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exercício resolvido Integrais unidade de comprimento do arco

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Módulo 2
327
Aplicações da Integral
Nesta seção vamos abordar uma das aplicações 
matemático – a determinação da área de uma região R do plano, que 
estudamos na Unidade 7.
f (x) e g(x) sejam funções con-
a, b e que f (x) g(x) para todo x em
a, b . Então, a área da região limitada acima por y f (x) , abaixo por 
y g(x) , à esquerda pela reta x a e à direita pela retax b , confor-
A f (x) g(x) dx
a
b
.
A partir deste momento 
passaremos a examinar 
as aplicações do conteúdo 
estudado na Unidade anterior.
Curso de Graduação em Administração a Distância
328
x0 a b
y
f(x)
g(x)
[ ]
A
Figura 8.1
-
de integração. Segue abaixo um procedimento sistemático que podemos 
seguir para estabelecer a fórmula, utilizando os seguintes passos.
Passo 1.
acima e qual limita abaixo.
Passo 2. a e b serão 
as abscissas x dos dois pontos de interseção das curvas y f (x)
e y g(x) . Para tanto iguala-se f (x) e g(x) , ou seja, faz 
f (x) g(x) e resolve-se a equação resultante em relação a x.
Passo 3.
curvas.
Observação 
f (x) , pelas retasx a e x b e o eixo x, onde f (x) é uma 
função contínua sendo f (x) 0 , para todo x em a, b , conforme 
Módulo 2
329
x0
a b
y
f(x)
A
Figura 8.2
O cálculo da área A é dado por:
A f (x) dx
a
b
,
Apresentaremos alguns exemplos de cálculo de área entre duas curvas:
Exemplo 8.1 Determinar a área da região limitada entre as curvas:
y f (x) x 6 e y g(x) x2 .
Resolução: Utilizando o procedimento sistemático apresentado 
acima, temos os seguintes passos:
Passo 1. Esboço da região
y
x0−1 1 2 3−2
2
4
6
8
10
Figura 8.3
Curso de Graduação em Administração a Distância
330
Passo 2. Para encontrar os limites de integração ,fazemos
f (x) g(x) , isto é, x 6 x2 ou x2 x 6, que fornece
x2 x 6 0
da equação acima, x 2 e x 3 , que serão os limites de inte-
gração. Observe, pelo x 6 x2 , para todo 
x em 2, 3 .
Passo 3. Calculando a área da região limitada por:
y f (x) x 6 e y g(x) x2 em 2, 3 temos :
A f (x) g(x) dx
a
b
 = x 6 x2
2
3
dx x 6 x2 dx
2
3
 =
x2
2
6x
x3
3
2
3
 =
32
2
6 3
33
3
( 2)2
2
6 ( 2)
( 2)3
3
 =
9
2
+ 18 32
4
2
12
8
3
 =
9
2
+ 18 9 2 12 +
8
3
 
