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AP3 MÉTODOS DETERMINÍSTICOS 1 2015 1 gabarito

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
AP3 – Gabarito – Me´todos Determin´ısticos I – 2015-1
Nome: Matr´ıcula:
Polo: Data:
Atenc¸a˜o!
• Identifique a Prova, colocando Nome, Matr´ıcula, • O desenvolvimento das questo˜es pode ser a la´pis. No entanto,
Polo e Data; as respostas devera˜o estar necessariamente a` caneta;
• E´ expressamente proibido o uso de calculadoras; • E´ expressamente proibido o uso de corretivo nas respostas.
• Devolver a prova e a folha de respostas ao res- • As respostas devem estar acompanhadas de justificativa.
ponsa´vel; Respostas sem justificativa na˜o sera˜o consideradas.
Questa˜o 1 (2.5 pt) : Determine o valor de:
a) (0.5 pt)
√
x−√2
x− 2 −
1√
x+
√
2
b) (1.0 pt)
f(x)− f(2)
x− 2 −
f(x)
x
onde f(x) = x2.
c) (1.0 pt) (27)−1/3 − 2 [(0.5)2 −√9]
Soluc¸a˜o:
a)
√
x−√2
x− 2 −
1√
x+
√
2
=
√
x−√2
x− 2 −
1√
x+
√
2
√
x−√2√
x−√2
=
√
x−√2
x− 2 −
(√
x−√2)
x− 2
=
√
x−√2−√x+√2
x− 2
= 0
b)
f(x)− f(2)
x− 2 −
f(x)
x
=
x2 − 4
x− 2 −
x2
x
=
(x− 2)(x + 2)
x− 2 − x = x+ 2− x = 2.
Me´todos Determin´ısticos I AP3 2
c)
(27)−1/3 − 2
[
(0.5)2 −
√
9
]
=
1
(27)1/3
− 2
[(
5
10
)2
− 3
]
=
1
(33)1/3
− 2
[(
1
2
)2
− 3
]
=
1
33/3
− 2
[
1
4
− 3
]
=
1
3
− 2
[
1− 12
4
]
=
1
3
− 2
[
−11
4
]
=
1
3
+
22
4
=
1
3
+
11
2
=
2 + 33
6
=
35
6
.
Questa˜o 2 (1.5 pts) : O aumento salarial de uma certa categoria de trabalhadores seria de ape-
nas 5%. Devido a` intervenc¸a˜o do seu sindicato, esta mesma categoria conseguiu, ale´m dos 5%,
um aumento de mais 120% sobre o percentual original de 5%. Determine o percentual de reajuste
conseguido.
Soluc¸a˜o: Como a categoria conseguiu mais 120% de aumento sobre o percentual original de 5%,
temos que calcular 120% de 5%, isto e´,
120% · 5% = 120
100
· 5% = 6
5
· 5% = 6%.
Como os trabalhadores ja´ tinham conseguido 5%, somando-se agora os 6%, obte´m-se o percentual
de reajuste conseguido que foi de 11%.
Questa˜o 3 (2.0 pt) : Determine o dom´ınio da func¸a˜o f(x) =
√
x2 − 6x+ 9+√2x− 1 na forma
de intervalo.
Soluc¸a˜o: Para que possamos extrair a raiz quadrada de um nu´mero real, esse nu´mero deve ser maior
ou igual a zero. Logo, o dom´ınio da func¸a˜o e´ formado pelos nu´meros reais x tais que x2−6x+9 ≥ 0
e 2x− 1 ≥ 0.
