Matrizes Determinantes S.Lineares (Resumo)

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www.mathtec.net MMAATTRRIIZZEESS//DDEETTEERRMMIINNAANNTTEESS//SS..LLIINNEEAARREESS ((RREESSUUMMOO TTEEÓÓRRIICCOO)) 
 
Prof. Márcio Queiroz 1
A = At ↔ aij = aji 
A = -At ↔ aij = - aji 
pnseABBA mxqpxqmxn ==⋅ )(
MMAATTRRIIZZEESS 
 
I. Definição 
 
Denomina-se matriz mxn (m, n ∈ N**) a 
uma tabela formada por m.n elementos 
dispostos em m linhas e n colunas. 
 
A matriz abaixo é de ordem 3x2 
 C1 C2 
 ↓ ↓ 
 
233
2
1
23
62
01
×
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−
→
→
→
L
L
L
 
 
 
IIGGUUAALLDDAADDEE 
 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
=
=
=
⇒⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
dw
cz
by
ax
dc
ba
wz
yx
 
 
 
II. Matrizes especiais 
 
a) MMAATTRRIIZZ LLIINNHHAA:: é a matriz que possui uma 
única linha. 
 
Exemplo: A = ( ) 31301 x− 
 
b) MMAATTRRIIZZ CCOOLLUUNNAA:: é a matriz que possui 
uma única coluna. 
 
Exemplo: B = 
140
3
4
2
x
⎟⎟
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
 
 
c) MMAATTRRIIZZ NNUULLAA:: é a matriz em que todos os 
seus elementos são nulos. 
 
Exemplo: O = 
2300
00
00
x
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
 
 
d) MMAATTRRIIZZ QQUUAADDRRAADDAA: é toda matriz em que 
o número de linhas é igual ao número de 
colunas. 
 
Exemplo: M = 
33333231
232221
131211
xaaa
aaa
aaa
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
 
 D.Secundária D.Principal 
 
e) MMAATTRRIIZZ IIDDEENNTTIIDDAADDEE:: é uma matriz 
quadrada em que os elementos da 
diagonal principal são iguais a 1 e os 
demais elementos são nulos. 
 
Exemplo: I3 = 
33100
010
001
x
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
 
f) MMAATTRRIIZZ TTRRAANNSSPPOOSSTTAA:: a transposta de 
uma matriz M é a matriz Mt, que se obtém 
permutando ordenadamente as linhas 
pelas colunas. 
 
Exemplo: A = 
2342
30
31
x
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
; 
At = 
32433
201
x
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
 
 
NNOOTTEE QQUUEE:: (At)t = A 
 
 
g) MMAATTRRIIZZ SSIIMMÉÉTTRRIICCAA:: Uma matriz quadrada 
é dita simétrica se ela for igual à sua 
transposta. 
 
Exemplo: A = 
33042
431
215
x
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
 
 
At = 
33042
431
215
x
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
 
 
 
 
 
 
h) MMAATTRRIIZZ AANNTTII--SSIIMMÉÉTTRRIICCAA:: Uma matriz 
quadrada é dita anti-simétrica se ela for 
igual à oposta de sua transposta. 
 
Exemplo: A = 
33042
401
210
x
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−
 
 
At = 
33042
401
210
x
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−
 
 
-At = 
33042
401
210
x
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−
 
 
 
 
 
 
 
III. Operações 
 
a) AADDIIÇÇÃÃOO//SSUUBBTTRRAAÇÇÃÃOO:: para adicionar ou 
subtrair matrizes, de mesma ordem, deve-
se efetuar a referida operação com os 
elementos das posições correspondentes. 
 
Exemplo: 
Se A = 
2331
48
06
x
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−
− , B = 
2334
16
25
x
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−
−−
−
 e 
C =
132
0
1
x
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
, então: 
 
A + B = 
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−=
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−++−
−+−−+
+−+
03
52
21
)3(341
)1(4)6(8
20)5(6
 
 
A - B = 
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−
=
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−−−−
−−−−−
−−−
65
314
211
)3(341
)1(4)6(8
20)5(6
 
 
NNOOTTEE QQUUEE:: A operação A + C NNÃÃOO está 
definida. 
 
 
b) MMUULLTTIIPPLLIICCAAÇÇÃÃOO DDEE UUMM EESSCCAALLAARR PPOORR 
UUMMAA MMAATTRRIIZZ:: Para multiplicar um escalar 
por uma matriz deve-se multiplicar todos 
os elementos da matriz pelo escalar. 
 
Exemplo: 
Se A = ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
52
13
, então: 
2A = ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
⋅⋅
⋅⋅
5222
1232
 = ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
104
26
. 
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛=
7/57/2
7/17/3
7
A . 
 
NNOOTTEE QQUUEE:: Sendo A, B e X matrizes 
de mesma ordem, se X + A = B, então 
X = B - A. 
 
 
c) MMUULLTTIIPPLLIICCAAÇÇÃÃOO DDEE MMAATTRRIIZZEESS:: O produto 
entre duas matrizes, quando possível, é a 
matriz cujos elementos são obtidos 
fazendo o produto interno das linhas da 
1a matriz pelas colunas da 2a matriz. 
 
