. Continuidade. Limites 
 
2.1 Noção de Continuidade 
 Toda função cujo gráfico é uma linha geométrica contínua é chamada função contínua. 
 São exemplos de função contínua: 
a) uma função quadrática, como 
  2f x x 2x 3  
, cujo gráfico é uma parábola, portanto uma linha 
geométrica contínua; 
b) a função módulo, 
 f x | x |
, cujo gráfico é formado por duas semi-retas de origem em (0,0); 
c) a função seno, 
 f x senx
, cujo gráfico é a senóide; 
d) uma função exponencial, como 
  xf x 2
, cujo gráfico é também uma curva contínua sem 
interrupções. 
 
2.2 Introdução ao Conceito de Limite 
 Consideremos a função 
 f x 2x 1 
, definida em 
IR
. Ao estudar o seu comportamento 
quando a variável x assume valores cada vez mais “próximos” de 1, isto é, quando x tende a 1, 
observam-se as duas situações: 
1
o
) Atribuindo valores menores que 1, cada vez mais próximos de 1, ou seja, fazendo x tender a 1 
pela esquerda, observa-se: 
x 0,6 0,7 0,8 0,9 0,95 0,99 0,999 0,9999 
x 1
 
 f x 2x 1 
 2,2 2,4 2,6 2,8 2,9 2,98 2,998 2,9998 
 f x 3
 
Quando x tende a 1 pela esquerda a função, ou seja, o valor de y,tende a 3. 
 
2
o
) Atribuindo valores maiores que 1, cada vez mais próximos de 1, ou seja, fazendo x tender a 1 pela 
direita, observa-se: 
x 1,4 1,3 1,2 1,1 1,05 1,01 1,001 1,0001 
x 1
 
 f x 2x 1 
 3,8 3,6 3,4 3,2 3,1 3,02 3,002 3,0002 
 f x 3
 
Quando x tende a 1 pela direita a função, ou seja, o valor de y, tende a 3. 
 
 Em ambos os casos nota-se que, quando x tende a 1, f(x) tende a 3. Podem-se obter valores 
de f(x) tão próximos de f(1) quanto se quer, bastando para isso escolher x suficientemente próximo de 
1. Diz-se, então, que o limite de f(x) quando x tende a 1 é igual a f(1). 
 Simbolicamente, escreve-se: 
   
x 1
limf x f 1


. 
Assim, 
 
x 1
lim 2x 1 2.1 1 3

   
 
As duas figuras a seguir esquematizam o cálculo dos limites laterais. 
 
 
 
 
 
Exercícios 
 
1) Calcular as constantes a e b sabendo que 
 
x 1
lim ax b 5

 
 e 
 
x 3
lim ax b 7

 
 
2) Calcule os limites indicados das funções: 
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17 
a)
x
2
1
lim
senx
 
c)
2
3t 0
4t 3t 2
lim
t 2t 6
 
 
 
e)
 2
x 2
limlog x 6


 
g) 
x 1
x 1
lim2 

 
i) 
3
3
10 2x 1
27x 4x 4
lim
x 4x 3x
 
 
 
k)
x 3
5x 11
lim
x 1


 
m) 
 
x 2
lim 3x 1


 
b)
x 3
lim 2x 3


 
d)
2
x 1
x 8
lim
x 3


 
f) 
x
x 0
lime

 
h) 
2
x 2
9
lim 2x x x
2
 
   
 
 
j) 
 2
t 0
lim 4t 3t 2

 
 
l) 
 2
x 5
lim x 2x


 
n) 
 
x 2
lim 3x 1

  
 
 
Respostas: 
1) 
a 1; b 4 
 
2) a) 1; b) 3; c) 
1
3

; d) 
3
2
; e) 1; f) 1; g) 1; h) 
8
; i) 
3
2
; j) 2; k) 13; l) 35; m) 
7
; n) 5 
 
2.3 Limites Laterais 
 Quando considera 
 
x a
lim f x

, está-se interessado em valores de x no intervalo aberto contendo 
a, mas não o próprio a, isto é, em valores de x próximos a a, maiores ou menores do que a. Mas, 
suponha que tem uma função f como por exemplo, 
 f x x 3 
. Como 
 f x
 não existe para 
x 3
, 
f não está definida em nenhum intervalo aberto contendo 3. Logo 
x 3
lim x 3


 não tem significado. 
Entretanto, se x estiver restrito a valores maiores do que 3, o valor de 
x 3
 poderá torna-se zero 
quanto deseja-se, tomando-se x suficientemente próximo de 3, mas maior do que 3. Em tal caso, 
deixa-se aproximar de 3 pela direita e considera-se o limite lateral direito. 
 Daí, segue que, 
x 3
lim x 3 0

 
. 
 Se, entretanto, a variável independente x estiver restrita a valores menores do que um 
número a, diz-se que x tende a a pela esquerda; neste caso o limite é chamado de limite lateral 
esquerdo. Por exemplo, seja a 
 f x 3 x 
. Logo faz sentido calcular o 
x 3
lim 3 x


. Portanto, 
x 3
lim 3 x 0

 
. 
 
 
2.4 Limites de funções algébricas 
 Vimos que para calcular este limite 
 
x 1
lim 2x 1


 bastou substituir o valor de x por 1. A 
expressão 
x 1
lim

 “desaparece” porque x assume valores tão próximos a 1 (tanto pela direita como pela 
esquerda) que podemos considerar “ser o próprio” 1. Assim, 
 
x 1
lim 2x 1 2.1 1 3

   
. 
 Este processo é válido para funções especiais chamadas de funções contínuas. Entretanto, a 
técnica utilizada não é aplicável a algumas funções algébricas, aquelas que são descontínuas em um 
determinado x. 
Considere a 
 
2x x 2
f x
x 1
 


, note que o domínio desta função é 
 D x IR | x 1  
. Para 
todo 
x 1
 é permitido simplificar o fator comum 
x 1
 no numerador e denominador, pois 
 
  x 1 x 2
f x
x 1
 


 e 
 
 x 1
f x


 x 2
x 1


, logo 
 f x x 2 
. Graficamente as funções 
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18 
 
2x x 2
f x
x 1
 


 e 
 f x x 2 
 são idênticas, diferem somente em 
x 1
, especificamente, o ponto 
(1, 3) está no gráfico de 
 f x x 2 
, mas não está no gráfico de 
 
