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Conceitos Básicos de Estatística

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Teste 1
1. A parcela da população convenientemente escolhida para representá-la é chamada de:
 1) variável. 
 2) rol. 
->3) amostra. 
 4) dados brutos. 
 5) Nada podemos afirmar, a informação é incompleta. 
2. Ao nascer os bebês são pesados e medidos, para se saber se estão dentro das tabelas de peso e altura esperados. Estas duas variáveis são:
 1) qualitativas. 
 2) ambas discretas. 
 ->3) ambas contínuas. 
 4) continua e discreta, respectivamente. 
 5) discreta e contínua, respectivamente. 
3. Por definição, o rol é qualquer sequência ordenada de valores referentes a uma mesma variável. Então, dadas as sequências da mesma variável x:
I. -2, 4, 5, 6, 7.
II. 1, 3, 3, 6, 7.
III. 8, 7, 5, 2, 1.
IV. 5, 4, 4, -1.
 
podemos afirmar que:
->1) todas elas constituem róis. 
 2) só a sequência I constitui rol. 
 3) a sequência II não é um rol mas as outras sim. 
 4) apenas as sequências I e IV não são róis. 
 5) somente a sequência III é um rol, as demais não. 
4. O método estatístico tem como um dos seus fins:
-> 1) estudar os fenômenos estatísticos. 
 2) estudar qualidades concretas dos indivíduos que formam grupos. 
 3) determinar qualidades abstratas dos indivíduos que formam grupos. 
 4) determinar qualidades abstratas de grupos de indivíduos. 
 5) estudar fenômenos numéricos.
Teste 2
1. A distribuição a seguir indica o número de acidentes ocorridos com 70 motoristas de uma empresa de ônibus:
 
No de Acidentes	 	0	1	2	3	4	5	6	7
No de Motoristas		20	10	16	9	6	5	3	1
 
Para as questões a seguir assinale a resposta correta:
 
O número de motoristas que sofreram pelo menos 4 acidentes é igual a:
 1) 6 
 2) 9 
->3) 15 
 4) 55 
 5) 26 
2. O número de motoristas que sofreram no mínimo 3 e no máximo 5 acidentes é dado por:
->1) 20 
 2) 54 
 3) 23 
 4) 24 
 5) 50 
3. A percentagem de motoristas que sofreram no máximo 2 acidentes é dada por:
 1) 44,3% 
 ->2) 65,7% 
 3) Menor que 60% 
 4) Maior que 70% 
 5) Exatamente 60%
Teste3
1. O agrupamento dos valores de uma variável com suas respectivas freqüências denomina-se:
 1) Planilha de dados 
 2) Rol 
 ->3) Distribuição de frequências 
 4) Freqüência absoluta 
 5) Tabela de série específica. 
2. A primeira classe de uma distribuição de freqüências deve:
 1) ser representada pelo menor valor do conjunto de dados 
 2) incluir o menor valor do conjunto de dados
->3) iniciar-se com o menor valor do conjunto de dados 
 4) terminar com o menor valor do conjunto de dados 
 5) não precisa conter o menor valor do conjunto de dados 
3. Com base na distribuição a seguir, resultante de pesos de adolescentes, responda às questões de 3 a 5:
 
 Nessa distribuição, o intervalo usado é:
 1) aberto à esquerda 
->2) fechado à esquerda 
 3) aberto 
 4) fechado 
 5) aberto à esquerda e à direita 
4. Nessa distribuição os pontos médios são:
 1) 42, 44, 46, 48, 50. 
 2) 44, 46, 48, 50, 52. 
 3) 86, 90, 94, 98, 102. 
->4) 43, 45, 47, 49, 51. 
 5) 43, 45, 48, 50, 52. 
5. Nessa distribuição, a amplitude total do fenômeno estudado e a amplitude do intervalo de classe são respectivamente:
->1) 10 e 2. 
 2) 2 e 10. 
 3) 12 e 2. 
 4) 10 e 50. 
 5) 52 e 22.
Aula1
e a ciencia que estuda metodo de coleta, organizacao, descricao, analise e interpretacao de dados,para obtencao de conclusoes validas e tomadas de decisoes.
Estatisca descritiva:
- Coleta, organizacao e descriacao de dados.
Estatistica Inferencial:
- Analise e interpretacao dos dados
Estatistica das probabilidades:
_ Estudo do risco e do acaso de eventos futuros e determina se eh possivel ou nao seu acontecimento.
Variavel:
- Para cada experimento ou informacao obtemos um numero de resultados possiveis.
Tipos:
Qualitativa:
- quando seus valores sao expressos por atributo:
-- Nominais:
- quando nao permitem comparacoes.
-- Ordinais:
- quando permitem comparacoes.
Quantitativa:
- Quando os seus valores sao expressos por numeros:
-- Discretas:
- quando assumir valores pertencentes a um conjunto enumeravel.
-- Continuas:
- quando puder assumir qualquer valor em um determinado intervalo.
Rol:
- Conjunto ordenado de dados.
Atenção
* A notação sigma, E, que é muito comum em Estatística, 
designa soma de números
Aula 2
Apresentação e Organização de Dados
Frequencias Relativas e Percentuais
Olhando tabela podemos, por exemplo, 
responder facilmente às questões:
a. No mês, qual o percentual de vendas diárias  de 12 aparelhos ?
A melhor opção é a leitura pura e simples na coluna da freqüência relativa percentual do dado três, fr3 % = 17 % , isto é, em 17% dos dias no mês foram vendidos 12 aparelhos.
b. Em quantos dias no mês foram vendidos 15 aparelhos?
Basta analisar o valor da frequência simples do dado seis,  f6 = 2 dias.
c. Qual o dado que aparece mais frequentemente na tabela ? 
Basta olhar o dado com a maior frequência simples (i = 5), 
isto é, 14 aparelhos.
Frequencias acumuludas simples
Frequências Relativas Acumuladas
Por exemplo, a freqüência relativa acumulada do dado seis é dada por:
 Fr6 = 22/24 =  0, 96.
As freqüências relativas acumuladas na forma de porcentagens são obtidas pela equação a seguir:
Por exemplo, a freqüência relativa acumulada do dado seis é dada por:
 Fr6 = 0, 96. 100 % = 96%.
Com o conhecimento dos vários tipos de frequências, podemos extrair com facilidades vários tipos de informações da distribuição de freqüências, como por exemplo:
a. As vendas diárias de no máximo 14 aparelhos ocorreram em 
20 dias no mês.
Na tabela, a opção de leitura é a do dado 5 na coluna das freqüências acumuladas simples, F5 = 20.
b. O percentual de vendas diárias de pelo menos 13 aparelhos é de 66% .
Na tabela, os dados considerados irão de i = 4 até i = 8, assim nas colunas das frequências acumuladas percentuais basta calcularmos:  
F8 % - F3% = 100 – 34 = 66 % dos dias.
c. O percentual de vendas diárias de 10 aparelhos é de 4%.
Na tabela, a opção de leitura é do 
dado 1 na coluna das freqüências 
percentuais,  relativas  fr1 = 4.
Lembre que Xi é a variável do problema e fi, fi%, Fi e Fi% são respectivamente as freqüências simples, simples percentual, acumulada e acumulada percentual.
Aula3
Amplitude amostral:
AA= max - min
Intervalos de classes
Regra de Sturges
I =~ 1+3,3 * log (n)
Amplitude de intervalos:
h=AA/i

