Geometria Analítica

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SEGUNDA LISTA DE EXERCI´CIOS – VETORES
GEOMETRIA ANALI´TICA
Exerc´ıcio 1. Dados os vetores −→u = (−3, 4) e −→v = (1, 2), determinar:
(1) 3−→u + 2−→v (2) 2−→v − 3−→u (3) −3−→u (4) 15−→u + 14−→v
Exerc´ıcio 2. Encontrar os nu´meros x e y tais que −→v = x−→v 1 + y−→v 2, onde −→v = (10, 2), −→v 1 = (3, 5)
e −→v 2 = (−1, 2).
Exerc´ıcio 3. Dados os pontos A = (−2, 3), B = (1, 4), C = (1, 2) e D = (4, 3), ache as coordenadas
dos vetores
−−→
AB,
−−→
BC,
−−→
CD e
−−→
DA.
Exerc´ıcio 4. Prove (vetorialmente!) que os pontos A = (2, 1), B = (5, 2), C = (6, 5) e D = (3, 4) sa˜o
ve´rtices de um paralelogramo.
Exerc´ıcio 5. Sendo A = (−2, 3) e B = (6,−3), extremidades de um segmento, determinar:
(1) os pontos C, D e E que dividem o segmento AB em quatro partes de mesmo comprimento;
(2) os pontos F e G que dividem o segmento AB em treˆs partes de mesmo comprimento.
Exerc´ıcio 6. Dados os vetores −→u = (1,−1) e −→v = (−3, 4), calcular:
(1) ‖−→u ‖ (2) ‖−→v ‖ (3) ‖−→u +−→v ‖ (4) ‖2−→u −−→v ‖
Exerc´ıcio 7. Calcular os valores de a para que o vetor −→u = (a,−2) tenha mo´dulo 4.
Exerc´ıcio 8. Calcular os valores de a para que o vetor −→v = (a, 12 ) seja unita´rio (i.e., ter norma 1).
Exerc´ıcio 9. Classifique os triaˆngulos abaixo (equ¨ila´tero, iso´sceles ou escaleno):
(1) A = (1, 1), B = (3, 2) e C = (0, 3)
(2) D = (−1, 1), E = (3, 1) e F = (1, 2√3 + 1)
(3) G = (3, 2
√
3), H = (3, 0) e I = (0,−√3)
Exerc´ıcio 10. Encontrar um ponto P do eixo Ox de modo que a sua distaˆncia ao ponto A = (2,−3)
seja igual a 5.
Exerc´ıcio 11. Provar que os pontos A = (−2,−1), B = (2, 2), C = (−1, 6) e D = (−5, 3), nesta
ordem, sa˜o ve´rtices de um quadrado.
Exerc´ıcio 12. Chamamos de trape´zio um quadrila´tero que tem dois, e somente dois, lados parale-
los. Um trape´zio e´ chamado de reto se tem um aˆngulo reto. Mostre que ABCD e´ um trape´zio reto,
onde A = (6, 5), B = (11, 5), C = (3, 1) e D = (2, 3), num sistema ortonormal.
Exerc´ıcio 13. Determine os aˆngulos internos dos triaˆngulos da questa˜o 9.
Exerc´ıcio 14. Dados os pontos A = (3,−4), B = (−1, 1) e o vetor −→v = (−2, 3), calcular:
(1)
−−→
AB +−→v (2) −−→BA−−→v (3) B + 2−−→AB (4) 3−→v − 2−−→BA
Exerc´ıcio 15. Encontrar o ve´rtice oposto a B, no paralelogramo ABCD, para:
(1) A = (−3,−1), B = (4, 2) e C = (5, 5) (2) A = (5, 1), B = (7, 3) e C = (3, 4)
Exerc´ıcio 16. Determinar o valor de k para que os vetores −→u = (−2, 3) e −→v = (k,−4) sejam paralelos.
Exerc´ıcio 17. Determinar o valor de k para que os vetores ~u = (−2, 3) e ~v = (k,−4) sejam ortogonais.
Exerc´ıcio 18. Determinar o valor de a para que seja de pi4 o aˆngulo entre ~u = (2, 1) e ~v = (1, a).
Exerc´ıcio 19. Encontrar a projec¸a˜o ortogonal de ~v sobre ~u, para os casos:
(1) ~u = (1, 1) e ~v = (2, 5) (2) ~u = (1, 0) e ~v = (4, 3) (3) ~u = (4, 3) e ~v = (1, 2)
Exerc´ıcio 20. Ache o aˆngulos entre ~u e ~v, para os casos:
(1) ~u = (1, 0) e ~v = (1, 1) (2) ~u = (1, 0) e ~v = (−1,−1) (3) ~u = ( 12 ,
√
3
2 ) e ~v = (−1, 0)
Date: Marc¸o/2016 (2015.2).
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TERCEIRA LISTA DE EXERCI´CIOS – PONTOS
GEOMETRIA ANALI´TICA
Exerc´ıcio 1. Determinar a distaˆncia entre os pontos A = (1, 3) e B = (−1, 4).
Exerc´ıcio 2. Verifique que os pontos A = (2, 1), B = (−1, 3) e C = (4,−2) formam um triaˆngulo.
Determine o per´ımetro e a a´rea deste o triaˆngulo.
Exerc´ıcio 3. Prove que o triaˆngulo cujos ve´rtices sa˜o (2, 2), (−4,−6) e (4,−12) e´ retaˆngulo.
Exerc´ıcio 4. Determinar x de modo que o triaˆngulo de ve´rtices A = (4, 5), B = (1, 1) e C = (x, 4)
seja retaˆngulo em B.
Exerc´ıcio 5. Dados A = (x, 5), B = (−2, 3) e C = (4, 1), obter x de modo que A seja equidistante de
B e C.
Exerc´ıcio 6. Determinar o ponto P , pertencente ao eixo das abscissas, sabendo que e´ equidistante de
B = (1, 3) e C = (−3, 5).
Exerc´ıcio 7. Determinar o ponto P , da bissetriz dos quadrantes pares, que equidista de A = (8,−8)
e B = (12,−2).
Exerc´ıcio 8. Dados os pontos A = (8, 11), B = (−4,−5) e C = (−6, 9), obter o circuncentro do
triaˆngulo ABC.
Exerc´ıcio 9. Dados os pontos M = (a, 0) e N = (0, a), determinar P de modo que o triaˆngulo MNP
seja equila´tero.
Exerc´ıcio 10. Dados os pontos B = (2, 3) e C = (−4, 1), determinar o ve´rtice A do triaˆngulo ABC,
sabendo que e´ o ponto do eixo y do qual se veˆ BC sob aˆngulo reto.
Exerc´ıcio 11. Dados A = (−2, 4) e B = (3,−1), ve´rtices consecutivos de um quadrado, determinar
os outros dois ve´rtices.
Exerc´ıcio 12. Calcular o comprimento da mediana AM do triaˆngulo ABC onde A = (0, 0), B = (3, 7)
e C = (5,−1).
Exerc´ıcio 13. Dados os ve´rtices consecutivos A = (−2, 1) e B = (4, 4), de um paralelogramo, e o
ponto E = (3,−1), intersecc¸a˜o de suas diagonais, determinar os outros dois ve´rtices.
Exerc´ıcio 14. Do triaˆngulo ABC sa˜o dados: o ve´rtice A = (2, 4), o ponto M = (1, 2) me´dio do lado
AB e ponto N = (−1, 1) me´dio do lado BC. Calcular o per´ımetro deste triaˆngulo.
Exerc´ıcio 15. Se M = (2, 1), N = (3, 3) e P = (6, 2) sa˜o os pontos me´dios dos lados AB, BC e CA,
respectivamente, de um triaˆngulo ABC, determinar as coordenadas de A, B e C.
Exerc´ıcio 16. O baricentro de um triaˆngulo ABC e´ G = (1, 6) e dois dos seus ve´rtices sa˜o A = (2, 5)
e B = (4, 7). Determine seu terceiro ve´rtice.
Exerc´ıcio 17. Num triaˆngulo ABC sa˜o dados: A = (2, 0); M = (−1, 4), que e´ ponto me´dio do lado
AB; d(A,B) = 10 e d(B,C) = 10
√
2. Obter os outros ve´rtices de ABC.
Exerc´ıcio 18. Provar que os pontos me´dios dos lados do quadrila´tero ABCD sa˜o ve´rtices de um
paralelogramo.
Exerc´ıcio 19. O quadrila´tero de ve´rtices A = (− 32 , 12 ), B = ( 12 , 2), C = (2,− 32 ) e D = (0,− 52 ) e´ um
paralelogramo? Justifique sua resposta.
Exerc´ıcio 20. Defina “simetria em relac¸a˜o a um ponto”. Sejam C = (a, b) e P = (α, β) pontos.
Determine Q, ponto, que e´ sime´trico a P com relac¸a˜o a C.
Date: Marc¸o/2016 (2015.2).
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QUARTA LISTA DE EXERCI´CIOS – RETAS
GEOMETRIA ANALI´TICA
Exerc´ıcio 1. Os pontos (1, 3), (2, 5) e (49, 100) sa˜o colineares?
Exerc´ıcio 2. Determinar y para que os pontos (3, 5), (−3, 8) e (4, y) sejam colineares.
Exerc´ıcio 3. Mostrar que A = (a, 2a + 1), B = (a + 1, 2a + 1) e C = (a + 2, 2a + 3) sa˜o colineares
para todo valor de a ∈ R.
Exerc´ıcio 4. Se A = (0, a), B = (a,−4) e C = (1, 2), para quais valores de a existe o triaˆngulo ABC?
Exerc´ıcio 5. Dados A = (1, 1) e B = (10,−2), obter o ponto em que a reta AB intercepta o eixo Ox.
Exerc´ıcio 6. Dados A = (3, 1) e B = (5, 5), obter o ponto em que a reta AB intercepta o eixo Oy.
Exerc´ıcio 7. Dados A = (2,−3) e B = (8, 1), obter o ponto em que a reta AB intercepta a bissetriz
dos quadrantes ı´mpares.
Exerc´ıcio 8. Dados A = (2, 4) e B = (−4, 2), obter o ponto em que a reta AB intercepta a bissetriz
dos quadrantes pares.
Exerc´ıcio 9. Dados A = (−3, 4), B = (2, 9), C = (2, 7) e D = (4, 5), obter a intersecc¸a˜o das retas
AB e CD
Exerc´ıcio 10. Determinar P = (x0, y0) colinear simultaneamente com A = (−1,−2) e B = (2, 1) e
com C = (−2, 1) e D = (1,−4).
Exerc´ıcio 11. Ache P da reta AB tal que d(A,O) = 5, para A = (0,−25) e B = (−2,−11).
Exerc´ıcio 12. Determinar na reta AB os pontos equidistantes dos eixos cartesianos, para A = (−1, 5)
e B = (4,−2).
Exerc´ıcio 13. Determinar as equac¸o˜es das retas suportes dos lados do triaˆngulo cujos ve´rtices sa˜o
A = (0, 0), B = (1, 3) e C = (4, 0).
Exerc´ıcio 14. Determinar a equac¸a˜o geral da reta definida por ( 72 ,
5
2 ) e (− 52 ,− 72 ).
Exerc´ıcio 15. Uma reta passa por A = (p, q), B = (3,−2) e (0, 0). Qual a relac¸a˜o entre p e q?
Exerc´ıcio 16. Prove que os pontos A = (a, b + c), B = (b, a + c) e C = (c, a + b) sa˜o colineares
e
determinar a equac¸a˜o geral da reta que os contem.
Exerc´ıcio 17. Dados A = (−5,−5), B = (1, 5), C = (19, 0) r : 5x− 3y = 0, pergunta-se: r passa pelo
baricentro do tria˜ngulo ABC?
Exerc´ıcio 18. Determinar a intersecc¸a˜o das retas x+ 2y = 3 e 2x+ 3y = 5.
Exerc´ıcio 19. As retas suportes dos lados de um triaˆngulo sa˜o 3x−4y = 0, x+y−7 = 0 e 4x−3y = 0.
Mostrar que esse triaˆngulo e´ iso´sceles.
Exerc´ıcio 20. Prove que as retas 2x+ 3y − 1 = 0, x+ y = 0 e 3x+ 4y − 1 = 0 concorrem no mesmo
ponto.
Exerc´ıcio 21. Demonstre que as retas x− 2y = 0, x+ 2y − 8 = 0 e (1 + k)x+ 2(1− k)y − 8 = 0 sa˜o
concorrentes no mesmo ponto para qualquer k ∈ R.
Exerc´ıcio 22. Determinar a para que as retas x + 2y − 2a = 0, ax − y − 3 = 0 e 2x − 2y − a = 0
sejam concorrentes no mesmo ponto.
Exerc´ıcio 23. Demonstrar que as retas 2x+ 3y = 0, (2k + 1)x+ (3k − 2)y + 5 = 0 e x− 2y + 5 = 0
sa˜o concorrentes no mesmo ponto, qualquer que seja k ∈ R.
Exerc´ıcio 24. Determinar m de modo que 3x+ y−m = 0, 3x− y+1 = 0 e 5x− y− 1 = 0 delimitem
um triaˆngulo.
Date: Marc¸o/2016 (2015.2).
