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Módulo 2 327 Aplicações da Integral Nesta seção vamos abordar uma das aplicações matemático – a determinação da área de uma região R do plano, que estudamos na Unidade 7. f (x) e g(x) sejam funções con- a, b e que f (x) g(x) para todo x em a, b . Então, a área da região limitada acima por y f (x) , abaixo por y g(x) , à esquerda pela reta x a e à direita pela retax b , confor- A f (x) g(x) dx a b . A partir deste momento passaremos a examinar as aplicações do conteúdo estudado na Unidade anterior. Curso de Graduação em Administração a Distância 328 x0 a b y f(x) g(x) [ ] A Figura 8.1 - de integração. Segue abaixo um procedimento sistemático que podemos seguir para estabelecer a fórmula, utilizando os seguintes passos. Passo 1. acima e qual limita abaixo. Passo 2. a e b serão as abscissas x dos dois pontos de interseção das curvas y f (x) e y g(x) . Para tanto iguala-se f (x) e g(x) , ou seja, faz f (x) g(x) e resolve-se a equação resultante em relação a x. Passo 3. curvas. Observação f (x) , pelas retasx a e x b e o eixo x, onde f (x) é uma função contínua sendo f (x) 0 , para todo x em a, b , conforme Módulo 2 329 x0 a b y f(x) A Figura 8.2 O cálculo da área A é dado por: A f (x) dx a b , Apresentaremos alguns exemplos de cálculo de área entre duas curvas: Exemplo 8.1 Determinar a área da região limitada entre as curvas: y f (x) x 6 e y g(x) x2 . Resolução: Utilizando o procedimento sistemático apresentado acima, temos os seguintes passos: Passo 1. Esboço da região y x0−1 1 2 3−2 2 4 6 8 10 Figura 8.3 Curso de Graduação em Administração a Distância 330 Passo 2. Para encontrar os limites de integração ,fazemos f (x) g(x) , isto é, x 6 x2 ou x2 x 6, que fornece x2 x 6 0 da equação acima, x 2 e x 3 , que serão os limites de inte- gração. Observe, pelo x 6 x2 , para todo x em 2, 3 . Passo 3. Calculando a área da região limitada por: y f (x) x 6 e y g(x) x2 em 2, 3 temos : A f (x) g(x) dx a b = x 6 x2 2 3 dx x 6 x2 dx 2 3 = x2 2 6x x3 3 2 3 = 32 2 6 3 33 3 ( 2)2 2 6 ( 2) ( 2)3 3 = 9 2 + 18 32 4 2 12 8 3 = 9 2 + 18 9 2 12 + 8 3 9 2 9 10 8 3 9 18 2 30 8 3 = 27 2 22 3 27 2 22 3 = 81 + 44 6 125 6 u.a. Portanto, a área limitada por y f (x) x 6 e y g(x) x2 em 2, 3 é 125 6 unidades de área. Exemplo 8.2 Determinar a área da região limitada por y f (x) 4 e y g(x) x2 . Módulo 2 331 Resolução: Utilizando o procedimento sistemático apresentado acima, temos os seguintes passos: Passo 1. Esboço da região: y x0−1 1 2−2 1 2 3 4 5 Figura 8.4 Passo 2. Para encontrar os limites de integração fazendo f (x) g(x) ,temos,4 x2 ou x2 = 4. Logo,x 4 = 2 , ou seja, x 1 2 e x 2 2. Assim,a 2 e b 2 . Passo 3. A área da região limitada por y f (x) 4 e y g(x) x2 , em 2, 2 será: A f (x) g(x) dx a b = 4 x2 dx 4x x3 3 