Vamos seguir o seguinte procedimento:
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I AP3 3
• primeiro, vamos determinar o conjunto S1 dos nu´meros que satisfazem x2 − 6x+ 9 ≥ 0;
• em seguida, determinamos o conjunto S2 dos nu´meros que satisfazem 2x− 1 ≥ 0;
• e, finalmente fazemos a intersec¸a˜o de S1 e S2, obtendo os nu´meros reais que satisfazem
x2 − 6x+ 9 ≥ 0 e 2x− 1 ≥ 0. Ou seja, determinamos o dom´ınio.
i) ii)
+ +
3
x
y
+
-
1
2
x
y
iii)
S1
S2
S1 Ý S2
1
2
Figura 1: Questa˜o 3
Determinac¸a˜o de S1 = {x ∈ R : x2 − 6x+ 9 ≥ 0} .
Por Bhaskara, temos que a soluc¸a˜o de x2 − 6x + 9 = 0, com a = 1, b = −6 e c = 9 e´ dada
por
∆ = b2 − 4ac = (−6)2 − 4(1)(9) = 0,
assim,
x =
−b±√∆
2a
=
6±√0
2(1)
=
6
2
= 3.
Assim, x2 − 6x+ 9 = 0 quando x = 3.
Na Figura 1-i). plotamos a para´bola y = x2 − 6x+ 9. Notamos que o y da para´bola e´ maior
do que zero para qualquer valor de x 6= 3. Dessa forma, y = x2 − 6x+ 9 ≥ 0, quando x ∈ R.
Da´ı, S1 = R.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I AP3 4
Uma outra soluc¸a˜o para a determinac¸a˜o de S1 e´ observar que x
2 − 6x + 9 = (x − 3)2 e que
(x− 3)2 ≥ 0, para qualquer x ∈ R. Desta forma, S1 = R.
Determinac¸a˜o de S2 = {x ∈ R : 2x− 1 ≥ 0} .
O valor de x em que 2x− 1 = 0 e´ x = 1
2
.
A reta y = 2x− 1 esta´ plotada na Figura 1-ii). Notamos que o y da reta e´ maior do que zero
quando x >
1
2
. E, que y = 2x− 1 ≥ 0, quando x ∈
[
1
2
,∞
)
.
Da´ı, S2 =
[
1
2
,∞
)
.
Fazendo a intersec¸a˜o de S1 com S2, obtemos o conjunto soluc¸a˜o S, dado pela Figura 1-iii). Ou seja,
S = S1 ∩ S2 =
[
1
2
,∞
)
.
Questa˜o 4 (4.0 pts) : Para a comercializac¸a˜o de um certo produto, um lojista nota que a receita
e´ dada por R(x) = −x2 + 5x e o custo e´ dado por C(x) = x2 + 2, com x ∈ [0, 5], indicando a
quantidade do produto.
a) (1.0 pt) Determine a(s) quantidade(s) x em que a receita e´ igual ao custo.
b) (2.0 pt) Esboce os gra´ficos da receita R e do custo C no mesmo plano cartesiano, marcando os
pontos (x, y) em que a receita e´ igual ao custo.
c) (0.5 pt) Determine o valor de x para que a receita R seja ma´xima.
d) (0.5 pt) Determine o custo C m´ınimo do produto.
Soluc¸a˜o:
a) Temos que
R(x) = C(x) ⇐⇒ −x2 + 5x = x2 + 2
⇐⇒ −x2 − x2 + 5x− 2 = 0
⇐⇒ −2x2 + 5x− 2 = 0.
Pela fo´rmula de Bhaskara, com a = −2, b = 5 e c = −2, segue que
∆ = b2 − 4ac = (5)2 − 4(−2)(−2) = 9,
x =
−b±√∆
2a
=
−5±√9
2(−2) =
−5± 3
−4 ⇐⇒ x1 =
−5 + 3
−4 =
1
2
, x2 =
−5− 3
−4 = 2.
Logo, os valores de x que satisfazem R(x) = C(x), isto e´, a receita e´ igual ao custo, sa˜o:
x1 =
1
2
, x2 = 2.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I AP3 5
b) Os gra´ficos de R(x) e de C(x) sa˜o representados por para´bolas. Para desenha´-las, vamos deter-
minar onde cada uma delas intercepta os eixos coordenados, a concavidade e o ve´rtice.