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QUARTA LISTA DE EXERCI´CIOS – RETAS GEOMETRIA ANALI´TICA
Exerc´ıcio 25. Qual e´ a equac¸a˜o da reta que passa por P = (3, 1), intercepta r : 3x − y = 0 em A,
intercepta s : x+ 5y = 0 em B, de modo que P e´ ponto me´dio de AB.
Exerc´ıcio 26. Dado o ponto A = (1, 2), determine as coordenadas de dois pontos P e Q situados
respectivamente em y = x e y = 4x, de tal modo que A seja o ponto me´dio de segmentos PQ.
Exerc´ıcio 27. Determinar o per´ımetro do triaˆngulo ABC que verifica as seguintes condic¸o˜es: A
pertence ao eixo x; B pertence ao eixo Y ; a reta BC tem equac¸a˜o x− y = 0; e a reta AC tem equac¸a˜o
x+ 2y − 3 = 0.
Exerc´ıcio 28. Num triaˆngulo ABC sabe-se que: A pertence ao eixo das abscissas; B pertence a`
bissetriz y = x; x+ y + 5 = 0 e´ equac¸a˜o da reta AC; e 2x− y − 2 = 0 e´ equac¸a˜o da reta BC.
Exerc´ıcio 29. Determinar α de modo que P = (3, α) seja ponto do interior do triaˆngulo definido pelas
retas 2x− y = 0, x+ y = 0 e 7x+ y − 36 = 0.
Exerc´ıcio 30. Determinar a posic¸a˜o relativa das seguintes retas, tomadas duas a duas:
(1) r : 2x− y + 3 = 0
(2) s : 2x− y + 5 = 0
(3) t : 3x− 6y = −3
(4) u : x− y + 3 = 0
(5) v : 2x+ 4y + 3 = 0
(6) w : 4x− 2y = −6
Exerc´ıcio 31. Discutir a posic¸a˜o relativa entre r : (m−1)x+my−1 = 0 e s : (1−m)x+(m+1)y+1 = 0.
Exerc´ıcio 32. Discutir a posic¸a˜o relativa entre r : mx+ y − p = 0 e s : 3x+ 3y − 7 = 0
Exerc´ıcio 33. Achar a distaˆncia da reta r :
{
x = −2 + 3t
y = −7 + 2t , t ∈ R, a` origem.
Exerc´ıcio 34. Calcular a distaˆncia P a` reta r nos seguintes casos:
(1) P = (−3,−1) e r : 3x− 4y + 8 = 0
(2) P = (3, 2) e r : 5x− 5y + 2 = 0
(3) P = (1,−2) e r : x12 + y5 = 1
(4) P = (−2, 3) e r :
{
x = 7t− 1
y = 24t+ 1
, t ∈ R
(5) P = (−1,−2) e r : cos pi3 · x+ sin pi3 · y = 5
Exerc´ıcio 35. Calcular o comprimento da altura AH do triaˆngulo A = (−3, 0), B = (0, 0) e C = (6, 8).
Determine as coordenadas do ponto H.
Exerc´ıcio 36. O trape´zio de ve´rtices A = (0, 0), B = (7, 1), C = (6, 5) e D = (−8, 3) tem qual altura?
Exerc´ıcio 37. O ponto P = (2,−5) e´ um ve´rtice de um quadrado que tem um dos seus lados na˜o
adjacentes a P sobre a reta x− 2y − 7 = 0. Qual a a´rea do quadrado?
Exerc´ıcio 38. Calcular a distaˆncia entre as retas 3x+ 4y − 13 = 0 e 3x+ 4y + 7 = 0.
Exerc´ıcio 39. Calcular a distaˆncia entre as retas ax+ by + c = 0 e ax+ by − c = 0.
Exerc´ıcio 40. Determinar os pontos da reta y = 2x que esta˜o a` distaˆncia 2 da reta 4x+ 3y = 0.
Exerc´ıcio 41. Determinar as equac¸o˜es da(s) reta(s) que forma(m) aˆngulo de medida pi4 com o eixo x
e esta˜o a` distaˆncia
√
2 do ponto P = (3, 4).
Exerc´ıcio 42. Obter uma reta paralela a r : x+ y + 6 = 0 e distante
√
2 do ponto C = (1, 1).
Exerc´ıcio 43. Determinar as equac¸o˜es das perpendiculares a` reta r : 7x− 24y + 1 = 0, as quais esta˜o
a` distaˆncia 3 do ponto P = (1, 0).
Exerc´ıcio 44 (Pesquise!). Defina “simetria com relac¸a˜o a uma reta”. Sejam P = (α, β) e r : Ax +
By + C = 0. Mostre que
Q =
(
α− 2A(Aα+Bβ + C)
A2 +B2
, β − 2B(Aα+Bβ + C)
A2 +B2
)
e´ o ponto sime´trico a P com relac¸a˜o a` reta r.
Exerc´ıcio 45. Determine o ponto sime´trico de (α, β) com relac¸a˜o a`s retas:
(1) x = 0 (2) y = 0 (3) x− y = 0 (4) x+ y = 0 (5) x− y = 1 (6) y = 2x+ 1
Exerc´ıcio 46 (Pesquise!). Mostre que a a´rea do triaˆngulo determinado pelos pontos (x1, y1), (x2, y2)
e (x3, y3) e´
|D|
2 , onde
D =
∣∣∣∣∣∣
1 1 1
x1 x2 x3
y1 y2 y3
∣∣∣∣∣∣ .
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QUINTA LISTA DE EXERCI´CIOS – COˆNICAS
GEOMETRIA ANALI´TICA
Exerc´ıcio 1. Determinar o ve´rtice, o foco e uma equac¸a˜o da diretriz de cada uma das para´bolas
abaixo:
(1) x2 + 4x+ 8y + 12 = 0
(2) x2 − 2x− 20y − 39 = 0
(3) y2 + 4y − 16x− 44 = 0
(4) y = x
2
4 − 2x− 1
(5) x2 − 12y + 72 = 0
(6) y = 4x− x2
Exerc´ıcio 2. Em cada um dos seguintes itens, determine uma equac¸a˜o da para´bola a partir dos ele-
mentos dados:
(1) foco F = (3, 4) e diretriz d : x− 1 = 0,
(2) foco F = (−1, 1) e ve´rtice V = (0, 0),
(3) ve´rtice V = (1, 2), eixo focal paralelo ao eixo das abscissas e P = (−1, 6) e´ ponto da para´bola,
(4) eixo focal paralelo ao eixo das ordenadas e os pontos P = (0, 0), Q = (1,−3) e R = (−4,−8)
pertencem a` para´bola,
(5) eixo focal f : y − 5 = 0, diretriz d : x− 3 = 0 e ve´rtice sobre a reta r : y = 2x+ 3,
(6) ve´rtice V = (1, 1) e F = (0, 2),
(7) eixo focal e´ o eixo das ordenadas e o ponto L = (2, 2) e´ uma das extremidades do latus
rectum1,
(8) foco F = (−2, 3) e diretriz d : x+ 6 = 0.
Exerc´ıcio 3. Tomes a para´bola de equac¸a˜o 4py = x2, onde p 6= 0. Determine condic¸a˜o para que
(x1, y1) e (x2, y2) estejam na para´bola e estejam alinhados com o foco desta.
Exerc´ıcio 4. Tomes a para´bola de equac¸a˜o 4py = x2, onde p 6= 0. Determine fo´rmula para o compri-
mento do latus rectum desta para´bola.
Exerc´ıcio 5. Determine o comprimento da corda focal da para´bola x2 + 8y = 0 que e´ paralela a` reta
r : 3x+ 4y − 7 = 0.
Exerc´ıcio 6. Determinar os focos, o centro e os tamanhos dos eixos de cada uma das elipses abaixo:
(1) x
2
25 +
y2
4 = 1
(2) 9x2 + 16y2 − 144 = 0
(3) 4x2 + y2 = 1
(4) 9x2 + 16y2 − 36x+ 96y + 36 = 0
(5) 24x2 + 16y2 + 50x+ 64y − 311 = 0
(6) 4x2 + 9y2 − 8x− 36y + 4 = 0
Exerc´ıcio 7. Em cada um dos seguintes itens, determine uma equac¸a˜o da elipse a partir dos elementos
dados:
(1) focos F1 = (3, 8) e F2 = (3, 2) e comprimento do eixo maior 10,
(2) ve´rtices V1 = (5,−1) e V2 = (−3,−1) e excentricidade e = 34 ,
(3) centro C = (−1,−1), ve´rtice V = (5,−1) e excentricidade e = frac23,
(4) centro C = (1, 2), foco F = (6, 2) e P = (4, 6) e´ um ponto da elipse,
(5) focos F1 = (−4,−2) e F2 = (−4,−6) e latus rectus de medida 6,
(6) ve´rtice V = (3,−3) e eixo menor de extremos B1 = (2, 2) e B2 = (−2,−2),
(7) centro na reta r : y = 2, foco F = (3, 4), excentricidade e = 2
√
5
5 e com eixos paralelos aos eixos
coordenados.
Exerc´ıcio 8. Um ponto P = (x, y) se desloca no plano de modo que suas disteˆncias aos pontos
A = (3, 1) e B = (−5, 1) e´ 10. Diga qual curva e´ descrita por P e em seguida determina equac¸a˜o para
essa curva.
Exerc´ıcio 9. Determine os comprimentos dos raios focais do ponto P =
(
3, 74
)
sobre a elipse 7x2 +
16y2 = 112.
Exerc´ıcio 10. Determine uma equac¸a˜o da coˆnica com centro na reta r : x− 3 = 0, eixo focal paralelo
ao eixo das abscissas, ve´rtice V = (7, 0) e excentricidade e = 12 .
Date: Marc¸o/2016 (2015.2).
1O latus rectum de uma para´bola e´ a corda focal da para´bola que e´ paralela a` diretriz. Uma corda focal de uma
para´bola e´ qualquer segmento de extremos na para´bola e que passa pelo foco. Pode-se
provar que o latus rectum e´ a
corda focal de menor comprimento. Ana´logamente se define o latus rectum de uma elipse e de uma hipe´rbole.
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QUINTA LISTA DE EXERCI´CIOS – COˆNICAS GEOMETRIA ANALI´TICA
Exerc´ıcio 11. Sabemos que a circunfereˆncia de centro C e raio r > 0 e´ o lugar geome´trico dos
pontos do plano que distam r de C. Se C = (h, k) e r > 0, determine equac¸a˜o para a circunfereˆncia de
centro C e raio r. Determine condic¸o˜es para que Ax2 +Bxy + Cy2 +Dx+ Ey + F = 0 seja equac¸a˜o
de uma circunfereˆncia.
Exerc´ıcio 12. Sejam A = (a, b) e B = (c, d), distintos. Determine equac¸a˜o para os pontos X do plano
que satisfazem
−−→
XA ⊥ −−→XB. Que curva e´ essa?
Exerc´ıcio 13. Um segmento AB de medida 12, desloca-se de modo que A percorre o eixo das abscissas
e B o das ordenadas. O ponto P = (x, y) e´ interior ao segmento AB e fica situado a 8 de A. Estabelec¸a
equac¸a˜o do lugar geome´trico descrito pelo ponto P .
Exerc´ıcio 14. Considere os pontos A = (−1, 0) e B = (2, 0). Determine uma equac¸a˜o do lugar
geome´trico dos pontos M do plano na˜o pertencentes a` reta AB e tais que o aˆngulo MBˆA tenha sempre
medida igual ao dobro da medida do aˆngulo MAˆB. Esboce a curva.
Exerc´ıcio 15. Determinar os ve´rtices, os focos e o centro de cada uma das hipe´rboles abaixo:
(1) x
2
4 − y
2
9 = 1
(2) 4x2 − 5y2 + 20 = 0
(3) x2 − 9y2 = 1
(4) y2 − x2 = 2
(5) 9x2 − 4y2 − 18x− 16y − 43 = 0
(6) x2 − 4y2 + 6x+ 24y − 31 = 0
(7) 25x2 − 4y2 + 40y = 0
(8) 16x2 − 9y2 − 64x− 18y + 199 = 0
Exerc´ıcio 16. Em cada um dos seguintes itens, determine uma equac¸a˜o da hipe´rbole a partir dos
elementos dados:
(1) focos F1 = (−1, 3) e F2 = (−7, 3) e comprimento do eixo transverso igual a 4,
(2) ve´rtice V1 = (5, 4) e V2 = (1, 4) e comprimento do latus rectum igual a 5,
(3) focos F1 = 2, 13) e F2 = (2,−13) e comprimento do eixo conjugado igual a 24,
(4) centro C = (0, 0), um dos focos F = (4, 4) e um dos ve´rtices V = (2
√
2, 2sqrt2),
(5) assintotas r : 4x+ y − 11 = 0 e s : 4x− y − 13 = 0 e um dos ve´rtices V = (3, 1),
(6) um dos focos F = (2
√
2, 2sqrt2), eixo normal y = −x e excentricidade e = 32 ,
(7) eixo normal y = 2, uma das ass´ıntotas r : 2x− y − 4 = 0 e comprimento do latus rectum igual
a 3.
Exerc´ıcio 17. Determine uma equac¸a˜o da elipse, com excentricidade e = 13 e cujos focos coincidem
com os ve´rtices da hipe´rbole 16x2 − 9y2 − 64x− 18y + 199 = 0
Exerc´ıcio 18. Determine uma equac¸a˜o de hipe´rbole de equila´tera de focos F1 = (1, 6) e F2 = (1,−2).