2 2 2 2 = 4 2 23 3 4 ( 2) ( 2)3 3 = 8 8 3 8 8 3 8 8 3 8 + 8 3 = 8 8 3 + 8 8 3 = 16 2 8 3 = 16 16 3 = 48 16 3 32 3 u.a. Portanto, a área limitada por y f (x) 4 e y g(x) x2 em 2, 2 é 32 3 unidades de área. Curso de Graduação em Administração a Distância 332 Exemplo 8.3 Determinar a área da região limitada por y f (x) 8 x2 e g(x) x2 . Resolução: Temos os seguintes passos: Passo 1. Esboço da região: y x0−1 1 2−2 1 2 3 4 5 6 7 8 Figura 8.5 Passo 2. Para encontrar os limites de integração, fazemos f (x) g(x) , isto é, 8 x2 x2 , que fornece 8 2 x 2 e x 1 2 e x 2 2 . Assim,a 2 e b 2 . Passo 3. A área da região limitada por y f (x) 8 x2 e g(x) x2 será: A f (x) g(x) dx a b 8 x2 x2 dx 2 2 = 8 2 x2 dx 2 2 8 x 2 x3 3 2 2 = 8 2 2 23 3 8 ( 2) 2 ( 2)3 3 = 16 2 8 3 16 2 8 3 Módulo 2 333 = 16 16 3 + 16 16 3 = 32 2 16 3 = 32 32 3 = 96 32 3 64 3 u.a. Portanto, a área limitada por y f (x) 8 x2 e g(x) x2 em 2, 2 é 64 3 unidades de área. Exemplo 8.4 Determinar a área limitada pela curva y f (x) x2 5x , o eixo x e as retasx 1 e x 3. Resolução: Temos os seguintes passos: Passo 1. Esboço da região. y x0 1 1,5 2,52 3 −1 −6 −5 −4 −3 −2 Figura 8.6 Passo 2. Os limites de integração sãoa 1 e b 3 . Passo 3. A área limitada pela curva y f (x) x2 5x o eixo x e as retasx 1 e x 3, será: Curso de Graduação em Administração a Distância 334 A x2 5x dx 1 3 x3 3 5 x2 2 1 3 = 33 3 5 32 2 13 3 5 12 2 = 27 3 5 9 2 1 3 5 1 2 = 9 45 2 1 3 5 2 18 45 2 2 15 6 = 27 2 13 6 27 2 13 6 = 81 + 13 6 68 6 34 3 34 3 u.a. Portanto, a área limitada pela curva y f (x) x2 5x , o eixo x e as retas x 1 e x 3 é 34 3 unidades de área. Exemplo 8.5 Encontrar a área da região limitada pela curva y f (x) sen x e pelo eixo x de 0 a 2 . Resolução: Passo 1. Esboço da região: 0 1 1 y x 2 2 Figura 8.7 Módulo 2 335 Passo 2. Para determinar os limites de integração, temos, pelo 0 , , f (x) sen x 0 e no interva- lo , 2 , f (x) sen x 0 . Passo 3. A área da região limitada pela curva f (x) sen x , e pelo eixo x de 0 até 2 será: A sen x dx sen x dx 2 cosx 0 cosx 2 0 = cos ( cos 0) + cos 2 ( cos = ( 1) ( 1) + 1 ( 1) = 1 + 1 + 1 1 = 2 + 2 = 2 + 2 = 4 u.a. Portanto, a área da região limitada pela curva f (x) sen x e pelo eixo x de 0 até 2 é 4 unidades de área. Exercícios propostos – 1 a) y x0 1 2 3 4 1 2 3 4 5 Figura 8.8 dúvidas, busque orientação junto ao Curso de Graduação em Administração a Distância 336 Onde y f (x) x 1 . b) y x0 1 2 3 4 1 2 3 4 Figura 8.9 Onde y f (x) x . 2) Determinar a área da região limitada por: y f (x) x e y g(x) x2 x . 3) Determinar a área da região limitada por y f (x) x 1, o eixo x e as retasx 2 e x 0 . 4) D e t e r m i n a r a á r e a d a r e g i ã o l i m i t a d a p o r y f (x) x2 e y g(x) x2 4x . 