Apostila - Disponibilidade

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Notas de Física II – Profs Ricardo e Amauri 1 
DISPONIBILIDADE DE ENERGIA 
 
Neste capítulo será estudado a Segunda Lei da Termodinâmica sob vários aspectos: eficiência e 
otimização de máquinas térmicas, refrigeradores e entropia. Veremos que é possível transferir 
calor de uma fonte quente para uma fonte fria espontaneamente, mas o inverso é proibido pois 
viola a 2
a
 lei. Estudaremos alguns ciclos de máquinas térmicas e seus respectivos rendimentos. 
 
 
1 – Máquinas Térmicas e a Segunda Lei da Termodinâmica 
 
Uma máquina, por mais simples que seja, tem basicamente a finalidade de converter calor em 
trabalho. Sua representação está mostrada na Figura 1. A procura de máquinas procurando 
atingir o máximo de eficiência possível é a motivação de muitas pesquisas nesta área. Por 
eficiente queremos dizer que a máquina desperdiça o mínimo de energia quando converte calor 
em trabalho. Você pode citar alguns exemplos? 
 
 
 
 
Fluido operante – é a substância que tem por finalidade absorver calor Qq de uma fonte quente 
a uma temperatura Tq , efetuar trabalho W e rejeitar calor |Qf| para um reservatório frio a uma 
temperatura Tf. Ele sempre opera em ciclo. 
 
Reservatório térmico – é um sistema ideal que pode fornecer ou receber calor sem que sofra 
modificação apreciável na sua temperatura. Isto equivale a dizer que a sua capacidade 
calorífica é enorme. 
 
Rendimento – o rendimento de uma máquina térmica é definido da seguinte maneira: 
 
qQ
W
 
 
mas, como o fluido operante trabalha em ciclo, seu estado inicial é igual ao estado final, ou 
seja, U = Uf – Ui = 0, assim, podemos escrever que o rendimento é dado por: 
 
q
f
q
fq
q Q
Q
Q
QQ
Q
W
1
. (1) 
 
 
Para que o rendimento seja de 100%, é necessário que todo calor absorvido seja transformado 
em calor. 
Qq 
W 
Qf 
Tq 
Tf 
Fig. 1 – Representação esquemática de uma 
máquina térmica. A máquina retira calor de 
um reservatório quente e parte deste calor é 
convertido em trabalho e parte é rejeitado 
para o reservatório frio. 
Notas de Física II – Profs Ricardo e Amauri 2 
Enunciado de Kelvin-Planck para a 2
a
 Lei da Termodinâmica – é impossível que uma 
máquina, operando em ciclo, receba calor de uma fonte quente e efetue uma quantidade 
equivalente de trabalho sem ceder calor para um reservatório frio. 
 
Exemplo: se uma máquina retira 250 J de um reservatório quente e realiza apenas 100 J de 
trabalho, quanto de calor foi “perdido” para o reservatório frio e qual o rendimento desta 
máquina? 
 
Qq = W + Qf Qf = Qq – W Qf = 250 – 100 Qf = 150 J. 
 
 = W / Qq = 100/250 = 0,4 ou 40%. 
 
 
2 – Refrigeradores e Segunda Lei da Termodinâmica 
 
O refrigerador tem como finalidade retirar calor de um reservatório frio utilizando para isto 
uma quantidade de trabalho e deposita uma quantidade de calor Qq num reservatório quente. 
 
Para o refrigerador, utilizamos o valor de sua eficiência para saber o quanto ele é bom. Este 
Coeficiente de Eficiência (COE) é dado pela seguinte equação: 
 
COE = Qf / W, (2) 
 
onde Qf é a quantidade de calor que entra no fluido operante e W é o trabalho recebido pelo 
refrigerador. 
 
Podemos reescrever a Eq. (2) em função do calor que entra no reservatório quente Qq da 
seguinte maneira: 
 
fq
f
QQ
Q
COE
. (3) 
 
Obs: Tanto no rendimento quanto no COE, o calor considerado é aquele que entra no fluido (+) 
ou que sai do fluido ( - ), quando sai, procuramos usar o seu módulo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Enunciado da Segunda Lei da Termodinâmica segundo Clausius 
 
É impossível retirar calor de uma fonte fria e transferir completamente para uma fonte quente. 
 