Exerc´ıcio 19. Determine uma equac¸a˜o de hipe´rbole de focos F1 =
(−√2,−√2) e F2 = (√2,√2) e
paraˆmetro 2
√
2.
Exerc´ıcio 20. Seja a hipe´rbole H : x
2
a2 − y
2
b2 = 1 e tomemos X0 = (x0, y0) ∈ H. Mostre que:
(1) X0 esta´ na reta r :
x0x
a2 − y0yb2 = 1,
(2) r e´ paralela ao vetor v0 =
(
y0
b2 ,
x0
a2
)
e determine equac¸a˜o vetorial para r, e
(3) r encontra H somente no ponto X0.
2
Geometria Anal�tica/Listas/GA LISTA 6.pdf
SEXTA LISTA DE EXERCI´CIOS – VETORES DO ESPAC¸O
GEOMETRIA ANALI´TICA
Exerc´ıcio 1. Para o cubo da figura ao lado, considerando como base(−−→
AB,
−−→
AD,
−→
AE
)
, determine as coordenadas dos vetores a seguir:
(1) ~0
(2)
−−→
AB
(3)
−→
AC
(4)
−−→
AD
(5)
−→
AE
(6)
−−→
CD
(7)
−→
AF
(8)
−−→
DH
(9)
−−→
GH
(10)
−−→
AH
(11)
−−→
BH
(12)
−−→
GE
(13)
−→
GA
(14)
−−→
EC
(15)
−−→
HC
A B
CD
E F
GH
Exerc´ıcio 2. Mostre que C =
(−→
GA,
−−→
HC,
−→
AE
)
e´ base. Ache as coordenadas dos mesmos vetores da
questa˜o anterior com relac¸a˜o a` base C.
Exerc´ıcio 3. Sendo ~u = (1,−2, 4), ~v = (0, 2, 5) e ~w = (1, 1,−2), ache as coordenadas de:
(1) ~u+ ~v (2) −~u+ 2~v (3) 2~v + 3~w (4) ~u− ~v + 2~w (5) − 1
2
~v − 1
4
~u
Exerc´ıcio 4. Verifique se ~u pode ser escrito em func¸a˜o de ~v e ~w, para ~u, ~v e ~w do exerc´ıcio anterior.
Exerc´ıcio 5. (1,−1, 3) pode ser escrito em func¸a˜o de (−1, 1, 0) e (2, 3, 1
3
)?
Exerc´ıcio 6. Ache m de modo que (1, 2, 2), (m− 1, 1,m− 2) e (m+ 1,m− 1, 2) sejam coplanares.
Exerc´ıcio 7. Sejam E = (~e1, ~e2, ~e3) base e ~f1 = ~e1 + ~e2 + ~e3, ~f2 = ~e1 − ~e2 e ~f3 = ~e3, decida se
F = (~f1, ~f2, ~f3) e´ base.
Exerc´ıcio 8. Usando E e F do exerc´ıcio anterior, ache as coordenadas em relac¸a˜o a` base F de:
(1) (1, 1, 1)E (2) (1,−1, 12 )E (3) (α, β, γ)E (4) (2, 4,−4)E
Exerc´ıcio 9. Conforme o exerc´ıcio 7, ache as coordenadas dos vetores abaixo em relac¸a˜o a` base E:
(1) (0, 0,−1)F (2) (−1, 2, 0)F (3) ( 12 , 0,− 23 )F
Exerc´ıcio 10. Ache m para que ~u e ~v sejam paralelos:
(1) ~u = (m, 1,m) e ~v = (1,m, 1) (2) ~u = (1−m2, 1−m, 0) e ~v = (m,m,m)
Exerc´ıcio 11. Ache m para que ~u, ~v e ~w sejam coplanares:
(1) ~u = (m, 1,m+ 1), ~v = (1, 2,m) e ~w = (1, 1, 1)
(2) ~u = (m, 1,m+ 1), ~v = (0, 1,m) e ~w = (0,m, 2m)
Exerc´ıcio 12. Sejam OABC um tetraedro, e G o baricentro (encontro das treˆs medianas de uma
triaˆngulo) da face ABC.
(1) Explique por que (
−→
OA,
−−→
OB,
−−→
OC) e´ uma base.
(2) Pesquise como escrevemos
−→
AG em func¸a˜o de
−−→
AB e
−→
AC (FEITO EM AULA), e calcule as
coordenadas de
−−→
OG nesta base.
Exerc´ıcio 13. Determine x de modo que ~u e ~v sejam ortogonais.
(1) ~u = (x, 0, 3) e ~v = (1, x, 3)
(2) ~u = (x, x, 4) e ~v = (4, x, 1)
(3) ~u = (x+ 1, 1, 2) e ~v = (x− 1,−1,−2)
(4) ~u = (x,−1, 4) e ~v = (x,−3, 1)
Exerc´ıcio 14. Determine ~u ortogonal a (−3, 0, 1) tal que ~u · (1, 4, 5) = 24 e ~u · (−1, 1, 0) = 1.
Exerc´ıcio 15. Obtenha ~u ortogonal a (1, 1, 0) tal que ‖~u‖ = √2 e ang(~u, (1,−1, 0)) = π
4
.
Exerc´ıcio 16. Sendo ~u e ~v unita´rios, ‖w‖ = 4, ~u · ~w = −2, ~v · ~w = −4 e ang (~u,~v) = π
3
, calcule:
(1) (~u+ ~v + ~w) · ~u
(2) (5~u− ~w) (~w − 2~u)
(3) (2~w − ~v + ~uw) (−~u+ 2~w + ~v)
(4) (~w − ~v + ~u) · (−~u+ 2~w + ~v)
Exerc´ıcio 17. Dada a base ortonormal
(
~ı,~,~k
)
, sejam ~u = 2~ı− 2~+ ~k e ~v = 3~ı− 6~.
(1) Obtenha a projec¸a˜o ortogonal de ~v sobre ~u.
(2) Determine ~p e ~q tais que ~v = ~p+ ~q, sendo ~p paralelo a ~u e ~q ortogonal a ~u.
Date: Abril/2016 (2015.2).
1
SEXTA LISTA DE EXERCI´CIOS – VETORES DO ESPAC¸O GEOMETRIA ANALI´TICA
Exerc´ıcio 18. Calcule a projec¸a˜o ortogonal de ~v sobre ~u em cada caso.
(1) ~v = (1,−1, 2) e ~u = (3,−1, 1)
(2) ~v = (1, 3, 5) e ~u = (−3, 1, 0)
(3) ~v = (−1, 1, 1) e ~u = (−2, 1, 2)
(4) ~v = (1, 2, 4) e ~u = (−2,−4,−8)
Exerc´ıcio 19. Sejam ~u e ~v vetores na˜o paralelos. Se O e´ um ponto, sejam A = O + ~u e B = O + ~v.
Mostre que ~w e´ paralelo a` bissetriz do aˆngulo AÔB se, e somente se, ~w e´ paralelo a ~u‖~u‖ +
~v
‖~v‖ .
Exerc´ıcio 20. Mostre que as treˆs bissetrizes do △ABC se encontram em u´nico ponto que e´ chamado
incentro. Sejam a = ‖−−→BC‖, b = ‖−→AC‖ e c = ‖−−→AB‖. Se I e´ o incentro do △ABC, mostre tambe´m
que
−→
AI = b
−−→
AB+c
−→
AC
a+b+c
, e, se O e´ um ponto qualquer, que
−→
OA = a
−−→
OA+b
−−→
OB+c
−−→
OC
a+b+c
.
Exerc´ıcio 21. Para ~u e ~v, vetores, α, β, γ, δ ∈ R, mostre que (α~u+ β~v) ∧ (γ~u+ δ~v) =
∣∣∣∣α γβ δ
∣∣∣∣ ~u ∧ ~v.
Exerc´ıcio 22. A medida angular entre os vetores ~a e ~b e´ π
3
, e suas normas sa˜o, respectivamente, 1 e
2. Sendo ~u = ~a+~b e ~v = ~a−~b, calcule a norma de ~u ∧ ~v.
Exerc´ıcio 23. Calcule
(√
2~u−√3~v + ~w) ∧ (−√6~u+ 3~v −√3~w).
Exerc´ıcio 24. Dados ~u = (1, 2, 3) e ~v = (−1, 1, 2). Calcule ~u ∧ ~v.
Exerc´ıcio 25. O lado do quadrado ABCD mede 2, AC e´ diagonal e M e´ ponto me´dio de BC. Calcule
‖−−→DM ∧ −−→DB‖.
Exerc´ıcio 26. Os pontos A, B e C formam um triaˆngulo, e P e Q sa˜o tais que 3
−→
AP =
−→
AC e
3
−−→
BQ = 2
−−→
BC. Mostre que B, P e Q formam triaˆngulo e calcule a raza˜o entre as a´reas de △BPQ e
△ABC.
Exerc´ıcio 27. Resolva os sistemas:
(1)
{
~x ∧ (~ı+ ~) = −~ı+ ~
~x · (~ı+ ~) = 2 (2)

 ~x ·
(
2~ı+ 3~+ 4~k
)
= 9
~x ∧
(
−~ı+ ~− ~k
)
= −2~ı+ 2~
Exerc´ıcio 28. Determine ~x de norma
√
3, ortogonal a (1, 1, 0) e a (−1, 0, 1) e que forma aˆngulo agudo
com ~j.
Exerc´ıcio 29. Sejam ~v e ~w vetores na˜o paralelos. Mostre que, para ~u, proj~v,~w~u+ proj~v∧~w~u = ~u.
Exerc´ıcio 30. Sejam ~u, ~v, ~w, vetores. Mostre que ~u ∧ ~v · ~w = ~u · ~v ∧ ~w.
Exerc´ıcio 31. Sejam ~u, ~v, ~w, ~t, vetores. Mostre que
(
~u ∧ ~v) · (~w ∧ ~t) = ∣∣∣∣~u · ~w ~u · ~t~v · ~w ~v · ~t
∣∣∣∣ .
Exerc´ıcio 32. Sejam ~u, ~v, ~w, vetores. Mostre que
∣∣[~u,~v, ~w]∣∣ ≤ ‖~u‖ · ‖~v‖ · ‖~w‖.
Exerc´ıcio 33. A medida angular entre ~u e ~v e´ π
6
, e o vetor ~w, de norma 4, e´ ortogonal a ambos.
Sabendo que [~u,~v, ~w] > 0, calcule [~u,~v, ~w].
Exerc´ıcio 34. Para ~u, ~v, ~w, vetores, A = (aij), matriz real 3× 3, mostre que[
a11~u+ a21~v + a31 ~w , a12~u+ a22~v + a32 ~w , a13~u+ a23~v + a33 ~w
]
= detA · [~u,~v, ~w].
Exerc´ıcio 35. Prove que [~u+ ~v,~v + ~w, ~w + ~u] = 2[~u,~v, ~w].
Exerc´ıcio 36. Sendo [~u,~v, ~w] = 6, calcule [2~u− 3~v + ~w,−~u+ ~v − ~w,~v − 3~w].
Exerc´ıcio 37. Sejam ABCD um tetraedro, P = A + 2
−−→
AB +
−→
AC +
−−→
AD, Q = B − −−→AB − −→AC + −−→AD
e R = C +
−−→
AB +
−→
AC. Mostre que PQRD forma tetredro e determine a raza˜o entre os volumes de
PQRD e ABCD.
2
Geometria Anal�tica/Listas/GA LISTA 7.pdf
SE´TIMA LISTA DE EXERCI´CIOS – PONTOS, RETAS E PLANOS
GEOMETRIA ANALI´TICA
Exerc´ıcio 1. Dados os pontos A = (2,−2, 3) e B = (1, 1, 5), e o vetor ~v = (1, 3, 4), calcular:
(1) A+ 3~v (2)
−−→
BA− ~v (3) B + 2−−→AB (4) 2~v − 3−−→AB
Exerc´ıcio 2. Dados os pontos A = (3,−4,−2) e B = (−2, 1, 0), determinar o ponto N pertencente ao
segmento AB tal que
−−→
AN = 25
−−→
AB.
Exerc´ıcio 3. Dados os pontos A = (1,−2, 3) B = (2, 1, 4) e C = (−1,−3, 1), determinar o ponto D
tal que
−−→
AB +
−−→
CD = ~0.
Exerc´ıcio 4. Sendo A = (2,−5, 3) e B = (7, 3,−1) ve´rtices consecutivos de um paralelogramo ABCD
e M = (4,−3, 3) o ponto de intersecc¸a˜o das diagonais, determinar os ve´rtices C e D.
Exerc´ıcio 5. Determinar os treˆs ve´rtices de uma triaˆngulo, sabendo que os pontos me´dios de seus
lados sa˜o M = (5, 0,−2), N = (3, 1,−3) e P = (4, 2, 1, ).
Exerc´ıcio 6. Sendo A = (−2, 1, 3) e B = (6,−7, 1) extremidades de um segmento, determinar:
(1) os pontos C, D e E, nesta ordem, que dividem o segmento AB em quatro partes de mesmo
comprimento;
(2) os pontos F e G, nesta ordem, que dividem o segmento AB em treˆs partes de mesmo comprimento.
Exerc´ıcio 7. Dados os pontos A = (−1, 0, 5), B = (2,−1, 4) e C = (−4, 7, 2), determinar x tal que−→
AC e
−−→
BP sejam ortogonais, sendo P = (x, 0, x− 3).
