aula 3

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Capítulo 3
LIMITES E CONTINUIDADE
3.1 Introdução
A seguir, apresentaremos como listar os valores de uma função, no formato de tabela, em uma
vizinhança de um ponto que não necessariamente pertence ao do domínio da função. Não nos
aprofundaremos muito no significado destas sintaxes:
copiar: print
para: for
se: if
então: then
se não: else
de: from
a: to
faça: do
A sintaxe print(expressão); permite exibir a expressão digitada. A sintaxe for se utiliza para
indicar a variação de um contador da seguinte forma - for contador from início to final do. Em
geral, a sintaxe é utilizada para realizar tarefas repetitivas, uma certa quantidade de vezes.
A sintaxe if é para executar uma instrução, ou um grupo de instruções, se e, somente se, verifica
certa condição. Se além disso, desejamos que as intruções sejam executadas, ainda que algumas
outras intruções não se verifiquem, se utiliza a sintaxe else.
As sintaxes fi e od são para fechar as intruções. Note que fi é if ao contrário e od é do ao
contrário.
Sugerimos que a seguinte tabela seja copiada, para realizar os exercícios. A sintaxe para obter
estas tabelas é a seguinte:
Para estudar uma função em uma vizinhança de 0, escrevemos
> print([‘x‘.‘ ‘.‘f(x)‘]);
for i from -10 to 10 do
if i <> 0 then print(array([seq([evalf(1/(100*k),6),evalf(f(1/(100*k)),5)],k=i)]))
else print(‘indefinido em x=0‘)
75
76 CAPÍTULO 3. LIMITES E CONTINUIDADE
fi ;
od;
Para estudar uma função para valores de |x| arbitrariamente grandes; isto é em ±∞, escreve-
mos:
> print([‘x‘.‘ ‘.‘f(x)‘]);
for i from -10 to 10 do
if i <> 0 then print(array([seq([evalf(100*k,6),evalf(f(100*k),5)],k=i)]))
else print(‘x->+infinito‘)
fi ;
od;
Exemplo 3.1.
1. Seja f(x) =
1
x
. Estudemos f em uma vizinhança de 0:
>f:=x->1/x:
>print([‘x‘.‘ ‘.‘f(x)‘]);
for i from -10 to 10 do
if i <> 0 then print((array([seq([evalf(1/(100*k)),evalf(f(1/100*k),5)],k=i)]))
else print(‘indefinida em x=0‘)
fi ;
od;
[x. f(x)]
[-0.001000000 -1000.]
[-0.001111111 -900.]
[-0.001250000 -800.]
[-0.001428571 -700.]
[-0.001666667 -600.]
[-0.002000000 -500.]
[-0.002500000 -400.]
[-0.003333333 -300.]
[-0.005000000 -200.]
[-0.01000000 -100.]
indefinida em x=0
[0.01000000 100.]
[0.005000000 200.]
[0.003333333 300.]
3.1. INTRODUÇÃO 77
[0.002500000 400.]
[0.002000000 500.]
[0.001666667 600.]
[0.001428571 700.]
[0.001250000 800.]
[0.001111111 900.]
[0.001000000 1000.]
A tabela nos indica que os comportamentos da função à esquerda e à direita de x = 0, são
diferentes.
2. Analogamente, estudemos f em uma vizinhança de ±∞:
>f:=x->1/x:
>print([‘x‘.‘ ‘.‘f(x)‘]);
for i from -10 to 10 do
if i <> 0 then print(array([seq([evalf(100*k),evalf(f(100*k),5)],k=i)]))
else print(‘x->+infinito‘);
fi ;
od;
[x. f(x)]
[-1000 -0.0010000.]
[-900 -0.001111111.]
[-800 -0.001250000.]
[-700 -0.001428571.]
[-600 -0.001666667.]
[-500 -0.002000000.]
[-400 -0.002500000.]
[-300 -0.003333333.]
[-200 -0.005000000.]
[-100 -0.01000000.]
x->+infinito
[100 0.01000000.]
[200 0.005000000.]
[300 0.003333333.]
78 CAPÍTULO 3. LIMITES E CONTINUIDADE
