1020650 Aula 02 vetores

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Aula 02 - Vetores
Geometria Anal´ıtica
Professora: Silvia Gonc¸alves Santos
Vetores Geome´tricos
Uma grandeza e´ dita escalar quando necessitamos especificar apenas sua magnitude e uma unidade
para sua determinac¸a˜o. Como exemplo podemos citar o comprimento, a massa e o tempo. Uma gran-
deza e´ dita vetorial quando necessitamos especificar sua magnitude, sua direc¸a˜o e sentido de atuac¸a˜o e
uma unidade para sua determinac¸a˜o. Como exemplo exemplos podemos citar a forc¸a, a velocidade e a
acelerac¸a˜o.
Geometricamente, um vetor e´ representado por um segmento orientado de reta.
Notac¸o˜es:
• →v : uma letra qualquer que o representa sobrescrito por uma flecha;
• v: uma letra qualquer que o representa em negrito;
•
→
AB: pontos inicial e final sobrescritos por uma flecha.
Do ponto de vista geome´trico, a direc¸a˜o de um vetor e´ dada pela reta suporte do segmento orientado
que o representa, e seu sentido e´ indicado por uma flecha. Sua magnetude e´ indicada pelo comprimento
do segmento orientado.
Dado um vetor
→
v , denotaremos seu comprimento (ou mo´dulo) por | →v |. Em particular, se | →v | = 1,
dizemos que
→
v e´ um vetor unita´rio e se | →v | = 0 dizemos que →v e´ o vetor nulo, denotado por →v=→0 .
Observac¸a˜o 1 Segmentos orientados com o mesmo comprimento, mesma direc¸a˜o e mesmo sentido sa˜o
ditos equivalentes. Segmentos equivalentes representam o mesmo vetor, independente de sua localizac¸a˜o
espacial.
Operac¸o˜es com Vetores Geome´tricos
Duas operac¸o˜es definidas para os vetores geome´tricos sa˜o a multiplicac¸a˜o de um vetor por um escalar
(nu´mero real) e a adic¸a˜o de vetores.
• Multiplicac¸a˜o de um vetor por um escalar
Dado um vetor
→
v (na˜o nulo) e um escalar k (na˜o nulo), a multiplicac¸a˜o de k por
→
v resulta o vetor
k
→
v , mu´ltiplo escalar de
→
v , determinado da seguinte maneira:
* k
→
v possui a mesma direc¸a˜o de
→
v .
* Se k > 0, enta˜o k
→
v tem o mesmo sentido de
→
v ; se k < 0, enta˜o k
→
v tem sentido oposto ao de
→
v .
* A magnitude de k
→
v vale |k| vezes a magnetude de →v , isto e´, |k →v | = |k|| →v |.
Exemplo 2
1
• Adic¸a˜o de Vetores
Vetores no R2
Um vetor
→
v do R2 e´ definido por um par ordenado (x, y) de nu´meros reais. Os nu´meros reais x e y
sa˜o chamados de componentes ou coordenadas de
→
v .
Observac¸a˜o 3 • A notac¸a˜o (x, y) para pares ordenados e´ utilizada tanto para pontos como para ve-
tores do plano cartesiano.
• Em nosso curso denotaremos um ponto P do plano na forma P (x, y) e um vetor →v do plano na
forma
→
v= (x, y).
Mo´dulo Observe a figura abaixo:
Pelo Teorema de Pita´goras, temos:
Exemplo 4 Calcule o mo´dulo do vetor
→
v= (−4, 3).
Exemplo 5 Calcule o mo´dulo do vetor
→
u=
(√
2
2
,
√
2
2
)
.
Operac¸o˜es com vetores no R2
• Igualdade de vetores
Sejam
→
v= (x1, y1) e
→
w= (x2, y2). Diremos que
→
v=
→
w se, e somente se, x1 = x2 e y1 = y2.
• Adic¸a˜o e multiplicac¸a˜o por escalar
Sejam
→
v= (x1, y1),
→
w= (x2, y2) e α ∈ R.
–
→
v +
→
w= (x1 + x2, y1 + y2)
– α
→
v= (αx1, αy1)
2
Propriedades da adic¸a˜o e multiplicac¸a˜o por escalar
Dados quaisquer vetores
→
u ,
→
v ,
→
w ∈ R2 e quaisquer escalares α, β, ∈ R, as operac¸o˜es de adic¸a˜o de
vetores e multiplicac¸a˜o de um vetor por um escalar definidas anteriormente possuem as seguintes
propriedades:
(A1) Comutativa:
(A2) Associativa na adic¸a˜o:
(A3) Existeˆncia do vetor nulo, denotado por
→
0 = (0, 0):
(A4) Existeˆncia do vetor oposto:
(M1) Distributiva em relac¸a˜o a` soma de vetores:
(M2) Distributiva em relac¸a˜o a` soma de escalares:
(M3) Associativa na multiplicac¸a˜o por escalar:
(M4) Elemento neutro na multiplicac¸a˜o:
Versor de um vetor
Dado um vetor
→
v na˜o nulo, o seu versor, denotado
→
vu, e´ um vetor unita´rio que tem a mesma direc¸a˜o
e sentido de
→
v .
→
vu=
→
v
| →v |
Exemplo 6 Calcule o versor do vetor v=(3, 4).
Vetor definido por dois pontos
Dois pontos A(x1, y1) e B(x2, y2) do plano cartesiano definem dois vetores:
• vetor
→
AB, cuja origem e´ o ponto A e a extremidade e´ o ponto B, dado por:
• vetor
→
BA, cuja origem e´ o ponto B e a extremidade e´ o ponto A, dado por:
Exemplo 7 Determine o vetor formado pelos pontos A(−2, 1) e B(2, 4).
Vetores no R3
Um vetor
→
v do R3 e´ definido por uma tripla (terno) ordenada (x, y, z) de nu´meros reais. Os nu´meros
reais x, y e z sa˜o chamados de componentes ou coordenadas de
→
v .
3
Mo´dulo
| →v | =
√
x2 + y2 + z2.
Em particular, dado o vetor
→
v= (x, y, z), se
√
x2 + y2 + z2 = 1, enta˜o
→
v e´ unita´rio.
Exemplo 8 Calcule o mo´dulo do vetor v=
(
1√
3
,
1√
6
,
1√
2
)
.
Operac¸o˜es com vetores no R3
• Igualdade de vetores
Sejam
→
v= (x1, y1, z1) e
→
w= (x2, y2, z2). Diremos que
→
v=
→
w se, e somente se, x1 = x2, y1 = y2 e
z1 = z2.
• Adic¸a˜o e multiplicac¸a˜o por escalar
Sejam
→
v= (x1, y1, z1),
→
w= (x2, y2, z2) e α ∈ R.
–
→
v +
→
w= (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2)
– α
→
v= (αx1, αy1, αz1)
Versor de um vetor
Dado um vetor α
→
v na˜o nulo, o seu versor, denotado α
→
vu, e´ um vetor unita´rio que tem a mesma
direc¸a˜o e sentido de α
→
v .
→
vu=
→
v
| →v |
Exemplo 9 Calcule o versor do vetor
→
v= (1, 2, 2).
Vetor definido por dois pontos
Dois pontos A(x1, y1, z1) e B(x2, y2, z2) do R3 definem dois vetores:
* vetor
→
AB, cuja origem e´ o ponto A e a extremidade e´ o ponto B, dado por:
* vetor
→
BA, cuja origem e´ o ponto B e a extremidade e´ o ponto A, dado por:
Exemplo 10 Determine o vetor formado pelos pontos A(2, 3, 3) e B(4, 6, 7).
4