Exerc´ıcio 8. Provar que os pontos A = (−1, 2, 3), B = (−3, 6, 0) e C = (−4, 7, 2) sa˜o ve´rtices de um
triaˆngulo retaˆngulo.
Exerc´ıcio 9. Dados os pontos A = (m, 1, 0), B = (m − 1, 2m, 2) e C = (1, 3,−1), determinar m de
modo que o triaˆngulo ABC seja retaˆngulo em A. Calcule a a´rea do triaˆngulo.
Exerc´ıcio 10. Prove que os pontos A = (3, 4, 4), B = (2,−3, 4) e C = (6, 0, 4) sa˜o ve´rtices de um
triaˆngulo. Determinar o aˆngulo interno ao ve´rtice B.
Exerc´ıcio 11. Dados os pontos A = (3, 4,−2), B = (1, 2, 4) e C = (2, 1, 6), determinar o ponto
sime´trico a A com relac¸a˜o a` reta que passa por B e C.
Exerc´ıcio 12. Sejam P e A pontos e r a reta que passa por A e e´ paralela ao vetor ~v 6= ~0. Seja A ∈ r.
Mostre que Q = A+proj~v
−→
AP e´ o ponto de r mais pro´ximo de P . Mostre tambe´m que, se B ∈ r, enta˜o
Q = B + proj~v
−−→
BP . Determine a distaˆncia de P a` reta r.
Exerc´ıcio 13. Verifique se os pontos abaixo pertencem a` reta r : X = (1, 0, 1) + λ(2, 1, 1)(λ ∈ R).
(1) (4, 1,−1) (2) (3, 1, 2) (3) (−1,−1, 0)
Exerc´ıcio 14. Ache equac¸o˜es parame´tricas da reta que passa por A = (3, 3, 3) e e´ paralela a` reta BC,
sendo B = (1, 1, 0) e C = (−1, 0,−1).
Exerc´ıcio 15. Dados a reta r : X = (1, 0, 0) + λ(1, 1, 1) e os pontos A = (1, 1, 1), B = (0, 0, 1), ache o
ponto de r equidistante de A e B.
Exerc´ıcio 16. Calcule a distaˆncia do ponto P = (1, 0, 1) a` reta r : X = (0, 0, 0) + λ(1, 12 ,
1
3 )(λ ∈ R).
Exerc´ıcio 17. Mostre que os pontos cujas coordenadas satisfazem o sistema de equac¸o˜es{
x− y + 2 = 0
x+ y + z = 0
formam um reta. Explicite uma equac¸a˜o vetorial desta.
Exerc´ıcio 18. Sejam ~u e ~v dois vetores l.i., r a reta que passa pelo ponto A e e´ paralela ao vetor ~u e
s a reta que passa pelo ponto B e´ paralela ao vetor ~v. Uma vez que (~u,~v, ~u ∧ ~v) e´ base para V3, temos
que existem α, β, γ ∈ R tais que −−→AB = α~u+ β~v + γ~u ∧ ~v. Mostre que:
(1) γ =
[−−→
AB,~u,~v
]
‖~u∧~v‖ e γ~u ∧ ~v = proj~u∧~v
−−→
AB;
Date: Maio/2016 (2015.2).
1
SE´TIMA LISTA DE EXERCI´CIOS – PONTOS, RETAS E PLANOS GEOMETRIA ANALI´TICA
(2) se P = A+ α~u e Q = B − β~v, enta˜o P ∈ r, Q ∈ s e −−→PQ e´ ortogonal a r e s.
Conclua que a distaˆncia entre as retas r e s e´
∣∣∣[−−→AB,~u,~v]∣∣∣
‖~u∧~v‖ . Discuta a situac¸a˜o na qual
[−−→
AB, ~u,~v
]
= 0.
Exerc´ıcio 19. Duas retas sa˜o ditas reversas, quando na˜o ha´ um plano que as contenha. Use o
exerc´ıcio anterior para mostrar que entre duas retas reversas e´ sempre poss´ıvel construir um segmento
perpendicular a`s duas retas com extremos nelas.
Verifique que as duas retas:
r : X = (1, 1, 1) + λ(1, 0, 1), λ ∈ R, e
s : Y = (1, 3,−1) + µ(−1, 0, 1), µ ∈ R.
sa˜o reversas, determine os extremos no segmento que e´ ortogonal a r e a s e a distaˆncia de r a s.
Exerc´ıcio 20. Obtenha uma equac¸a˜o geral do plano pi que passa por A = (0, 1, 2) e tem vetores
diretores ~u = (4, 1, 2) e ~v = (2, 1,−2).
Exerc´ıcio 21. Obtenha uma equac¸a˜o geral do plano pi, que passa pelo ponto A = (1, 0, 2) e tem vetor
normal ~n = (1,−1, 4).
Exerc´ıcio 22. Escreva equac¸o˜es parame´tricas para a reta r = pi1 ∩ pi2, onde pi1 : 2x − y − 3 = 0 e
pi2 : 3x+ y + 2z − 1 = 0.
Exerc´ıcio 23. Escreva uma equac¸a˜o vetorial da reta que passa por A = (1, 2, 3) e e´ perpendicular ao
plano pi : 2x+ y − z = 2.
Exerc´ıcio 24. Ache uma equac¸a˜o geral do plano σ que passa pelo ponto P = (1, 0, 0) e conte´m a reta
r :
{
x = 2, y = λ, z = 2 + λ , (λ ∈ R).
Exerc´ıcio 25. Sejam P e A pontos, ~n um vetor na˜o nulo e pi o plano que passa por A e´ ortogonal ao
vetor ~n. Mostre que Q = P + proj~n
−→
PA e´ o ponto de pi mais pro´ximo de P . Mostre tambe´m que, se
B ∈ pi, enta˜o P + proj~n
−−→
PB = Q.
Exerc´ıcio 26. Se pi : ax + by + cz + d = 0 (onde (a, b, c) 6= ~0) e P = (α, β, γ), determine a distaˆncia
de P ao plano pi.
Exerc´ıcio 27. Calcule a distaˆncia do ponto P = (1, 2,−1) ao plano pi : 3x− 4y − 5z + 1 = 0.
Exerc´ıcio 28. Calcule a distaˆncia de P = (1, 3,−4) ao plano
pi : X = (1, 0, 0) + λ(1, 0, 0) + µ(−1, 0, 3)(λ, µ ∈ R).
Exerc´ıcio 29. Qual o ponto da reta s : X = (−1, 3, 3) + λ(−1, 2, 3) (λ ∈ R), que esta´ no plano pi : x+
y + z = 1?
Exerc´ıcio 30. A medida do aˆngulo θ entre uma reta r e um plano pi e´ calculada pela fo´rmula
sen θ =
|~n · ~u|
‖~n‖.‖~u‖ ,
para 0 ≤ θ ≤ pi2 , e onde ~n e´ um vetor normal ao plano pi e ~u e´ um vetor diretor da reta r.
Calcule a medida do aˆngulo θ entre r :
 x = −λy = 1− λ
z = 0
, (λ ∈ R), e pi : y + z − 10 = 0.
2
Geometria Anal�tica/Provas/GA PROVA 1.pdf
Universidade Federal da Bahia
Campus Ondina – Salvador
PRIMEIRA PROVA (GABARITO) – GEOMETRIA ANALI´TICA]
23 DE MARC¸O DE 2016
Questa˜o 1 (valor: 2.0). Dados os ve´rtices consecutivos A =
(−2, 1) e B = (4, 4), de um paralelogramo,
e o ponto E = (3,−1), intersecc¸a˜o de suas diagonais, determinar os outros dois ve´rtices.
Soluc¸a˜o. Sejam C e D os outros dois ve´rtices do paralelogramo em questa˜o de tal forma que AB, BC,
CD e DA sa˜o os lados deste. Sendo assim, AC e BD sa˜o as diagonais do paralelogramo e E e´ ponto
me´dio das duas. Logo
C = A+
−→
AC = A+ 2
−→
AE = (−2, 1) + 2(5,−2) = (8,−3) e
D = B +
−−→
BD = B + 2
−−→
BE = (4, 4) + 2(−1,−5) = (2,−6).
�
Questa˜o 2 (valor: 2.0). Sejam −→u = (2, 1) e −→v = (1, k). Determinar o valor de k para que:
(1) −→u e −→v sejam paralelos,
(2) −→u e −→v sejam ortogonais, e
(3) a medida angular entre −→u e −→v seja de pi4 .
Soluc¸a˜o. (1) Temos que −→u e −→v sa˜o paralelos se, e somente se,∣∣∣∣ 2 11 k
∣∣∣∣ = 0⇔ 2k − 1 = 0⇔ k = 12 .
(2) Temos que −→u e −→v sa˜o ortogonais se, e somente se,
2 · 1 + 1 · k = 0⇔ 2 + k = 0⇔ k = −2.
(3) Temos que a medida angular entre −→u e −→v e´ de pi4 se, e somente se,
cos
pi
4
=
2 · 1 + 1 · k√
22 + 12 · √12 + k2 ⇔
2 + k√
5 · √1 + k2 =
√
2
2
=
1√
2
⇔
 2 + k ≥ 0e
2(2 + k)2 = 5(1 + k2)
⇔
⇔ k ≥ −2 e 3k2 − 8k − 3 = 0⇔ k = −1
3
ou k = 3.
�
Questa˜o 3 (valor: 3.0). Sabe-se que F =
(
2, 52
)
e V = (2, 1) sa˜o o foco e o ve´rtice de uma para´bola
Γ. Determine:
(1) equac¸a˜o geral da reta diretriz de Γ.
(2) equac¸a˜o da para´bola Γ.
(3) o ponto da para´bola alinhado com o foco e (8, 7).
1
PRIMEIRA PROVA (GABARITO) – GEOMETRIA ANALI´TICA] 23 DE MARC¸O DE 2016
Soluc¸a˜o. (1) Se r e´ a diretriz de Γ, temos que r e´ ortogonal a
−−→
FV =
(
0,−32
)
. Logo r : − 32y +C = 0,
para algum C ∈ R. Ainda P = F + −−→FP = F + 2−−→FV = (2, 52) + 2 (0,−32) = (2,−12) e´ ponto de r.
Sendo assim,
(−32) · (−12)+ C = 0 e C = −3. Portanto r : y + 12 = 0.
(2) Temos que X = (x, y) ∈ Γ se, e somente se,√
(x− 2)2 +
(
y − 5
2
)2
=
∣∣∣∣y + 12
∣∣∣∣⇔ (x− 2)2 + y2 − 5y + 254 = y2 + y + 14 ⇔ (x− 2)2 = 6(y − 1).
Portanto Γ: y = 1 + (x−2)
2
6 =
x2−4x+10
6 =
1
6x
2 − 23x+ 53 .
(3) Temos que (x, y) esta´ alinhado com F e (8, 7) se, e somente se,
0 =
∣∣∣∣∣∣
1 1 1
2 8 x
5
2 7 y
∣∣∣∣∣∣ = −92x+ 6y − 6 = −92x+ 6(y − 1).
Se procuramos (x, y) ∈ Γ, devemos ter
(x− 2)2 − 9
2
x = 0⇔ x2 − 17
2
x+ 4 = 0⇔ x = 8 ou x = 1
2
.
Portanto, o ponto procurado e´
(
1
2 ,
11
8
)
.
�
Questa˜o 4 (valor: 3.0). Chamamos de corda focal de uma elipse qualquer segmento de extremos
na elipse que passe por algum dos focos. Determine o comprimento de qualquer corda focal da elipse
E : (x−h)
2
a2
+ (y−k)
2
b2
= 1, com a > b, que passe por um dos ve´rtices do eixo menor.
Soluc¸a˜o. Observamos que a elipse E tem centro C = (h, k) e medida do semi-eixo focal c =
√
a2 − b2.
Uma vez que a > b, E tem eixo focal paralelo ao eixo das abscissas e F1 = (h− c, k) e F2 = (h+ c, k)
sa˜o os focos; enquanto os ve´rtices do eixo menor sa˜o B1 = (h, k − b) e B2 = (h, k + b).
Tomemos a corda focal que passa por B2 e F2. Logo o outro extremo e´ X = B2 + λ · −−−→B2F2 =
(h, k + b) + λ(c,−b) =
(
h+ λc, k + (λ− 1)b
)
, para λ 6= 0. Uma vez que
X ∈ E⇔
(
(h+λc)−h
)2
a2
+
(
(k+(λ−1)b)−k
)2
b2
= 1⇔ c2λ2
a2
+ b
2(λ−1)2
b2
= 1⇔
(
c2
a2
)
λ2 + (λ− 1)2 = 1⇔(
c2
a2
)
λ2 + λ2 − 2λ+ 1 = 1⇔
(
c2
a2
+ 1
)
λ2 − 2λ+ 1 = 0⇔ λ = 0 ou λ = 2a2
a2+c2
,
tem-se que λ = 2a
2
a2+c2
. Da´ı, a corda focal de extremos B2 e X tem comprimento∥∥∥−−→B2X∥∥∥ = ∥∥∥λ−−−→B2F2∥∥∥ = λ ∥∥∥−−−→B2F2∥∥∥ = λ ‖(c,−b)‖ = λ√c2 + b2 = a2λ = 2a3
a2 + c2
.
