3.algumas funcoes basicas08

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03 - Funções: alguns modelos básicos
resumo teórico e exercícios
Função constante:Formato 
 . O gráfico é uma reta paralela ao eixo x (horizontal) passando pelo ponto (0,k). 
Função polinômio do primeiro grau ou afim: Formato
. O gráfico é uma reta inclinada em relação aos eixos passando pelos pontos 
que são, respectivamente, as interseções com o eixo y e x. Os parâmetros a e b chamam-se, respectivamente, o coeficiente angular e linear da reta. Conhecendo-se a expressão da função podemos determinar as coordenadas de dois pontos (distintos) e assim traçar o seu gráfico com uma régua. Tendo dois pontos distintos podemos achar a expressão da reta pela determinação dos coeficientes a e b.
Translação vertical: Seja f(x) uma função “básica” e b um número. A função soma: 
é uma translação para cima de f(x) se b for positivo e translação para baixo se b for negativo.
Reflexão em x: A função oposta: 
é a simétrica de 
em relação ao eixo x.
�
Função polinômio do segundo grau ou quadrática: Formato
. O gráfico é uma parábola passando pelos pontos 
, sendo 
, com simetria em relação ao ponto meio. Se parâmetro a for negativo a parábola tem concavidade voltada para baixo e se a for positivo concavidade para cima.
Translação horizontal: A função 
é um deslocamento horizontal da função 
para a direita se b for positivo e para a esquerda se b for negativo.
Na forma canônica da parábola: 
 , o termo: 
 é o deslocamento horizontal e a parcela: 
, o deslocamento vertical da parábola 
. O ponto 
denomina-se vértice da parábola.
�
Função valor absoluto ou modular: Formato
. O gráfico é formado pelas semi-retas: 
, 
.
�
Observação: 
Dadas duas funções f e g com domínios 
é possível gerar novas funções na interseção dos domínios 
com as operações de: 
Adição: 
. Exemplo: 
.
Multiplicação: 
. Exemplo: 
 .
Divisão: 
. Exemplo: 
Exercícios
Esboce o gráfico, indicando o domínio, as interseções com os eixos, o conjunto imagem, os coeficientes angular e linear, o intervalo onde a função é positiva, onde é negativa e se é crescente ou decrescente no domínio encontrado:
a) 
 b) 
 c) 
A locadora A aluga um carro popular ao preço de R$ 30,00 a diária mais R$ 0,20 por quilometro rodado. Já a locadora B o faz por R$ 40,00 a diária mais R$ 0,10 por quilometro rodado. Qual a locadora que você escolheria se pretendesse alugar um carro por um dia e pagar o menos possível?
Resp. até 100 km a locadora A, acima de 100 km a locadora B.
Numa câmara frigorífica há dois termômetros, um na escala Celsius (
) e outro na escala fahrenheit (
).
Estabelecer uma relação entre as escalas sabendo que a água congela a 
e ferve a 
. Resp. 
Existe alguma temperatura que tem o mesmo valor numérico em 
? Resp. -40.
Esboce o gráfico, indicando o domínio, as interseções com os eixos (se existirem), o conjunto imagem, o eixo de simetria, o vértice da parábola, a concavidade, o intervalo onde é crescente, onde é decrescente, onde é positiva e onde é negativa. Escreva também a expressão da parábola na forma canônica.
a) 
 b) 
 c) 
Um avião com 120 lugares é fretado para uma excursão. A companhia exige de cada passageiro R$ 900,00 mais uma taxa de R$ 10,00 para cada lugar vago. 
Estabelecer uma relação entre a receita y do fretamento e o número x de passageiro. Resp. 
.
Qual o número de passageiro que torna máxima a receita da companhia? Resp. 105 passageiros.
Com uma tela de 25 metros deseja-se cercar três lados de um jardim retangular, sendo o quarto lado uma parede existente. Nesta parede há uma porta que dá acesso ao jardim através de uma escada de área 2 m2. Determinar a maior área que se pode cercar com tal tela. Resp.: área 76,125m2. 