Aula4
Medida e tendenca central
Media aritmetica
- envolve todos os elementos
- e influenciada por dados com valores muito pequenos e muito grandes
- e unica
Meda mediana
- havera sempre uma unica mediana
- nao e influenciada com dados muito pequenos e grandes
Media moda
- pode nao ser unica
- pode nao existir
- caracterizada como o valor mais tipico do conjunto de dados
Media aritmetica ponderada
- X__=soma*X*f / soma.f
Dados agrupados sem intervalos de classes:
- Mediana:
- incluir na frequencia simples coluna com frequencia acumulada
- identificar a frequencia acumulada superior a metade do somatorio da frequencia simples
- observar o valor da variavel da frequencia acumulada identificada no procedimento anterior
Dados agrupados com intervalos de classes
- acrescentar uma coluna com as frequencias acumuladas
- calcular a metade do tamnho da amostra: soma de F/2
- encontrar a classe mediana que correponde aclasse associada a frequencia acumulada imediatamente superior a soma f/2
- aplicar a formula, Md = LI(md)+A(md)/f(md) (somaf/2 -F(md-1)
Aula5
Media geometrica:
- MG Raiz(n) de x1*x2*x(n)
Media geometrica e sempre menor ou igual a media aritmetica
Razao = f2:f1
(1+MG) percentual
(1+perc)x(1+perc)...
Medidas de posicao relativa:
- primeiro quartil(Q1), deixa a quarta parte ou 25% dos dados abaixo
- Q2, = mediana
- Q3, deixa3/4 ou 75% abaixo
MG dados nao agrupados:
- Q1 sera variavel da posicao (n/4); Q2 (2n/4) e Q3 (32/4)
Se a divisao for fracao, arredonda-se para cima, e o valor sera a variavel desta posicao
Se for numero inteiro,o quartil sera media aritmetica da variavel que ocupar a posicao com o valor da variavel da posicao seguinte
MG Dados agrupados:
Amplitude interquartil = Q3 - Q1
PeE
aula6
A Analise Combinatoria visa desenvolver metodos que permitam contar - de uma forma indireta - o número de elementos de um conjunto, estando esses elementos agrupados sob certas condicões.
Diagrama de arvore
Consideremos o seguinte problema: 
Uma lanchonete oferece a seus clientes apenas 
dois tipos de sanduíches:  
hot dog e hambúrger. Como sobremesa, ha três opcões: 
sorvete, torta ou salada de frutas.  
Pergunta-se: quantas sao as possibilidades de uma pessoa 
fazer uma refeicao incluindo um sanduíche e uma sobremesa?  
Podemos ter as seguintes refeicoes
HOT DOG e SORVETE
HOT DOG e TORTA
HOT DOG e SALADA DE FRUTAS
HAMBURGER e SORVETE 
HAMBURGER e TORTA
HAMBURGER e SALADA DE FRUTAS
A determinacao de tais possibilidades pode ser simplificada atraves de um diagrama, em que, na 1ª coluna, representaremos as possibilidades de escolha do sanduíche e, na 2ª coluna, as possibilidades de escolha da sobremesa.
1 COLUNA
HOT DOG e SORVETE
HAMBURGER
2 COLUNA
SORVETE
TORTA
SALADA DE FRUTAS
SORVETE
TORTA
SALADA DE FRUTAS
RESULTADO
REFEICAO 1
REFEICAO 2
REFEICAO 3
REFEICAO 4
REFEICAO 5
REFEICAO 6
Este esquema e conhecido como diagrama de arvore. Fazendo a leitura de todas as “ramificacões” da arvore, obtemos as possíveis refeicões. 
Notemos que fazer uma refeicao completa representa uma acao constituída de duas etapas sucessivas:
1 - Escolha do tipo de sanduíche: ha duas possibilidades.
2 - Escolha da sobremesa: para cada uma das possibilidades anteriores, ha três maneiras de escolher a sobremesa
Assim, a realizacao da acao (duas etapas sucessivas) pode ser feita assim:
2 x 3 = 6 maneiras distintas de se escolher uma refeicao.
PRINCIPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM -PFC
Suponhamos que uma acao seja constituida de duas etapas sucessivas. A primeira etapa pode ser realizada de p maneiras distintas. Para cada uma dessas possibilidades, a 2a. etapa pode ser realizada de q maneiras distintas. Entao, o numero de possibilidades de se efetuar a acao completa e dado por (p x q).
Esse principio pode ser generalizado para acoes constituidas de mais de duas etapas sucessivas. Se determinado acontecimento ocorre em etapas independentes, e se a primeira etapa pode ocorrer de k1 maneiras diferentes, a segunda de k2 maneiras diferentes, e assim sucessivamente, entao o número total T de maneiras de ocorrer o acontecimento, composto por n etapas, e dado por:
T=k1.k2.k3,... .kn
EXEMPLOS
1 - No Brasil as placas dos veículos possuem 3 letras e 4 algarismos. Qual o número maximo de veículos que podera ser licenciado? Imaginemos a seguinte situacao:  Placa ACD – 2172. 
Como o alfabeto possui 26 letras e nosso sistema numerico possui 10 algarismos (de 0 a 9), podemos concluir que:
para a 1ª posicao, temos 26 alternativas, e como pode haver repeticao, para a 2ª, e 3ª tambem teremos 26 alternativas. Com relacao aos algarismos, concluímos facilmente que temos 10 alternativas para cada um dos 4 lugares. Podemos entao afirmar que o número total de veículos que podem ser licenciados sera igual a:  
26 . 26 . 26 . 10 . 10 . 10 . 10 = 175.760.000.  
2 - No Brasil, antes da alteracao do sistema de emplacamento de automoveis, as placas dos veículos eram confeccionadas 
usando-se 2 letras do alfabeto e 4 algarismos. Qual o número maximo de veículos que podia ser licenciado nesse sistema? 
Imaginemos a seguinte situacao: Placa AC – 2172. 
 