Qq 
W 
Qf 
Tq 
Tf 
Fig. 2 – Representação esquemática de 
um refrigerador. Ele retira calor de um 
reservatório frio utilizando trabalho e 
descarrega o calor Qq num reservatório 
quente. 
Notas de Física II – Profs Ricardo e Amauri 3 
3 – Equivalência dos Enunciados de Kelvin-Planck e Clausius 
 
Os enunciados de K-P e Clausius para a 2
a
 Lei são equivalentes. Se um é correto o outro 
também o é e vice-versa. Suponha que o enunciado de K-P é falso, então: 
 
Prova: 
Considere um refrigerador acoplado com uma máquina térmica perfeita. Suponha que o 
refrigerador retire 100 J do reservatório frio e ceda 150 J ao reservatório quente. A máquina, 
por sua vez, retira 100 J de calor do reservatório quente e transforma totalmente em trabalho 
(suponha que isto é possível – naturalmente viola K-P). O resultado deste acoplamento é um 
refrigerador perfeito – viola Clausius. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 3 – Demonstração da equivalência entre o enunciado de K-P e Clausius para. Os valores 
são arbitrários mas tem que ter coerência. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 4 – Outro exemplo da demonstração da equivalência entre o enunciado de K-P e Clausius 
para. Os valores são arbitrários mas tem que ter coerência. 
 
 
4 – Máquina de Carnot 
 
Qual a eficiência máxima de uma máquina? 
 
Teorema de Carnot: “Nenhuma máquina térmica, operando entre dois reservatórios térmicos 
dados, pode ser mais eficiente do que uma máquina reversível que opere entre estes 
reservatórios” 
 
Animações detalhadas e com possibilidades de alterações nos parâmetros termodinâmicos de 
vários ciclos podem ser encontrados nos sites abaixo. 
 
100 J 
150 J 
 50 J 50 J 
 50 J 100 J 
 100 J 
 + = 
100 J 
150 J 
 50 J 50 J 
 50 J 100 J 
 100 J 
 + = 
reserv. quente 
reserv. frio 
Notas de Física II – Profs Ricardo e Amauri 4 
Ciclo de Carnot – melhor máquina que pode existir. 
http://physics.uwstout.edu/physapplets/wang/raineyblueneptunecom/~xmwang/javappl/carnotC.html 
ou 
http://www.rawbw.com/~xmwang/javappl/carnotC.html 
ou 
http://www.lmm.fis.ufal.br/termodinamica/carnot/carnot.html (em português) 
 
 
Ciclo Otto – é o ciclo que descreve a combustão de um motor a gasolina 
http://physics.uwstout.edu/physapplets/wang/raineyblueneptunecom/~xmwang/javappl/ottoCyc.html 
ou 
http://www.rawbw.com/~xmwang/javappl/ottoCyc.html 
 
 
Ciclo Diesel – o nome já diz, descreve o ciclo de um motor a diesiel 
http://physics.uwstout.edu/physapplets/wang/raineyblueneptunecom/~xmwang/mygui/DieselG.html 
ou 
http://www.rawbw.com/~xmwang/javappl/dieselCyc.html 
 
 
 
Condições de reversibilidade 
 
1 – Não se pode perder energia mecânica em virtude de ação de forças de atrito ou dissipativas 
que produzem calor; 
 
2 – Não pode haver condução de calor provocada por diferença de temperatura; 
 
3 – O processo deve ser quase-estático de modo que o sistema está sempre em estado de 
equilíbrio, ou muito próximo deste. 
 
Prova do Teorema de Carnot 
 
Considere uma máquina de Carnot (rendimento máximo possível) trabalhando como 
refrigerador e acoplada a uma máquina com rendimento maior que a de Carnot. O resultado 
deste acoplamento é uma máquina perfeita, que viola o enunciado de K-P. Logo, nenhuma 
máquina pode ter um rendimento maior do que a máquina de Carnot. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 5 – Demonstração do Teorema de Carnot 
 
100 J 
150 J 
 50 J 
 10 J 
10 J 
 + 
 = 
 50 J 
100 J 
150 J 
60 J 
90 J 
150 J 
máquina de 
Carnot 
refrigerador 
de Carnot rendimento 
acima Carnot 
máquina 
perfeita 
Notas de Física II – Profs Ricardo e Amauri 5 
 
O Ciclo de Carnot no diagrama PV é mostrado na Figura mmm. 
 