�
Esboce o gráfico, indicando o domínio, as interseções com os eixos (se existirem), o conjunto imagem, o intervalo onde a função é positiva, onde é negativa, onde é crescente, onde decrescente e a expressão da função sem o sinal de valor absoluto.
a) 
 b) 
Suponha que x dê a distancia do piso de um elevador ao chão do andar térreo de um prédio, com andares superiores (indicado por valores positivos) e andares inferiores (subsolos-indicados por valores negativos). Admita também que seus pés estejam a 9 metros do chão do térreo (isto é, você está no 20 andar). Nesse instante a posição do elevador satisfaz a condição: 
 em relação a você. Dê o intervalo das possíveis posições do elevador. Resp.: 
Resolva a equação: 
.
Resolva a inequação: 
.
Resolução:
1)a)
�
1b)
�
1c)
�
 2) 
�
3)Supondo uma relação polinômio do 10 grau entre as temperaturas: 
. Foram fornecidos dois pontos dessa relação: 
. Por substituição na relação suposta vem: 
 resp. y=1,8.x+32.
b) Pondo x=y em a) vem: 
4) a)
�
b)
�
c) 
�
Seja x o número de passageiros
 
 
 Como a concavidade da parábola é para baixo, o vértice é um ponto de máximo, ou seja, em 
temos um ponto de receita máxima.
6) 
Dimensões do jardim: 6,25m x 12,5m, área livre máxima: 76,125m2.
7) a)
�
b) 
�
8) 
. 
9)CONDIÇÕES:
 resp. 
10)condições: 
 resp.
.
F(X)
F(x)+b
F(x)
-f(x)
xv
yv
Propriedades:
P1) Se �EMBED Equation.3���, então �EMBED Equation.3���
P2) �EMBED Equation.3���, �EMBED Equation.3���, �EMBED Equation.3���
x
�EMBED Equation.3���
�EMBED Equation.3���
Interseções: �EMBED Equation.3���
Coef. Angular �EMBED Equation.3��� coef. Linear �EMBED Equation.3���
Sempre crescente
Positiva para �EMBED Equation.3���, negativa para �EMBED Equation.3���.
�EMBED Equation.3���
Interseções: �EMBED Equation.3���
�EMBED Equation.3���
Sempre decrescente
Positiva em�EMBED Equation.3���, negativa em �EMBED Equation.3���.
�EMBED Equation.3���
Pontos: �EMBED Equation.3���
�EMBED Equation.3���
Crescente, positiva em x>4, negativa em x<4
Custo de A: �EMBED Equation.3��� reta com maior inclinação
Custo de B: �EMBED Equation.3��� reta com menor inclinação
Resolvendo o sistema formado acima obtemos: �EMBED Equation.3���.
Resp. Até 100 km locadora A: acima de 100 km locadora B.
�EMBED Equation.3���
�EMBED Equation.3���
�EMBED Equation.3���
Cresce no intervalo �EMBED Equation.3���e decresce fora dele.
É negativa dentro do intervalo �EMBED Equation.3���e positiva fora dele
Inters. Com Y: (0, -2)
�EMBED Equation.3���
�EMBED Equation.3���
�EMBED Equation.3���
�EMBED Equation.3���
 (é uma reflexão em x do anterior)
decresce no intervalo �EMBED Equation.3���e cresce fora dele.
É positiva dentro do intervalo �EMBED Equation.3���e negativa fora dele
Inters. Com y: (0,2)
�EMBED Equation.3���
�EMBED Equation.3���
�EMBED Equation.3���
Sempre positiva, decresce em �EMBED Equation.3��� e cresce fora desse intervalo, intercepta y em (0,4).
 �EMBED Equation.3���
�EMBED Equation.3���É positiva em�EMBED Equation.3���, decrescente para x<1 e positiva fora desse intervalo, intercepta o eixo y em (0,2), �EMBED Equation.3���
�EMBED Equation.3���
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