[400 0.002500000.]
[500 0.002000000.]
[600 0.001666667.]
[700 0.001428571.]
[800 0.001250000.]
[900 0.001111111.]
[1000 0.001000000.]
A tabela nos indica que o comportamento da função em ±∞, tende a zero.
3.2 Limites
Inicialmente desenvolveremos a idéia intuitiva de limite, estudando o comportamento de uma
função y = f(x) nas proximidades de um ponto que não pertence, necessariamente, ao seu
domínio.
Exemplo 3.2.
1. Seja
f(x) =
sen(x)
x
É claro queDom(f) = R− {0}. Estudaremos a função nos valores de x que ficam próximos de
0, mas sem atingir 0. Vamos construir uma tabela de valores de x aproximando-se de 0, pela
esquerda (x < 0) e pela direita (x > 0) e os correspondentes valores de f(x).
Digitemos:
>f:=x->sin(x)/x,
f := x −→ sen(x)
x
>print([‘x‘.‘ ‘.‘f(x)‘]);
for i from -10 to 10 do
if i <> 0 then print(array([seq([evalf(1/(100*k)),evalf(f(1/(100*k)),5)],k=i)]))
else print(‘indefinido em x=0‘)
fi ;
od;
[x. f(x)]
[-0.001000000 0.9999998333.]
[-0.001111111 0.9999997938.]
3.2. LIMITES 79
[-0.001250000 0.9999997392.]
[-0.001428571 0.9999996601.]
[-0.001666667 0.9999995370.]
[-0.002000000 0.9999993335.]
[-0.002500000 0.9999989584.]
[-0.003333333 0.9999981480.]
[-0.005000000 0.9999958334.]
[-0.01000000 0.9999833334.]
indefinida em x=0
[0.01000000 0.9999833334.]
[0.005000000 0.9999958334.]
[0.003333333 0.9999981480.]
[0.002500000 0.9999989584.]
[0.002000000 0.9999993335.]
[0.001666667 0.9999995370.]
[0.001428571 0.9999996601.]
[0.001250000 80.9999997392.]
[0.001111111 0.9999997938.]
[0.001000000 0.9999998333.]
Observando o resultado da tabela, podemos verificar que: “à medida que x vai se aproximando
de 0, os valores de f(x) vão aproximando-se de 1”. A noção de proximidade pode ficar mais
precisa utilizando valor absoluto. De fato, a distância entre dois pontos quaisquer x, y ∈ R é
|y − x|. Assim a frase escrita entre aspas, pode ser expressa por: se |x| aproxima-se de zero,
então |f(x) − 1| também se aproxima de zero; em outras palavras: para que |f(x) − 1| seja
pequeno é necessário que |x| também seja pequeno. Logo:
lim
x→0
sen(x)
x
= 1.
80 CAPÍTULO 3. LIMITES E CONTINUIDADE
Figura 3.1: .
2. Seja
f(x) = (1 + x)1/x.
É claro queDom(f) = R− {0}. Estudaremos a função nos valores de x que ficam próximos de
0, mas sem atingir 0. Vamos construir uma tabela de valores de x aproximando-se de 0, pela
esquerda (x < 0) e pela direita (x > 0) e os correspondentes valores de f(x).
Digitemos:
>f:=x->(1+x) ˆ (1 / x),
f := x −→ (1 + x)1/x
>print([‘x‘.‘ ‘.‘f(x)‘]);
for i from -10 to 10 do
if i <> 0 then print(array([seq([evalf(1/(100*k)),evalf(f(1/(100*k)),5)],k=i)]))
else print(‘indefinida em x=0‘)
fi ;
od;
[x. f(x)]
[-0.001000000 2.719642216.]
[-0.001111111 2.719793525.]
[-0.001250000 2.719982704.]
[-0.001428571 2.720226004.]
[-0.001666667 2.720550530.]
[-0.002000000 2.721005103.]
[-0.002500000 2.721687486.]
[-0.003333333 2.722826185.]
3.3. CÁLCULO DE LIMITES 81
[-0.005000000 2.725108829.]
[-0.01000000 2.731999026.]
indefinida em x=0
[0.01000000 2.704813829.]
[0.005000000 2.711517123.]
[0.003333333 2.713765158.]