2x x 2
f x
x 1
 


. 
 Abaixo são consideradas três funções com gráficos idênticos, que diferem em 
x 1
. Embora 
as funções assumam valores diferentes para 
x 1
, em 
 f x
, 
 f 1 3
; em 
 g x
, 
 g 1  
; em 
 h x
, 
 h 1 2
, observa-se que 
     
x 1 x 1 x 1
lim f x lim g x lim h x 3
  
  
. Nem sempre o valor que a função f 
assume para um determinado 
x a
 é o mesmo para 
 
x a
lim f x

. 
Valor da função Gráfico Limite quando 
x 1
 
 f x x 2 
 
 
 
x 1
limf x 3


 
 
2x x 2
g x
x 1
 


 
 
 
x 1
limg x 3


 
 
2x x 2
, se x 1
h x x 1
2, se x 1
  

 
 
 
 
 
x 1
limh x 3


 
Manipulações algébricas podem e devem ser usadas para determinar certos limites. 
Exemplo: 
i) 
 
2
2
2x 5x 2
f x
5x 7x 6
 

 
, encontre o 
 
x 2
lim f x

 
Solução: 
Observe que o número 2 não pertence ao domínio da função. Se substituir o 2 na função tem-se, 
 
   
   
2
2
2 2 5 2 2 0
f 2
05 2 7 2 6
 
 
 
 que é uma indeterminação. Note que se fatorar o numerador e o 
denominador, obtém-se 
 
  
  
x 2 2x 1
f x
x 2 5x 3
 

 
. Não pode cancelar o fator 
x 2
 neste momento, pois 
não existe divisão por zero. 
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19 
Todavia se tomar o limite de 
 f x
 quando 
x 2
, tal simplificação é permitida. Assim, 
 
  
  
 2
2x 2 x 2 x 2 x 2
x 2x 2 2x 12x 5x 2
lim f x lim lim lim
x 2 5x 35x 7x 6   
  
  
  
 
 
2x 1
x 2

  
 
 
 
 x 2
2x 1 2 2 1 3
lim
5x 3 5 2 3 135x 3 
 
  
 
. 
 
ii) 
 
x 9
f x
x 3



, encontre o 
 
x 9
lim f x

 
Solução: 
Note que o número 9 não está no domínio de f. Para achar o limite, racionalize o denominador: 
 
  
 x 9 x 9 x 9 x 9
x 9 x 3x 9 x 9 x 3
lim f x lim lim . lim
x 9x 3 x 3 x 3   
    
        
. 
Como está calculando o limite 
 
x 9
lim f x

, sabendo que 
x 9
 é diferente de 
x 9
, pode-se simplificar 
  
 
 
x 9 x 9
x 9 x 3 x 9
lim lim
x 9 
  


 
 
x 3
x 9


   
x 9
lim x 3 9 3 6

    
. 
 
Exercícios 
 
Calcule os limites indicados das funções: 
a)
2x 2
x 2
lim
x 4


 b)
2
x 1
2x x 1
lim
x 1
 

 c) 2
x 0
x x 1 1
lim
x
  
 
d) 
2
x 2
x 6x 2x
lim
x 2
 

 e) 
2x 7
2 x 3
lim
x 49
 

 f) 
x 0
x 4 3x 4
lim
x 1 1
  
 
 
g) 
x 4
x 4
lim
x 29 5

 
 h) 
x 0
1 x 1 x
lim
x
  
 i) 
x 4
3 5 x
lim
1 5 x
 
 
 
j) 
2 2
x a
x a
lim
x a


 k) 
3
3 2x 2
x 8x 8
lim
3x 15x 6x 4
 
  l) 
3 2
2x 2
x x 5x 2
lim
3x 5x 2
  
 
 
 
Respostas: 
a) 
1
4
; b) 3; c) 
1
2
; d) 
2
3
2

; e) 
1
56

; f) 
1
; g) 10; h) 1; i) 
1
3

; j) 
4a a
; k) 0; l) 
11
7

 
 
 
2.5 Inexistência do Limite 
 Considere a função 
 
| x |
f x
x

, cujo 
   D f x IR/ x 0  
 e cujo gráfico é: 
 
 Observe que os valores de 
 f x
, quando x tende a zero, não tendem a um mesmo número L: 
se 
x 0
, tem-se que 
 f x 1
 (ou seja, 
 
x 0
lim f x 1


); 
se 
x 0
, tem-se que 
 f x 1
 (ou seja, 
 
x 0
lim f x 1

 
). 
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20 
 Como os limites laterais são diferentes, diz-se, então que não existe 
 
x 0
lim f x

. Note que os 
limites laterais existem. 
 
 Para a existência do limite em 
x a
 relação entre limites laterais e limites tem que ser 
válida: 
 
x a
limf x L

 
 se e somente se 
   
x a x a
lim f x lim f x L
  
 
 
 
 
 Outro exemplo: 
Considere o gráfico abaixo: 
 
Os limites laterais são: 
 
   
x 1 x 1
lim f x lim 3 x 2
  
  
 
 
   2
x 1 x 1
lim f x lim x 1 2
  
  
 
Como os limites laterais esquerdo e direito são 
iguais, decorre que 
 
x 1
limf x 2


. 
Note que o valor da função 
 f 1 4
 é irrelevante 
para a determinação do limite. 
 
Exercícios 
 
1) Esboce o gráfico e ache o limite indicado: 
i) 
 
2, se x 1
f x 1, se x 1
3, se 1 x


  
 
 
     
x 1x 1 x 1
a) lim f x ; b) lim f x ; c) limf x
   
 
 
ii) 
 
2, se x 0
f x
2, se 0 x
 
 

 
           
x 0x 0 x 0
a lim f x ; b lim f x ; c limf x
   
 
iii) 
 
2
2
x 4, se x 2
f x 4, se x 2
4 - x , se 2 x
  

 


 
           
x 2x 2 x 2
a lim f x ; b lim f x ; c limf x
   
 
iv) 
 
2
2x 3, se x 1
f x 4, se x 1
x 2, se 1 x
  

 

 
 
           
x 1x x 1
a limf x ; b lim f x ; c limf x
  
 
 
2) Dada 
 
3x 2 se x 4
f x
5x k se 4 x
 
 
 
. Ache o valor de k para o qual 
 
x 4
lim f x

 existe. 
3) Dada 
 
2x se x 2
f x ax b se 2 x 2
2x 6 se 2 x
  

    
  
. Ache os valores de a e b, tais que 
 
x 2
lim f x

 e 
 
x 2
lim f x

ambos 
existam. 
 
