Lista de Exercício 4 Gráfico da função, max e min, e taxa de variação

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4a Lista de Ca´lculo 1
Prof. Emerson Lima
Escola Polite´cnica de Pernambuco
Resumo
Leia atentamente todas as questo˜es antes de comec¸ar a resoluc¸a˜o. As respostas
obtidas somente tera˜o validade se devidamente justificadas. Evite usar material
diferente do que foi apresentado em sala. Se for utilizar algum material extra,
justifique-o adequadamente para valida´-lo.
Questa˜o 1. Esboce cada func¸a˜o abaixo indicando, se for o caso, intersecc¸o˜es com
os eixos, ass´ıntotas horizontais e verticais, intervalos de crescimento e decrescimento,
ma´ximos, mı´nimos e inflexo˜es e concavidade.
1.
x√
3x2 − 1
2.
√
2x
3
√
x− x
3.
sen(x)
sen(x)− 1
4.
1
1− sec(x)
5.
3x2 + x− 1
x2 − 3x+ 2
6.
(
3x− 1
2x+ 2
)2
7.
x
|x2 − 1|
8.
{
1 +
√−x x < 0
3
√
4x− x2 x ≥ 0
9.

√
x+ 2− 2
x− 2 x < 2
|x3 − 8|
x4 − 3x2 − 4 x ≥ 2
10.
 xsen
(
1
x
)
x 6= 0
0 x = 0
Questa˜o 2. Encontre e classifique os pontos cr´ıticos das func¸o˜es abaixo (considerando
x em toda reta real). No intervalo indicado, se for o caso, calcule os ma´ximo e mı´nimo
globais
1. 1− 3√x− 1, x ∈ [−1, 1]
2. (x+ 1)(x− 2) , x ∈ IR
3.
|x|
1 + x2
, x ∈ [−1, 2]
4.
x2
1 + 4x2
, x ∈ IR
5.
√
2x− 1√
2x
, x ∈ [−2, 4]
6.
(
3x− 1
2x+ 2
)2
, x ∈ [0, 10]
7. sen2(x) cos2(x), −pi
3
≤ x ≤
pi
2
8.