Exemplo: 
Sejam: A = 
2231
52
x
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
 e B =
32452
103
x
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
, 
Calculando o produto A.B, encontramos: 
 
=⋅ BA ⋅⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
31
52
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
452
103
 
 
=⋅ BA ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅
⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅
431153012331
451255022532
 
 
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛=⋅
13159
222516
BA . 
 
AATTEENNÇÇÃÃOO:: Só é possível multiplicar duas 
matrizes, se o número de colunas da 
1a matriz for igual ao número de linhas da 
2a matriz. 
 
 
 
 
 
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detA = detAt 
det BA ⋅ = BA detdet ⋅
DDEETTEERRMMIINNAANNTTEESS 
 
I. Definição 
 
O determinante de uma matriz quadrada 
M, representado por detM, é um único número 
que se associa à matriz M. 
 
 
II. Calculo do determinante 
 
aa)) DDEETTEERRMMIINNAANNTTEE DDEE UUMMAA MMAATTRRIIZZ DDEE 11AA OORRDDEEMM:: 
 
O determinante de uma matriz de 1a ordem 
é o elemento da matriz. 
 
Exemplo: A = (-2)1x1 → detA = -2. 
 
 
bb)) DDEETTEERRMMIINNAANNTTEE DDEE UUMMAA MMAATTRRIIZZ DDEE 22AA OORRDDEEMM:: 
 
O determinante de uma matriz de 2a ordem 
é o produto dos elementos de sua diagonal 
principal menos o produto dos elementos 
de sua diagonal secundária. 
 
Exemplo:
 
13.detA )21()53(det
52
13
det 
52
13
=→⋅−⋅=
=→⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛=
A
AA
 
 
 
cc)) DDEETTEERRMMIINNAANNTTEE DDEE UUMMAA MMAATTRRIIZZ DDEE 33AA OORRDDEEMM:: 
 
No cálculo do determinante de uma matriz 
de 3a ordem, utilizaremos a regra prática 
de Sarrus: 
 
1) Repetir, ao lado da matriz, as duas 
primeiras colunas; 
 
2) Multiplicar os elementos da diagonal 
principal e paralelas, como indicado 
no exemplo abaixo; 
 
3) Multiplicar os elementos da diagonal 
secundária e paralelas, não 
esquecendo de inverter o sinal; 
 
4) Somar todos os resultados obtidos. 
Este será o determinante da matriz. 
 
Exemplo: Se A = 
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
512
341
203
, então: 
 
512
341
203
12
41
03
 
 -16 –9 0 60 0 2 
 
detA = 60 + 0 + 2 – 16 – 9 + 0 
 
det A = 37. 
 
 
 
 
 
 
III. Propriedades 
 
UUMM DDEETTEERRMMIINNAANNTTEE ÉÉ NNUULLOO QQUUAANNDDOO:: 
 
a) Todos os elementos de uma linha ou 
coluna são nulos. 
 
b) Duas linhas ou colunas são iguais. 
 
c) Duas linhas ou colunas são proporcionais. 
 
d) Uma linha ou coluna é combinação linear 
das demais. 
 
Exemplos: 
 
a) 
541
000
213
 b) 
151
202
414
. 
 
c) 
120
1539
513
 d) 
743
532
431
. 
 
 
 
DDEETTEERRMMIINNAANNTTEE DDAA TTRRAANNSSPPOOSSTTAA:: 
 
Um determinante não se altera quando 
trocamos ordenadamente as linhas pelas 
colunas, isto é: 
 
 
 
 
Exemplo: A = ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
52
13
 → At = ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
51
23
 
 
det A = det At = 13. 
 
 
 
DDEETTEERRMMIINNAANNTTEE DDOO PPRROODDUUTTOO:: 
 
Se A e B são duas matrizes quadradas e 
de mesma ordem, então: 
 
 
 
 
Exemplo: 
A = ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
43
21
 → detA = -2. 
 
B = ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −
52
30
 → detB = 6. 
 
(AB) = ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
118
74
 → det(A.B) = -12.DDEETTEERRMMIINNAANNTTEE DDEE UUMMAA MMAATTRRIIZZ TTRRIIAANNGGUULLAARR:: 
 
O determinante de uma matriz triangular é 
calculado através do produto dos elementos de 
sua diagonal principal. 
 
Exemplo: 5233
000
00
0
2413
⋅⋅⋅= 
5
52
123
 
 
NNOOTTEE QQUUEE:: det In = 1, *Ν∈∀n . 
(In: matriz identidade de ordem n). 
 
 
IV. Determinante por Laplace 
 
a) MMEENNOORR CCOOMMPPLLEEMMEENNTTAARR:: denomina-se 
menor complementar do elemento aij, e 
indica-se por Mij, ao determinante obtido 
eliminando-se a linha e a coluna a qual 
pertence tal elemento. 
 