4) As taxas para despachar cargas por navio são freqüentemente baseadas em fórmulas que 
oferecem um preço menor que por quilo quando o tamanho da carga é maior. Suponha que x quilos 
seja o peso de uma carga, C(x) seja o seu custo total e 
 
0,80x se 0 x 50
C x 0,70x se 50 x 200
0,65x se 200 x
 

  
 
 
a) Faça um esboço do gráfico de C. 
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21 
Ache cada um dos seguintes limites: b) 
 
x 50
lim C x

; c) 
 
x 50
lim C x

; d) 
 
x 200
lim C x

; e) 
 
x 200
lim C x

 
 
5) Use o gráfico para determinar cada limite, quando 
existe: 
a) 
 
x 2
lim f x


 
b) 
 
x 2
lim f x


 
c) 
 
x 2
lim f x


 
d) 
 
x
lim f x


 
e) 
 
x 0
lim f x


 
f) 
 
x 0
lim f x


 
6) Faça o gráfico da função 
 
4, se x 0
f x
x 2, se x 0

 
 
 e encontre o limite indicado: 
a) 
 
x 0
lim f x


 b) 
 
x 0
lim f x


 c) 
 
x 0
lim f x


 
7) Considere o gráfico de 
 
2
3 x, se x 1
f x 3, se x 1
x 1, se x 1
 

 

 
. Assinale V (verdadeira) ou F (falsa). Justifique a 
sentença quando ela for falsa. 
a) ( ) 
   
x 1 x 1
lim f x lim 3 x 2
  
  
 _________________________ 
b) ( ) 
   2
x 1 x 1
lim f x lim x 1 2
  
  
 ________________________ 
c) ( ) 
 
x 1
limf x 2


 ___________________________________ 
d) ( ) 
 f 3 1
 ______________________________________ 
e) ( ) 
 f 1 3
 ______________________________________ 
f) ( ) 
   
x x
lim f x lim f x
 
  
 __________________________ 
g) ( ) A função é descontínua em 
x 1
 __________________ 
Respostas: 
1) i) a) -3 b) 2 c) 

; ii) a) 2 b) -2 c) 

; iii) a) 0 b) 0 c) 0; iv) a) 3 b) 5 c) 

 
2) 
k 6 
 
3) 
3
a ; b 1
2
  
 
4) b) 40; c) 35; d) 140; e) 130 
 
 
2.6 Definição de Continuidade 
 Diz-se que 
 f x
 é contínua em 
x a
 quando 
   
x a
limf x f a


. 
 A função 
 f x
 é chamada de função contínua quando é contínua em todos os pontos nos 
quais está definida. Em resumo, terá que satisfazer as três condições a seguir: 
i) 
 f a
, isto é, 
 f x
 é definida para 
x a
 
ii) 
 
x a
lim f x


 
iii) 
   
x a
f a limf x


. 
 
 
 
 
 
 
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22 
Exemplos: 
a) Descontinuidade no ponto 
x 2
 
 
 
b) Continuidade no ponto 
x 3
 
 
 
c) Descontinuidade no ponto 
x 1
 
 
d) Descontínua no intervalo de 1 a 4 
1, 4   
 
 
 
 
Exemplo: 
 Verificar se as funções a seguir são contínuas nos pontos indicados: 
a) 
  2f x 2x x, no ponto x 2  
 
Solução: 
Para determinar se a função é contínua no ponto indicado é necessário que as três condições sejam 
satisfeitas: 
i) 
 f a
, isto é, 
 f x
 é definida para 
x a
 
ii) 
 
x a
lim f x


 
iii) 
   
x a
f a limf x


. 
Verificaremos cada uma delas no ponto 
x 2
. 
- Condição (i): 
   2f 2 2 2 2 10  
. Logo, 
 f 2
, isto é, 
 f x
 é definida para 
x 2
. 
- Condição (ii): 
 2
x 2
lim 2x x 10

 
. Portanto, 
 
x 2
lim f x


 e é igual a 10. 
- Condição (iii): 
   2
x 2
f 2 lim 2x x

 
, então a função é contínua no ponto 
x 2
, pois as três condições 
foram satisfeitas. 
 
b) 
 
2x 2x 1
f x , x 1
x 1
 
 

 
Solução: 
Para determinar se a função é contínua no ponto indicado é necessário que as três condições sejam 
satisfeitas: 
i) 
 f a
, isto é, 
 f x
 é definida para 
x a
 
ii) 
 
x a
lim f x


 
iii) 
   
x a
f a limf x


. 
Verificaremos cada uma delas no ponto 
x 1
. 
- Condição (i): 
   
21 2.1 1
f 1 f 1
1 1
 
  

. A função não é definida em 
x 1
. Não satisfazendo a 
condição (i) ou qualquer outra já pode-se concluir que a função é descontínua no ponto dado. 
 
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23 
c) 
 
2x x 2
, se x 1
h x x 1
2, se x 1
  

 
 
, 
x 1
 
Solução: 
Para determinar se a função é contínua no ponto indicado é necessário que as três condições sejam 
satisfeitas: 
i) 
 f a
, isto é, 
 f x
 é definida para 
x a
 
ii) 

x a
lim f x


 
iii) 
   
x a
f a limf x


. 
Verificaremos cada uma delas no ponto 
x 1
. 
- Condição (i): 
 f 1 2
. Logo, 
 f 1
, isto é, 
 f x
 é definida para 
x 1
. 
- Condição (ii):     2
x 1 x 1 x 1
x 1x 1 x 2x x 2
lim lim lim
x 1 x 1  
  
 
 
 x 2
x 1


 
x 1
lim x 2 1 2 3

    
. Portanto, 
 
x 1
limf x


 e é igual a 3. 
- Condição (iii): 
 
2
x 1
x x 2
f 1 lim
x 1
 


, pois 
 f 1 2
 e 
2
x 1
x x 2
lim 3
x 1
 


, então a função é descontínua 
no ponto 
x 1
, pois uma das três condições não foi satisfeita. 
 
Exercícios 
 
1) Faça a análise matemática das funções abaixo, se são contínuas ou descontínuas nos pontos 
dados: 
i) 
 
2x 4
f x para x 2 e x 3
x 2

  

 ii) 
 
1 x
f x para x 1e x 1
1 x

   

 
iii) 
 
2
5x
f x para x 2; x 3 e x 3
x 9
    

 iv) 
 
2x 2x 1
f x , para x 2 e x 1
x 1
 
  

 
2) Verifique quais das funções cujos gráficos estão representados são contínuas em 
x 1
. Justifique. 
 