Podemos entao afirmar que o número total de veículos que podem ser licenciados sera igual a:  
26 . 26 . 10 . 10 . 10 . 10 = 6.760.000.  
Percebe-se que a inclusao de apenas uma letra faz com que sejam licenciados, 
aproximadamente, mais 170.000.000 de veículos. 
Fatorial De Um Número Natural 
Para resolver problemas de Analise Combinatoria precisamos utilizar uma ferramenta matematica chamada Fatorial.  
Seja n um número inteiro nao negativo. Definimos o fatorial de n (indicado pelo símbolo n!) como sendo: 
n! = n . (n-1) . (n-2) . ... . 4 . 3 . 2 . 1   para n ≥ 2. 
Se n = 1, entao 1! = 1. 
Se n = 0, entao 0! = 1.  (o fatorial de zero e sempre 1)
Resumindo: n! = n.(n-1)! | n E N e n >= 2
Exemplos: 
a) 6! = 6 . 5! = 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 720
b) 4! = 4 . 3! = 4 .3 .2 . 1 = 24
c) 7! = 7 . 6! = 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 5040
d) 10! = 10 . 9 .8 .7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 3628800
e) 3! = 3 . 2 . 1 = 6 
Perceba que 7! = 7 . 6 . 5 . 4!, ou que 6! = 6 . 5 . 4 . 3!, e assim sucessivamente.
Arranjo Simples
Dado um conjunto com n elementos distintos, chama-se arranjo dos n elementos, tomados k a k, a qualquer seqüência ordenada de k elementos distintos escolhidos entre os n existentes. 
Temos um Arranjo quando os agrupamentos conseguidos ficam diferentes ao se inverter a posicao dos seus elementos.  
Perceba que para formar centenas com algarismos distintos, utilizando apenas os algarismos (1; 3; 5; 7; 9) teremos as seguintes centenas: 135; 137; 139; 153, 157, e assim sucessivamente.  
Se invertermos a posicao dos elementos de qualquer uma destas centenas conseguiremos outra centena diferente: 135 e 351.  
Temos entao um ARRANJO de cinco elementos tomados de três a três.  
Exemplo 1
Dado o conjunto A = (1,2,3,4), vamos escrever todos os arranjos desses quatro elementos tomados dois a dois.
(1,2);(1,3);(1,4);(2,1);(2,3);(2,4);(3,1);(3,2);(3,4);(4,1);(4,2);(4,3)
Notamos que (2,3) diferente de (3,2), isto e, a troca na ordem dos elementos de um possivel agrupamento gera um agrupamento diferente.
Exemplo 2
Um cofre possui um disco marcado com os digitos 0,1,2,...,9. O segredo do cofre e marcado por uma sequencia de 3 digitos distintos.
Se uma pessoa tentar abrir o cofre, quantas tentativas devera fazer (no maximo) para conseguir abri-lo?
As sequencias serao do tipo xyz. Para a primeira posicao teremos 10 alternativas, para a segunda, 9 e para a terceira, 8 (lembrando que sao digitos distintos, ou seja, diferentes). Aplicando a formula de arranjos pelo PFC, chegaremos ao mesmo resultado: 10.9.8 = 720.
Observe que 720 = A10,3
CALCULO DE NUMERO DE ARRANJOS
Seja um conjunto de n elementos distintos. Vamos encontrar uma expressao para o numero de arranjos dos n elementos tomados k a k:
(An,k).
A formula do arranjo e: An,k= n!/(n-k)! | n>= k
Exemplo
Obter o valor de A4,2+A7,3.
Temos
A4,2=4!/(4-2)! = 4!/2! = 4.3.2/2 = 12
A7,3 = 7!/(7-3)! = 7!/4! = 7.6.5.4!/4! = 210
Logo o valor de A4,2+A7,3 sera: 12+210 = 222
Permutacões simples
Permutacões simples de n elementos distintos sao os agrupamentos formados com todos os n elementos e que diferem uns dos outros pela ordem de seus elementos.
De outro modo, podemos entender permutacao simples como um caso especial de arranjo, onde n * k, ou seja:
An,k = n!/(n-k)! = n!/0! = n!/1 = n!
Portanto, a formula da Permutacao e:
Pn = n!
Notemos que a permutacao e um caso particular de arranjo, pois, dado um conjunto de n elementos distintos, selecionamos exatamente n elementos para forma a seqüência ordenada (n « k).
Exemplo 1: 
Escrever todos os anagramas da palavra SOL.  
Um anagrama da palavra SOL e qualquer permutacao das letras S, O, L de modo que se forme uma palavra com ou sem sentido. 
Assim, temos:  SOL, SLO, OSL, OLS, LOS, LSO. 
Exemplo 2: 
De quantas maneiras cinco pessoas, A, B, C, D e E  podem ser dispostas em fila indiana? 
Cada maneira de compor a fila e uma permutacao das cinco pessoas, pois qualquer fila obtida e uma seqüência ordenada na qual comparecem sempre as cinco pessoas.  
Assim, o resultado esperado e:  
 
P5 = 5!  = 5. 4 . 3 . 2. 1 = 120 
Exemplo 3: 
Baseado no exemplo anterior (cinco pessoas, A, B, C, D e E), quantas filas podem ser compostas comecando por A ou por B? 
A 1ª posicao da fila pode ser escolhida de duas maneiras (tanto A como B pode inicia-la). 
Definido o início da fila, restarao sempre quatro lugares para serem preenchidos pelas quatro pessoas restantes, num total de:
P4 = 4!  =  24 possibilidades. 
 
Pelo PFC, o resultado e: 2 x 24 = 48.
Permutacao com elementos repetidos  
Se entre os n elementos de um conjunto, existem a elementos repetidos, b elementos repetidos, c elementos repetidos e assim sucessivamente, o número total de permutacões que podemos formar e dado por:  
Pn(a,b,c) = n!/a!b!c!
Exemplo 1
Determine o numero de anagramas da palavra MATEMATICA.
Temos 10 elementos, com repeticoes.
A letra M esta repetida duas vezes, a letra A tres, a letra T, duas vezes.
Pela formula anterior, teremos:
n=10
a=2
b=3
c=2
P10(2,3,2) = 10!/2!3!2! = 151200
Exemplo 2
Quantos anagramas podem ser formados com as letras da palavra MARIA?
Temos:
n=5 (cinco letras)
a=2 (a letra A se repete duas vezes)
P5(2) = 5!/2!= 5.4.3.2!/2!= 60
Dado um conjunto A com n elementos distintos, chama-se combinacao dos n elementos de A, tomados k a k, a qualquer subconjunto formado por k elementos; ou seja, temos uma combinacao quando os agrupamentos conseguidos permanecem iguais ao se inverter a posicao dos seus elementos.
Observe que de cinco pessoas entre as quais desejamos formar grupos de tres, o grupo formado por Joao, Pedro e Luis e o mesmo grupo formado por Luis, Pedro e Joao. Temos entao, uma COMBINACAO de cinco elementos em grupos de tres.
A formula da Combinacao e dada por: Cn.k = n!/K!(n-k)!
EXEMPLO 1
Uma turma e formada por 10 alunos. Deseja-se formar uma comissao de três alunos para representacao discente na universidade. De quantas maneiras podemos fazer tal escolha? 
 
Como ao trocar a ordem das pessoas em cada comissao formada nao altera em nada o grupo, temos que trabalhar com combinacao. 
n = 10
k = 3
Cn,k = n!/k!(n-k)! = 10!/3!(10-3)! = 10.9.8.7!/3.2.7! = 120
EXEMPLO 2
Escrever todas as combinacões dos cinco elementos do conjunto M = {a, e, i, o, u} tomados dois a dois.  
 
Devemos determinar todos os subconjuntos de M formados por dois elementos. 
Lembremos que nao importa a ordem dos elementos escolhidos: 
{a, e} = {e, a}; portanto e combinacao. 
Cn,k = n!/k!(n-k)! = 5!/2!3! = 5.4.3!/2.3! = 10
EXEMPLO 3
Cinco alunos – Pedro, Luís, Jose, Abel e Marcio – participam de um concurso onde serao sorteados três livros. Quais os possíveis resultados do concurso? 
 