[0.002500000 2.714891744.]
[0.002000000 2.715568521.]
[0.001666667 2.716020049.]
[0.001428571 2.716342738.]
[0.001250000 2.716584847.]
[0.001111111 2.716773208.]
[0.001000000 2.716923932.]
Observando o resultado da tabela, podemos verificar que: “à medida que x vai se aproximando
de 0, os valores de f(x) vão aproximando-se de e”. Logo, para que |f(x) − e| seja pequeno é
necessário que |x| também seja pequeno. Logo:
lim
x→0
(1 + x)1/x = e.
Figura 3.2: .
3.3 Cálculo de Limites
A sintaxe para o cálculo do limite:
lim
x→a
f(x)
é:
82 CAPÍTULO 3. LIMITES E CONTINUIDADE
> limit(função, variável=a, direção);
a pode ser um ponto
-infinity se a = −∞
infinity se a = +∞.
A direção é opcional e pode ser:
left se for um um limite lateral pela esquerda
right se for um um limite lateral pela direita.
Uma forma alternativa para calcular limites é utilizar a seguinte sintaxe:
> Limit(função, variável=a, direção);
>evalf(%);
Observamos que o comando onde aparece limit, com letra minúscula, calcula o limite e o co-
mando Limit, om letra maiúscula, somente exibe a expressão matemática do limite, por isso
acima precisamos utilizar o comando evalf(%);.
Juntando ambas as sintaxes, podemos reescrever os limites em forma mais didática:
> Limit(função, variável=a, direção)=limit(função, variável=a, direção);
Veja os exemplos
Exemplo 3.3.
1. Determine lim
x→0
7
√
x2 + 1− 7√x2 − 14
√
x2 + 1− 4√x2 − 1 .
>p1:=(root(x ˆ 2+1,7)-root(1-x ˆ 2 ,7))/(root(x ˆ 2+1,4)-root(1-x ˆ 2 ,4)):
> Limit(p1,x=0)=limit(p1,x=0);
lim
x→0
7
√
x2 + 1− 7√1− x2
4
√
x2 + 1− 4√1− x2 =
4
7
2. Determine lim
x→pi/2
tg(x).
> Limit(tanx(x),x=Pi/2)=limit(tan(x),x=Pi/2);
lim
x→pi/2
tan(x) = undefined
Se incluimos as opções:
> Limit(tanx(x),x=Pi/2,right)=limit(tan(x),x=Pi/2,right);
3.3. CÁLCULO DE LIMITES 83
lim
x→pi+/2
tan(x) = −∞
> Limit(tanx(x),x=Pi/2,leftt)=limit(tan(x),x=Pi/2,left);
lim
x→pi−/2
tan(x) = ∞
3. Determine lim
x→0
sen
(1
x
)
.
>Limit(sin(1/x),x=0)=limit(sin(1/x), x=0)
lim
x→0−
sin
(1
x
)
= −1 . . . 1
Pode explicar este resultado?
4. Determine lim
x→0
√
x4 + x2
x
.
> p2:=sqrt(x ˆ 4 +x ˆ 2) /x:
>Limit(p2,x=0)=limit(p2, x=0)
lim
x→0
√
x4 + x2
x
= undefined
>Limit(p2,x=0,left)= limit(p2, x=0, left)
lim
x→0−
√
x4 + x2
x
= −1
> Limit(p2,x=0,right)=limit(p2, x=0, right)
lim
x→0+
√
x4 + x2
x
= 1
Pode explicar este resultado.
Figura 3.3: .
84 CAPÍTULO 3. LIMITES E CONTINUIDADE
5. Determine lim
x→0
cos(αx)− cos(β x)
x2
.
>p3:=(cos(alpha*x)-cos(beta*x))/x ˆ2:
> Limit(p3,x=0)=limit(p3,x=0);
lim
x→0
cos (αx)− cos (β x)
x2
= −1
2
α2 +
1
2
β2
6. Determine lim
x→0
tg(2x)
x
.
>Limit(tan(2*x)/x,x=0)=limit(tan(2*x)/x, x=0)
lim
x→0
tan(2x)
x
= 2
7. Determine lim
x→+∞
(
x+ 3
x+ 5
)x
.
>p4:=((x+3)/(x+5)) ˆ x:
> Limit(p4,x=infinity)=limit(p4,x=infinity);
lim
x→∞
(
x+ 3
x+ 5
)x
= e−2
8. Determine lim
x→0
(
6x − 1
x
)
.
>p5:=(6 ˆ x-1)/x:
> Limit(p5,x=0)=limit(p5,x=0);
lim
x→0
6x − 1
x
= ln(2) + ln(3)
Figura 3.4: .
3.3. CÁLCULO DE LIMITES 85
9. Determine lim
x→b
x2 − b2√
x−√b .
>p6:=(x ˆ2-b ˆ 2)/(sqrt(x)-sqrt(b):
> Limit(p6,x=b)=limit(p6,x=b);
lim
x→b
x2 − b2√
x−√b = 4 b
3/2
10. Se f(x) =