 
 
 
2.7 Limites que Envolvem Infinito 
 Observe os valores da função 
 
1
f x
x

, quando x tende a zero. 
 
 
x 0
 0,5 0,1 0,01 0,001 0,0001 
 
 f x
 2 10 100 1.000 10.000 
 
 
x 0
 -0,5 -0,1 -0,01 -0,001 -0,0001 
 
 f x
 2 10 100 1.000 10.000 
Quanto mais próximo de zero é o valor de x, maior é o valor de 
 f x
. 
 Quando acontece uma situação dessas, diz-se que 
 f x
 cresce ilimitadamente quando x tende 
a zero. 
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24 
 Generalizando, quando x tende a um número a e os valores de 
 f x
 ficam maiores que 
qualquer número positivo considerado, diz-se então que 
 f x
 cresce ilimitadamente ou que existe o 
limite infinito: 
 
x a
limf x

 
. 
 Semelhantemente, se quando x tende a a os valores de 
 f x
 ficam menores que qualquer 
número negativo considerado, diz-se então que 
 f x
 decresce ilimitadamente ou que existe o limite 
infinito: 
 
x a
limf x

 
. Por exemplo, ao considerar 
 
1
f x
x
 
, tem-se: 
 
x 0 x 0
1
lim f x lim
x 
   
. 
Observe o gráfico: 
 
 Note que para a função 
 
1
f x
x

, quando x tende a zero pela direita 
 f x
 cresce 
ilimitadamente, e quando x tende a zero pela esquerda 
 f x
 decresce ilimitadamente: 
 
 
x 0
1
lim
x
 
 
 
x 0
1
lim
x
 
 
 
Neste caso, diz-se que 

x 0
1
lim
x
. 
 
 
Exercícios 
 
1) Encontre os limites: 
a) 
2x 0
1
lim
x 
 b) 
 
3
x 2
3
lim
x 2
 
 c) 
x 0
2
lim
x
 d) 
2x 0
3
lim
x
 e) 
3x 0
1
lim
x
 
 
 
 
2.8 Limites no Infinito 
 Há funções que, quando 
x 
 ou 
x 
, crescem ou decrescem ilimitadamente. Em 
resumo, podemos ter: 
 
x
lim f x

 
; 
 
x
lim f x

 
; 
 
x
lim f x

 
; 
 
x
lim f x

 
. 
Exemplos: 
 
 
 
  2f x x
 cresce ilimitadamente quando 
x 
 e também quando 
x 
. 
 
  3f x x
 cresce ilimitadamente quando 
x 
 e decresce quando 
x 
. 
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25 
2
x
lim x

 
 e 
2
x
lim x

 
. 
3
x
lim x

 
 e 
3
x
lim x

 
. 
 
 
 
  2f x 4 x 
 
 2
x
lim 4 x

  
 e 
 2
x
lim 4 x

  
. 
 
 
 
x
f x 1
2
 
 
x
x
lim 1
2
 
   
 
 e 
x
x
lim 1
2
 
   
 
. 
 Há funções que, quando 
x 
 ou 
x 
, apresentam tendência para um número real 
determinado. É o caso, por exemplo, da função 
 
1
f x 1
x
 
. Nesta função observa-se que quanto 
maior for o valor de x, 
1
x
 tende a zero e, então, 
 f x
 tende a 1. Portanto, 
x
1
lim 1 1
x
 
  
 
. 
 
 Note também que 
x
1
lim 1 1
x
 
  
 
. 
 Deve-se ter conhecimento que há funções 
que, quando 
x 
 ou 
x 
, não 
apresentam tendência para nenhum número 
especificamente. É o caso, por exemplo, das 
periódicas 
 f x senx
, 
 f x cosx
e 
 f x tgx
 
 
Exercícios 
 
Calcule os limites: 
i) 
 3 2
x
lim 2x 5x 2x 1

  
 
ii) 
 2
x
lim 2x 5x 1

 
 
iii) 
 
x
lim 4x 1

 
 
iv) 
x
8x 1
lim
4x 5


 
v) 
2x
3x 2
lim
x 5x 6

 
 
vi) 
2
x
2x 7
lim
6x 1
 

 
vii) 
2
x
2x 7
lim
6x 1
 

 
viii) 
3 2
x
lim 2x x x 1

  
 
ix) 
2
2x
x 3x
lim
x 1


 
x) 2
n
6n 1
lim
2n 3
 
 
 
 
xi) 
 
n
lim n 1 n

 
 
Respostas: i) 

; ii) 

; iii) 

; iv) 2; v) 0; vi) 

; vii) 

; viii) 

; ix) 1; x) 9; xi) 0 
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26 
3. Derivadas 
 
3.1 Retas 
Coeficiente angular m Forma Ponto-Coeficiente 
angular 
Forma Coeficiente angular-
Intercepto 
2 1
2 1
y y
m
x x



  1 1y y m x x  
 
y mx b 
 
 
 
Retas especiais: 
Vertical: m não definido 
Horizontal: 
m 0
 
Paralelas: 
1 2
m m
 Perpendiculares: 
1 2
m m 1 
 
 
 
 
 
3.2 Introdução à Derivada 
 O conceito de derivada é fundamental no cálculo diferencial e integral. Além de inúmeras 
aplicações práticas, tais como: determinação de máximos e mínimos e pontos de inflexão de uma 
função. As derivadas também tornam o estudo da física simples e lógico. 
 
 
3.3 Acréscimos 
 Definição: Seja x uma variável independente qualquer e 
1 2
x e x
 dois valores particulares 
desta variável. Chama-se acréscimo de 
1
x
, a diferença 
2 1
x x
 que representaremos por 
x
. 
 