Sortear {Pedro, Jose, Marcio} e o mesmo que sortear {Jose, Marcio, Pedro}, 
pois nas duas situacões, esses alunos ganharao os livros. 
Desta forma, cada resultado do sorteio e uma combinacao dos cinco alunos tomados três a três. 
Temos:
n = 5
k = 3
Cn,k = n!/k!(n-k)! = 5!/2!3! = 5.4.3!/2.3 = 10
Quando e Arranjo, quando e Combinacao?
ARRANJO = É Arranjo quando os agrupamentos conseguidos ficam diferentes ao se inverter a ordem dos elementos.
COMBINACAO = É Combinacao quando os agrupamentos conseguidos nao se alteram ao se inverter a ordem dos elementos.
Combinacões = É Combinacao quando os agrupamentos conseguidos nao se alteram ao se inverter a ordem dos elementos.
PeE
aula7
A Historia da probabilidade
A historia do estudo da probabilidade se inicia com os homens das cavernas que sentiam temor e perplexidade ante os fenômenos naturais, porque nao podia explica-los. Mitos e magias dominavam o seu pensamento. Entao, de forma lenta e gradual, o homem comecou a compreender a natureza e aprendeu a respeita-la e a melhor aproveita-la. Assimilou que diversos dos fenômenos incertos poderiam ser modelados e melhor entendidos. Assim, nasciam as primeiras aplicacões praticas para as probabilidades.
Na antiguidade, acreditava-se que somente os deuses poderiam explicar a ocorrência de alguns eventos naturais. Na Grecia antiga, antever o futuro era um privilegio de Tiresias. Cego por vinganca divina, Tiresias recebeu de Zeus o dom da profecia. 
A necessidade de calcular o número de possibilidades existentes nos jogos de azar levou ao desenvolvimento da Analise Combinatoria. Trata-se de uma parte da Matematica que estuda os metodos de contagem. Esses estudos foram iniciados ja no seculo XVI, pelo matematico italiano Niccollo Fontana (1500-1557), conhecido como Tartaglia. Depois dele vieram os franceses Pierre de Fermat (1601-1665) e Blaise Pascal (1623-1662). 
Ja a partir do seculo XVII a incerteza passou a ser objeto de estudo dos matematicos, resultando na Teoria das Probabilidades. Para o matematico, probabilidade e porcentagem: freqüência com que ocorre o evento em relacao às alternativas possíveis. Iniciava-se assim, os estudos matematicos para compreender os jogos de azar e os riscos dos seguros, possibilitando o surgimento da Teoria da Probabilidade. 
Definicões de Probabilidade
Todas as vezes que se estudam fenômenos de observacao, cumpre-se distinguir o proprio fenômeno e o modelo matematico que melhor o explique.
Os fenômenos estudados pela Estatística sao fenômenos cujos resultados, mesmo em condicões normais de experimentacao variam de uma observacao para outra.
Para a explicacao desses fenômenos – fenômenos aleatorios – adota-se um modelo matematico probabilístico. Nesse caso, o modelo utilizado sera o CÁLCULO DAS PROBABILIDADES.
A probabilidade representa a relacao entre o número de eventos favoraveis ao que se estuda em relacao ao número possível de eventos.
 
A probabilidade P(x) de ocorrer um evento x e igual número de maneiras pelas quais x pode ocorrer dividido pelo número total de maneiras pelas quais o evento pode ocorrer. 
P(x) = No. de eventos favoraveis / No. de eventos possiveis = Eventos / Espaco amostral
Por exemplo,
A tabela abaixo reflete as vendas anuais e a razao de crescimento anual das vendas de uma determinada empresa:
ANOVENDASRAZAO
2005100000
20061400001,4
20072100001,5
20082730001,3
20092730001
A razao media de crescimento nas vendas ao longo desses anos e medida com base na media geometrica entre as razões anuais, a saber:
MG = (V4 de) 1,4.1,5.1,3.1 = (V4 de) 2,7.3 = 1,28540
om base na razao media poderíamos estimar, por exemplo, as vendas em 2009 a partir de 2005. Como existe um intervalo de quatro anos, a venda estimada para 2009 seria em torno de
VENDAS ESTIMADAS = 100000. (1,28540)4 = 272230
Pela tabela observamos que o valor estimado para as vendas se aproxima do valor real (273000).
Desafio!!!
Suponha que nos últimos quatro anos a inflacao tenha sido respectivamente de i1= 15%; i2= 20%; i3= 25% e i4= 50%. Qual a inflacao media anual?
Sugestao:
No calculo de variacões medias percentuais ou taxas de juros devemos adotar o seguinte esquema para o calculo da Media Geometrica
MG = (1 + iMG) = (Vn de) (1+i1)(1+i2)...(1+in)
gabarito: iinflacao media anual sera de 26,83%. (23)
Para quantificar o número de eventos favoraveis e o número de eventos possíveis, empregamos diferentes metodos:
Metodo classico:
Quando o resultado e provavel. Seu emprego e comum nas situacões que envolvem dados, moedas e baralhos. Nesses casos, se sabe previamente quais os resultados possíveis e desses, quantos sao favoraveis. 
Exemplos:
a) A probabilidade de sair “cara” ao se jogar uma moeda e 50% ou 1/2;
b) a probabilidade de extrair uma carta de copas de um baralho e 25% ou 1/4. 
C) Qual a probabilidade de se extrair uma bola vermelha de uma caixa com 12 bolas, sendo três vermelhas?
 
Resp: 3/12 = 25%
D) Quando dois dados sao jogados simultaneamente, existem seis resultados possíveis em cada dado, ou seja, 36 resultados possíveis no total. Qual seria a probabilidade de se obter a soma sete?
 
Solucao:
 
Para que a soma seja sete os pares devem ser: 
{(6,1)}; {(5,2)}; {(4,3)}; {(3,4)}; {(2,5)};{(1,6)}.
 
Assim, a probabilidade e igual a 6/36 = 1/6
Metodo empírico:
Depende da freqüência de ocorrer o evento, determinada a partir de uma serie de observacões praticas anteriores. Por exemplo, em uma cidade de 10.00 habitantes 4.000 sao do sexo feminino, estima-se que a probabilidade de um habitante escolhido ao acaso seja do sexo feminino e igual a 4.800/10.000, ou 0,48, ou 48%. Neste caso, a probabilidade esta associada à freqüência relativa (fi%).
Outro exemplo:
 
Qual a probabilidade de encontramos um aluno maior de idade em um colegio, sabendo que uma pesquisa com 1400 alunos apontou 800 maiores de idade. 
 
A probabilidade seria de 800/1400 = 57,14%.
Metodo subjetivo:
A probabilidade e estimada com base na opiniao pessoal. Por exemplo, um cientista político pode estimar que a probabilidade de vitoria da oposicao nas proximas eleicões seja de 60%.
Experimento aleatorio
É aquele experimento que quando repetido em iguais condicões, podem fornecer resultados diferentes, ou seja, sao resultados explicados ao acaso. Quando se fala de tempo e possibilidades de ganho na loteria, a abordagem envolve calculo de experimento aleatorio.
Um experimento apresenta as seguintes características fundamentais:
É possível conhecer previamente o conjunto de resultados possíveis;
A analise desses experimentos revela: 
A = Cada experimento podera ser repetido indefinidamente sob as mesmas condicões.
B = Nao se conhece um particular valor do experimento "a priori, porem podemos descrever todos os possíveis resultados - as possibilidades.
C = Quando o experimento for repetido um grande número de vezes, surgira uma regularidade (vide figura), uma estabilidade da fracao f = r/n (frequência relativa), 
onde o r e o número de sucessos e n e o número de repeticões.
Nao e possível prever o resultado;
Podem repetir-se varias vezes nas mesmas condicões.
Para entender melhor esses conceitos, convem observar o que ha de comum nos seguintes experimentos: 
Ex. 1: Retirar uma carta de um baralho com 52 cartas e observar seu naipe.
Ex. 2: Jogar uma moeda 10 vezes e observar o número de coroas obtidas.
Ex. 3: Retirar com ou sem reposicao, bolas de uma urna que contem 5 bolas brancas e 6 pretas
Ex. 4: Jogar um dado e observar o número mostrado na face de cima.
Ex. 5: Contar o número de pecas defeituosas da producao diaria de uma determinada maquina.
Espaco amostral
É o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatorio. A letra que representa o espaco amostral, “S” ou .
 