9
2
9 10
8
3
9 18
2
30 8
3
 =
27
2
22
3
27
2
22
3
 = 
81 + 44
6
125
6
 u.a.
Portanto, a área limitada por 
y f (x) x 6 e y g(x) x2 em 2, 3 é 
125
6
unidades de área.
Exemplo 8.2 Determinar a área da região limitada por 
y f (x) 4 e y g(x) x2 .
Módulo 2
331
Resolução: Utilizando o procedimento sistemático apresentado 
acima, temos os seguintes passos:
Passo 1. Esboço da região:
y
x0−1 1 2−2
1
2
3
4
5
Figura 8.4
Passo 2. Para encontrar os limites de integração fazendo
f (x) g(x) ,temos,4 x2 ou x2 = 4. Logo,x 4 = 2 , ou seja,
x
1
2 e x
2
2. Assim,a 2 e b 2 .
Passo 3. A área da região limitada por y f (x) 4 e y g(x) x2 ,
em 2, 2 será:
A f (x) g(x) dx
a
b
 = 4 x2 dx 4x
x3
3
2
2
2
2
 = 4 2
23
3
4 ( 2)
( 2)3
3
 = 8
8
3
8
8
3
8
8
3
8 +
8
3
 = 8
8
3
+ 8
8
3
= 16 2
8
3
= 16
16
3
 =
48 16
3
32
3
 u.a.
Portanto, a área limitada por y f (x) 4 e y g(x) x2 em
2, 2 é 
32
3
unidades de área.
Curso de Graduação em Administração a Distância
332
Exemplo 8.3 Determinar a área da região limitada por
y f (x) 8 x2 e g(x) x2 .
Resolução: Temos os seguintes passos:
Passo 1. Esboço da região:
y
x0−1 1 2−2
1
2
3
4
5
6
7
8
Figura 8.5
Passo 2. Para encontrar os limites de integração, fazemos
f (x) g(x) , isto é, 8 x2 x2 , que fornece 8 2 x
2 e
x
1
2 e x
2
2 . Assim,a 2 e b 2 .
Passo 3. A área da região limitada por y f (x) 8 x2 e g(x) x2
será:
A f (x) g(x) dx
a
b
8 x2 x2 dx
2
2
 = 8 2 x2 dx
2
2
8 x 2
x3
3
2
2
 = 8 2 2
23
3
8 ( 2) 2
( 2)3
3
 = 16 2
8
3
16 2
8
3
Módulo 2
333
= 16
16
3
+ 16
16
3
= 32 2
16
3
 = 32
32
3
=
96 32
3
64
3
 u.a.
Portanto, a área limitada por y f (x) 8 x2 e g(x) x2 em
2, 2 é 
64
3
unidades de área.
Exemplo 8.4 Determinar a área limitada pela curva y f (x) x2 5x ,
o eixo x e as retasx 1 e x 3.
Resolução: Temos os seguintes passos:
Passo 1. Esboço da região.
y
x0
1 1,5 2,52 3
−1
−6
−5
−4
−3
−2
Figura 8.6
Passo 2. Os limites de integração sãoa 1 e b 3 .
Passo 3. A área limitada pela curva y f (x) x2 5x o eixo x
e as retasx 1 e x 3, será:
Curso de Graduação em Administração a Distância
334
A x2 5x dx
1
3 x3
3
5
x2
2
1
3
 =
33
3
5
32
2
13
3
5
12
2
 =
27
3
5
9
2
1
3
5
1
2
 = 9
45
2
1
3
5
2
18 45
2
2 15
6
 =
27
2
13
6
27
2
13
6
 =
81 + 13
6
68
6
34
3
34
3
u.a.
Portanto, a área limitada pela curva y f (x) x2 5x , o eixo x
e as retas x 1 e x 3 é 
34
3
unidades de área.
Exemplo 8.5 Encontrar a área da região limitada pela curva 
y f (x) sen x e pelo eixo x de 0 a 2 .
Resolução: 
Passo 1. Esboço da região:
0
1
1
y
x
2 2
Figura 8.7
Módulo 2
335
Passo 2. Para determinar os limites de integração, temos, pelo 
0 , , f (x) sen x 0 e no interva-
lo , 2 , f (x) sen x 0 .
Passo 3. A área da região limitada pela curva f (x) sen x , e pelo 
eixo x de 0 até 2 será:
A sen x dx sen x dx
2
cosx
0
cosx
2
0
 = cos ( cos 0) + cos 2 ( cos
 = ( 1) ( 1) + 1 ( 1)
 = 1 + 1 + 1 1 = 2 + 2 = 2 + 2 = 4 u.a.
Portanto, a área da região limitada pela curva f (x) sen x e pelo eixo 
x de 0 até 2 é 4 unidades de área.
Exercícios propostos – 1 
a) 
y
x0 1 2 3 4
1
2
3
4
5
Figura 8.8
dúvidas, busque orientação junto ao 
Curso de Graduação em Administração a Distância
336
Onde y f (x) x 1 . 
b) y
x0 1 2 3 4
1
2
3
4
Figura 8.9
Onde y f (x) x .
 