 
 
3.4 Acréscimo de uma função 
 Seja 
 y f x
 uma função qualquer. 
 Dando a x um acréscimo arbitrário 
x
, 
obteremos, para y, um acréscimo que 
representaremos por 
y
. 
 Algebricamente obtemos: 
   
   
1 y f x
2 y y f x x

    
 
Subtraindo (2) de (1) vem 
   y f x x f x    
 
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27 
 Nota-se que 
y
 é o acréscimo da função e 
x
 é o acréscimo da variável. 
 Exemplo: Calcular o acréscimo sofrido por cada uma das funções seguintes: 
a) 
 f x ax b 
 
Solução: 
   
   
y f x x f x
y a x x b ax b
y ax a x b ax b
y a x
    
      
      
  
 
b) 
 f x 3x 2 
 
Solução: 
   
   
y f x x f x
y 3 x x 2 3x 2
y 3x 3 x 2 3x 2
y 3 x
    
      
      
  
 
Note que o acréscimo sofrido pela função é proporcional ao acréscimo da variável. 
 
c) 
  2f x x
 
Solução:   
 
 
 
2 2
22 2
y f x x f x
y x x x
y x 2x x x x
y x 2x x
    
    
      
    
 
 
 
3.5 Razão Incremental 
 É a razão entre o acréscimo sofrido pela função, 
y
, e pelo acréscimo dado à variável, 
x
. 
y
x


: razão incremental. Como: 
   
 
f x x f xy
1
x x
  

 
 
 A relação (1) que é a razão incremental representa um valor numérico que nos indica a 
velocidade de variação de uma função num ponto. 
 Exemplo: Calcular a razão incremental das seguintes funções: 
i) 
y x, x IR  
 
Solução: 
     f x x f x x x xy x
1
x x x x
      
   
   
 
Interpretação: a velocidade da função é a mesma da variável em qualquer ponto. 
 
ii) 
2y x , para x 3 e x 1   
 
Solução: 
           
2 2 22 2 2f x x f x x x x x 2x x x x 2x x x x 2x xy
2x x
x x x x x x
                
       
     
 
Assim 
para x 3 e x 1  
, temos: 
 
y
2 3 1 7
x

  

 
Interpretação: a velocidade de variação da função no ponto 
x 3
 é 7 vezes à da variável para um 
acréscimo de 
x
, ou seja, para 
x 1 
. 
 
 
 
 
 
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28 
3.6 Derivada ou função derivada (definição) 
 Chama-se derivada ou função derivada da função 
 y f x
 em relação a x o limite da razão 
incremental quando 
x 0 
. 
 Em símbolos: 
   
x 0 x 0
f x x f xdy y
lim lim
dx x x   
  
 
 
 
 Podemos encontrar na literatura: 
 
 
 x x
df xdy
, y , f x , , d y, D f x
dx dx
 
, entre outras. 
 Exemplo: Achar a função derivada das seguintes funções: 
i) 
2y x
 
Solução: 
       
 
2 22 2 2
x 0 x 0 x 0 x 0
f x x f x x x x x 2x x x xdy
lim lim lim lim 2x x 2x
dx x x x       
          
      
  
. 
Logo, 
   2f x x f x 2x  
 
 
ii) 
  2f x x 5x 6  
 
Solução: 
       
2 22 2 2
x 0 x 0
x x 5 x x 6 x 5x 6 x 2x x x 5x 5 x 6 x 5x 6dy
lim lim
dx x x   
                   
 
 
 
  
 
2
x 0 x 0
2x x x 5 x
lim lim 2x x 5 2x 5
x   
    
      

. Logo, 
   2f x x 5x 6 f x 2x 5     
 
 
Exercícios 
 
Determinar a derivada das funções usando a definição. 
a) 
  2f x 3x
. Resposta 
dy
6x
dx

 
b) 
  2f x x 2x 
. Resposta 
dy
2x 2
dx
 
 
c) 
  2f x x x 
. Resposta 
dy
2x 1
dx
 
 
d) 
  2f x x 5x 6  
. Resposta 
dy
2x 5
dx
 
 
e) 
 
2 x
f x
3 x



. Resposta 
 
2
dy 5
dx 3 x


 
f) 
 f x 2
. Resposta 
dy
0
dx

 
g) 
 f x x 1 
. Resposta 
dy
1
dx

 
h) 
 f x 2x 2 
. Resposta 
dy
2
dx

 
i) 
 f x 2x 2  
. Resposta 
dy
2
dx
 
 
 
 
3.7 Derivada de uma função num ponto (definição) 
 Definição: Seja 
 f x
 uma função contínua no ponto 
o
x x
. Chama-se derivada da função no 
ponto 
o
x x
 o valor numérico (finito) da função derivada para 
o
x x
. 
Notações: 
   o o
x xo
dy
f x , y x ,
dx

 
 
 Exemplo: Calcular a derivada de 
  2f x x
 no ponto 
x 2
 
Solução: 
 Para calcular a derivada de uma função 
 f x
 no ponto 
o
x x
 faz: 
 
   o
o
x xo
o
f x f x
f x lim
x x

 

 
 
 
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29 
 Exemplo: Sendo 
2y x 5x 6  
, calcular 
 y 2
. 
Solução: 
 
  
 
2
x 2 x 2 x 2
x 2 x 3x 5x 6
y 2 lim lim lim x 3 1
x 2 x 2  
  
      
 
 
 
Observação: 1) Se o limite da razão incremental existir penas para 
 ox x x 0  
, pela direita ou 
pela esquerda, diremos que a derivada é lateral. 2) Se 
   f x f x  
 diremos que a função 
 f x
 é 
derivável no ponto 
o
x x
. 
Notação: 
   
 o o
x xo
o
f x f x
lim f x
x x




 (à esquerda) e 
   
 o o
x xo
o
f x f x
lim f x
x x




 (à direita) 
 Exemplo: Calcular a derivada de 
 f x x
 no ponto 
o
x 0
. 
Solução: 
 
   o
o
x 0 x 0 x 0
f x f x x 0 x
f x lim lim lim
x 0 x 0 x  
 
   
 
. Como chegamos em um limite sem resolução, 
temos que, neste caso, estudar as derivadas laterais. Assim, 
x 0
x
lim 1
x

 e 
x 0
x
lim 1
x
 
. Logo, 
 f x x
 não é derivável no ponto 
o
x 0
. 
 