x cos(pi x) se x < −1
sen(pi x) se − 1 ≤ x < 1√
x se x > 1
, calcule lim
x→±1
f(x).
>p7:= piecewise(x < 1, x*cos(x), and -1 <= x, x <= 1, sin(x)/x, x > 1, sqrt(x)):
> Limit(p7,x=-1,right)=limit(p7,x=-1,right);
lim
x→−1+
(

x cos(pi x) x < 1
sin(pi x) −1 ≤ x andx ≤ 1√
x 1 < x
)
= 1
> Limit(p7,x=-1,right)=limit(p7,x=-1,right);
lim
x→−1+
(

x cos(pi x) x < 1
sin(pi x) −1 ≤ x andx ≤ 1√
x 1 < x
)
= 0
> Limit(p7,x=1,right)=limit(p7,x=1,right);
lim
x→1+
(

x cost(pi x) x < 1
sin(pi x) −1 ≤ x andx ≤ 1√
x 1 < x
)
= 1
> Limit(p7,x=1,left)=limit(p7,x=1,left);
lim
x→1−
(

x cos (pi x) x < 1
sin(pi x) −1 ≤ x andx ≤ 1√
x 1 < x
)
= 0
86 CAPÍTULO 3. LIMITES E CONTINUIDADE
Figura 3.5: .
11. Se f(x) = x2 sen
(1
x
)
; determine
lim
h→0
f(x+ h)− f(x)
h
.
>f:=x->x ˆ2 *sin(1/x):
p8:=(f(x+h)-f(x))/h:
>factor(limit(p8,h=0));
2 sin
(1
x
)
x− cos(1
x
)
3.4 Definição de Limite
Seja :
f : A ⊂ R −→ R,
definida em A, exceto possívelmente, em a. Sabemos que:
lim
x→a
f(x) = L
se, e somente se:
Para todo ε > 0, existe δ > 0 tal que se x ∈ (a− δ, a+ δ)∩ (A−{a}), então f(x) ∈ (L− ε, L+ ε).
Observe que o limite de uma função y = f(x) num ponto a, depende apenas dos valores que f
assume nas proximidades de a, ou seja, num pequeno intervalo aberto de centro a.
Uma das principais dificultades, dos alunos, de entender a definição de limite é sua carac-
terística dinâmica. Para facilitar a compreensão da definição, apresentaremos alguns exem-
plos, onde é utilizanda a sintaxe animate.
3.4. DEFINIÇÃODE LIMITE 87
Exemplo 3.4.
1. É claro que lim
x→2
x2 = 4. Então para todo número real positivo ε existe outro número real
positivo δ, que depende de ε, tal que se 0 < |x− 2| < δ, então |f(x)− 4| < ε.
Esbocemos a situação para ε = 0.8 e δ ≤ 0.18, digitando a seguinte sequência de comandos:
with(plots):
> H:=plots[implicitplot]({x=2,y=4},x=0..2,y=-1..4,color=blue):
> G:=plots[implicitplot]({x=1.82,x=2.18},x=0..4,y=-1..7,color=red):
> L:=plot(x ˆ 2,x=0..4,color=black,thickness=2):
>M:=plot({4.8,3.2},x=0..4,y=-1..7,color=red):
>display(H,G,L,M);
Figura 3.6: .
2. Visualizemos lim
x→1
2x = 2.
Esbocemos a situação, digitando a seguinte sequência de comandos:
>with(plots):
>M := plot(2*x, x = 0 .. 2, numpoints = 300, scaling = constrained, color = black):
>M1 := plot(2, x = 0 .. 1, numpoints = 200, scaling = constrained, color = blue):
>M2 := plots[implicitplot](x = 1, x = 0 .. 1, y = 0 .. 2, numpoints = 200,
scaling = constrained, color = blue):
>A1 := animate(2+(1-(1/10)*t), x = 0 .. 2, t = 0 .. 8, frames = 50, scaling = constrained, color = red):
>A2 := animate(1+(1/10)*t, x = 0 .. 2, t = 0 .. 8, frames = 50, scaling = constrained, color = red):
>B1 := animate([1+(1-(1/10)*t)*(1/3), x, x = 0 .. 3.5], t = 0 .. 8, frames = 50,
scaling = constrained, color = green):
>B2 := animate([x, 2+2*((1-(1/10)*t)*(1/3)), x = 0 .. 2], t = 0 .. 8, frames = 50,
scaling = constrained, color =green):
88 CAPÍTULO 3. LIMITES E CONTINUIDADE
>B3 := animate([1-(1-(1/10)*t)*(1/3), x, x = 0 .. 3.5], t = 0 .. 8, frames = 50,
scaling = constrained, color = green):
>B4 := animate([x, 2-2*((1-(1/10)*t)*(1/3)), x = 0 .. 2], t = 0 .. 8, frames = 50,
scaling = constrained, color = green):
>display(M, M1, M2, A1, A2, B1, B2, B3, B4);
Notemos que as retas limitantes em vermelho indicam a escolha do ε e as retas limitantes
horizontais, em verde, indicam a regão de segurança para o correspondente δ representado
pelas retas limitantes verticais, em verde.
Nos desenhos, diferentes estágios da animação:
Figura 3.7:
Figura 3.8:
Agora estamos em condições de esclarecer o primeiro exemplo, do parágrafo sobre as deficiên-
cias do MAPLE, no capítulo anterior.
Consideremos a função:
f(x) =
x2 − 1
x− 1
3.5. ASSÍNTOTAS 89
>f:=x->(x ˆ2 -1)/(x-1) :
>f(1);
Error, (in f) numeric exception: division by zero
>g:= unapply(simplify(f(x)), x);
g := x 7→ x+ 1
>g(1);
2
Quando usamos o comado simplify, o MAPLE cancela, seguindo o mesmo procedimento que
utiliza para determinar a solução de:
lim
x→1
x2 + 1
x− 1 = limx→1x+ 1 = 2
Isto é, ao simplificar, o MAPLE não considera mais a função f , e sim, a função g.
3.5 Assíntotas
A reta y = b é uma assíntota horizontal ao gráfico da função y = f(x), se pelo menos uma das
seguintes afirmações é verdadeira:
lim
x→+∞
f(x) = b ou lim
x→−∞
f(x) = b.
A reta x = a é uma assíntota vertical ao gráfico da função y = f(x), se pelo menos uma das
seguintes afirmações é verdadeira:
lim
x→a+
f(x) = ±∞ ou lim
x→a−
f(x) = ±∞.
Observamos que, mesmo seDom(f) = R, a função pode ter assíntotas verticais. Por exemplo:
f(x) =