�
2
Geometria Anal�tica/Provas/GA PROVA 2.pdf
Universidade Federal da Bahia
Campus Ondina – Salvador
SEGUNDA PROVA (GABARITO) – GEOMETRIA ANALI´TICA (T.04)
19/11/2015
Questa˜o 1 (valor: 3.0). Identifique a coˆnica – apresentando os elementos que a definem – dada pela
equac¸a˜o
2x2 − 2
√
3xy + 1 = 0 .
Soluc¸a˜o. Aplicando uma rotac¸a˜o θ, temos que(
x
y
)
=
(
cos θ −sen θ
sen θ cos θ
)(
u
v
)
.
Portanto a coˆnica tera´ equac¸a˜o:
2(u cos θ − vsen θ)2 − 2
√
3(u cos θ − vsen θ)(usen θ + v cos θ) + 1 = 0 ,
ou seja,(
2 cos2 θ−2
√
3 cos θsen θ
)
u2+
(
−2sen θ(2θ)−2
√
3 cos(2θ)
)
uv+
(
2sen 2θ+2
√
3sen θ cos θ
)
v2+1 = 0 .
Para que na˜o tenhamos o termo misto, devemos tomar θ tal que tg (2θ) = −√3, ou seja, podemos
tomar 2θ = 2pi3 e θ =
pi
3 . Sendo assim, cos θ =
1
2 e sen θ =
√
3
2 . Portanto no sistema “novo”, a coˆnica
estudado tera´ equac¸a˜o:
u2 − 3v2 = 1 ,
ou seja, temos uma hipe´rbole. No sistema “novo” os focos sa˜o F1 =
(
− 2√
3
, 0
)
e F2 =
(
2√
3
, 0
)
,
enquanto os ve´rtives sa˜o A1 = (−1, 0) e A2 = (1, 0). No sistema original, teremos:
F1 =
(
x
y
)
=
(
1
2 −
√
3
2√
3
2
1
2
)(− 2√
3
0
)
=
(− 1√
3
−1
)
.
Portanto F1 =
(
− 1√
3
,−1
)
, F2 =
(
1√
3
, 1
)
, A1 =
(
−12 ,−
√
3
2
)
e A2 =
(
1
2 ,
√
3
2
)
. �
Questa˜o 2 (valor: 2.0). Qual o ponto da reta r : X = (0, 0, 0) + λ(1, 12 ,
1
3)(λ ∈ R) mais pro´ximo do
ponto P = (1, 0, 1)?
Soluc¸a˜o. Se Q e´ o ponto procurado, temos que Q esta´ na reta e e´ tal que
−−→
PQ e´ ortogonal a ~v =
(
1, 12 ,
1
3
)
.
Logo Q =
(
λ, λ2 ,
λ
3
)
e
−−→
PQ =
(
λ− 1, λ2 , λ3 − 1
) · (1, 12 , 13) = 0. Como
λ− 1 +
(
λ
2
)
· 1
2
+
(
λ
3
− 1
)
· 1
3
= 0⇔ λ+ λ
4
+
λ
9
= 1 +
1
3
⇔ λ = 48
49
.
Conclui-se que Q =
(
48
49 ,
24
49
16
49
)
. �
Questa˜o 3 (valor: 2.0). Ache ponto sime´trico a P = (1,−1, 4) com relac¸a˜o ao plano
pi : x+ y + z = −2 .
1
SEGUNDA PROVA (GABARITO) – GEOMETRIA ANALI´TICA (T.04) 19/11/2015
Soluc¸a˜o. Sejam Q o sime´trico de P com relac¸a˜o a pi e M o ponto me´dio do segmento determinado
por P e Q. Observamos que
−−→
PM e´ perpendicular ao plano pi, ou seja, deve ser paralelo ao vetor
(1, 1, 1). Logo M = P + λ~v = (1 + λ,−1 + λ, 4 + λ), para algum λ ∈ R. Dado que M ∈ pi, temos
(1 + λ) + (−1 + λ) + (4 + λ) = −2. Resolvendo tal equc¸a˜o:
(1 + λ) + (−1 + λ) + (4 + λ) = −2⇔ 3λ = −6⇔ λ = −2 .
Logo M = (−1,−3, 2). Dado que M e´ o ponto me´dio do segmento PQ, Q = P +−−→PQ = P + 2−−→PM =
(1,−1, 4) + 2(−2,−2,−2) = (−3,−5, 0). �
Questa˜o 4 (valor: 3.0). Sejam dados os pontos A = (0, 0, 0), B = (0, 1, 1), C = (1, 0, 1) e D =
(1, 1, 0). Determine o ponto da superf´ıcie esfe´rica que passa por A, B, C e D que esta´ mais pro´ximo
do plano pi : x+ y + z = −1.
Soluc¸a˜o. Seja S a superf´ıcie esfe´rica determinada por A, B, C e D. Logo S tem equac¸a˜o da forma
x2 + y2 + z2 + ax+ bx+ cx+ d = 0 .
Como A ∈ S, temos que d = 0. Dado que A, B e C tambem sa˜o pontos de S, temos que: b+ c = −2a+ c = −2
a+ b = −2
Resolvendo tal sistema linear, obtemos que a = b = c = −1. Logo S tem equac¸a˜o x2 + y2 + z2 − x−
y − z = 0, ou seja (
x− 1
2
)2
+
(
y − 1
2
)2
+
(
z − 1
2
)2
=
3
4
.
Conclu´ımos que S tem centro C = (12 , 12 , 12) e o raio √32 .
Seja X o ponto de S mais pro´ximo de pi. Sendo assim, −−→CX e´ ortogonal a pi, ou seja, −−→CX e´ paralelo
a (1, 1, 1). Logo X = C + λ(1, 1, 1) =
(
1
2 + λ,
1
2 + λ,
1
2 + λ
)
, para algum λ ∈ R. Uma vez que X ∈ S,
temos 3λ2 = 34 . Sendo assim, λ = −12 ou λ = 12 . Se λ = −12 , obtemos A e d(A, pi) = 1√3 ; enquanto se
λ = 12 , obtemos X = (1, 1, 1) e d(X,pi) =
4√
3
.
Conclu´ımos que o
ponto de S mais pro´ximo de pi e´ A. O ponto (1, 1, 1), por outro lado, e´ o ponto
de S mais distante de pi. �
2
Geometria Anal�tica/Provas/GA PROVA 3.pdf
Universidade Federal da Bahia
Campus Ondina – Salvador
2a SUBSTITUTIVA (GABARITO) – GEOMETRIA ANALI´TICA
1o. DE JUNHO DE 2016
Questa˜o 1 (valor: 2.5). Determine o centro, os focos, os ve´rtices e as ass´ıntotas da hipe´rbole de
equac¸a˜o
(x+ 1)(y − 1) = 1 .
Soluc¸a˜o. Aplicando uma rotac¸a˜o θ, temos que:(
x
y
)
=
(
cos θ −sen θ
sen θ cos θ
)(
u
v
)
.
Portanto a coˆnica tera´ equac¸a˜o (u cos θ − vsen θ + 1)(usen θ + v cos θ − 1) = 1, ou seja,(
sen θ cos θ
)
u2 + cos(2θ)uv −
(
sen θ cos θ
)
v2 +
(
sen θ − cosθ
)
u+
(
sen θ + cosθ
)
v − 1 = 1 .
Para que na˜o tenhamos o termo misto, devemos tomar θ tal que cos(2θ) = 0, ou seja, podemos tomar
2θ = pi2 e θ =
pi
4 . Sendo assim, cos θ = sen θ =
√
2
2 =
1√
2
. Portanto no sistema “novo”, a coˆnica
estudado tera´ equac¸a˜o:
u2
2
− v
2
2
+
√
2v = 2, ou ainda,
u2
2
− (v −
√
2)2
2
= 1.
Portanto, temos uma hipe´rbole de semi-eixos medindo a =
√
2, b =
√
2 e semi-eixo focal medindo
c = 2. No sistema “novo”, seu centro e´ C = (0,
√
2), seus focos sa˜o F1 = (−2,
√
2) e F2 = (2,
√
2) e
seus sa˜o ve´rtices sa˜o A1 = (−
√
2,
√
2) e A2 = (
√
2,
√
2), enquanto suas ass´ıntotas sa˜o v − u = √2 e
u+ v =
√
2. No sistema original, teremos:
C = (−1, 1), F1 = (−1−
√
2, 1−
√
2), F2 = (−1 +
√
2, 1 +
√
2), A1 = (−2, 0) e A2 = (0, 2) .
Uma vez que x = u−v√
2
e y = u+v√
2
, temos que as ass´ıntotas no sistema original tera˜o equac¸a˜o x = −1 e
y = 1. �
Questa˜o 2 (valor: 2.5). Determine equac¸a˜o geral para o plano σ que e´ perpendicular ao plano
pi : x+ y − z + 2 = 0 e conte´m a reta r :
 x = 1 + 2λ,y = −2− λ,
z = 3
, (λ ∈ R).
Soluc¸a˜o. Observamos que X = (x, y, z) ∈ r se, e somente se, X = (1,−2, 3) +λ(2,−1, 0), para alguma
λ ∈ R. Portanto r e´ a reta que passa por A = (1,−2, 3) e e´ paralela ao vetor ~v = (2,−1, 0). O vetor
~n1 = (1, 1,−1) e´ normal ao plano pi. Dado que σ conte´m r e e´ perpendicular a pi, temos que sera´
paralelo aos vetores ~v e ~n1. Logo o vetor ~n2 = ~v ∧ ~n1 e´ normal a σ. Temos que
~n2 = ~v ∧ ~n1 =
∣∣∣∣∣∣
~ı ~ ~k
2 −1 0
1 1 −1
∣∣∣∣∣∣ = (1, 2, 3).
1
2a SUBSTITUTIVA (GABARITO) – GEOMETRIA ANALI´TICA 1o. DE JUNHO DE 2016
Logo x + 2y + 3z = c e´ equac¸a˜o geral para σ, para algum c ∈ R. Uma vez que r ⊆ σ, A ∈ σ e
d = 1 + 2 · (−2) + 3 · (3) = 6. Portanto x+ 2y + 3z = 6 e´ equac¸a˜o geral para σ. �
Questa˜o 3 (valor: 2.5). Determine a a´rea do triaˆngulo retaˆngulo ∆ABC que tem hipotenusa com
extremos em B = (0,−1, 0) e C = (1, 1, 1) e um dos catetos na “eixo y”. Determine o ve´rtice A.
Soluc¸a˜o. O eixo y e´ paralelo ao vetor ~ = (0, 1, 0). Dado que A esta´ no eixo y, temos que A = (0, λ, 0),
para algum λ ∈ R. Observamos assim que B esta´ no eixo y. Logo o vetor −→AC devera´ ser perpendicular
ao vetor ~. Mas
−→
AC ⊥ ~ ⇔ (1, 1− λ, 1) · (0, 1, 0) = 0 ⇔ 1− λ = 0 ⇔ λ = 1 .
Logo A = (0, 1, 0). A a´rea de ∆ABC e´ ‖
−→
AC‖·‖−→AB‖
2 =
‖(1,0,1)‖·‖(0,−2,0)‖
2 =
2
√
2
2 =
√
2. �
Questa˜o 4 (valor: 2.5). Sejam A = (−1, 0, 3) e B = (2,−2, 5). Classifique a superf´ıcie formada pelos
pontos que X do espac¸o que satisfazem “
−−→
AX e´ ortogonal a
−−→
BX ”.
Soluc¸a˜o. Seja X = (x, y, z) um ponto do espac¸o. Temos que
−−→
AX = (x + 1, y, z − 3), enquanto−−→
BX = (x− 2, y + 2, z − 5). Sendo assim,
−−→
AX ⊥ −−→BX ⇔ (x+1, y, z−3)·(x−2, y+2, z−5) = 0 ⇔ (x+1)(x−2)+y(y+2)+(z−3)(z−5) = 0
⇔ x2 − x− 2 + y2 + 2y + z2 − 8z + 15 = 0 ⇔ x2 − x+ y2 + 2y + z2 − 8z = −13 ⇔(
x− 12
)2
+ (y + 1)2 + (z − 4)2 = −13 + 1 + 14 + 16⇔
(
x− 12
)2
+ (y + 1)2 + (z − 4)2 = 174 .
Portanto uma superf´ıcie esfe´rica de centro
(
1
2 ,−1, 4
)
e raio
√
17
2 . �
2
Geometria Anal�tica/Retas e Planos/Apost2-1.pdf
Introdução
Este texto é uma versão revisada e atualizada do texto " Retas e Planos" de
autoria das professoras Ana Maria Santos Costa, Heliacy Coelho Souza e
Maria Christina Fernandes Cardoso. Esta versão, do mesmo modo que a
primeira, é um recurso didático utilizado na Disciplina Matemática Básica II -
Mat. 002 do Departamento de Matemática da UFBA.
 Esperamos contar com o auxílio dos leitores através de críticas, sugestões e
correções.
Salvador, 01 de novembro de 1999
As autoras,
Maria Christina Fernandes Cardoso
Sonia Regina Soares Ferreira
Verlane Andrade Cabral
Índice
CAPÍTULO I - Equações da reta ........................................................ 01
CAPÍTULO II - Equações do plano ........................................................ 04
CAPÍTULO III - Posições relativas
de dois planos ........................................................ 09
CAPÍTULO IV - Posições relativas
de uma reta e um plano e duas retas ........................................................ 14
CAPÍTULO V - Ângulos ........................................................ 22
CAPÍTULO VI - Distância ........................................................ 29
Exercícios resolvidos ........................................................ 37
Exercícios propostos ........................................................ 46
Geometria Anal�tica/Retas e Planos/Apost2-2.pdf
1
CAPÍTULO I – EQUAÇÕES DA RETA
1.1 Equação vetorial
Um dos axiomas da geometria euclidiana diz que dois pontos distintos
determinam uma reta. Seja r a reta determinada pelos pontos P1 e P2.