Exercícios 
 
Achar a derivada da função no ponto indicado: 
i) 
2y x , para x 2 
. Resposta 
 y 2 4 
 
ii) 
  2f x x 5x 6, para x 2   
. Resposta 
 f 2 1  
 
iii) 
  2f x 3x
, para 
x 1 
. Resposta 
dy
6
dx
 
 
iv) 
  2f x x 2x 
, 
x 0
. Resposta 
dy
2
dx
 
 
v) 
  2f x x x,no ponto x 3  
. Resposta 
 f 3 7 
 
vi) 
  2f x x 5x 6, no ponto x 1   
. Resposta 
 f 1 3  
 
vii) 
 
2 x
f x , no ponto x 1
3 x

 

. Resposta 
 
5
f 1
4
 
 
 
 
3.8 Interpretação geométrica da Derivada 
 Seja 
 f x
 uma função cujo gráfico 
representaremos ao lado: 
 Considere o ponto 
 P x,y
 fixo. Dando a x 
um acréscimo 
x
 obtemos para y um acréscimo 
y
 e conseqüentemente um o ponto Q qualquer 
na curva. Traçando uma secante s em 
______
PQ
formará então um triângulo retângulo nos 
pontos PQR de onde tiramos: ______
______
QR y
tg
xPR

  

. 
Veja em detalhes no triângulo abaixo: 
 
Cálculo I 
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30 
 Imaginemos que: 
 
x 0 
, logo 
Q P
. Deste modo a secante s no ponto 
PQ 
à tangente geométrica no 
ponto P. Nota-se que 

. E também 
s t
. 
 Em símbolos representaremos assim: 
 
x 0
y
lim limtg tg
x  

   

 
 Donde: 
x xo
dy
tg
dx

 
. 
 Conclusão: a derivada de uma função 
 f x
 num 
ponto 
o
x x
 representa a tangente trigonométrica do 
ângulo que a tangente geométrica à curva no ponto P 
forma com o eixo positivo Ox. Observe o desenho a seguir: 
 
 Cada ponto da curva gera uma reta tangente. Recordamos: 
y ax b 
 é a equação geral da 
reta. A vogal a na equação representa o coeficiente angular, ou seja, 
tg
. O ângulo formado pela 
reta tangente e o eixo x é 

. 
 
 
3.9 Fórmulas para o Cálculo das Derivadas 
 Veremos agora as propriedades das derivadas, que podem ser comprovadas usando a 
definição de derivada. 
Função Representação Derivada 
Potência (expoente real) 
 * *IR e x IR 
 
y x
 
1y x  
 
Constante 
y c
 
y 0 
 
Afim 
y ax b 
 
y a 
 
Soma algébrica 
   y u x v x 
 
   y u x v x   
 
Produto 
   y u x .v x
 
       y u x v x v x u x   
 
Quociente 
 
 
u x
y
v x

        
 
2
u x v x v x u x
y
v x
 
 
  
 
Exponencial 
 a 0 e a 1 
 
uy auy u a lna 
 
Logarítmica 
 a 0, a 1e x 0  
 
a
y log u
 
a
u
y log e
u

 
 
Seno 
y senx
 
y cosx 
 
Co-seno 
y cosx
 
y senx  
 
Tangente 
y tgx
 
2y sec x 
 
Cotangente 
y cotgx
 
2y cossec x  
 
Secante 
y sec x
 
y sec x.tgx 
 
Co-secante 
y cossec x
 
y cossec x.cotgx  
 
Composta 
  y f g x
     
   
y f g x .g x ou
dy dy du
f u g x
dx du dx
  
  
 
 
Exemplos: Achar a derivada das funções 
i) 
   f x 2 f x 0  
 
ii) 
   2f x sen a f x 0  
 
iii) 
     f x ln a b f x 0   
 
Cálculo I 
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31 
iv) 
   f x 2x 3 f x 2   
 
v) 
   f x 5x 2 f x 5     
 
vi) 
   6 5f x 5x f x 30x  
 
vii) 
   f x x f x 1  
 
viii) 
   
2 2 1
1
3 3 3
2 2
f x x f x x x
3 3
 
   
 
ix) 
   2f x 2 senx x f x cosx 2x     
 
x) 
   2 2f x x .senx f x 2x.senx x cosx   
 
xi) 
   
 
   
22 2
2 2
2x x 1 1.xx x 2x
f x f x
x 1 x 1 x 1
  
   
  
 
xii) 
   x xf x 2 f x 2 ln2  
 
xiii) 
   x x xf x e f x e lne e   
 
xiv) 
   
1 1
f x lnx f x lne
x x
   
 
xv) 
   2 2
1
f x log x f x log e
x
  
 
xvi)
  2f x senx
. Primeiro façamos: 
2 2 2dy dux u y senu y . cosu.2x cosx .2x 2x.cosx
du dx
       
 
xvii) 
  3f x sen x
. Primeiro façamos: 
3 2 2dy dusenx u y u y . 3u cosx 3sen xcosx
du dx
      
 
 
Exercícios 
 
1) Achar a derivada da função no ponto indicado (calcule a derivada e depois substitua o valor de x 
na derivada): 
i) 
para xy senx
4



. Resposta 
2
y
4 2
 
  
 
 
ii) 
2y x , para x 2 
. Resposta 
 y 2 4 
 
iii) 
 f x cosx, para x
3

 
. Resposta 
3
f
3 2
 
   
 
 
iv) 
  2f x x 5x 6, para x 2   
. Resposta 
 f 2 1  
 
2) Calcule a derivada das seguintes funções: 
i) 
 
senx
f x
cosx

. Resposta 
  2f x sec x 
 
ii) 
 
x 2
f x
x


 Resposta 
 
2
2
f x
x

 
 
iii) 
  2f x 3x .cosx
 Resposta 
  2f x 6x.cosx 3x .senx  
 
iv) 
  3 2f x 7x 2x x 1   
. Resposta 
  2f x 21x 4x 1   
 
v) 
  4 3 2
1 2 1 1
f x x x x
2 3 2 4
    
. Resposta 
  3 2f x 2x 2x x    
 
vi) 
 f x 2x 3cosx 
. Resposta 
 f x 2 3senx  
 
vii) 
  2f t t t 
. Resposta 
 
1
f t 2t
2 t
  
 
viii) 
  3f s s s 
. Resposta 
 
23
1 1
f s
2 s3 s
  
 
ix) 
 f x sen3x
 Resposta 
 f x 3cos3x 
 
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32 
x) 
 f x cos6x
. Resposta 
 f x 6sen6x  
 
xi) 
   f x ln senx
. Resposta 
 
cosx
f x
senx
 
 
xii) 
   2f x log x 3x 
. Resposta 
 
2
2x 3
f x loge
x 3x

 

 
xiii) 
   22f x log 4x 8x 1  
. Resposta 
 
 
22
8 x
f x log e
4x 8x 1

 
 
 
xiv) 
   22f x log x 2x 1  
 no ponto 
x 2
.Resposta 
  2
6
f 2 log e
7
 
 
xv) 
   2f x ln x 6x 8  
 nos pontos 
x 1e x 1  
. Respostas 
   
4 8
f 1 e f 1
3 15
     
 
3) Calcule as derivadas das funções: 
a) 
  5f x x
 b) 
  23f x x
 c) 
 