1
x
se x 6= 0
2 se x = 0
No caso, deDom(f) = R e a função ser contínua, então f não possui assíntotas verticais.
Para descobrir, experimentalmente, se uma função possui assíntotas horizontais e/ou verticais,
utilizamos a sintaxe:
>plot(f, x = -infinity .. infinity);
90 CAPÍTULO 3. LIMITES E CONTINUIDADE
Figura 3.9: Gráfico de x+1x+3 quando x −→ ±∞.
Exemplo 3.5.
1. Esboce o gráfico de y =
x
x− 1 .
Dom(f) = R− {1} e a curva passa por (0, 0). De fato:
>f:=x->x/(x -1):
>solve(f(x)=0,x);
0
>plot(f(x), x = -infinity .. infinity)
Figura 3.10: Gráfico de f quando x −→ ±∞.
Do desenho, podemos concluir que o gráfico da função possui uma assíntota horizontal e uma
vertical. De fato:
>lim(f(x),x=infinity,left);
3.5. ASSÍNTOTAS 91
1
>lim(f(x),x=infinity,rigth);
1
Logo, y = 1 é uma assíntota horizontal. Por outro lado, determinamos as assíntotas verticais:
>lim(f(x),x=1,left);
−∞
>lim(f(x),x=1,rigth);
∞
Logo, x = 1 é uma assínota vertical. Esboço do gráfico:
>with(plots):>p:= x/(x-1):
>a1:= plot(p, x = -3 .. 3, discont = true, thickness = 3, color = blue):
>a2:= plot(1, x = -3 .. 3, style = point, symbol = cross, color = green):
>a3:= implicitplot([x = 1], x = -4 .. 4, y = -4 .. 4, style = point):
>display(a1,a2,a3,view=[-3..3,-4..4]);
Figura 3.11: gráfico de f .
2. Esboce o gráfico de y =
x2
x2 − 1 .
Dom(f) = R− {−1, 1} e a curva passa por (0, 0). De fato:
92 CAPÍTULO 3. LIMITES E CONTINUIDADE
>f:=x->x ˆ 2/(x ˆ 2 -1):
>solve(f(x)=0,x);
0
>plot(f(x), x = -infinity .. infinity)
Figura 3.12: gráfico de f quando x −→ ±∞.
Do desenho, podemos concluir que o gráfico da função possui uma assíntota horizontal e duas
verticais. De fato:
>lim(f(x),x=infinity,left);
1
>lim(f(x),x=infinity,rigth);
1
Logo, y = 1 é uma assíntota horizontal. Por outro lado, determinamos as assíntota verticais:
>lim(f(x),x=1,left);
−∞
>lim(f(x),x=1,rigth);
∞
>lim(f(x),x=-1,left);
∞
3.5. ASSÍNTOTAS 93
>lim(f(x),x=-1,rigth);
−∞
Logo, x = ±1 são assíntotas verticais. Esboço do gráfico:
>with(plots):
>p:= xˆ 2/(x ˆ 2 -1):
>a1:= plot(p, x = -3 .. 3, discont = true, thickness = 3, color = blue):
>a2:= plot(1, x = -3 .. 3, style = point, symbol = cross, color = green):
>a3:= implicitplot([x = -1,x=1], x = -4 .. 4, y = -4 .. 4, style = point):
>display(a1,a2,a3,view=[-3..3,-4..4]);
Figura 3.13: gráfico de f .
3. Esboce o gráfico de y =
x4 + 1
x5 − x .
>f:=x->(x ˆ 4 +1)/(x ˆ 5 -x):
>plot(f(x), x = -infinity .. infinity)
94 CAPÍTULO 3. LIMITES E CONTINUIDADE
Figura 3.14: Gráfico de f quando x −→ ±∞.
Do desenho, podemos concluir que o gráfico da função possui uma assíntota horizontal e três
verticais. De fato:
>lim(f(x),x=infinity,left);
0
>lim(f(x),x=infinity,rigth);
0
Logo, y = 0 é uma assíntota horizontal. Por outro lado, determinamos as assíntota verticais:
>lim(f(x),x=1,left);
−∞
>lim(f(x),x=1,rigth);
∞
>lim(f(x),x=-1,left);
−∞
>lim(f(x),x=-1,rigth);
−∞
>lim(f(x),x=0,left);
3.6. CONTINUIDADE 95
∞
>lim(f(x),x=0,rigth);
−∞
Logo, x = −1, x = 1 e x = 0 são assíntotas verticais. Esboço do gráfico:
>with(plots):
>p:= (xˆ 4 +1)/(xˆ 5 -x):
>a1:= plot(p, x = -3 .. 3, discont = true, thickness = 3, color = blue):
>a2:= implicitplot([x=-1,x = 1], x = -4 .. 4, y = -4 .. 4, style = point):
>display(a1,a2,view=[-3..3,-4..4]);
Figura 3.15: gráfico de f .
3.6 Continuidade
A seguinte sintaxe é utilizada para saber se uma função é contínua ou não:
>iscont(função, x=a..b);
A resposta será true onde for contínua e false onde for descontínua, relativa ao intervalo (a, b).
Para o intervalo [a, b], utilizamos:
>iscont(função, x=a..b,closed);
Para determinar os pontos de descontinuidade de uma função, utilizamos:
96 CAPÍTULO 3. LIMITES E CONTINUIDADE
>discont(função, x);
Vamos a prestar atenção à diferença de terminologia empregada nas Ciências Aplicadas, como
Engenharia e Física, e daquela usada em Matemática.
Considere uma função racional f(x) =
g(x)
h(x)
, onde g e h são contínuas e a ∈ R tal que h(a) = 0,
se existe δ > 0 tal que se (a− δ, a+ δ)∩ (A−{a}) 6= ∅, então faz sentido perguntar se f admite
uma extensão contínua que esteja definida no ponto a; isto é, se existe F tal que F (x) = f(x)
para todo x ∈ Dom(f) = A e F (a) exista e seja contínua nesse ponto. Isso foi o que MAPLE
executou no exemplo, onde substituiu:
f(x) =
x2 − 1
x− 1 por F (x) = x + 1.
É claro que na prática, se existe a extensão contínua, iremos sempre substituir a função original
por sua extensão contínua.
Porém, nas Ciências Aplicadas, a terminologia empregada é outra. É comum usarem a palavra
descontinuidade para os pontos que anulam o denominador da função e perguntarem se f
tem descontinuidade removível em a. No exemplo a seguir, empregaremos a terminologia
das Ciências Aplicadas. Achar “os pontos onde f é descontínua” é equivalente a determinar o
domínio da função racional f e achar os pontos que anulam o seu denominador.
O comando discont( ), exclui de R os pontos que anulam no denominador de f e, futuramente,
iremos perguntar se f admite uma extensão contínua a esses pontos.
Exemplo 3.6.
1. Determine os pontos onde f(x) =
x2 − 5
x4 + 2x3 − 17x2 − 18x + 72 é descontínua.
q:=(x ˆ 2-5)/(x ˆ 4+2*x ˆ 3-17*x ˆ 2-18*x+72):
>discont(q,x);
{−4,−3, 2, 3}
2. Verifique se a função :
f(x) =
{
x2 se x ≤ 2
x2 + 2 se x > 2
é contínua.
> k:=piecewise(x<=2,x ˆ 2,x>2,x ˆ 2 +2);
k :=
{
x2 x ≤ 2
x2 + 2 x > 2
3.6. CONTINUIDADE 97
>discont(k,x);
{2}
>iscont(k,x=0..3);
false
>iscont(k,x=2.1..infinity);
true
>iscont(k,x=-infinity..1.9);
true
De fato, calculemos diretamente:
> limit(k,x=2,left);
4
> limit(k,x=2,right);
6
Logo, os limites laterais não são iguais; portanto, a função é descontínua em x0 = 2. Para ver o
gráfico:
>plot(k, x = -4 .. 4, thickness = 3, color = blue, discont = true);
Figura 3.16: Exemplo 1.
2. Determine a constante c, tal que:
f(x) =

