Ondas parte 1 - Física II (UFCG)

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Física 2
ONDAS
Introdução
Nosso mundo está repleto de oscilações, nas quais os objetos se movem de um lado para o outro.
Por fenômeno oscilatório estamos considerando tudo aquilo que se move em dois sentidos de forma alternada em torno de uma posição de equilíbrio.
Nosso interesse está em sistemas oscilatórios periódicos (ou seja, cujos ciclos se repetem em intervalos iguais de tempo) ocasionados por forças restauradoras para um certo estado ou posição de equilíbrio. 
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A nossa visão e audição, juntamente com a voz, que constituem nossos principais meios para comunicação, acontecem por meio de fenômenos oscilatórios
Introdução
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Introdução
Podemos fazer modelos oscilatórios para explicar a estrutura da matéria...
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Introdução
Ondas eletromagnéticas podem ser geradas através da vibração de cargas elétricas...
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Introdução
Uma pedra caindo em um lago...
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O choque entre as placas tectônicas, que causa os terremotos, pode ser analisado como sistemas que vibram
Introdução
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Sempre que um sistema sofre uma perturbação da sua posição de equilíbrio estável, ocorre um movimento de oscilação.
Introdução
Movimento Harmônico Simples
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O movimento harmônico simples é aquele que ocorre quando a aceleração e a força resultante são proporcionais e se opõem ao deslocamento.
Freqüência (f) – é o número de oscilações completas por segundo.
 1 hertz = 1 Hz = 1 s-1
O tempo necessário para completar uma oscilação é o período:
Todo movimento que se repete a intervalos regulares é chamado de movimento periódico ou harmônico.
Movimento Harmônico Simples
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Deslocamento no instante t
Amplitude
Freqüência
Angular
Tempo
Constante de fase ou
Ângulo de fase
Fase
Movimento Harmônico Simples
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Para interpretar a constante , denominada freqüência angular do movimento, notamos primeiramente que o deslocamento x(t) deve ser igual a x(t + T), para qualquer valor de t. Desta forma:
O cosseno se repete quando seu argumento aumenta de 2 rad.
Freqüência
Angular
Velocidade e Aceleração do MHS
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A velocidade é a variação da posição no tempo; ou seja, a taxa de variação ou derivada da função posição x(t):
A aceleração é a variação da velocidade no tempo; ou seja, a taxa de variação ou derivada da função velocidade v(t):
Gráficos de x(t), v(t) e a(t)
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Exemplo: A função
representa o MHS de uma partícula.
Determine para t = 2,0 s:
o deslocamento;
a velocidade;
a aceleração;
a fase;
a frequência;
e o período.
Movimento Harmônico Simples
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Considerando a 2ª Lei de Newton e a Lei de Hooke, teremos:
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Movimento Harmônico Simples
Dependência de ω:
com a massa – depende
com a constante k – depende
com a amplitude – não depende
A Energia do MHS
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Energia Potencial
Energia Cinética
Lembrando que
teremos
A Energia do MHS
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Oscilador Harmônico Simples Angular
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Pêndulo de Torção
A rotação do disco de um ângulo  em qualquer sentido produz um torque restaurador dado por
Substituindo m pela grandeza equivalente I, o momento de inércia do disco, teremos
Pêndulos
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Pêndulo de Foucault – Pantheon, Paris
Pêndulo Simples
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Torque restaurador
Quando  é pequeno
Como
teremos
Pêndulo Físico
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Para pequenos valores do ângulo , o movimento é aproximadamente um MHS
Substituindo L por h
MHS e o Movimento Circular
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O movimento harmônico simples é a projeção do movimento circular uniforme em um diâmetro da circunferência ao longo do qual acontece o movimento circular
Movimento Harmônico Simples Amortecido
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Força de Amortecimento
Força Restauradora
Supondo a força gravitacional desprezível e aplicando a 2ª Lei de Newton:
Movimento Harmônico Simples Amortecido
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Que resulta na equação diferencial
A solução desta equação é
Freqüência do Oscilador amortecido
Se o amortecimento é pequeno
Oscilações Forçadas e Ressonância
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Temos que resolver a equação:
Depende de  e D
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Oscilações Forçadas e Ressonância
onde
e
em fase
fora de fase
Esta equação tem como possível solução:
Caso mais simples 
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Oscilações Forçadas e Ressonância
Construída nos anos 40, a belíssima obra caiu pouco tempo depois de ficar pronta. Por quê? A causa não foi nenhuma das que usualmente são as responsáveis por tais acidentes. Não foi um terremoto, nem uma inundação. Foi algo bem mais trivial. O grande responsável pela queda da belíssima ponte pênsil foi uma simples e leve brisa…
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Oscilações Forçadas e Ressonância
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Exemplo – Fixação dos Conceitos
Um bloco cuja massa, m, é 650 g é preso a uma mola cuja constante elástica, k, é 65 N/m. O bloco é puxado uma distância x =11 cm da sua posição de equilíbrio x =0, numa superfície horizontal sem atrito, e libertado em repouso (para t =0). 
Qual é a frequência angular e o período do movimento?