3
1
f x
x

 d) 
  5 / 2f x x
 e) 
  3f x x
 f) 
  3 2f t 4t 5t 2t  
 
g) 
  3 2f s s 2s s 1   
 h) 
  2f t t t 
 i) 
  3f s s s 
 j) 
  4 3 2
1 2 1 1
f x x x x
2 3 2 4
    
 
k) 
 f x 2x 3cosx 
 l) 
    3 2f x x 7 2x 3  
 m) 
   3 2f x x 2x 3x 
 n) 
   2 2f x x x 3x 2  
 
o) 
 f x 3x.senx
 p) 
 f x senx.cosx
 q) 
  2f x x cosx
 r) 
 
2
2
x
f x
x 1


 s) 
 
4x 5
f x
3x 2



 
t) 
 
2x 5
f x
4x


 u) 
 
2
x
f x
x 4


 v) 
 
22x 3x 4
f x
2x 1
 


 w) 
 
1 senx
f x
1 senx



 
Repostas: 
a) 
  4f x 5x 
 b) 
 
232 x
f x
3x
 
 c) 
 
4
3
f x
x

 
 d) 
 
5
f x x x
2
 
 e) 
 
4
3
f x
x

 
 
f) 
  2f t 12t 10t 2   
 g) 
  2f s 3s 4s 1   
 h) 
 
t
f t 2t
2t
  
 i) 
 
3 s s
f s
3s 2s
  
 
j) 
  3 2f x 2x 2x x    
 k) 
 f x 3senx 2  
 l) 
   3f x x 10x 9x 28   
 m) 
   3f x 2x 5x 6  
 
n) 
   2f x x 4x 9x 4   
 o) 
   f x 3 senx xcosx  
 p) 
  2 2f x cos x sen x  
 
q) 
   f x x 2cosx xsenx  
 r) 
 
 
2
2
2x
f x
x 1

 

 s) 
 
 
2
23
f x
3x 2
 

 t) 
 
2
5
f x
4x

 
 
u) 
 
 
 
2
2
2
x 4
f x
x 4
 
 

 v) 
 
 
2
2
4x 4x 5
f x
2x 1
 
 

 w) 
 
 
2
2cosx
f x
1 senx
 

 
4) Calcule a derivadas exponenciais e logarítmicas: 
a) 
  xf x 3
 b) 
 
x
1
f x
2
 
  
 
 c) 
  3x 1f x 3 
 d) 
  xf x 5.2
 e) 
 
2x 1f x 10 
 f) 
  xf x 10.e
 
g) 
 
1
f x lnx
2

 h) 
  2f x 3log x
 i) 
   
2
f x lnx
 j) 
   
2
f x logx
 k) 
  3f x 2log x
 
l) 
   2f x log 3x 5x 
 m) 
   f x ln cosx
 n) 
   f x ln tgx
 o) 
 
22x 3xf x e 
 
Respostas: 
a) 
  xf x 3 ln3 
 b) 
   
x
1
f x ln2
2
 
   
 
 c) 
  3x 2f x 3 ln3 
 d) 
  xf x 5.2 ln2 
 
e) 
 
2x 1f x 2x.10 ln10 
 f) 
  xf x 10.e 
 g) 
 
1
f x
2x
 
 h) 
  2
3
f x log e
x
 
 i) 
 
2lnx
f x
x
 
 
j) 
 
2logx.loge
f x
x
 
 k) 
  3
2
f x log e
x
 
 l) 
 
2
6x 5
f x loge
3x 5x

 

 m) 
 f x tgx  
 
n) 
 
1
f x
cosx.senx
 
 o) 
   
22x 3xf x 4x 3 e   
 
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33 
3.10 Derivadas Sucessivas 
 Sendo 
 f x
 uma função 
 f x
 - representa a derivada primeira da função 
 f x
 
 f x
 - representa a derivada segunda da função 
 f x
 
 f x
 - representa a derivada terceira da função 
 f x
 
   4f x
 - representa a derivada quarta da função 
 f x
 
... 
   nf x
 - representa a derivada enésima da função 
 f x
 
 Exemplos: 
i) Calcular a derivada segunda da função 
  4 3f x x 2x 
: 
 
 
   
3 2
2
f x 4x 6x
f x 12x 12x
f x 12x x 1
  
  
  
 
 
ii) Calcular a derivada terceira da função 
 f x senx
 no ponto 
x
3


. 
 
 
 
f x cosx
f x senx
f x cosx
1
f cos
3 3 2
 
  
  
   
       
   
 
 
Exercícios 
 
1) Dada a função 
  3 4f x 1 4x x  
 calcular 
   4f x
. Resposta 
   4f x 24 
 
2) Dada a função 
  3 4f x 1 4x x  
, resolver a equação 
 f x 0 
. Resposta 
x 1 
 
3) Calcule a derivada segunda de 
  4 3f x 4x 5x 2x 1, para x 0    
. Resposta 
 f x 0 
 
4) Se 
 f x senx cosx 
, determine 
 f x para x
6

 
. Resposta 
1 3
f
6 2
  
   
 
 
5) Determine a derivada segunda de 
  3 2f x 4x 5x 2x 1   
, para 
x 2
 e 
x 2 
. Resposta 
   f 2 38 e f 2 58    
 
6) Seja a função 
  3 2f x 4x 2x 5x 2   
 calcule 
     f 0 f 0 f 0   
. Resposta 
     f 0 f 0 f 0 23    
 
7) Achar todas as derivadas da função 
3 2y x 6x 3x 2   
. Resposta 
 4
y 0
 
8) Achar a derivada de ordem n da função 
1
y
x

. Resposta 
   
nn
n 1
n!
y 1
x 
 
 
 
 
3.11 Aplicações 
3.11.1 Reta Tangente 
 Achar a equação da tangente geométrica à curva 
2y x
 no ponto 
x 3
. 
Solução: 
     2f x x f x 2x f 3 2.3 6 tg a 6          
 
A reta tangente passa em: 
  2f 3 3 9 
. Portanto 
 P 3,9
. 
Temos: 
   1 1y y a x x y 9 6 x 3 y 6x 9 0          
. Logo, 
y 6x 9 0  
 é a equação da 
tangente no ponto 
x 3
. 
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34 
O gráfico para esta situação é: 
 