 x
2 sen(
1
x
) se x 6= 0
c se x = 0
98 CAPÍTULO 3. LIMITES E CONTINUIDADE
seja contínua.
> k1:=piecewise(x<>0,x ˆ 2 *sin(1/x),c);
k1 :=

 x
2 sen(
1
x
) se x 6= 0
c otherwise
> limit(k1,x=0,left);
0
> limit(k1,x=0,right);
0
Logo, definimos c = 0 e:
k1 :=

 x
2 sen(
1
x
) se x 6= 0
0 otherwise
>iscont(k1,x=-infinity..infinity);
true
Para ver o gráfico:
>plot(k1, x = -0.2 .. 0.2, thickness = 3, color = blue);
Figura 3.17: Exemplo 2.
3. Seja
f(x) =


1
(x− 1)2 se x 6= 1
4 se x = 1.
Verifique se f é contínua em 1.
3.6. CONTINUIDADE 99
> k2:=piecewise(x=1,4,1/(x-1)ˆ2);
k2 :=


4 x = 1
1
(x− 1)2 otherwise
> limit(k2,x=1,left);
∞
> limit(k2,x=1,right);
∞
Por outro lado, f(1) = 4; logo, a função não é contínua em 1.
>plot(k2, x = -1 .. 2.5, color = blue, thickness = 3, discont = true, view = [-1 .. 2.5, 0 .. 10]);
Figura 3.18: Exemplo 3.
4. Seja
f(x) =


2 se x ≤ −1
Ax+B se − 1 < x < 3
−2 se x ≥ 3.
Determine A e B tais que f seja uma função contínua em R.
Os pontos problemáticos do domínio de f são x = −1 e x = 3. Utilizando a definição, f é
contínua se: 

lim
x→−1−
f(x) = lim
x→−1+
f(x) = f(−1)
lim
x→3−
f(x) = lim
x→3+
f(x) = f(3),
Digitamos:
> z1:=piecewise(x<=-1,2, -1<x and x<3,A*x+B,x>=3,-2);
100 CAPÍTULO 3. LIMITES E CONTINUIDADE
z1 :=


2 x ≤ −1
Ax+B −1 < x and x < 3
−2 x ≥ 3.
> eq1:=limit(z1,x=-1,left)=limit(z1,x=-1,right);
eq1 := −A+B = 2
> eq2:=limit(z1,x=3,left)=limit(z1,x=3,right);
eq1 := 3A +B = −2
> solve({eq1,eq2},A, B);
{A = −1} {B = 1}
Logo, temos:
z1 :=