Para cada experimento aleatorio E, define-se espaco amostral o conjunto de todos os resultados possíveis desse experimento.  
Consideremos um experimento aleatorio. O conjunto de todos os possíveis resultados desse experimento e chamado espaco amostral (Ω). 
Indicaremos o número de elementos de um espaco amostral por n(Ω).
Exemplo 1 
a) E = Jogar um dado e observar o número mostrado na face de cima 
 Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 
 
b) E = jogar duas moedas e observar os resultados.  
 Ω = {(C,C), (C,K), (K,C), (K,K)} 
 
onde 
C = cara  
K = coroa. 
Exemplo 2 
Lancamos uma moeda honesta e observamos a face voltada para cima: 
Temos:   
Ω = {K,C}, n(Ω) = 2. 
 
Chamamos cada um dos resultados possíveis de ponto amostral. 
Exemplo 3
Uma urna contem cinco bolas vermelhas e quatro brancas. Duas bolas sao extraídas, ao acaso, sucessivamente e sem reposicao. Observamos a seqüência de cores das bolas sorteadas. 
Para determinar Ω, vamos construir um diagrama de arvore: 
Indicando vermelha por V e branca por B, temos: 
 
Ω = { (V, V), (V,B), (B,V), (B,B)}    n(Ω) = 4.
 
Cada par acima e um dos pontos amostrais de Ω. 
1a. extracao2a. extracao
vermelhavermelha
branca
brancavermelha
branca
Evento
Evento e um conjunto de resultados do experimento. Em termos de conjunto, e um subconjunto de Ω. Em particular, Ω e Ø (conjunto vazio) sao eventos. Ω e dito o evento certo e Ø o evento impossível.  Usando as operacões em conjunto, podemos formar novos eventos: 
A u B e o evento que ocorre se A ocorre ou ambos ocorrem.
A u B e o evento que ocorre se A e B ocorrem.
EXEMPLO: SEJAM OS EXPERIMENTOS:
A)JOGAR 3 MOEDAS E OBSERVAR OS RESULTADO
B) LANCAR UM DADO E OBSERVAR O NUMERO DE CIMA.
C)LANCAR UM DADO E OBSERVAR A OCORRENCIA DE NUMERO MAIOR QUE 8.
D)LANCAR UM DADO E OBSERVAR A OCORRENCIA DE MULTIPLO DE 2.
E)LANCAR UM DADO E OBSERVAR A OCORRENCIA DE NUMERO IMPAR.
ENTAO ( A) E B) ) 
E2 = OMEGA = {1,2,3,4,5,6} E UM EVENTO CERTO.
ENTAO
C) E3 = CONJUNTO VAZIO E UM EVENTO IMPOSSIVEL.
D) E4 = {2,4,6} OBSERVE QUE E4 OMEGA.
E) E5 = {1,3,5}; OBSERVER QUE E5 OMEGA.
Probabilidade de Um Evento
Agora podemos quantificar o grau de confianca de qualquer evento.  
Atribuímos a cada evento um número obtido da soma das imagens de cada um de seus elementos na relacao de freqüência. Este número chama-se probabilidade do evento. Observe como se resolve o seguinte caso. 
O experimento consiste em extrair uma bola do interior de uma caixa e observar sua cor. Ha um total de nove bolas na caixa: duas brancas, três vermelhas e quatro pretas. Qual sera a probabilidade de tirar uma bola que nao seja preta? 
Para solucionar temos que determinar o espaco amostral:
ELEMENTOPROBABILIDADE
BRACA2/9
VERMELHA3/9
PRETA4/9
OMEGA = (BRANCA, VERMELHA, PRETA)
Em alguns experimentos aleatorios, cada um dos resultados (eventos elementares) tem a mesma freqüência relativa esperada.  
Este e o caso de lancar uma moeda ou um dado e comprovar o resultado.  
Dizemos, entao, que o espaco amostral e equiprovavel, e que sua probabilidade e uniforme.
O evento “tirar uma bola de cor diferente do preto”, E = {B,V}, consta de dois elementos.  
Atribuímos a cada evento um número obtido da soma das probabilidades de cada elemento na relacao de freqüência. 
Portanto, se somarmos as probabilidades da bola branca, 2/9, e da vermelha, 3/9, que aparecem na relacao de freqüência, vamos conhecer o valor da probabilidade do evento A, indicado por P(E).  
Assim,
p(E) = 2/9 + 3/9 = 5/9
PeE
aula8
Axiomas da Probabilidade
Requisitos Logicos
Os conceitos basicos a partir dos quais se constroi a definicao de probabilidade sao conhecidos como os axiomas da probabilidade, sendo o seu conhecimento importante nao apenas para o entendimento dessa definicao mas tambem para compreender claramente as condicões necessarias à sua aplicacao.
Axiomas de Kolmogorov
Em 1933 o matematico russo Andrei Nikolaevich Kolmogorov (1903-1982) lancou as bases axiomaticas da probabilidade e desenvolveu toda uma teoria que constituiu um enorme avanco na area, estabelecendo um marco historico. Naos obstante o nivel avancado de matematica necessaria para uma compreensao aprofundada do assunto, os seus principios basicos sao relativamente simples e intuitivos, permitindo que se tenha uma boa compreesao dos conceitos e suas aplicacoes praticas.
1°)  Associados aos possíveis resultados de um experimento aleatorio, existe sempre um espaco amostral e uma algebra de eventos;
2°) Para todo evento da algebra, existe um número 
nao-negativo (maior ou igual a zero), chamado de probabilidade, que se atribui a tal evento;
3°) A probabilidade do espaco amostral e igual a 1;
4°) Para quaisquer dois eventos disjuntos (que nao compartilham nenhum resultado) a probabilidade da uniao deles e igual à soma das suas probabilidades;
5°) O 4° Axioma e verdadeiro para infinitas unioes, desde que todos os pares de eventos sejam disjuntos.
