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4.funcoes trigonometricas08

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04- funções trigonométricas.
Resumo teórico e exercícios
1. Ciclo Trigonométrico - Sobre uma circunferência com centro na origem do sistema de coordenadas e de raio igual a um, tomamos um ângulo (central) com um lado (semi-reta) sobre o eixo X que interceptará a circunferência no ponto A(0,1) e será a origem de todos os arcos. O outro lado intercepta a circunferência num ponto M. Se M se mover no sentido anti-horário, a partir de A, atribuiremos um valor 
 e, se M mover no sentido horário atribuiremos um valor 
 , que são as medidas dos arcos em cada caso. Se M coincidir com A, atribuiremos 
 .
�
2. Funções co-seno e seno – Para cada 
existe um único ponto 
sobre o ciclo. Por definição a abscissa de M é o co-seno de 
 e a ordenada o seno de 
.
Conseqüências imediatas das definições anteriores: 
 
, 
, 
, 
, 
, 
,
e 
.
Obs.: As mesmas definições num triângulo retângulo:
 
 
Função co-seno: 
�
Função seno: 
.
Propriedades:
 P1) 
,
 , 
, 
 , 
 P2) 
 
3) Outras funções trigonométricas:
Nas definições abaixo supõe que os denominadores sejam diferentes de zero.
nome
No triângulo
No ciclo
tangente
cotangente
secante
cossecante
Observação: 
1) Se na função 
 substituirmos x por w.x, 
, o gráfico original comprime se w for 
ou estica se w for 
.
�
2) Caso geral: 
.
Desloca a 1a parcela para cima (
) ou para baixo (
). Deslocamento vertical
Desloca o gráfico de 
para direita (
) ou para esquerda 
. D. horizontal
Amplia o gráfico de 
 se 
ou reduz se 
verticalmente
Comprime o gráfico de 
se 
ou estica se 
 horizontalmente
Produz também uma reflexão do gráfico em x.
Produz também uma reflexão do gráfico em y.
Identidades: Duas funções são iguais em D, escreve-se 
, se as interseções dos domínios dessas funções é D e, ainda, ocorre 
 para todo x em D. Nesses casos dizemos que há uma identidade.
Nota : Prova da propriedade 
.
�
Exercícios;
Fazendo 
 nas propriedades P2 deduza as relações abaixo:
a) 
 b) 
 c)
Usando as relações do ex. 1. a) e 1. b)obtenhas relações: 
a) 
 b)
Mostre que:
a) 
 b) 
Mostre que: 
.
. Comprovar as identidades abaixo:
a)
 b) 
 c)
Dado um triângulo ABC de ângulos 
e lados opostos aos ângulos de medidas 
. Mostre que: 
 a)
 b) 
.
Resolução:
1) 
 
 
2) Do sistema:
 obtemos :
a) 
 (somando as linhas)
b) 
 (subtraindo as linhas)
3) Basta dividir a equação fundamental da trigonometria:
 respectivamente por 
 e 
 para se obter os resultados.
4) 
5) 
 b) Fórmula de fatoração: 
.
 
.
 c) Fórmula: 
a) Seja h a medida da altura relativa ao lado de medida b e x a medida do segmento que vai de do ponto A até o pé da altura. Assim por Pitágoras teremos: 
 .
Daí vem: 
.
b) Como: 
. Usando a altura relativa ao lado c obtemos: 
. Daí segue a igualdade.
�
M
A
α є R
X2+Y2=1
A unidade de �EMBED Equation.3��� é o radiano.
Relação com o grau 
 �EMBED Equation.3���
Radiano:
�EMBED Equation.3���
co-seno
seno
�EMBED Equation.3���
�EMBED Equation.3���
�EMBED Equation.3���
Distância entre os pontos:
A e C:
�EMBED Equation.3���
B e D:
�EMBED Equation.3���
Como �EMBED Equation.3���, �EMBED Equation.3���, �EMBED Equation.3���
Vem: 
�EMBED Equation.3���
C
B
A
D
B
 c
A
‘b C a
_1263300021.unknown
_1263300037.unknown
_1263300045.unknown
_1263300049.unknown
_1263300051.unknown
_1263300053.unknown
_1263300050.unknown
_1263300047.unknown
_1263300048.unknown
_1263300046.unknown
_1263300041.unknown
_1263300043.unknown
_1263300044.unknown
_1263300042.unknown
_1263300039.unknown
_1263300040.unknown
_1263300038.unknown
_1263300029.unknown
_1263300033.unknown
_1263300035.unknown
_1263300036.unknown
_1263300034.unknown
_1263300031.unknown
_1263300032.unknown
_1263300030.unknown
_1263300025.unknown
_1263300027.unknown
_1263300028.unknown
_1263300026.unknown
_1263300023.unknown
_1263300024.unknown
_1263300022.unknown
_1263299989.unknown
_1263300005.unknown
_1263300013.unknown
_1263300017.unknown
_1263300019.unknown
_1263300020.unknown
_1263300018.unknown
_1263300015.unknown
_1263300016.unknown
_1263300014.unknown
_1263300009.unknown
_1263300011.unknown
_1263300012.unknown
_1263300010.unknown
_1263300007.unknown
_1263300008.unknown
_1263300006.unknown
_1263299997.unknown
_1263300001.unknown
_1263300003.unknown
_1263300004.unknown
_1263300002.unknown
_1263299999.unknown
_1263300000.unknown
_1263299998.unknown
_1263299993.unknown
_1263299995.unknown
_1263299996.unknown
_1263299994.unknown
_1263299991.unknown
_1263299992.unknown
_1263299990.unknown
_1263299972.unknown
_1263299980.unknown
_1263299985.unknown
_1263299987.unknown
_1263299988.unknown
_1263299986.unknown
_1263299982.unknown
_1263299984.unknown
_1263299981.unknown
_1263299976.unknown
_1263299978.unknown
_1263299979.unknown
_1263299977.unknown
_1263299974.unknown
_1263299975.unknown
_1263299973.unknown
_1263299964.unknown
_1263299968.unknown
_1263299970.unknown
_1263299971.unknown
_1263299969.unknown
_1263299966.unknown
_1263299967.unknown
_1263299965.unknown
_1263299804.unknown
_1263299960.unknown
_1263299962.unknown
_1263299963.unknown
_1263299961.unknown
_1263299958.unknown
_1263299959.unknown
_1263299805.unknown
_1263299789.unknown
_1263299793.unknown
_1263299802.unknown
_1263299803.unknown
_1263299801.unknown
_1263299800.unknown
_1263299791.unknown
_1263299728.unknown
_1263299730.unknown
_1263299727.unknown

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