2) Determinar a área da região limitada por:
y f (x) x e y g(x) x2 x .
3) Determinar a área da região limitada por y f (x) x 1, o eixo 
x e as retasx 2 e x 0 .
4) D e t e r m i n a r a á r e a d a r e g i ã o l i m i t a d a p o r
y f (x) x2 e y g(x) x2 4x .
5) Calcular a área da região limitada por y f (x)
1
x
 , o eixo x e 
as retasx 1 e x 4 .
Volume de sólido de revolução
-
centro de 
massa e de momento de inércia. Como é difícil determinar o volume de 
um sólido de forma irregular, começaremos com objetos que apresentam 
formas simples. Incluídos nesta categoria estão os sólidos de revolução.
Módulo 2
337
Um sólido de revolução é gerado pela rotação de uma região do pla-
eixo de revolução, contida no plano.
Seja S o sólido gerado pela rotação da região do plano limitada 
por y f (x) , o eixox , x a e x b em torno do eixox . Então o 
volume V deste sólido é dado por:
V f (x)
2
a
b
dx.
-
tes aos usados para calcular a área de uma região plana e limitada, mas 
x0a b
y
y = f(x)
Figura 8.10
Curso de Graduação em Administração a Distância
338
x
y
Figura 8.11
Analogamente, quando o eixo de revolução é o eixo y e a frontei-
ra da região plana é dada pela curva x g(y) e o eixo y entre y c e
y d , então o volume V do sólido de revolução é dado por
V g y
2
dy.
c
d
x0
c
d
y
x = g(y)
Figura 8.12
Módulo 2
339
Sejam f x e g x funções contínuas no intervalo a,b e su -
mos que f x g x 0 para todo x a,b . Então o volume do sólido 
de revolução gerado pela rotação em torno do eixox , da região limitada 
pelas curvas y f x e y g x e as retas x a e x b é dado por:
V f x
2
g x
2
a
b
dx.
x0a b
y
y = f(x)
y = g(x)
Figura 8.13
x
y
Figura 8.14
Curso de Graduação em Administração a Distância
340
Exemplo 8.6 A região limitada pela curva y x2 , o eixo x e as retas 
x 1 e x 2 , sofrem uma rotação em torno do eixox . Encontre o 
volume do sólido de revolução gerado.
Resolução: 
x0 1 2
1
4
y
y = f(x)
Figura 8.15
Temos:
V f x
2
dx
a
b
x2
2
1
2
dx
x5
5
1
2
5
32 1
31
5
, unidades de volume (u.v.).
Exemplo 8.7 Calcule o volume do sólido que se obtém por rotação da 
região limitada por y x3 , y 0 e x 1 em torno do eixo y .
Módulo 2
341
Resolução: 
x0 0,5−0,5−1 1 1,5 2
0,5
−0,5
−1
1,5
2
1
y
y = x3
Figura 8.16
De y x3 temosx y1/3 . Logo,o volume do sólido obtido pela 
revolução em torno do eixo y é dado por
V g y
c
d 2
dy y2/3dy
0
1
 
3
5
y5/3
0
1 3
5
u.v.
Exemplo 8.8 Calcule o volume do sólido que se obtém por rotação da 
região limitada por x2 y 2 , 2y x 2 0 , x 0 e x 1em torno 
do eixox .
Curso de Graduação em Administração a Distância
342
Resolução:
y
x
5
3
1
−1
4
2
0−2 2 4
x² = y−2
2y−x−2 = 0
Figura 8.17
(a) Volume do sólido em torno do eixox . Neste caso, temos
V f x
2
g x
2
a
b
dx
 