A aplicacao da logica matematica aos postulados acima leva as seguintes propriedades fundamentais da probabilidade:
>A probabilidade de qualquer evento e sempre um numero maior ou igual a zero e menor ou igual a um;
> A probabilidade de um evento impossivel e zero;
> Se a ocorrencia de um evento implica na ocorrencia de um segundo, entao, a probabilidade do primeiro e menordo que a probabilidade do segundo;
> A probabilidade da uniao de dois eventos e igual a probabilidade do primeiro mais a probabilidade do segundo menos a probabilidade da ocorrencia simultanea dos dois.
A Importância do Conceito de Particao
A particao de um conjunto e uma colecao de conjuntos tal que a sua uniao e igual ao conjunto original, e que a intersecao de quaisquer dois deles e vazia. Ao se particionar um evento, e possível se calcular a sua probabilidade somando-se a probabilidade dos eventos da particao. Para isso e necessario apenas dispor-se das probabilidades dos elementos da particao (vide Axiomas 4° e 5°).
Atraves do particionamento de conjuntos, e possível nao apenas se calcular a probabilidade de eventos a partir de outras probabilidades ja conhecidas mas tambem deduzir diversas propriedades e implicacões do proprio conceito de probabilidade.
Evento complementar
Consideremos um evento E relativo a um espaco amostral omega. Chamamos evento complementar de E - indicado por E - ao evento que ocorre quando E nao ocorre.
E inters E_ inters = conj vazio
E inters E_ inters = omega
Exemplo 1
Uma urna contem 10 bolas numeradas de 1 a 10. Retira-se da urna, ao acaso, uma bola. Se E e o evento "ocorre multiplo de 3", entao sera?
Temos: Omega = {1,2,3...,10} e E = {3,6,9}; logo:
= {1,2,4,5,7,8,10} e o evento "nao ocorre multiplo de 3".
Notemos que E = omega.
Probabilidades em espacos amostrais equiprovaveis 
Consideremos o espaco amostral omega formado por k pontos amostrais (ou eventos elementares):
omega = {a1,a2,a3,...,ak}
Vamos associar cada um desses pontos amostrais um numero real, p{ai}, ou simplesmente pi, chamado probabilidade do evento {ai}, ou seja, probabilidade de ocorrencia do ponto amostral ai, tal que;
(I) 0<=pi<=1
(II) k-i=1-pi=1, isto e:
p1 + p2 + ... + pk = 1
Consideremos aqui os espacos amostrais equiprovaveis, isto e, aqueles cujos amostrais tem a mesma probabilidade de ocorrer. Assim, se denotarmos por p a probabilidade de ocorrencia de cada um dos pontos amostrais de omega, temos, em (II);
K vezes
p + p +p + ... + p = 1 -> k.p=1 -> p=1/k
A probabilidade de ocorrencia de um evento E, formado por r pontos amostrais E = {a1,a2,a3,...,ar}, com r<=k, e dada por:
p(E) = p1 + p2 + ... + pr
p(E) = + + + ... +
p(E) = r/k = No. de elementos de E / No. de elementos de omega
Como E contem omega, temos que n(E) <= n(omega). Assim:
p(E) = n(E) / n(omega) tal que 0 <= p(E) <= 1
Esta definicao de probabilidade e intuitiva, isto e, a probabilidade de ocorrer determinado evento e dada pela razao entre o numero de casos favoraveis (ou numero de casos que nos interessam) e o numero de casos possiveis (ou numero total de casos).
Assim:
p(E) = n(E) / n(omega) = No. de elementos de E / No. de elementos de omega ou p(E) = f/k
Uma vez que o numero de casos favoraveis coincide com o numero de elementos do evento, e o numero de casos possiveis corresponde ao numero de elementos do espaco amostral, podemos escrever:
p(A) = r/k, onde o evento A tem r elementos e k o numero possivel de elementos. Para ocorrer o evento A, o resultado deve ser algum desses r elementos, que sao os casos favoraveis.
Assim, no exemplo do lancamento de um dado, se o evento A consiste em obter um "5", o numero de casos favoraveis sera 1, pois num dado honesto so existe um "5", e o numero de casos possiveis e 6, portanto o espaco amostral e: omega = {1,2,3,4,5,6)
Assim, a probabilidade do evento A sera p(A) = 1/6.
Quando dizemos que a probabilidade do evento A e 1/6, isto nao significa que, se jogarmos o dado seis vezes, em uma delas saira, con toda a certeza, o numero "5". Pode ser que o numero "5" nao saia nenhuma vez, ou ele pode sair mais de uma vez.
A probabilidade indica apenas que, se repetirmos esse experimento um numero muito grande de vezes, o envento A vai ocorrer em aproximadamente 1/6 do total de jogadas.
Exemplo 1
Uma urna contem 15 bolas numeradas de 1 a 15. Uma bola e extraida ao acaso. Qual a probabilidade de ser sorteada uma bola com numero maior ou igual a 11?
Temos: omega = {1 a 15}
Seja o evento E:"numero da bola sorteada >= 11".
logo E = {11,12,13,14,15}.
Assim, p(E) = n(E) / n(omega) = 5 / 15 = 1 / 3 = 33,3%
Exemplo 2
Um dado e lancado e observa-se o numero da face voltada para cima. Qual a probabilidade desse numero ser:
a) Menor que 3?
a) Temos Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
E = {1, 2}.  Entao,    p(E)   =  2/6   = 1/3   
b) Maior ou igual a 3?
b) basta considerar o evento complementar:  = {3, 4, 5, 6}. 
Assim,    p( E_) = n(E_)/n(omega) = 4/6 = 2/3
Note que p(E) + p(E_) = 1 isto e, 100%.
  