−2x 0 ≤ x < 1√
x2 + 2x+ 1 1 ≤ x ≤ 4(
x−√x)3 x > 4
9.
{
3x+ 1 x < −2
x2 − 2x+ 4 x ≥ −2
10. tan(x)− x, x ∈
[
−pi
3
,
pi
3
]
2
Questa˜o 3. Resolva os seguintes problemas de ma´ximo e mı´nimo
1. Qual e´ o menor per´ımetro poss´ıvel para um retaˆngulo cuja a´rea e´ de
16cm2 e quais sa˜o suas dimenso˜es?
2. Um triaˆngulo iso´sceles esta´ circunscrito a um c´ırculo de raio R. Quais as
dimenso˜es do triaˆngulo que minimizam sua a´rea?
3. Um cilindro e´ gerado pela rotac¸a˜o de um retaˆngulo ao redor do eixo
x, no qual a base do retaˆngulo esta´ apoiada. Se os ve´rtices superiores
do retaˆngulo esta˜o ambos sobre a curva y =
x
x2 + 1
, qual seu volume
ma´ximo?
4. Um arame de comprimento L deve ser cortado em 2 pedac¸os, de maneira
que, com tais pedac¸os forma-se um quadrado e um triaˆngulo equila´tero.
Como deve ser o corte para que a soma das a´reas do triaˆngulo e retaˆngulo
assim formado seja a) a maior poss´ıvel b) a menor poss´ıvel?
5. De uma longa folha retangular de metal de 30 cm de largura deve-se fazer
uma calha dobrando as bordas perpendicularmente a` folha. Quantos
cent´ımetros devem ser dobrados de cada lado de modo que a calha tenha
capacidade ma´xima?
6. Deve-se construir um tanque para armazenamento de ga´s propano em
forma de cilindro circular reto com dois hemisfe´rios nas extremidades.
O custo de metro quadrado dos hemisfe´rios e´ o dobro do custo da parte
cil´ındrica. Se a capacidade do tanque deve ser de 10pi cm3, que dimenso˜es
minimizara´ o custo da construc¸a˜o?
7. Quer-se construir uma a´rea ao longo de uma estrada. Ela deve ser retan-
gular, com uma a´rea de 5000 metros quadrados, e devera´ ser cercada nos
treˆs lados na˜o-adjacentes a` estrada. Qual e´ a menor quantidade de cerca
que sera´ necessa´ria para completar o trabalho?
8. Determine o volume ma´ximo de um cilindro circular reto que pode ser
inscrito em um cone de 20 cm de altura e 5 cm de raio da base, se os
eixos do cilindro e do cone coincidem.
9. Prove que
ea+b
ab
≥ e2 para todos a e b reais positivos na˜o nulos.
10. Um canha˜o lanc¸a proje´teis fazendo um aˆngulo θ com o solo no momento
do lanc¸amento. Supondo que todos os projeteis sa˜o lanc¸ados a mesma
velocidade v (que permanece constante em toda a trajeto´ria parabo´lica
do proje´til), qual aˆngulo dara´ o maior alcance horizontal ao proje´til?
(considere desprez´ıvel a altura do canha˜o com relac¸a˜o ao solo)
3
Questa˜o 4. Resolva os seguintes problemas de taxa de variac¸a˜o
1. Qual a taxa de variac¸a˜o do per´ımetro de um retaˆngulo cuja base mede
sempre o dobro da sua altura se a a´rea varia a uma taxa de 1, 5m2 e sua
base mede 5 metros?
2. A altura de um triaˆngulo cresce a raza˜o de 1cmmin e sua a´rea aumenta
a` raza˜o de 2cm2/min. Qual a taxa de variac¸a˜o da base do triaˆngulo
quando sua altura for 10cm e sua a´rea de 100cm2?
3. Um paralelep´ıpedo e´ tal que sua altura e´ o dobro de sua largura e seu
comprimento a terc¸a parte de sua largura. Se o lado maior do parale-
lep´ıpedo aumenta a uma taxa de 10cm/min, qual sera´ a taxa de variac¸a˜o
da sua a´rea superficial quando seu volume for de 144cm3?
4. Jogando-se areia no cha˜o forma-se um monte em formato de cone com
altura sempre igual a 2/3 de seu diaˆmetro da base. Nestas condic¸o˜es,
quais as taxas de variac¸a˜o da a´rea superficial exposta ao ar e da altura
do monte, se a areia e´ lanc¸ada a uma taxa constante de 1 grama/segundo
e tem densidade de 0.8, no momento que o volume de areia do monte for
igual a 30pi cm3?
5. Uma escada de 10 metros apoiada numa parede escorrega sem deixar de
tocar a parede. Se sua base se afasta da parede a uma velocidade cons-
tante de 10 cm/seg, qual a taxa de variac¸a˜o do triaˆngulo cuja hipotenusa
e´ a escada no momento que a escada estiver com topo a 8 metros do
cha˜o?
6. Uma calha tem formato de cilindro de base parabo´lica invertida de tal
maneira que a parte superior abre para a chuva com 10 cm de abertura.
Sua profundidade e´ de 8 cm e a calha tem 10 metros de comprimento.
Se a chuva alimenta a calha (que esta´ entupida) a uma taxa de 1, 0 litro
por segundo, qual a taxa de variac¸a˜o da altura da coluna l´ıquida apo´s os
primeiros 10 segundos? e apo´s o primeiro minuto?
7. Dois carros se aproximam de um cruzamento entre duas vias perpendi-
culares. O primeiro carro avanc¸a a 50Km/h e o segundo carro avanc¸a
a 60Km/h. Qual a velocidade (em Km/h) na qual os carros veem a
aproximac¸a˜o um do outro no, se ambos iniciaram o movimento a 1Km
cada do cruzamento a) 10 segundos apo´s a partida? b) quando o segundo
carro se encontrar na metade da distaˆncia ao cruzamento?
8. Uma mancha de petro´leo aflora na superf´ıcie do mar como uma mancha
perfeitamente circular. Se a mancha cresce a uma taxa de 1m2 por mi-
nuto, qual a taxa de variac¸a˜o com a qual o diaˆmetro da mancha cresce
a)apo´s a primeira hora? b)Quando o raio da mancha for de 100 metros?
9. Qual a taxa de variac¸a˜o da altura da coluna l´ıquida em um tanque em
formato de cone reto invertido se o raio da borda superior e´ de 1 metro
e sua altura e´ de 2 metros e a a´gua escoa pela borda inferior a uma taxa
constante de 0.1m2/s quando a altura do l´ıquido for de 1 metro?
10. A a´gua flui de uma torneira a uma taxa constante de 50 cm3/seg caindo
dentro de uma bacia na forma de uma semi-esfera invertida de raio 20 cm.
Qual a taxa com a qual a altura aumenta no exato instante do transbor-
damento da bacia?