Exercícios 
 
1) Determine a equação da reta tangente à curva correspondente a cada equação: 
a) 
  3f x x 12x, no ponto x 4  
. Resposta 
y 36x 128 0  
 
b) 
  2f x 5x 1, no ponto x 2  
. Resposta 
y 20x 21 0  
 
c) 
  3f x x 12x, no ponto x 1  
. Resposta 
y 9x 2 0  
 
d) 
  2f x x 9x 20, no ponto x 2   
. Resposta 
y 5x 16 0  
 
e) 
  2f x x 6x 5, no ponto x 0   
. Resposta 
y 6x 5 0  
 
2) Equações das retas tangentes à curva 
3y x 6x 2  
 paralela à reta 
y 6x 2 
. Resposta: 
y 6x 14 
 e 
y 6x 18 
 
3) A tangente à curva 
3y x
, no ponto 
 P 1,1
 corta a curva em algum ponto? Qual é esse ponto? R.: 
 Q 2, 8 
 
4) Escrever a equação da tangente à curva 
  2f x x 5x 6  
 que satisfaça as condições: (a) passar 
pelo (vértice) e (b) ser paralela ao eixo-x. 
1
y
4
 
 
5) Escrever a tangente à curva anterior passando pelo ponto 
 t 4,2
. R.: 
x 3y 10 0  
 
6) Encontre uma equação da reta tangente à curva 
 
1
3y 6 2x 
 em cada ponto: 
a) 
 T 3,0
 R.: 

¨ b) 
 P 7, 2
 R.: 
x 6y 5 0  
 
 
3.11.2 Aplicação na Física 
 Seja 
 S f t
 a equação do espaço percorrido por um móvel qualquer. 
 
 No tempo 
o
t
 o móvel percorreu o espaço 
o
S
. Se aumentarmos o tempo de 
t
 o espaço 
aumentará de 
S
. 
Definições: 
i) A velocidade média 
 Vm
 entre os instantes 
o
t
 e t é a razão incremental 
S
t


, Isto é: 
       o o o o
o o
f t t f t f t f t S S s
Vm
t t t t t t
     
   
   
. 
 A velocidade instantânea 
 Vi
 que a velocidade no instante 
o
t
, será o limite da velocidade 
média quando 
o
t t
. Ou seja, 
t t t 0o
t to
S dS
Vi limVm lim
t dt  


  

. 
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35 
Logo, dada a equação horária 
 S f t
, a sua derivada 
t to
dS
dt

 indica em cada instante a velocidade 
do ponto do móvel. 
 
ii) A aceleração média 
 ma
 entre os instantes 
o
t
 e t é a razão incremental 
v
t


. Isto é: seja 
 
dS
v v t
dt
 
 e temos: 
       o o o o
m
o o
v t t v t v t v t v v v
a
t t t t t t
     
   
   
 
 A aceleração instantânea que a é aceleração no instante 
o
t
, será o limite da aceleração 
média quando 
o
t t
. Assim, 
i m
t t t 0o
t to
v dv
a lima lim
t dt  


  

. 
 Conclusão: a derivada 
t to
dv
dt

 da função 
 v v t
 indica em cada instante 
o
t
 a aceleração do 
ponto material. 
Observação: a derivada segunda da função 
 S f t
 nos dá a aceleração no instante 
o
t
: 
2
2
dv d dS d S
a
dt dt dt dt
 
   
 
. 
 
 Exemplo: um ponto material se desloca numa reta e sua equação horária é 
3 2S t t 
. 
Determinar nos instantes 
t 0 e t 2 
: a) a posição do móvel; b) a velocidade 
Vi
; c) a aceleração 
i
a
. 
Solução: 
a) para 
   3 2t 0 S 0 0 0 0 S 0 0m      
 
 para 
   3 2t 2 S 2 2 2 12 S 2 12m      
 
b) para 
 
22
t 0
dS
t 0 Vi 3t 2t 3 0 2.0 0 Vi 0m/ s
dt

         
 
 para 
 
22
t 2
dS
t 2 Vi 3t 2t 3 2 2.2 16 Vi 16m/ s
dt

         
 
c) para 
2
2
i i2
t 0
d S
t 0 a 6t 2 6.0 2 2 a 2m/ s
dt

         
 
 para 
2
2
i i2
t 2
d S
t 2 a 6t 2 6.2 2 14 a 14m/ s
dt

         
. 
 
Exercícios 
 
1) Lança-se uma bola verticalmente para cima com a velocidade de 32 dm/seg; sua altura após t 
segundos é dada por 
  2
1
s 32t 9,81 t
2
 
. Em que instante a bola atingirá a altura máxima? Qual será 
essa altura? R.: 
t 3,26 seg; s 0,522 m 
 
2) Um ponto material descreve uma trajetória retilínea obedecendo a função horária 
 2s 3 6t t SI  
. 
a) Determine as funções horárias da velocidade e da aceleração. 
 v t s 2t 6  
; 
  2a t s 2m/ s 
 
b) Calcule a velocidade do material no instante 10 s. 
 v 10 14m/ s
 
c) O espaço percorrido pós 10 s. 
s 43m
 
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36 
3) Um corpo se desloca sobre uma trajetória retilínea de acordo com a função horária 
 3
5
s t t SI
2
 
. 
a) Determinar as funções horárias da velocidade e da aceleração. 
  2
5
v t s t 1
2
  
; 
 a t s 15t 
 
b) Calcule a velocidade e a aceleração do ponto material no instante 6 s. 
  2a 6 90m/ s
 
c) Em que instante a velocidade do corpo é de 
66,5m/s
? 
t 3s
 
d) Qual a aceleração do corpo no instante 2 s? 
  2a 2 30m/ s
 
4) Qual é a aceleração de um móvel que descreve uma curva segunda a função 
2 3s 2t 4t 
 (s em 
metros e t em segundos) no instante 
t 1,5s
? 
  2a 1,5 40m/s
 
5) Um móvel tem a velocidade variável segundo a função 
2v 6 2t  
. Calcule sua aceleração no 
instante 5 s. 
  2a 5 20m/ s
 
 
3.11.3 Derivadas Implícitas 
 Uma função é implícita quando ela é definida pela equação: 
 f x,y 0
. Por exemplo 
2 3x xy y 0  
 é uma função implícita onde 
 y Q x
. Para derivar uma função implícita usamos 
dois processos: 
1º processo) Se as variáveis são de fácil separação, para a forma explícita que é 
 y Q x
 derivamos 
normalmente. 
Exemplo: a derivada de 
 3y 2x 0 f x,y 0   
 é encontrada explicitando a variável y. Assim, 
 3 2y 2x Q x y 6x   
. 
 
2º processo) Se as variáveis são de difícil separação derivamos a função na forma implícita e em 
seguida tiramos o valor de 
y