Um ponto P pertence à reta r se, e somente se, os vetores 
®
PP1 e 
®
21PP
são colineares. Como P1 e P2 são distintos, o vetor 
®
21PP é não nulo,
então existe um escalar l tal que 
®®
l= 211 PP PP . Assim, P pertence a r se,
e somente se, IR ;PP PP 211 Îll+=
®
. Podemos então concluir que todo
ponto da reta r satisfaz à equação:
IR ;PP PX 211 ÎÎllll++==
®®
,
 que é chamada de equação vetorial da reta r.
Observemos que o fundamental na determinação da equação vetorial de
uma reta, é conhecermos um ponto desta reta e um vetor ( não nulo ) na
sua direção. Um vetor na direção da reta r é chamado vetor direção da
reta r, e indicado por rv
r
.
 IRh ;vhPX:r ro Î+=
r
Assim, cada escalar h determina um único
ponto P pertencente a r e, reciprocamente,
para cada ponto de r, existe um único valor
real h tal que .v hPP ro
r+=
r
P2
P1
r
oP
rv
r
2
1.2 Equações paramétricas e simétricas
Fixado um sistema de coordenadas, sejam )c,b,a(v e )z,y,x(P roooo =
r
 .
A equação vetorial da reta r, determinada por ro v e P
r
 é:
IRh c);b,(a, h)z,y,(xz)y,(x, :r ooo Î+= ,
que equivale ao sistema IRh; 
c hzz
b hyy
a hxx
 :r
o
o
o
Î
ï
î
ï
í
ì
+=
+=
+=
 
As equações acima são chamadas de equações paramétricas da reta r.
Se 0abc ¹ , eliminando o parâmetro h do sistema , obtemos
c
zz
b
yy
a
xx
 :r ooo
--
==
--
==
--
 ‚
Estas equações são denominadas equações simétricas da reta r.
As equações em ‚, poderiam ser obtidas observando o paralelismo que
deve existir entre os vetores:
 0.abc ),c,b,a(v e )zz,yy,xx(PP roooo ¹=---=
® r
Exemplos
1. Determine uma equação da reta r que:
a) passa pelos pontos )2,1,2(P e )1,1,3(P 21 - ;
b) passa pelo ponto P(4,1,0) e contém representantes do vetor
)2,6,2(u -=
r
.
Solução:
a) Como P1 e P2 são distintos, determinam uma reta de equação vetorial
IRh ;PPhPX 211 Î+=
®
, isto é, Rh,2,1);1( h)1,1,3()z,y,x(:r Î-+-= .
3
b) 
1
z
3
1y
4x:r
-
=-=- ( equações simétricas da reta).
2. Verifique se o ponto )2,0,1(P - pertence às retas:
a) IRh (2,1,3);h )7,3,7(z)y,(x, :r Î+---=
b) IRh ; 
h 2z
h1y
h3x
 : s Î
ï
î
ï
í
ì
=
+-=
+-=
c) 
2
4z
3
y
2
1x
 : t
-==+
Solução:
a) rP Î se, e somente, existe ho ÎIR tal que:
(2,1,3) h)7,3,7(,0,2)1( o+---=- .
Ou seja, )3,1,2(h)9,3,6( o= . É fácil verificar que ho = 3 torna a igualdade
acima verdadeira, logo rP Î .
b) sP Î se, e somente, existe ho ÎIR tal que 
ï
î
ï
í
ì
=
+-=
--=-
o
o
o
h 22 
h10 
h31
o que é impossível, pois, da primeira equação temos ho = 2- e da
segunda ho = 1. Logo, sP Ï .
c) tP Î se, e somente, 
2
42
3
0
2
11 -==
+-
 . Como 10 -¹ temos que
PÏt.
3. Seja z
4
2y
2
1x
 :r =
+
=
-
. Determine uma equação de r nas formas
vetorial e paramétrica.
4
Solução:
Das equações simétricas de r temos )1,4,2(vr =
r
 e )0,2,1(P - é um ponto
da reta r. Assim, IRh (2,4,1);h ,0)2(1,z)y,(x, Î+-= e
IRh ; 
hz
h 42y
h 21x
 Î
ï
î
ï
í
ì
=
+-=
+=
 , são equações da reta r nas formas vetorial e
paramétrica, respectivamente.
CAPÍTULO II - EQUAÇÕES DO PLANO
2.1 Equação Vetorial
Um dos axiomas da Geometria Espacial nos diz que três pontos não
colineares determinam um plano. Consideremos então p o plano
determinado pelos pontos A, B e C. Desejamos encontrar uma condição
necessária e suficiente para que um ponto X pertença ao plano p.
Observemos então que, como A, B e C são não colineares, os vetores
®®
AC e BA são linearmente independentes com representantes em p.
Portanto, um ponto X pertence ao plano p se, e somente se, o vetor 
®
XB é
coplanar com os vetores 
®®
AC e BA .
Assim, existem escalares t e h
tais que 
®®®
+= AChBAtXB .
Daí, um ponto X pertence ao
plano p se, e somente se,
®®
++= AChBAtBX ; IRh ,t Î .
Esta equação é chamada de equação vetorial do plano pp.
XA B
C
D
p
5
Observemos que o fundamental na determinação da equação de um plano
é conhecermos um ponto deste plano e dois vetores linearmente
independentes, com representantes no mesmo. Um vetor com
representante em um plano é dito paralelo ao plano.
Assim, uma equação vetorial de um plano a paralelo aos vetores LI
v e u
rr
 e que passa por Po é :
 IRh,t ;vhutPX o Î++=
rr
.
Observemos ainda que para cada ponto X do plano, existe um único par
ordenado ( t, h ) satisfazendo a esta equação e reciprocamente.
2. 2 Equações Paramétricas
Fixemos um sistema de coordenadas do espaço. Sejam ( )111 c,b,au =
r
,
( )222 c,b,av =
r
 vetores linearmente independentes paralelos ao plano a e
( )oooo z,y,xP um ponto de a . Assim, uma equação vetorial do plano a
pode ser escrita como:
( ) ( ) ( ) ( )222111ooo c,b,ahc,b,atz,y,xz,y,x ++= , IRh ,t Î .
A equação acima equivale ao sistema:
ï
î
ï
í
ì
++=
Î++=
++=
hctczz
IRh , t ; hbtbyy
hataxx
21o
21o
21o
.
As equações deste sistema são chamadas equações paramétricas do
plano aa .
Exemplos
1. Dê uma equação vetorial do plano determinado pelos pontos
)0,1,1(A = , )1,2,1(B -= e )1,2,3(C = .
Pou
r vr a
6
Solução:
Como os vetores )1,1,2(AB -=
®
 e )1,1,2(CA ---=
®
 são linearmente
independentes, os pontos A, B e C não são colineares, logo determinam
um único plano. Uma equação vetorial do plano ABC é :
)1,1,2(h)1,1,2(t)0,1,1()z,y,x( +-+= ; IRh,t Î
2. Dê as equações paramétricas do plano paralelo aos vetores
)1,2,1(u -=
r
, )3,0,1(v =
r
 e que passa pelo ponto )1,4,2(P -= .
Solução:
Como os vetores v e u
rr
 são linearmente independentes então P, v e u
rr
determinam um plano de equações paramétricas:
ï
î
ï
í
ì
++-=
Î+=
+-=
h3t1z
IRh t,; 2t 4y
ht2x
3. Dê uma equação vetorial do plano b, dado a seguir;
ï
î
ï
í
ì
+=
Î++-=
-+=
b
h53z
IRh t,; t3h2y
th21x
:
Solução:
Das equações paramétricas de b temos que )3,2,1(P -= é um ponto de b
e os vetores )5,1,2(u =
r
 e )0,3,1(v -=
r
 são linearmente independentes
com representantes em b. Assim, uma equação vetorial de b é dada por ;
)0,3,1(h)5,1,2(t)3,2,1()z,y,x( : -++-=b ; IRh,t Î .
4. Determine as equações paramétricas do plano a paralelo ao vetor
)2,1,5(u =
r
 e que passa pelos pontos )1,1,3(A -= e )0,1,2(B -= .
7
Solução:
Observemos que os vetores )2,1,5(u =
r
 e )1,0,1(AB --=
®
 são linearmente
independentes com representantes no plano a . Assim, as equações
paramétricas de a são:
ï
î
ï
í
ì
-+=
Î+-=
-+=
a
th21z
IRh t,; h1y
th53x
: .
2. 3 Equação Geral
Seja a o plano determinado pelo ponto
( )ooo z,y,xP e pelos vetores v e u
rr
.
Lembremos que um ponto X(x, y, z)
pertence a a se, somente se, os vetores 
®
PX , v e u
rr
 são coplanares.
Assim, 0] v,u,PX [ =
® rr
, ou seja, 0XP)vu( o =×´
®rr
 . Considerando
)c,b,a(vu =´
rr
, podemos escrever:
0)zz,yy,xx()c,b,a( ooo =---× ,
ou equivalentemente,
0dczbyax =+++ , 
onde ( )ooo czbyaxd ++-= . A equação  é chamada de equação
geral do plano aa .
Dizemos que um vetor não nulo é
normal a um plano se, somente se, é
ortogonal a todos os vetores que
possuem representantes neste plano. É
usual indicarmos um vetor normal ao
plano a por an
r
.
Observemos que os coeficientes a, b e c da equação geral do plano a
correspondem às coordenadas de um vetor normal a este plano.
Po
u
r
v
r a
X
u
r
v
r
a
Po
an
r
8
Exemplos
1. Determine uma equação geral do plano a que passa pelo ponto
)2,1,3(P -= e é paralelo aos vetores )2,1,1(u -=
r
 e )0,1,1(v -=
r
.
Solução 1:
Como v e u
rr
 são LI e têm representantes em a, podemos considerar an
r
paralelo ao produto vetorial )0,2,2(vu =´
rr
. Considerando ( )0,2,2n =a
r
,
uma equação geral do plano a tem a forma 0dy2x2 =++ , para um
certo valor real de d. Como o ponto P pertence ao plano a suas
coordenadas satisfazem a esta equação, assim temos:
0d2.0)1.(23.2 =++-+ , daí, 4 d -= . Logo, 04y2x2 =-+ é uma
equação do plano a.
Solução 2:
Seja ( )0,1,1n =a
r
 e X um ponto genérico de a.
Então, 0n XPo =× a
® r
, ou equivalentemente,
( ) ( ) 00,1,1 2z,1y,3x =×-+- .
Daí, uma equação geral do plano a é 02yx =-+ .
2. Determine um vetor normal ao plano a nos seguintes casos:
a) a : IRh t,; )0,1,1(h)3,1,2(t)1,0,1(X Î+-+= .
b) 
ï
î
ï
í
ì
+-=
Î-+=
+=
a
h2tz
IRh , t ; ht21y
t32x
: .
c) a : 01zy3x2 =-+-
Solução :
a) )3,3,3()0,1,1()3,1,2(n -=´-=a
r
b) )3,6,3()2,1,0()1,2,3(n --=-´-=a
r
c) )1,3,2(n -=a
r
an
r
a
X
Po
9
CAPÍTULO III - POSIÇÕES RELATIVAS DE DOIS
PLANOS
No espaço IR3 , dois planos a e b são paralelos ou concorrentes. Se os
planos a e b são paralelos temos:
Observemos que dois planos são paralelos se, somente se , seus vetores
normais são paralelos. Consideremos 0dzcybxa : 1111 =+++a e
0dzcybxa : 2222 =+++b . Temos que a
e b são paralelos se,
somente se, existe um real k tal que:
ï
î
ï
í
ì
=
=
=
21
21
21
kcc
kbb
kaa
Se os planos a e b são paralelos e, além disso, possuem um ponto em
comum, então eles são coincidentes. Suponhamos que )z,y,x(P 111 seja
esse ponto comum. Assim, as coordenadas de P satisfazem às equações
de a e b :
î
í
ì
=+++
=+++
0dzcybxa
0dzcybxa
2121212
1111111 .
Ou equivalentemente,
 
î
í
ì
=+++
=+++
0dzcybxa
0dzkcykbxka
2121212
1121212
Daí, ( )1212121 zcybxakd ---= . Logo, 21 kdd = .
a bb
bn
r
an
r
Paralelos distintos : f=bÇa
an
r
bn
r
a º b
Paralelos coincidentes : a º b
10
Se os vetores normais dos planos a e b não
são paralelos, então estes planos são
concorrentes. Neste caso, eles se interceptam
segundo uma reta r. Assim, um ponto
)z,y,x(P pertence à reta r se, somente se,
suas coordenadas satisfazem ao sistema:
î
í
ì
=+++
=+++
0dzcybxa
0dzcybxa
2222
1111
Este sistema é denominado equação geral da reta r.
Observemos que um vetor direção da reta r , rv
r
, possui representantes
nos planos a e b. Daí, rv
r
 é ortogonal a an
v
 e ortogonal a bn 
r
. Podemos
concluir então que rv
r
 é paralelo ao vetor ba ´ n n
rv
.