Exemplo 3
Uma moeda e lancada três vezes, sucessivamente. Qual a probabilidade de observarmos: 
a) Exatamente uma cara?
Vamos construir um diagrama de arvore onde na 1a.,2a. e 3a. colunas, respectivamente, representando os possiveis resultados para 1o.,2o. e 3o. lancamentos.
kkk(k,k,k)
c(k,k,k)
ck(k,c,k)
c(k,k,c)
ckk(c,k,k)
c(c,k,c)
ck(c,c,k)
c(c,c,c)
k: cara
c: coroa
O espaco amostral e formado pelas oito sequencias indicadas,
O evento E1 = {(k,c,c), (c,c,k),(c,k,c)}
Assim, p(E1) = n(E1) / n(omega) = 3/8 = 37,5%
b) No maximo duas caras?
As sequecias que nos interessam sao aquelas que apresentam nenhuma, uma ou duas caras. Assim, o evento pedido e:
E2 = {(c,c,c),(k,c,c),(c,k,c),(c,c,k),(k,k,c),(k,c,k),(c,k,k)}
logo, p(E2) = 7/8 = 87,5%.
Exemplo 4
Uma turma tem 20 homens e 25 mulheres. Deseja-se formar uma comissao de cinco alunos para representantes de turma. Qual a probabilidade dessa comissao vir a ser formada exclusivamente por meninos? 
Solucao:
O número de elementos de Ω e igual ao número de maneiras de se escolher uma comissao qualquer de cinco pessoas, a partir dos 45 alunos. 
Entao, o número de comissões total:
n(omega) = C45,5
O evento que interessa e aquele em que “todos os alunos da comissao sao meninos”. O número de comissões so de meninos e C20,5. 
Assim, a probabilidade pedida e: 
P(E) = C20,5 / C45,5 = 0,0126 = 1,26%
Exemplo 5
Escolhe-se, ao acaso, um dos anagramas da palavra XADREZ. Qual a probabilidade da palavra escolhida comecar por XA? 
Solucao:
O número de elementos de Ω e o número de permutacões da palavra XADREZ. 
Entao, n(Ω) = P6 = 6! = 720. 
O evento E = “palavra comeca por XA”: 
X A _ _ _ _ (definidas as duas primeiras letras, ha P4 = 4!. Maneiras de se preencherem as lacunas restantes.)
Assim, N(E) = 4! = 24
Logo, a probabilidade pedida e p(E) = 24/720 = 3,33%
Exemplo 6
Numa comunidade residem 100 pessoas. Uma pesquisa sobre os habitos alimentares dessa comunidade revelou que: 
25 Pessoas consomem carnes e verduras
83 Pessoas consomem verduras
39 Pessoas consomem carnes
Uma pessoa da comunidade e escolhida ao acaso. Qual e a probabilidade dessa pessoa: 
a) Consumir exclusivamente carne?
b) Ter o habito alimentar de nao comer nem carne nem verdura? 
Solucao:
Vamos construir um diagrama representando carne por C e verdura por V.
1o. Ha 25 pessoas na intersecao de C e V.
2o. Pessoas que consomem exclusivamente verduras: 83-25=58
3o. Pessoas que consomem exclusivamente carnes: 39-25=14
4o. Como 25+58+14=97, ha 3 pessoas que nao comem carnes nem verduras.
Assim, as probabilidades pedidas sao:
a) exclusivamente carne
14/100 = 0,14 = 14%
b) nao comer nem carne nem verdura
3/100 = 0,03 = 3%
PeE
aula9
Probabilidade Da Uniao De Dois Eventos 
Sejam A e B eventos de um mesmo espaco amostral . Vamos encontrar uma expressao para a probabilidade de ocorrer o evento A ou o evento B, isto e, a probabilidade da ocorrência do evento A  B. 
Consideremos dois casos: 
1°) Teorema da soma: eventos mutuamente exclusivos 
A inters B = Conj vazio
Da definicao de probabilidade: A probabilidade da uniao de (A) com (B) e a soma da probabilidade de (A) com a probabilidade de (B):
p(A U B) = p(A)+ p(B)
Nesse caso, A e B sao chamados eventos mutuamente exclusivos.
2o.) EVENTOS COM OCORRENCIAS SIMULTANEAS
Aplica-se na operacoes multiplicativas de probabilidades, que sao aquelas que envolvem a expressao "e" e sao representadas pelo simbolo "Inters".
A Inters B = conj vazio
p(A U B) = p(A) + p(B) - A inters B
O evento A Inters B representa a ocorrencia simultanea dos eventos A e B.
Exemplo 1
Uma urna contem 25 bolas numeradas de 1 a 25. Uma bola e extraída ao acaso dessa urna.  Qual e a probabilidade da bola sorteada ser múltiplo de 2 ou de 3? 
Consideremos os eventos:
A, "o numero e multiplo de 2" e
B, "o numero e multiplo de 3".
Queremos encontrar p(A U B). Temos:
A = {2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24}
Lembrando que:
n(A) No. de casos favoraveis
n(omega) No. de casos possiveis
p(A) = n(A) / n(omega) = 12/25
B={3,6,9,12,15,18,21,24}
p(B) = n(B) / n(omega) = 8/25
A e B -> A Inters B = {6,12,18,24}
E o evento formado pelos multiplos de 2 e 3 ao mesmo tempo, isto e, pelos multiplos de 6.
Temos: p(A Inters B)=4/25
Como p(A Inters B)=p(A) + p(B) -p(A Inters B)
Temos: p(A U B) = 12/25 + 8/25 - 4/25 = 16/25 = 0,64 = 64%.
Exemplo 2
Uma urna contem 25 bolas numeradas de 1 a 25. Uma bola e extraída ao acaso dessa urna.  Qual e a probabilidade da bola sorteada ser múltiplo de 5 ou de 7? 
A = {5, 10, 15, 20, 25} 
Logo: p(A)=5/25
B = {7, 14, 21}  
Logo: p(B) = 3/25
Como A Inters B = conj vazio, temos:
p(A U B) = p(A) + p(B) - p(A Inters B) = 5/25 + 3/25 = 8/25 = 0,32 = 32%.
Exemplo 3
A probabilidade de um guarda rodoviario aplicar quatro ou mais multas em um dia e de 63%; a probabilidade de ele aplicar quatro ou menos multas em um dia e de 56%. Qual e a probabilidade de o guarda aplicar exatamente quatro multas?  
A: “quatro ou mais multas”; p(A) = 0,63 
B: “quatro ou menos multas”; p(B) = 0,56  
1o.) A Inters B e o evento "guarda aplica exatamente quatro multas".
Queremos determinar p(A Inters B).
Assim, p(A U B) = p(omega) = 1 (pois A U B e o evento certo)
Entao
P(A U B) = p(A) + p(B) - p(A Inters B)
1= 0,63 + 0,56 - p(A Inters B)
p(A Inters B) = 1-1,19=0,19=19%
20.) A U B = (em um dia o guarda aplica menos de quatro multas, ou quatro multas, ou mais de quatro multas).
Exemplo 4
Observe a roleta da figura abaixo e pense na probabilidade existente de saída para cada número.   
a) Qual a probabilidade de cada evento elementar? 
.P(1) = P(2) = P(4) = P(5) = P(6) = P(7) = 1/8 
.P(3) = 2/8 
Com os conhecimentos adquiridos ate aqui, veja se consegue responder as proximas questões:
b) Qual a probabilidade de o número ser par?    
gabarito: p({2,4,6,)}=3/8
c) Qual a probabilidade de dar o número 3?     
p(3)=2/8=1/4
Probabilidade Condicional
Seja o evento E: lancar um dado 
Seja o evento A = {sair o nº 4}
p (A) =  1/6
Considere agora o evento B = {sair um número par} = {2, 4, 6}
É importante para o calculo das probabilidades calcular a probabilidade condicional. No exemplo, pode-se estar interessado em avaliar a probabilidade do evento A condicionada à ocorrência do evento B.
A probabilidade condicionada e representada por: 
              p(A/B) => lê-se: probabilidade de A dado B
Observe que uma vez dado a informacao da ocorrência de um evento, teremos a reducao do espaco amostral.
omega = {1, 2, 3, 4, 5, 6}   foi reduzido para
omega = {2, 4, 6} e e nesse espaco amostral reduzido e que se avalia a probabilidade do evento.
Dados dois eventos A e B, denota-se p(A/B) a probabilidade condicionada do evento A quando B tiver ocorrido ou simplesmente:
Probabilidade de A dado B.
Definicao:
p(A/B) = P(A Inters B) / P(B)
Podemos concluir:
P(A/B) = p(A Inters B) / p(B) = NCF(A inters B)/NTC // NCF(B)/NTC = NCF(A Inters B) / NCF(B)
Assim, para avaliar a probabilidade de A, dado B, basta contar o numero de casos favoraveis ao evento (A Inters B) e dividir pelo numero de casos favoraveis ao evento B.
Exemplo
Observe a roleta da figura abaixo e pense na probabilidade existente de saída para cada número.   
A = {(x1 , x2 ) / x1  +  x2  = 10} 
B = {( x1 , x2 ) / x1  >  x2 }
Onde x1 e o resultado do dado 1 e x2  e o resultado do dado 2.
Pode-se avaliar p(A); p(B); p(A/B) e p(B/A)
TEOREMA DO PRODUTO