Para R(x) , temos o gra´fico de uma para´bola com concavidade voltada para baixo pois o coefi-
ciente de x2 e´ negativo. Temos tambe´m que
• x = 0⇐⇒ R(0) = −(0)2 + 5(0) = 0.
Portanto a para´bola intercepta o eixo y no ponto (0, 0).
• R(x) = 0⇐⇒ −x2 + 5x = 0⇐⇒ −x(x− 5) = 0⇐⇒ x = 0 ou x− 5 = 0.
Logo, os valores que satisfazem −x2 + 5x = 0, sa˜o
x1 = 0, x2 = 5.
E, portanto a para´bola intercepta o eixo x nos pontos (0, 0) e (5, 0).
• (xv, yv) =
(
− b
2a
,−∆
4a
)
=
(
− 5
2(−1) ,−
25
4(−1)
)
=
(
5
2
,
25
4
)
.
Para C(x) , temos o gra´fico de uma para´bola com concavidade voltada para cima pois o coefi-
ciente de x2 e´ positivo. Temos tambe´m que
• x = 0 ⇐⇒ R(0) = (0)2 + 2 = 2. Portanto a para´bola intercepta o eixo y no ponto
(0, 2).
• C(x) = 0⇐⇒ x2 + 2 = 0.
Note que x2+2 e´ um nu´mero maior do que zero para qualquer valor de x real, logo na˜o
existe x que satisfaz a equac¸a˜o x2 + 2 = 0, ou seja, a pa´rabola na˜o intercepta o eixo
x. Um outro modo para verificar esse fato,e´ observando que ∆ = 02− 4(1)(2) = −8 e´
negativo. O que significa que na˜o existe x real que satisfaz a equac¸a˜o.
• (xv, yv) =
(
− b
2a
,−∆
4a
)
=
(
− 0
2(1)
,−(−8)
4(1)
)
= (0, 2)
Determinemos, agora, a segunda coordenada dos pontos (x, y) da intersec¸a˜o da receita com o
custo. No item a), determinamos os nu´meros x1 =
1
2
, x2 = 2 em que R(x) = C(x). Para marcar
o ponto (x, y) em que isso ocorre, usando y = C(x) = x2 + 2 (podemos tambe´m usar a func¸a˜o
R(x)) temos
• para x1 = 1
2
que
y1 =
(
1
2
)2
+ 2
=
1
4
+ 2
=
1 + 8
4
=
9
4
Logo,
(
1
2
,
9
4
)
sa˜o as coordenadas em que R(x) = C(x).
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I AP3 6
• para x1 = 2 que
y2 = (2)
2 + 2
= 4 + 2
= 6.
Logo, (2, 6) sa˜o as coordenadas em que R(x) = C(x).
Na Figura 2 plotamos os gra´ficos de R(x), de C(x) e dos pontos em que R(x) = C(x).
VR H52, 254L
VC H0,2L
R
C
1
2
2
5
2
5
x
94
6
27
y
Figura 2: Questa˜o 4
c) Como o gra´fico de R e´ uma para´bola, com concavidade voltada para baixo pois o coeficiente de
x2 e´ negativo, segue que o valor de x em que a receita e´ ma´xima ocorre emx = xv onde xv e´ a
primeira coordenada do ve´rtice VR da para´bola. Assim, x = xv = − b
2a
= − 5
2(−1) =
5
2
.
d) Como o gra´fico de C e´ uma para´bola, com concavidade voltada para cima pois o coeficiente de x2
e´ positivo, segue que o valor do custo m´ınimo ocorre em y = yv onde yv e´ a segunda coordenada
do ve´rtice VC da para´bola. Assim, y = yv = −∆
4a
= − [0
2 − 4(1)(2)]
4(1)
= −(−8)
4
=
8
4
= 2.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ

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