Exemplo: A = 
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
987
654
321
 
 
O menor complementar do elemento a21 é: 
 
M21 = 698
32 −= 
 
 
b) CCOOFFAATTOORR:: chama-se cofator do elemento 
aij, e indica-se por Cij, ao produto do 
menor complementar de aij por (-1)i + j. 
 
Exemplo: O cofator do elemento a21 é: 
 
C21 = (-1)2 + 1. .6)6(198
32 =−⋅−= 
 
 
c) DDEETTEERRMMIINNAANNTTEE PPOORR LLAAPPLLAACCEE:: O determinante 
de uma matriz quadrada de ordem n ≥ 2 é 
igual a soma dos produtos dos elementos 
de uma fila qualquer pelos respectivos 
cofatores. 
 
Exemplo: A = 
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
 
213
230
142
 
 
detA = 2.C11 + 0.C21 + 3.C31 
 
detA = 2.
23
14
.3
21
23 + 
 
detA = 2.(4) + 3.(5) = 23. 
 
 
NNOOTTEE QQUUEE:: A presença de zeros, na fila escolhida, 
facilita o cálculo do determinante. 
 
 
 
 
 
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Prof. Márcio Queiroz 3
M.M-1 = M-1.M = In 
V. Matriz Inversa 
 
 
 
 
 
Exemplo: 
 
Obtenção da matriz inversa de M = ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
21
53
: 
 
? Cálculo do produto de M por M-1, com 
M-1 = ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
dc
ba
: 
 
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛⋅⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
10
01
21
53
dc
ba
 
 
 
? Resolvendo os sistemas: 
 
⎩⎨
⎧
=+
=+
⎩⎨
⎧
=+
=+
12db
05d3b
 e 
02
153
ca
ca
 
 
 
? Conclui-se então que: 
 
M-1 = ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
−
−
31
52
. 
 
 
OOBBSSEERRVVAAÇÇÕÕEESS:: 
 
a) Para o cálculo de matrizes inversas de 
2a ordem, utilizaremos o seguinte 
dispositivo: 
 
M = ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
dc
ba
 M-1 = 
Mdet
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
−
−
ac
bd
, 
 
desde que detM ≠ 0. 
 
 
b) Para qualquer matriz quadrada M, se 
detM ∃/→= 0 M-1, isto é: M não é uma 
matriz inversível. (Matriz que não admite 
inversa é chamada de matriz singular). 
 
 
c) Usando as propriedade dos determinantes 
demonstra-se que: 
 
detM ≠ 0 → detM-1 =
Mdet
1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SSIISSTTEEMMAASS LLIINNEEAARREESS 
 
I. Classificação 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
II. Método de Cramer 
 
No método de Cramer, cada incógnita, de 
um sistema normal, é igual ao quociente entre 
o determinante da incógnita e o 
determinante do sistema. 
 
 
DDEETTEERRMMIINNAANNTTEE DDOO SSIISSTTEEMMAA ((DD)):: 
 
É o determinante obtido através da matriz 
dos coeficientes. 
 
 
DDEETTEERRMMIINNAANNTTEE DDAASS IINNCCÓÓGGNNIITTAASS ((DDXX,, ......)) 
 
É o determinante obtido através do 
determinante do sistema, substituindo-se a 
coluna que contém os coeficientes da incógnita 
em questão, pela coluna dos termos 
independentes. 
 
Exemplo: 
Para o sistema 
⎩⎨
⎧
=−
=+
02
732
yx
yx
, temos: 
 
D = 
21
32
− = -7. 
 
Dx = 20
37
− = -14. 
 
Dy = 01
72
 = -7. 
 
Como 
D
D
y
D
Dx yx == e , então : 
 
x = 2 e y = 1. 
 
De um modo geral, para um sistema linear 
normal, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
III. Discussão de um sistema linear de “n” 
equações e “n” incógnitas 
 
{
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
⎨
⎧
⎪⎩
⎪⎨⎧ ≠
=
⎪⎪
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪
⎨
⎧
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
=
=
=
=
≠
0ou ... ou D
0 D
 Impossível
0
0
0D
0D
 adoIndetermin
0D oDeterminad
 Possível
Linear Sistema
x
x
ny
n
y
DD
D
D
M
 
 
IV. Sistema linear e homogêneo 
 
É um sistema em que os termos 
independentes de todas as equações são 
nulos. 
 
Exemplos: 
 
⎩⎨
⎧
=−
=+
03
02
yx
yx
 
⎩⎨
⎧
=+
=+
024
02
yx
yx
 
 
NNOOTTEE QQUUEE:: 
 
Todo sistema linear e homogêneo, com n 
equações e n incógnitas, admite, pelo 
menos, (0, 0, 0, ..., 0) como solução, sendo 
esta, chamada de solução trivial. 
 
 
SSIISSTTEEMMAA LLIINNEEAARR 
L, , 
D
D
z
D
D
y
D
D
x zyx === ,
Possível 
(admite solução)
Impossível 
(não admite solução) 
Determinado 
(Solução única) 
Indeterminado 
(Infinitas soluções)