“A probabilidade da ocorrência simultânea de dois eventos, A e B, do mesmo espaco amostral, e igual ao produto da possibilidade de um deles pela probabilidade condicional do outro, dado o primeiro”.
Assim:
p(A/B)= p(A Inters B) / p(B) -> p(A Inters B) = p(B) . p(A/B)
p(B/A)=p(A Inters B) / p(A) -> p(A Inters B) = p(A) . p(B/A)
Exemplo
Em um lote de 12 pecas, 4 sao defeituosas, duas sao retiradas uma apos a outra sem reposicao. Qual a probabilidade de que ambas sejam boas?
Solucao: A = {a primeira peca e boa}
 B = {a segunda peca e boa}
p(A Inters B) = p(A) . p(B/A) = 8/12 . 7/11 = 14/33
PeE
aula10
Teorema de Bayes e Funcao Binomia
Independencia de Eventos
Um evento A e considerado independente de outro evento B se a probabilidade de A e igual a probabilidade  condicional de A dado B, isto e, se 
p(A) = p(A/B)
É evidente que se A e independente de B, B e independente de A.  Assim:
P(B) = P(B/A)
Considerando o Teorema do Produto, pode-se afirmar que se A e B sao independentes, entao:
 P(A    B) = p(A) . p(B)
Dados n eventos A1,A2,A3,...An, diz-se que eles sao independentes se o forem 2 a 2; 3 a 3;...,n a n.
isto e, se as igualdades abaixo forem verificadas:
p(A1 Inters A2) = p(A1 . p(A2);
p(A1 Inters A2 Inters A3) = p(A1) . p(A2) . p(A3)
p(An-2 Inters An-1 Inters An) = p(An-2) . p(An-1) . p(An)
p(A1 Inters A2 Inters A3 ... Inters An) = p(A1) . p(A2).p(A3), ... p(An-1).p(An)
Exemplo 1
Em uma caixa temos 10 pecas, das quais 4 sao defeituosas. Sao retiradas duas pecas, uma apos a outra, com reposicao. Calcular a probabilidade de ambas serem boas. 
A = {a primeira peca e boa}
B = { a segunda peca e boa}
Notem: A e B sao independentes, pois p(B) = p(B/A)
Logo: p(A inters B) = p(A) . p(B) = 6/10 . 6/10 = 9/25
Exemplo 2
Seja     = {1, 2, 3, 4} um espaco amostral equiprovavel. Sao dados esses três eventos de :
A = {1, 2}
B = {1, 3}
C = {1, 4}  
Verificar se os eventos A, B e C sao independentes.
Solucao:
Para A e B: p(A) = 1/2; p(B)=1/2 P(A INTERS B) = 1/4
LOGO: P(A INTERS B) = P(A) . P(B)=1/4
Para A e C: p(A) = 1/2; p(C)=1/2 P(A INTERS C) = 1/4
LOGO: P(A INTERS C) = P(A) . P(C)=1/4
Para B e C: p(B) = 1/2; p(C)=1/2 P(B INTERS C) = 1/4
LOGO: P(B INTERS C) = P(B) . P(C)=1/4
Para A, B e C: p(A INTERS B INTERS C) = P(A) . P(B) . P(C)
PORTANTO, OS EVENTOS A, B E C NAO SAO INDEPENDENTES.
Teorema de Bayes
SEJA A1,A2,A3,...An, n eventos mutuamente exclusivos tais que omega = {A1 U A2 U A3,... U An}
Sejam p(Ai) as probabilidades dos varios eventos. E B um evento qualquer de omega tal que sao conhecidas todas as probabilidade condicionais p(A/B).
Entao, para cada "i" temos:
p(Ai/B) = p(Ai).p(B/A1) / p(A1).p(B/A1) p(A2).p(B/A2) ... p(An).p(B/An)
O resultado acima e importante, pois relaciona probabilidade a priori p(Ai) com probabilidades a posteriori p(Ai / B), probabilidade de Ai depois que ocorrer B.
Exemplo
Suponha a seguinte situacao:
Escolheu-se uma urna ao acaso e dela extraiu-se uma bola ao acaso. 
Verificou-se que a bola e branca. Qual a probabilidade da bola ter vindo: 
U1U2U3
PRETAS342
BRANCAS133
VERMELHAS523
a) Da urna 2?
Solucao a):
Neste tipo de processo, que se realiza a temperatura constante, as moleculas do gas que, inicialmente, ocupam um volume V1, empurram o embolo ate atingir o equilibrio, onde passam a ocupar o volume V2.
Observe que neste caso V2 que e o volume final e maior que V1 que e o volume inicial.
Ou seja, a probabilidade a priori de u2 era 1/3.
Dada a informacao que saiu uma bola
Branca, a probabilidadea posteriori de u2 sera 24/59
Experimentos Binomiais
Ha muitos experimentos probabilísticos para os quais a conclusao de cada tentativa pode ser reduzida a dois resultados: sucesso ou fracasso. Quando um jogador de futebol ao bater uma penalidade maxima, por exemplo, das duas, uma: ou ele marca o gol ou nao. Experimentos probabilísticos como esse sao chamados binomiais. 
Um experimento binomial e uma experiência probabilística que precisa preencher os seguintes requisitos:
1- O experimento e repetido por um número fixo de tentativas, sendo uma independente de todas as outras. 
2- Ha dois resultados possíveis de interesse em cada tentativa, que podem ser classificados como sucesso (S) ou fracasso (F).
3- A probabilidade de um sucesso (S) P e a mesma em cada tentativa.
4- A variavel aleatoria x conta o número de tentativas com sucesso.
Vamos adotar a seguinte notacao para experimentos binomiais:
n = numero de vezes que uma tentativa e repetida
p=p(S) = Probabilidade de sucesso em uma unica tentativa
q = p(F) = Probabilidade de fracasso em uma unica tentativa (q=1-p),onde 1 significa 100%
x = A variavel aleatoria representa a contagem do numero de sucessos em n tentativas (x = 1,2,3,4,...,n)
Exercício 1:
Escolha uma carta de um baralho comum e verifique se seu naipe e ouros ou nao e recoloque-a no baralho. Repita a experiência cinco vezes. 
Assim, n = 5.
Os resultados para cada tentativa podem ser classificados em duas categorias: 
S = tirar uma carta de ouros
F = tirar uma carta de outro naipe.
As probabilidades de sucesso e fracasso sao:
p = p(S) = 1/4
q = p(F) = 3/4
A variavel aleatoria x representa o número de vezes em que a carta de ouros foi tirada em cinco tentativas.
Portanto, os valores possíveis da variavel aleatoria sao: 0, 1, 2, 3, 4 e 5.
Por exemplo, se x = 2, entao exatamente duas das cinco cartas sao de ouros, enquanto as outras três sao de outro naipe. 
Exercício 2:
Um determinado procedimento cirúrgico tem 85% de chance de sucesso. Esse procedimento e realizado em dez pacientes. Determine se o experimento e binomial. Se sim, especifique os valores de n, p e q e enumere os valores possíveis da variavel aleatoria x. 
Solucao:
n = 10
p = 0,85  
q = 1 – 0,85 = 0,15  
x = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10  
O experimento e binomial, pois satisfaz 
as quatro condicões  da definicao.
Probabilidades Binomiais
Existem diversos meios de calcular a probabilidade de x sucesso em n tentativas em um experimento binomial. Uma delas e a formula da probabilidade binomial.
p(x) = Cn,x p elev a x q elev an-x = n! / (n-x)!x!
Exercício 1
Um dado honesto e jogado tres vezes. Obtenha a probabilidade de sair exatamente o numero 6 uma unica vez.
Solucao:
Lancaremos
Ha tres resultados que dao exatamente 6.
Cada um tem a probabilidade de 25/216
Assim, a probabilidade de obter exatamente um 6 e: 3 . 25/216 = 0,347.
Outra maneira de solucionar essa questao e usar a formula da probabilidade binominal. Nesse experimento, conseguir um "6" e um sucesso (S), enquato obter qualquer outro numero e um fracasso (F).
Assim:
N =3; p = 1/6; q = 5/6; x =1
Aplicando a formula;
p(x) = n!/(n x)!x! px qn-x
p(1) = 3! / (3 1)!1! (1/6)1(5/6)2 = 3 . 1/6 . 25/36 = 3 25/216 = 25/72 = 0,347
Exercício 2
Tres dados comuns e honestos serao lancados. A probabilidade de que o numero 6 seja obtido mais de uma vez e: A probabilidade de que seja obitido 2 vezes mais a probabilidade de que seja obtido 3 vezes. Usando a distribuicao binominal de probabilidade:
Acha-se a probabilidade de que seja obtido 2 vezes:
p(2) = 3! / (3 2)(1/6)2(1-1/6)3-2= 3.2/2. 1/36 .5/6 = 15/216
Agora a probabilidade de que seja obtido 3 vezes:
p(3) = 3!/(3-3)!3!(1/6)3(1-1/6)3-3 = 1.1/216.(5/6)0=1/216
Assim, a resposta e
15/216 + 1/216 = 16/216=2/27=0,074

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