2 x ≤ −1
1− x −1 < x and x < 3
−2 x ≥ 3.
Figura 3.19: Exemplo 3.
3.7. EXERCÍCIOS 101
3.7 Exercícios
1. Calcule os seguintes limites usando tabelas:
(a) lim
x→1
x3 − 2x2 + 5x− 4
x− 1
(b) lim
x→0
(
x2 − 2
x
1000
)
(c) lim
x→0
tg(4x)
x
(d) lim
x→1
(x+ 2)2
x
(e) lim
x→0
3x − 1
x2 + x + 2
(f) lim
x→1
(x2 − 1)
x− 1
2. Calcule os seguintes limites:
(a) lim
x→1
4x5 + 9x + 7
3x6 + x3 + 1
(b) lim
x→2
x3 + 3x2 − 9x− 2
x3 − x− 6
(c) lim
x→3
x2 − 9
x2 − 3x
(d) lim
x→1
2x2 − 3x + 1
x− 1
(e) lim
x→0
x2 − a2
x2 + 2 ax + a2
(f) lim
x→0
x6 + 2
10x7 − 2
(g) lim
x→2
2− x
2−√2x
(h) lim
h→0
(t + h)2 − t2
h
(i) lim
x→1
x4 − 1
3x2 − 4x + 1
(j) lim
x→2
8− x3
x2 − 2x
(k) lim
x→−1
x + 1√
6x2 + 3 + 3x
(l) lim
x→0
√
9 + 5x + 4x2 − 3
x
(m) lim
x→0
√
x+ 4− 2
x
(n) lim
x→7
2−√x− 3
x2 − 49
(o) lim
x→1
x4 + x3 − x− 1
x2 − 1
3. Verifique se os seguintes limites existem:
(a) lim
x→1
x3 − 1
|x− 1|
(b) limx→3
|x− 3|
(c) lim
x→1
x2 − 3x+ 2
x− 1
(d) lim
x→5
x3 − 6x2 + 6x− 5
x2 − 5x
(e) lim
x→−4
x2 + 3x− 4
x3 + 4x2 − 3x− 12
(f) lim
x→8
x− 8
3
√
x− 2
(g) lim
x→0
(cos(x)− [[sen(x)]])
(h) lim
x→0
(sen(x)− [[cos(x)]])
(i) lim
x→0+
x
a
∣∣ b
x
∣∣
(j) lim
x→0+
[[
x
a
]]
4. Calcule os seguintes limites no infinito:
102 CAPÍTULO 3. LIMITES E CONTINUIDADE
(a) lim
x→+∞
2x3 + 5x + 1
x4 + 5x3 + 3
(b) lim
x→+∞
3x4 − 2√
x8 + 3x + 4
(c) lim
x→−∞
x2 − 2x+ 3
3x2 + x+ 1
(d) lim
x→+∞
x
x2 + 3x+ 1
(e) lim
x→+∞
√
x2 + 1
3x + 2
(f) lim
x→−∞
√
x2 + 1
3x+ 2
(g) lim
x→+∞
√
x+ 3
√
x
x2 + 3
(h) lim
x→+∞
(x−
√
x2 + 1)
(i) lim
x→−∞
3
√
x
x2 + 3
(j) lim
x→+∞
3
√
x3 + 2x− 1√
x2 + x + 1
5. Calcule os seguintes limites infinitos:
(a) lim
x→−∞
5x3 − 6x + 1
6x2 + x+ 1
(b) lim
x→+∞
m
√
x
(c) lim
x→3+
5
3− x
(d) lim
x→0+
2x+ 1
x
(e) lim
x→1+
2x+ 3
x2 − 1
(f) lim
x→1−
2x + 3
x2 − 1
(g) lim
x→3+
x2 − 3x
x2 − 6x+ 9
(h) lim
x→2+
x2 − 4
x2 − 4x+ 4
(i) lim
x→0+
sen(x)
x3 − x2
(j) lim
x→0+
ln(x)
x
(k) lim
x→0
ln(|x|)
6. Se f(x) = 3x− 5 e g(x) = x
2
− 2
3
, calcule:
(a) lim
x→1
(f + g)(x)
(b) lim
x→1
(g − f)(x)
(c) lim
x→1
(g f)(x)
(d) lim
x→1
(f
g
)
(x)
(e) lim
x→1
( g
f
)
(x)
(f) lim
x→1
(f f)(x)
(g) lim
x→2
(f ◦ g)(x)
(h) lim
x→2
(g ◦ f)(x)
(i) lim
x→− 3
2
(f ◦ g ◦ f)(x)
(j) lim
x→2
ln(|f(x)|)
(k) lim
x→ 4
3
cos
( g(x)
f(x)
)
(l) lim
x→0
x sen
( 1
g(x)
)
7. Calcule os seguintes limites:
3.7. EXERCÍCIOS 103
(a) lim
x→pi
sen(x)
x− pi
(b) lim
x→+∞
x sen(
1
x
)
(c) lim
x→0
x− tg(x)
x+ tg(x)
(d) lim
x→+∞
(1 +
2
x
)x+1
(e) lim
x→0
(
1 +
1
2x
)x
(f) lim
x→0
(1 + 2x)
1
x
(g) lim
x→0
e2x − 1
x
(h) lim
x→0
ex
2 − 1
x
(i) lim
x→0
5x − 1
x
(j) lim
x→0
3x − 1
x2
(k) lim
x→0
eax − ebx
sen(ax)− sen(bx) , a, b 6= 0
(l) lim
x→0
x cos2(x)
(m) lim
x→0
tg2(x)
x2 sec(x)
(n) lim
x→+∞
(1− 4
x
)x+4
(o) lim
x→−∞
(1− 1
x
)x
8. Calcule lim
x→a
f(x)− f(a)
x− a e limt→0
f(t+ a)− f(a)
t
, se:
(a) f(x) = x2, a = 2
(b) f(x) = x2 + 1, a = 2
(c) f(x) = 3x2 − x, a = 0
(d) f(x) = |x|2, a = 2
(e) f(x) =
√
x, a = 1
(f) f(x) = x (1 − x), a = 1
(g) f(x) = cos(x), a = pi
(h) f(x) = (x− 3)2, a = 1
(i) f(x) = ln(x), a = 1
(j) f(x) = e2x, a = 0
9. Durante uma epidemia de dengue, o número de pessoas que adoeceram, num certo
bairro, após t dias é dado por:
L(t) =
100000
1 + 19900 e−0.8t
(a) Determine a quantidade máxima de indivíduos atingidos pela doença.
(b) Esboce o gráfico de L.
10. Esboce o gráfico das seguintes funções:
(a) y =
1
(x− 1) (x3 + 1)
(b) y =
x
(x− 1) (x3 + 1)
(c) y =
1
(x− 3) (x + 2) (x2 + 1)
(d) y =
x2
(x− 3) (x + 2) (x2 − 1)
104 CAPÍTULO 3. LIMITES E CONTINUIDADE
11. Verifique se as seguintes funções são contínuas:
(g) f(x) =
{
2x se x ≤ 1
1 se x > 1
(h) f(x) =