Se os vetores ba n e n
rv
 são ortogonais
dizemos que os planos a e b são
perpendiculares. Assim, dois planos são
perpendiculares se, somente se, 0n n =× ba
rv
.
Exemplos
1. Estude a posição relativa dos planos:
a) 01zyx2 : =+-+a e 02z2y2x4 : =+-+b .
b) a : IRh t,; )1,0,0(h)3,1,2(t)1,0,1(X Î++=
e 01zyx2 : =+-+b .
c) a : IRh t,; )1,0,0(h)3,1,2(t)1,0,1(X Î++=
 e 
ï
î
ï
í
ì
-+=
Î+=
=
b
ht52z
IRh , t ; t21y
t4x
:
b
a
an
r
bn
r
bn
r
an
r
b
ar
rv
r
11
Solução :
a) Observemos que ba = n 2n
rv
, assim, os planos a e b são paralelos.
Além disso, temos que 21 d2d = . Logo, podemos concluir que a e b
são coincidentes.
b) Consideremos os vetores )0,2,1()1,0,0()3,1,2(n -=´=a
r
)1,1,2(n -=b
r
. Como estes vetores não são paralelos, temos que os
planos a e b são concorrentes. Se r é a reta interseção de a e b, então
a equação geral de r pode ser dada pelo sistema:
î
í
ì
=+-+
=--
01zyx2
01y2x
:r .
 Observemos ainda que 0n n =× ba
rv
, assim a e b são perpendiculares.
c) Consideremos os vetores )0,2,1(n -=a
r
 e )0,4 ,2(n -=b
r
. Observemos
que ba -= n 2n
rv
, daí, os planos a e b são paralelos. No entanto,
)1 ,0 ,1(P = pertence ao plano a e não pertence ao plano b.
Consequentemente, a e b são estritamente paralelos.
2. Determine uma equação do plano b paralelo a 01z4y6x2 : =-+-a
e que passa pelo ponto )2,0 ,1(P -= .
Solução :
Como o plano b é paralelo ao plano a, temos que 0k , n kn ¹= ab
rv
.
Podemos então considerar )4 ,6 ,2(n --=b
r
. Assim, podemos escrever:
0dz4y6x2 : =++-b . Para determinarmos o valor de d basta
utilizarmos o fato de que o ponto P pertence a b e por isso, satisfaz a sua
equação. Daí, 0d)2.(40.61.2 =+-+- , ou seja, d = 6. Logo, uma
equação geral de b é 06z4y6x2 =++- .
3. Dados os planos 01zy4x2 : =+-+a e 02zy2x : =+++-b
determine uma equação vetorial da reta r interseção dos planos a e b.
12
Solução :
É fácil obtermos uma equação vetorial de uma reta se conhecemos dois
de seus pontos. Ora, uma equação geral da reta r pode ser dada pelo
sistema:
î
í
ì
=+++-
=+-+
02zy2x
01zy4x2
:r 
Assim, basta conseguirmos dois pontos cujas coordenadas satisfaçam a
este sistema. Como este sistema é possível e indeterminado, podemos
conseguir uma solução considerando 0y = . Então,
î
í
ì
=++-
=+-
02zx
01zx2
Daí, 5z , 3x -=-= e )5,0 ,3(P -- pertence à reta r. De modo análogo, se
considerarmos 0x = no sistema , obteremos 1z , 
2
1
y -=-= e
)1,
2
1
,0(Q --= pertence à reta r. Daí, o vetor )4,
2
1
,3(PQvr -==
®r
 é um
vetor direção da reta r e uma equação vetorial desta reta pode ser dada
pela equação:
Rh,4);
2
1
,3( h)5,0,3()z,y,x(:r Î-+--= .
Uma outra maneira de determinarmos um vetor direção da reta r é obtida
quando utilizamos o fato de que este vetor é paralelo ao vetor ba ´ n n
rv
.
Assim, podemos considerar )8,1,6()1,2,1()1,4,2(v r -=-´-=
r
 e
IRh 1,8);(6,h )5,0,3(z)y,(x, :r Î-+--= é uma equação outra vetorial
de r.
4. Dada a reta IRh ,1);4(2,h )0,2,1(z)y,(x, :r Î+-= , determine uma
equação geral da mesma.
Solução :
Devemos determinar as equações gerais de dois planos distintos a e b
que contém a reta r.
13
Observemos que se um ponto não pertence a uma reta, o plano
determinado por este ponto e esta reta, naturalmente, contém a reta.
Assim, seja a o plano determinado pela
reta r e pelo ponto )1,0 ,0(P - . O vetor
normal de a pode ser dado por
®
a ´= APvn r
rr
, onde A é um ponto de r.
Então, considerando )0,2,1(A - temos que )8,1,6(n -=a
r
 e
0dz8yx6: =+++-a .
Para determinarmos o valor de d, substituimos na equação anterior as
cooordenadas de um ponto qualquer de a. Por exemplo, substituindo as
coordenadas do ponto P, obtemos : 0d)1.(800.6 =+-++- . Daí, 8d =
e 08z8yx6: =+++-a .
A equação geral do plano b é obtida de modo análogo ao utilizado para
obtenção da equação do plano a. Chamamos porém a atenção especial
para a escolha do ponto: agora ele deve ser escolhido fora do plano aa .
Considerando o plano b determinado pela reta r e pelo ponto O(0,0,0)
temos que:
)8,1,2(AOvn r --=´=
®
b
rr
e 0dz8yx2: =++--b .
Como o plano b passa
pela origem do sistema
de coordenadas temos
que d = 0 .
Logo, 0z8yx2: =+--b , portanto uma equação geral da reta r é
î
í
ì
=+--
=+++-
0z8yx2
08z8yx6
:r
P
a
r r
v
r
A
P
a
r
rv
r
A
b
O
14
Geometria Anal�tica/Retas e Planos/Apost2-3.pdf
14
CAPÍTULO IV - POSIÇÕES RELATIVAS
DE UMA RETA E UM PLANO
E
DE DUAS RETAS
4.1 Posições relativas de uma reta e um plano
As posições de uma reta IR t,vt RX :r r Î+=
r
 e um plano p são:
a) r paralela a p
 (r // p )
b) r contida em p (r Ì p )
c) r e p concorrentes
(r Ç p = {P} )
p
rv
r
R
pn
r
r
pÏ=×Ûp p R e 0nv//r r
rr
R
p
r
pn
r
rv
r
pÎ=×ÛpÌ p R e 0nvr r
rr
P
r
rv
r
p
pn
r
 0nv }P{r r ¹×Û=pÇ p
rr
15
Caso particular:
Exemplos:
1. Determine a interseção da reta r com o plano p, nos seguintes casos:
03zx : 
IR t; (1,1,1) t (1,6,2) X : r )a
=--p
Î+=
IRh t,(1,2,1);t (6,2,1)hX : 
)1z( 22y1x : r )b
Î+=p
-=-=-
012zy x: 
IR t;
tz
 t 33y
tx
:r )c
=-++p
Î
ï
î
ï
í
ì
-=
+-=
=
Solução:
a) f=pÇ=pÇ=-×=× p rou r r logo, ,0)1,0,1()1,1,1(nvr
rr
.
Como R(1,6,2) é um ponto de r, verificamos que pÏR . Logo f=pÇr .
b) Sendo ),10,5,0()1,2,1()1,2,6(n e 
2
1
,1,1vr -=´=÷
ø
ö
ç
è
æ= p
rr
temos que
0nv r =× p
rr
. Logo, f=pÇ=pÇ rou rr . Como R(1,2,1) é um ponto de
r, verificamos que pÎR . Logo pÌr e consequentemente .rr =pÇ
r
rv
r
pn
v
p
16
b) De 02)2,1,1()1,3,1(nvr ¹=×-=× p
rr
 concluímos que r e p são
concorrentes. Seja )}c,b,a{(}P{r ==pÇ . Temos então:
t escalar algum para ,
tc
t33b
ta
 (2) 0.1c2ba )1(
ï
î
ï
í
ì
-=
+-=
=
=-++ .
De (1) e (2) obtemos t = 2 e )2,3,2(P - .
2. Determine uma equação da reta r que passa pelo ponto )2,0,1(A - e é
paralela aos planos 0.3zx: e 02y2x: =-+b=+-a
Solução:
Como ba ^^ba n v e n v temos,r // e r // r r
rrrr
. Sendo ba n en 
rr
 LI,
temos que ba ´ nn // vr
rrr
. Assim podemos considerar
)1,2,1()0,1,2()01,1(nnvr -=-´=´= ba
rrr
.
Daí uma equação vetorial da reta r é:
IR t1);(1,2,t 2)(1,0, X :r Î-+-=
4.2 Posições relativas de duas retas
Se duas retas estão contidas no mesmo plano dizemos que são
coplanares. Caso contrário são denominadas reversas.
As retas coplanares podem ser paralelas (distintas ou coincidentes) ou
concorrentes.
17
Resumindo, duas retas r1 e r2 podem ser:
Coplanares
w Concorrentes : { }Prr 21 =Ç
w Paralelas:
 w Distintas : f=Ç 21 rr w Coincidentes : 21 rr º
Reversas
Estabeleceremos a seguir condições para a identificação da posição
relativa de duas retas.
Considere as retas IR t h, ; v tS X :s e vh RX :r sr Î+=+=
rr
.
Se r e s são coplanares então os vetores sr v e v ,RS
rr®
 são coplanares e
portanto .0]v,v,RS[ sr =
® rr
 Reciprocamente, se 0]v,v,RS[ sr =
® rr
 podemos
ter:
i) sr v //v
rr
, nesse caso r e s são paralelas, logo coplanares.
r1 r2
p
P
r1
r2
p p
21 rr º
r2
r1
p
P
18
ii) sr v e v
rr
 LI, nesse caso sr v e v,RS
rr®
 são LD. Como sr v e v
rr
 são
linearmente independentes, então podemos escrever 
®
RS como
combinação linear de sr v e v
rr
. Logo, existem escalares ho e to tais que
soro vtvhRS
rr
++= . Assim, o plano ;v tv hRX: sr
rr
++=b IRt,h Î ,
contém as retas r e s, que portanto são coplanares. Observemos ainda
que, neste caso as retas são concorrentes.
Um caso particular de retas concorrentes
são as retas perpendiculares. Observemos
que se duas retas r e s são perpendiculares
então 0vv sr =×
rr
.
Exemplos
1. Estude a posição relativa dos seguintes pares de retas:
a) IRh );7,3,1( h)2,0,1(X:s e 
02zy3x
02zyx2
:r Î-+=
î
í
ì
=+-+
=+--
b) 8z
3
y
2
x1
 :s e IRh ; 
4h4z
h1y
hx
 :r -==
-
Î
ï
î
ï
í
ì
+=
-=
=
c) 
9
12z
2y
5
3x
 :s e IRt; )18,2,10(t)3,1,2(X:r
-
=-=
-
Î---+-=
d) IR t; 
t3z
2t1y
4x
:s e IRh );1,2,0(h)1,3,4(X:r Î
ï
î
ï
í
ì
-=
--=
=
Î+-=
Solução:
a) Como 3,7)(1, // v e )7,1,4()1,3,1()1,1,2( //v sr -=-´--
rr
 temos que as
retas r e s são concorrentes ou reversas. Vamos então considerar
R(0,0,2) e S(1,0,2) pontos de r e s, respectivamente. Assim,
p
rP
srv
r
sv
r
19
028
7 3 1 
7 1 4 
 0 0 1 
]v,v,RS[ sr ¹=
-
=
® rr
.
Portanto, as retas r e s são reversas.
c) Como )1,3,2( // v e )4,1,1( //v sr --
rr
 temos que as retas r e s são
concorrentes ou reversas. Vamos então considerar R(0,1,4) e S(1,0,8)
pontos de r e s, respectivamente.
Assim,
0
1 3 2 
4 1 1 
 4 1 1 
]v,v,RS[ sr =
-
-
-
=
® rr
. Logo as retas r e s são concorrentes.
c) Como (5,1,9) // v e )18,2,10( //v sr
rr
--- temos que as retas r e s são
paralelas (distintas ou coincidentes). Além disso, o ponto )3,1,2(R -
pertence às retas r e s. Assim, podemos concluir que as retas r e s são
coincidentes.
d) Como 1)2,(0, // v e )1,2,0( //v sr --
rr
 temos que as retas r e s são
paralelas (distintas ou coincidentes). Observemos que o ponto )1,3,4(R -
pertence à reta r, no entanto não pertence à reta s, pois o sistema
ï
î
ï
í
ì
-=
--=-
=
o
o
t31 
t 213
44 
 não tem solução.
Assim, podemos concluir que as retas r e s são paralelas distintas.
2. Dê uma equação da reta r que passa pelo ponto )1,1,1(P - e é paralela à
reta s: 
î
í
ì
=+-+
=++-
06zy5x
03z4yx2
.
20
Solução:
Sendo r e s retas paralelas podemos considerar sr vv
rr
= . Como
)11,6,19()1(1,5,1,4)(2, //vs -=-´-
r
 as equações simétricas de s são:
11
1z
6
1y
19
1x -=-=
-
+
.
3. Mostre que as retas IR t;
3z
t2y
t4x
:s e 1zy2 x:r Î
ï
î
ï
í
ì
=
--=
+=
-=-=-
são concorrentes e determine o ponto de interseção.