5) Calcular a área da região limitada por y f (x) 1 x , o eixo x e as retasx 1 e x 4 . Volume de sólido de revolução - centro de massa e de momento de inércia. Como é difícil determinar o volume de um sólido de forma irregular, começaremos com objetos que apresentam formas simples. Incluídos nesta categoria estão os sólidos de revolução. Módulo 2 337 Um sólido de revolução é gerado pela rotação de uma região do pla- eixo de revolução, contida no plano. Seja S o sólido gerado pela rotação da região do plano limitada por y f (x) , o eixox , x a e x b em torno do eixox . Então o volume V deste sólido é dado por: V f (x) 2 a b dx. - tes aos usados para calcular a área de uma região plana e limitada, mas x0a b y y = f(x) Figura 8.10 Curso de Graduação em Administração a Distância 338 x y Figura 8.11 Analogamente, quando o eixo de revolução é o eixo y e a frontei- ra da região plana é dada pela curva x g(y) e o eixo y entre y c e y d , então o volume V do sólido de revolução é dado por V g y 2 dy. c d x0 c d y x = g(y) Figura 8.12 Módulo 2 339 Sejam f x e g x funções contínuas no intervalo a,b e su - mos que f x g x 0 para todo x a,b . Então o volume do sólido de revolução gerado pela rotação em torno do eixox , da região limitada pelas curvas y f x e y g x e as retas x a e x b é dado por: V f x 2 g x 2 a b dx. x0a b y y = f(x) y = g(x) Figura 8.13 x y Figura 8.14 Curso de Graduação em Administração a Distância 340 Exemplo 8.6 A região limitada pela curva y x2 , o eixo x e as retas x 1 e x 2 , sofrem uma rotação em torno do eixox . Encontre o volume do sólido de revolução gerado. Resolução: x0 1 2 1 4 y y = f(x) Figura 8.15 Temos: V f x 2 dx a b x2 2 1 2 dx x5 5 1 2 5 32 1 31 5 , unidades de volume (u.v.). Exemplo 8.7 Calcule o volume do sólido que se obtém por rotação da região limitada por y x3 , y 0 e x 1 em torno do eixo y . Módulo 2 341 Resolução: x0 0,5−0,5−1 1 1,5 2 0,5 −0,5 −1 1,5 2 1 y y = x3 Figura 8.16 De y x3 temosx y1/3 . Logo,o volume do sólido obtido pela revolução em torno do eixo y é dado por V g y c d 2 dy y2/3dy 0 1 3 5 y5/3 0 1 3 5 u.v. Exemplo 8.8 Calcule o volume do sólido que se obtém por rotação da região limitada por x2 y 2 , 2y x 2 0 , x 0 e x 1em torno do eixox . Curso de Graduação em Administração a Distância 342 Resolução: y x 5 3 1 −1 4 2 0−2 2 4 x² = y−2 2y−x−2 = 0 Figura 8.17 (a) Volume do sólido em torno do eixox . Neste caso, temos V f x 2 g x 2 a b dx x2 2 2 1 2 x 1 2 0 1 dx x4 15 4 x2 x 3 0 1 dx x5 5 5x3 4 x2 2 3x 0 1 1 5 5 4 1 2 3 79 20 u.v. Módulo 2 343 Exercícios propostos – 2 1) Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação em torno do eixox , de região limitada por: a) y 2x 1, x 0, x 3 e y 0. b) y x2 1, x 1, x 3 e y 0. 2) Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação em torno do eixo y , de região limitada por: y lnx, y 1, y 3 e x 0. 