x2 − 4
x− 2 se x 6= 2
4 se x = 2
Esboce os gráficos correspondentes.
12. Seja f(x) = x3 + x. Verifique que:
(a) |f(x)− f(2)| ≤ 20 |x − 2| se 0 ≤ x ≤ 3 (b) f é contínua em 2.
13. Determine o valor de L para que as seguintes funções sejam contínuas nos pontos dados:
(a) f(x) =


x2 − x
x
se x 6= 0
L se x = 0
, no ponto x = 0.
(b) f(x) =


x2 − 9
x− 3 se x 6= 3
L se x = 3
, no ponto x = 3.
(c) f(x) =
{
x+ 2L se x ≥ −1
L2 se x < −1 , no ponto x = −1.
(d) f(x) =
{
4 3x se x < 0
2L+ x se x ≥ 0 , no ponto x = 0.
14. Verifique se as seguintes funções são contínuas.
(a) f(x) =


sen(x)
x
x 6= 0
0 x = 0
(b) f(x) =


|x2 − 5x+ 6|
x2 − 5x+ 6 x 6= 2, 3
1 x = 2
9 x = 3
(c) f(x) =


1− x
1− x3 x 6= 1
1 x = 1
(d) f(x) =


1− x2 x < −1
ln(2− x2) −1 ≤ x ≤ 1√
x− 1
x+ 1
x > 1
15. Seja f(x) = 1 − x sen(1
x
)
, x 6= 0. Como escolher o valor de f(0), para que a função f
possa ser definida em x = 0 e seja contínua no ponto?
3.7. EXERCÍCIOS 105
16. Sendo f(x) = arctg
( 1
x− 2
)
, x 6= 2, é possível escolher o valor de f(2) tal que a função f
possa ser definida em x = 2 e seja contínua no ponto?
17. A função sinal de x é definida por:
sgn(x) =


1 se x > 0
0 se x = 0
−1 se x < 0.
Verifique se f(x) = x sgn(x) e g(x) = x2 sgn(x) são funções contínuas.
18. Verifique que a equação x = tg(x) tem uma infinidade de raízes reais.
19. Uma esfera oca de raio R está carregada com uma unidade de eletricidade estática. A
intensidade de um campo elétrico E(x) num ponto P localizado a x unidades do centro
da esfera é determinada pela função:
E(x) =


0 se 0 < x < R
1
3x2
se x = R
x−2 se x > R.
Verifique se a função E = E(x) é contínua. Esboce o gráfico de E.
20. A função de Heaviside é utilizada no estudo de circuitos elétricos para representar o
surgimento de corrente elétrica ou de voltagem, quando uma chave é instantaneamente
ligada e, é definida por:
H(t) =
{
0 se t < 0
1 se t ≥ 0
(a) Discuta a contínuidade de f(t) = H(t2 + 1) e de g(t) = H(sen(pi t)). Esboce os respec-
tivos gráficos em [−5, 5].
(b) A função R(t) = c tH(t) (c > 0) é chamada rampa e representa o crescimento gradual
na voltagem ou corrente num circuito elétrico. Discuta a continuidade de R e esboce seu
gráfico para c = 1, 2, 3.
(c) Verifique que uc(t) = H(t− c).
(d) Se h(t) =
{
f(t) se 0 ≤ t < c
g(t) se t ≥ c , verifique que h(t) = (1− uc(t)) f(t) + uc(t) g(t).
106 CAPÍTULO 3. LIMITES E CONTINUIDADE