1. Espaços Vetoriais

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A´lgebra Linear II
Espac¸os Vetoriais e Exemplos
Exerc´ıcios
1. Defina Espac¸o Vetorial
2. Seja Rn = {(x1, . . . , xn);x1, . . . , xn ∈ R}. Considere a soma de dois elementos X = (x1, . . . , xn)
e Y = (y1, . . . , yn) de Rn definida por X + Y = (x1 + y1, . . . , xn + yn) e o produto por um
escalar α ∈ R definido por α.X = (αx1, . . . , αxn). Mostre que (Rn,+, .) e´ um espac¸o vetorial.
3. Mostre que o conjunto Mm×n(R) das matrizes reais m×n munido da adic¸a˜o e produto por um
escalar usuais, e´ um espac¸o vetorial.
4. Seja Pn o conjunto dos polinoˆmios com coeficientes reais de grau menor ou igual a n. Mostre
que Pn munido das operac¸o˜es usuais de soma de polinoˆmios e produto destes por um nu´mero
real e´ um espac¸o vetorial.
5. Sejam X um conjunto na˜o vazio qualquer e F(X;R) o conjunto das func¸o˜es reais definidas
em X. Se f, g ∈ F(X;R) e α ∈ R, defina a soma f + g e o produto α.f da maneira natural
(f + g)(x) = f(x) + g(x) e (α.f)(x) = αf(x). Mostre que (F(X;R),+, .) e´ um espac¸o vetorial.
6. Seja V um espac¸o vetorial. Prove que:
(a) Se w + u = w + v, enta˜o u = v;
(b) Existe um u´nico vetor nulo em V ;
(c) Para cada v ∈ V , existe um u´nico −v ∈ V tal que v + (−v) = (−v) + v = 0;
(d) Para todo v ∈ V , temos 0.v = 0, onde 0 ∈ R;
(e) Para todo α ∈ R, temos α.0 = 0, onde 0 ∈ V ;
(f) Se α 6= 0 e v 6= 0, enta˜o α.v 6= 0;
(g) (−1).v = −v.
7. Use as relac¸o˜es 2(u+v) = 2u+2v, 2w = w+w para provar que a comutatividade u+v = v+u
pode ser demonstrada a partir dos demais axiomas de espac¸o vetorial.