3) Calcule o volume do sólido obtido girando cada região limitada pelas curvas e retas dadas em torno do eixo indicado: a) y 2x2 , y 0, x 0, x 5 ; em torno do eixo dosx . b) y x2 5x 6, y 0 ; em torno do eixo dosx . c) y2 2x , x 0 , y 0 e y 3; em torno do eixo dos y . d) y 2x 1, x 0 , x 3 e y 0 ; em torno do eixo dosx . Curso de Graduação em Administração a Distância 344 Comprimento de arco A seguir, apresentaremos o comprimento de arco de uma curva plana em coordenadas cartesianas. Seja f uma função contínua no in- [a,b] y f (x) . y xa b y = ƒ(x) B = (b,ƒ(b)) A = (a,ƒ(a)) Figura 8.18 Sejam A a, f (a) e B(b, f (b)) dois pontos na curva y f (x) . Seja s o comprimento da curva ABª y f (x) . Então, s é dado por s 1 f '(x) 2 a b dx. A seguir, apresentaremos alguns exemplos. Exemplo 8.9 Determinar o comprimento de arco da curva y x 2 1 , 0 x 3 . Resolução: Temos, y x 2 1 y ' 1 2 . Módulo 2 345 Logo, s 1 f '(x) 2 dx a b 1 1 40 3 dx 5 40 3 dx 5 4 x 0 3 3 2 5. Portanto, o comprimento de f (x) x 2 1 , para 0 x 3 é dada por s 3 2 5 u.c. Exemplo 8.10 Calcule o comprimento do arco da curva 24xy x4 48 de x 2 a x 4 Resolução: Temos, 24xy x4 48 y 1 24 x3 2 x y ' 3x2 24 2 x2 x4 16 8x2 . Agora, s 1 y ' 2 dx a b 1 x4 16 8x2 2 2 4 dx 1 1 64x4 x8 256 32x4 2 4 dx x8 32x4 256 64x4 dx 2 4 (x4 16)2 (32x2 )2 dx 2 4 (x4 16)2 (32x2 )2 dx 2 4 x4 16 8x22 4 dx 1 8 x2 16x 2 2 4 dx 1 8 x3 3 16 x 2 4 1 8 64 3 4 8 3 8 1 8 56 3 4 17 6 u.v. Curso de Graduação em Administração a Distância 346 Exercícios propostos – 3 Determine o comprimento das curvas dadas por: 1) y x2 2 1 4 lnx, 2 x 4 . 2) y ln 1 x2 de x 1 4 ax 3 4 . 3) y 1 4 x4 1 8x2 de x 1 ax 2 . 4) y 1 ln sen x de x 6 ax 4 . 5) y 1 2 ex e x de x 0 ax 1. Saiba Mais... Para aprofundar os conteúdos abordados neste capítulo consulte: FLEMMING, D. M.; GONÇALVES, M. B. Cálculo A: Fun- ções, Limite, Derivação, Integração, 5ª ed. São Paulo: Makron Books, 1992. LEITHOLD, Louis. O cálculo com geometria analítica. 2. ed. São Paulo: Harbra, 1994. Vol. 1. compreendeu estas importantes e para isto tente resolver os exercícios propostos a seguir. Se las antes de seguir adiante. Módulo 2 347 RESUMO do sólido de revolução, e no comprimento de arco de uma curva utilizando o sistema de coordenadas cartesianas. Curso de Graduação em Administração a Distância 348 RESPOSTAS Exercícios propostos – 1 1) a) 12 unidades de área. b) 16 3 unidades de área. 2) 4 3 unidades de área. 3) 4 unidades de área. 4) 8 3 unidades de área. 5) 2 unidades de área. Exercícios propostos – 2 1) a) 57 u.v.; b) 1016 15 u.v. 2) 2 e6 1 e2 u.v.; 3) a) 2500 u.v. b) 30 u.v. c) 243 20 u.v. d) 21 u.v. Exercícios propostos – 3 1) 6+ 1 4 ln2 6,173u.c. 2) ln 21 5 1 2 u.c. 3) 123 32 u.c. 4) 1 2 ln2 ln 2 2 ln 2 3 u.c. 5) 1 2e e2 1 u.c. • • •
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