Solução:
Sejam )3,2S(4, e R(2,0,1) e )0,1,1(v ),1,1,1(v sr --=-=
rr
 pontos de r e
s,
respectivamente. Então 0
 2 2 2 
 0 1 1 
 1 1 1 
]RS,v,v[ sr =
-
-
-
=
®rr
 e assim
concluímos
que r e s são coplanares. Como não são paralelas pois sr v e v
rr
 são
vetores LI, temos que as retas são concorrentes. Seja
{ } { } sr)z,y,x(P oooo Ç== .
Então, 1z y 2x ooo -=-=- e 
ï
î
ï
í
ì
=
--=
+=
3z
t2y
t4x
o
oo
oo
.
Daí, ).3,2,4(P e 0t oo -==
4. Determine uma equação da reta r que passa pelo ponto P (1,2,3), é
concorrente com a reta IR,h (2,5,1); h)5,3,1(X:s Î+-= e tem vetor
direção rv
r
 ortogonal ao vetor )4,1,0(u -=
r
.
21
Solução:
Seja { } srPo Ç= . Então existe um real oh , tal que
)h5,h53,h21(P oooo +++- . Consideremos or PPv
®
=r . Como rvr é
ortogonal a u
r
, temos que 0)4,1,0()h2,h51,h22( ooo =-×+++- . Logo,
.7ho = Assim,
)12,18,13(Po = e IR t(2,5,1); t)3,2,1(X:r Î+= .
5. Determine uma condição necessária e suficiente para que uma reta r
seja paralela ao eixo OX.
Solução:
O eixo OX tem vetor direção ).0,0,1(i =
r
 Então, uma reta r é paralela ao
eixo OX se, e somente se, rv
r
 é paralelo ao vetor ).0,0,1(i =
r
6. Determine uma equação da reta que passa pelo ponto ),2,0,1(P = é
concorrente com a reta IRt(2,1,1); t)1,0,1(X:s Î+= e é paralela ao
plano 06z4y3x2: =-+-p .
Solução:
Seja { } srPo Ç= então, existe IRt Î tal que
)1t,t,t2(PP e )t1,t,t21(P oo -=++=
®
.
Como r // p temos 0)4,3,2()1t,t,t2( =-×- .
Assim, t = 
5
4
.
Considerando )1,4,8(vr -=
r
, uma equação vetorial de r é:
IRt1);(8,4, t)2,0,1(X:r Î-+= .
s
P0 P
p
r
Geometria Anal�tica/Retas e Planos/Apost2-4.pdf
22
CAPÍTULO V - ÂNGULOS
5.1 Ângulo entre duas retas
O ângulo entre duas retas r e s, indicado por (r,s), é definido como o
menor dos ângulos ( )sr v,v
rr
 e ( )sr v,v
rr
- .
Se r e s são retas paralelas
então ( ) 0s,r = .
Na figura ao lado, o ângulo
( ) ( ) q=-= sr v,vs,r
rr
.
Na figura ao lado, as retas r e s
são reversas e ( ) ( ) q== sr v,vs,r
rr
.
Assim, ( )
2
s,r0
p
££ e ( ) ( ) ( ) |v,v cos||v,v cos|s,r cos srsr
rrrr
-== .
Logo,
(( ))
|v| |v|
|vv|
cos arcs,r
sr
sr rr
rr
××
==
Quando ( )
2
s,r
p
= , dizemos que r e s são ortogonais e escrevemos r ^ s.
Se r e s são ortogonais e concorrentes dizemos que as retas são
perpendiculares. É claro que r ^^ s 0vv sr ==××ÛÛ
rr
.
sv
r
r
s
rv
r
sv
r
q
a
r
s
rv
r
sv
r
sv
r
-
a
rs r
v
rsv
r q
sv
r
-
a
23
Exemplos
1. Determine os ângulos formados pelas retas r e s, nos seguintes casos:
a) IR ; )1,1,1(X:r Îl-l= e IR t;
t2z
ty
t1x
:s Î
ï
î
ï
í
ì
-=
=
-=
b) 
î
í
ì
=-+-
=-+
01zyx
0zy2x
:r e z
2
2y
1x:s =
-
=+ .
c) IR t; 
3z
t22y
t21x
:r Î
ï
î
ï
í
ì
=
+=
-=
 e 
3
1z
1y
2
3x
:s
+
=+=
-
Solução:
a) Como )1,1,1(v r -=
r
 e )1,1,1(vs --=
r
, as retas r e s são paralelas.
Assim, ( ) 0s,r = .
b) Temos )3,2,1()1,1,1()1,2,1(v r --=-´-=
r
 e )1,2,1(vs =
r
. Daí,
( )
7
21
cos arc
|6| |14|
|341|
cos arcs,r =
--
= .
c) Como )0,2,2(vr -=
r
 e )3,1,2(vs =
r
, temos:
( )
72
1
cos arc
|14| |8|
|024|
cos arcs,r =
++-
= .
2. Determine uma equação da reta r que passa pelo ponto )2,1,1(P - e é
perpendicular à reta IR t; 
t2z
t2y
t1x
:s Î
ï
î
ï
í
ì
-=
=
+=
.
24
Solução:
Como r e s são perpendiculares, temos que
estas retas são concorrentes e ortogonais.
Assim, se oP é o ponto de concorrência de r e
s, existe ot real, tal que
)t2,t2,t1(P oooo -+= . Podemos então
considerar )t4,1t2,t(PPv oooor --==
®r
.
Pela condição de ortogonalidade, temos:
0PPv os =×
®r
. Assim, 0)t4()1t2(2t ooo =---+ , daí, 1t o = .
Portanto uma equação da reta r é IR ; )3,1,1()2,1,1(X:r Îll+-= .
3. Substituindo, no exemplo anterior, a condição de perpendicularidade
 por ortogonalidade, o problema tem solução única?
Solução:
Neste caso, a direção de r poderia ser
dada por qualquer vetor ortogonal a
sv
r
, sem restrições e, portanto, existe
uma infinidade de soluções: toda reta
que passa por P e está contida no
plano 0vPX: s =×
® r
a .
4. Determine uma equação da reta r que passa por )0,0,1(P é concorrente
com IRt ; )0,1,1(tX:s Î= e ( )
4
s,r
p
= .
Solução:
Observemos inicialmente que o
ponto P não pertence à reta s.
Assim, se oP é o ponto de
concorrência de r e s, existe ot
real, tal que )0,t,t(P ooo = e
)0,t,1t(PPv ooor -==
®r
.
rv
r
Po
P
s
r
sv
r
rv
r
Po
P
s
sv
r
a
Po
P
s
r r'
4
p
4
p
25
Então,
( )
2
1
0t)1t(2
|)0,t,1t()0,1,1(|
cos s,r cos
2
o
2
o
oo =
++-
-×
= .
Daí, 2o
2
ooo t)1t(t1t +-=+- . Logo, 1ou t 0t oo == .
Assim, este problema admite duas soluções:
u 0t o = ; IRt ; )0,0,1(t)0,0,1(X:r Î-+=
u 1t o = ; IRh ; )0,1,0(h)0,0,1(X:r Î+=¢ .
5.2 Ângulo entre dois planos
O ângulo entre dois planos
a e b , indicado por (a , b),
é definido como o menor
dos ângulos ( )ba n,n rr e
( )ba -n,n rr .
Assim, ( )
2
,0
p
£ba£ e
(( ))
|n| |n|
|nn|
 cos arc,
bbaa
bbaa ××==bbaa rr
rr
Quando ( )
2
,
p
=ba , dizemos que a e b são ortogonais e escrevemos
b^a . É claro que 0nn ==××ÛÛbb^^aa bbaa
vr
.
Chamamos reta normal a um plano a a toda reta que tem a direção de
an
r
. Assim, podemos dizer que o ângulo entre dois planos é o ângulo
formado por duas retas normais a esses planos.
an
v
bn
v
q
a
bq
26
Exemplos
1. Determine o ângulo formado pelos planos a e b, nos seguintes casos:
a) 01zyx2 : =+-+a e 02zyx : =+++b .
b) 05zyx : =+-+a e IR.h t,; )0,1,1(h)1,0,1(tX : Î-+=b
 c) IRh,t ; 
h1z
ty
htx
: Î
ï
î
ï
í
ì
+=
=
+=
a e 01zyx2 : =-++b
Solução:
a) Das equações de a e b temos )1,1,2(n -=a
v
 e )1,1,1(n =b
r
. Assim,
3
2
23
2
36
|)1,1,1()1,1,2(|
),( cos ==
×-
=ba .
 Logo, 
3
2
 cos arc),( =ba .
b) )1,1,1(n -=a
v
 e )1,1,1()0,1,1()1,0,1(n -=-´=b
r
.
 Daí, 1
33
|)1,1,1()1,1,1(|
),( cos =
-×-
=ba . Logo, 0),( =ba .
c) )1,1,1()1,0,1()0,1,1(n --=´=a
r
 e )1,1,2(n =b
r
.
 Assim, 0
63
|)1,1,2()1,1,1(|
),( cos =
×--
=ba . Logo, 
2
),(
p
=ba .
2. Determine uma equação do plano a ortogonal ao plano
01zyx2 : =++-b e que passa pelos pontos )2,0,1(A = e
)3,1,2(B = .
Solução:
Os vetores )1,1,1(AB =
®
 e )1,1,2(n -=b
r
 são
L.I. e possuem representantes em a. Assim,
uma equação vetorial do plano a pode ser
dado por:
IRh t,; )1,1,2(h)1,1,1(t)2,0,1(X : Î-++=a .
A
bn
r
B
a
b
27
5.3 Ângulo entre reta e plano
O ângulo entre uma reta r e um plano
a, indicado por ),r( a , é definido
como o complemento do ângulo
formado pela reta r e por uma reta n
normal ao plano a.
Na figura, temos )n,r(=f e ),r( a=q .
Assim, 
2
),r(0
p
£a£ e pode ser calculado como:
(( ))
 |n||v|
|nv|
 cos arc 
2
)n,r(
2
,r
r
r
aa
aa××--pp==--pp==aa rr
rr
ou,
 (( ))
 |n||v|
|nv|
 ens arc ,r
r
r
aa
aa××==aa rr
rr
.
Quando 
2
),r(
p
=a , dizemos que a reta r e o plano a são
perpendiculares e escrevemos a^ r . É claro que aaÛÛaa^^ n //v r r
rr
.
Exemplo
1. Determine o ângulo entre r e a, nos seguintes casos:
a) IR t; )2,0,1(t)1,0,1(X:r Î+=
 IR.h t,; )3,2,1(h)1,0,1(tX : Î-+=a
b) 
î
í
ì
=+-+
=+-
01z2y2x
02yx
:r e 01z2y2x : =+--a
Solução:
a) Como )2,0,1(vr =
r
 e )2,4,2()3,2,1()1,0,1(n -=-´=a
r
, temos:
30
1
65
|)1,2,1()2,0,1(|
),r(en s =
-×
=a .
 Logo, 
30
1
en s arc),r( =a .
r
f
a
n
q
28
b) Temos )4,1,1()1,2,2()0,1,1(vr =-´-=
r
 e )2,2,1(n --=a
v
, assim,
2
2
918
|)2,2,1()4,1,1(|
),r(en s =
--×
=a .
Logo, 
4
),r(
p
=a .
Geometria Anal�tica/Retas e Planos/Apost2-5.pdf
29
CAPÍTULO VI - DISTÂNCIA
6.1 Distância entre dois pontos
A distância entre um ponto A e um ponto B
é indicada por d(A,B) e definida por |AB|
®
.
 Considerando )b,b,B(b e )a,a,a(A 321321 temos que:
 |)ab,ab,a(b| |AB| )B,A(d 332211 ---==
®
.
Daí, 233
2
22
2
11 )ab()ab()a(b )B,A(d --++--++--==
6.2 Distância entre um ponto e um plano
A distância entre um ponto oP e um plano p é indicada por
),P( d o p e definida como a menor
entre as distâncias de oP a pontos de
p .
Assim, se P é um ponto qualquer de p ,
então a distância entre oP e p é o
módulo da projeção do vetor 
®
oPP , na
direção de pn
r
.
Considerando 0dczbyax : =+++p )x,y,x(P oooo e P(x, y, z)
então:
222
ooo
oo
cba
|)zz(c)yy(b)xa(x|
 |nPP| ),P(d
++
-+-+-
=×=p °p
® r
Logo, 
222
ooo
o
cba
|dczbyax|
 | ),P(d
++++
++++++
==pp .
A
B
P
1P
pn
r
oP
p
30
Exemplos:
Determine a distância entre o ponto oP e o plano p nos seguintes casos:
a) )2,1,1(Po e p : 04z2yx2 =++-
b) )4,2,2(Po e p : X = (1,0,1) + h(1,1,1) + t(1,2,3) ; h, t ÎIR.
Solução:
a) 3 
9
|42.21.12.1|
 ),P(d o =
++-
=p
b) Consideremos P(1,0,1) e ).1,2(1, (1,2,3) (1,1,1) n -=´=p
r
 Assim,
0. 
6
|3.12).2(1.1|
 |nPP|),P(d oo =
+-+
=×=p °p
® r
6.3 Distância entre um ponto e uma reta
A distância entre um ponto Q e uma
reta r é indicada por d(Q, r) e
definida como a menor entre as
distâncias de Q a pontos de r.
Assim, se rP Î e m é a reta
definida pelos pontos P e Q, temos
que :
|v| |PQ|
|v