x2 2
2 1
2
x 1
2
0
1
dx
 
x4
15
4
x2 x 3
0
1
dx
 
x5
5
5x3
4
x2
2
3x
0
1
 
1
5
5
4
1
2
3
79
20
u.v.
Módulo 2
343
Exercícios propostos – 2
1) Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação em 
torno do eixox , de região limitada por:
a) y 2x 1, x 0, x 3 e y 0.
b) y x2 1, x 1, x 3 e y 0.
2) Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação 
em torno do eixo y , de região limitada por: y lnx, y 1, y 3
e x 0.
3) Calcule o volume do sólido obtido girando cada região limitada 
pelas curvas e retas dadas em torno do eixo indicado:
a) y 2x2 , y 0, x 0, x 5 ; em torno do eixo dosx .
b) y x2 5x 6, y 0 ; em torno do eixo dosx .
c) y2 2x , x 0 , y 0 e y 3; em torno do eixo dos y .
d) y 2x 1, x 0 , x 3 e y 0 ; em torno do eixo dosx .
Curso de Graduação em Administração a Distância
344
Comprimento de arco
A seguir, apresentaremos o comprimento de arco de uma curva 
plana em coordenadas cartesianas. Seja f uma função contínua no in-
[a,b] y f (x) .
y
xa b
y = ƒ(x)
B = (b,ƒ(b))
A = (a,ƒ(a))
Figura 8.18
Sejam A a, f (a) e B(b, f (b)) dois pontos na curva y f (x) .
Seja s o comprimento da curva ABª y f (x) .
Então, s é dado por
s 1 f '(x)
2
a
b
dx.
A seguir, apresentaremos alguns exemplos.
Exemplo 8.9 Determinar o comprimento de arco da curva y
x
2
1 ,
0 x 3 .
Resolução: Temos,
y
x
2
1 y '
1
2
.
Módulo 2
345
Logo,
s 1 f '(x)
2
dx
a
b
1
1
40
3
dx
5
40
3
dx
5
4
x
0
3 3
2
5.
Portanto, o comprimento de f (x)
x
2
1 , para 0 x 3 é dada 
por s
3
2
5 u.c.
Exemplo 8.10 Calcule o comprimento do arco da curva 24xy x4 48
de x 2 a x 4
Resolução: Temos,
24xy x4 48
y
1
24
x3
2
x
y '
3x2
24
2
x2
x4 16
8x2
.
Agora,
s 1 y '
2
dx
a
b
1
x4 16
8x2
2
2
4
dx
1
1
64x4
x8 256 32x4
2
4
dx
x8 32x4 256
64x4
dx
2
4
(x4 16)2
(32x2 )2
dx
2
4 (x4 16)2
(32x2 )2
dx
2
4
x4 16
8x22
4
dx
1
8
x2 16x 2
2
4
dx
1
8
x3
3
16
x
2
4
1
8
64
3
4
8
3
8
1
8
56
3
4
17
6
u.v.
Curso de Graduação em Administração a Distância
346
Exercícios propostos – 3
Determine o comprimento das curvas dadas por:
1) y
x2
2
1
4
lnx, 2 x 4 .
2) y ln 1 x2 de x
1
4
 ax
3
4
.
3) y
1
4
x4
1
8x2
de x 1 ax 2 .
4) y 1 ln sen x de x
6
 ax
4
.
5) y
1
2
ex e x de x 0 ax 1.
Saiba Mais...
Para aprofundar os conteúdos abordados neste capítulo consulte:
FLEMMING, D. M.; GONÇALVES, M. B. Cálculo A: Fun-
ções, Limite, Derivação, Integração, 5ª ed. São Paulo: Makron 
Books, 1992.
LEITHOLD, Louis. O cálculo com geometria analítica. 2. ed. 
São Paulo: Harbra, 1994. Vol. 1.
compreendeu estas importantes 
e para isto tente resolver os 
exercícios propostos a seguir. Se 
las antes de seguir adiante.
Módulo 2
347
RESUMO
do sólido de revolução, e no comprimento de arco de uma curva 
utilizando o sistema de coordenadas cartesianas.
Curso de Graduação em Administração a Distância
348
RESPOSTAS
Exercícios propostos – 1
1) a) 12 unidades de área. b) 
16
3
unidades de área.
2) 
4
3
unidades de área.
3) 4 unidades de área.
4)
8
3
unidades de área.
5) 2 unidades de área.
Exercícios propostos – 2
1) a) 57 u.v.; b)
1016
15
u.v.
2) 
2
e6
1
e2
u.v.; 
3) a) 2500 u.v. b)
30
u.v.
 c)
243
20
u.v. d) 21 u.v.
Exercícios propostos – 3
1) 6+
1
4
ln2 6,173u.c. 
2) ln
21
5
1
2
u.c. 3) 
123
32
u.c.
4) 
1
2
ln2 ln 2 2 ln 2 3 u.c.
5) 
1
2e
e2 1 u.c.
•
•
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