Indique qual é a amplitude e a fase inicial e escreva a equação do movimento.
Qual é a velocidade máxima do oscilador? Nessa situação qual é a sua energia potencial?
Considere que o amortecimento provocado pelo ar era igual a -3,25v (em que v representa a velocidade do bloco). Escreva a equação do movimento resultante.
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Um bloco cuja massa, m, é 650 g é preso a uma mola cuja constante elástica, k, é 65 N/m. O bloco é puxado uma distância x =11 cm da sua posição de equilíbrio x =0, numa superfície horizontal sem atrito, e libertado em repouso (para t =0). 
Qual é a frequência angular e o período do movimento?
Exemplo – Fixação dos Conceitos
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Para t =0 –> x =0,11 m; v =0
Indique qual é a amplitude e a fase inicial e escreva a equação do movimento.
Um bloco cuja massa, m, é 650 g é preso a uma mola cuja constante elástica, k, é 65 N/m. O bloco é puxado uma distância x =11 cm da sua posição de equilíbrio x =0, numa superfície horizontal sem atrito, e libertado em repouso (para t =0). 
Exemplo – Fixação dos Conceitos
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Qual é a velocidade máxima do oscilador? Nessa situação qual é a sua energia potencial?
Esta ocorre para x =0 m e aí
Um bloco cuja massa, m, é 650 g é preso a uma mola cuja constante elástica, k, é 65 N/m. O bloco é puxado uma distância x =11 cm da sua posição de equilíbrio x =0, numa superfície horizontal sem atrito, e libertado em repouso (para t =0). 
Exemplo – Fixação dos Conceitos
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Considere que o amortecimento provocado pelo ar era igual a -3,25v (em que v representa a velocidade do bloco). Escreva a equação do movimento resultante.
Um bloco cuja massa, m, é 650 g é preso a uma mola cuja constante elástica, k, é 65 N/m. O bloco é puxado uma distância x =11 cm da sua posição de equilíbrio x =0, numa superfície horizontal sem atrito, e libertado em repouso (para t =0). 
Exemplo – Fixação dos Conceitos
Tipos de Ondas
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Ondas Mecânicas – São governadas pelas Leis de Newton e existem apenas em um meio material
Ondas...
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Tipos de Ondas
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Ondas Eletromagnéticas – Não precisam de um meio material para se propagarem. Todas se propagam no vácuo com a mesma velocidade c = 299 792 458 m/s
Ondas Transversais e Longitudinais
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Onda Transversal – O deslocamento dos elementos é sempre perpendicular a direção de propagação...
Ondas Transversais e Longitudinais
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Onda Longitudinal – O deslocamento das moléculas de ar é paralelo à direção de propagação da onda...
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PULSOS ONDULATÓRIOS (FUNÇÃO DE ONDA)
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

R
Velocidade da Onda em uma Corda Esticada
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Velocidade da Onda em uma Corda Esticada
As componentes horizontais se cancelam, mas as verticais se somam
A massa do elemento é dada por
Ele possui uma aceleração em direção ao centro do círculo
Usando a 2ª Lei de Newton
Conclusões?
Comprimento de Onda e Freqüência
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Deslocamento
Amplitude
Fator Oscilatório
Fase
Número de Onda
Posição
Freqüência Angular
Tempo
Comprimento de Onda
e Freqüência
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Comprimento de Onda e Freqüência
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Número de Onda
Freqüência Angular
Freqüência
Período T – tempo que um elemento leva para realizar uma oscilação completa
Constante de
Fase
Forma Geral
Velocidade de uma Onda Progressiva
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x
v
Se propaga no sentido positivo de x
Se propaga no sentido negativo de x
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Energia e Potência de uma Onda Progressiva
Energia e Potência de uma Onda Progressiva
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Energia cinética
Onde u é a velocidade transversal
Fazendo 
Dividindo por dt
A taxa média de transporte de energia será
E a potência média
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Equação de Onda
Esta é a equação diferencial geral que governa a propagação de ondas de todos os tipos
Princípio de Superposição
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Ondas superpostas se somam algebricamente para produzir uma onda resultante
Ondas superpostas não se afetam mutuamente
Interferência
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: Diferença de fase
 entre as ondas
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Amplitude
Fase
Se  = 0 → Amplitude = 2A
		 Interferência construtiva
Se  =  → Amplitude = 0
		 Interferência destrutiva
Interferência
Ondas Estacionárias
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Se duas ondas senoidais de mesma amplitude e mesmo comprimento de onda se propagam em sentidos opostos em uma corda, a interferência mútua produz uma onda estacionária
Usando o Princípio da Superposição e a relação
Ondas Estacionárias
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Amplitude depende de x
Variação temporal
NÃO tem termo (kx-t) → NÃO é uma onda progressiva
		 → É uma onda estacionária
Pontos de amplitude máxima
Pontos de amplitude zero
ANTI-NÓS
NÓS
Formação de Ondas Estacionárias
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Formação de Ondas Estacionárias
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Simulador de cordas http://www.falstad.com/loadedstring/
Formação de Ondas Estacionárias
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Cordas
Tubos