VOLUMEP
R
E
S
S
Ã
O
T1
T2
Adiabáticas: 2 - 3 e 4 - 1
Isotérmicas: 1 - 2 e 3 - 4.
CICLO DE CARNOT
 
 
Fig. 6 – Diagrama PV para o Ciclo de Carnot com um gás ideal. Entre 1 e 2, calor entra no 
gás e realiza trabalho isotermicamente. De 2 para 3 a expansão ocorre sem transferência de 
calor. De 3 para 4 o gás é comprimido isotermicamente perdendo calor para o meio e para 
terminar o ciclo, o gás é comprimido adiabaticamente até o seu volume inicial. 
 
 
Cálculo do rendimento de Carnot 
 
O rendimento de uma máquina térmica é dado pela seguinte equação: 
 
q
f
q Q
Q
Q
W
1
 (4) 
 
onde Qq é a quantidade de calor que entra na máquina e Qf é a quantidade de calor que a 
máquina cede para o reservatório frio. 
 
mas Qq = Q12 e Qf = Q34. 
 
1
2
2
1
1212 ln
V
V
nRTPdVWQ q
 
 
e 
3
4
4
3
3434 ln
V
V
nRTPdVWQ f
, 
 
assim 
12
4
3
ln
ln
VVnRT
V
V
nRT
Q
Q
q
f
q
f . (5) 
 
Notas de Física II – Profs Ricardo e Amauri 6 
Mas, num processo adiabático temos que 
 
TV 
-1
 = cte TqV2 
-1
 = Tf V3 
-1
 
 
e TqV1 
-1
 = Tf V4 
-1
 
 
1
2
4
3
1
4
3
1
1
2
V
V
V
V
V
V
V
V 
 
Levando na Eq. (5), obtemos: 
 
q
f
q
f
T
T
Q
Q 
q
f
T
T
1
. (6) 
 
 
5 – Entropia 
 
È uma função de estado (só depende do estado final e inicial do processo) que está relacionada 
com o calor absorvido (ou cedido) pelo sistema e a temperatura em que este calor foi absorvido. 
 
Considere um processo reversível, onde o gás a temperatura T, absorve uma quantidade de 
calor dQ. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pela 1
a
 Lei, temos: 
 
dQ = dU + PdV 
 
dQ = CV dT + nRT(dV/V) 
 
Ao integrar dQ, temos que a primeira parte do lado direito da equação acima não tem 
problema, pois, só depende da temperatura final e inicial, porém, a segunda parte (que é o 
trabalho) depende do caminho tomado para sair de um ponto para outro, logo, com um pouco 
de algebrar chegamos na seguinte expressão: 
 
1
2
1
2
2
1
lnln
V
V
nR
T
T
C
T
dQ
V
dV
nR
T
dT
C
T
dQ
VV
 . (7) 
 
A integral de dQ/T é a variação de entropia do sistema, ou seja, 
 
dQ 
sistema 
T 
Notas de Física II – Profs Ricardo e Amauri 7 
2
1
1212
T
dQ
SSS
 
 
Veja que se entra calor no sistema, o dQ é positivo e a variação de entropia é positiva. 
Naturalmente se sai calor, a S é negativa. 
 
Num ciclo completo e num processo reversível, S12 = - S21 . 
 
Para o ciclo de Carnot, temos (ver Figura mmm): 
 
q
q
q T
Q
T
dQ
S
2
1
12
 
 
f
f
f T
Q
T
dQ
S
4
3
34
 (o negativo deve ao fato do calor sair do sistema) 
 
mas 
f
f
q
q
T
Q
T
Q , 
 
Assim, 
0
4
3
2
1
q
q
q
q
T
Q
T
Q
dSdSS
. 
 
Logo, devido à propriedade de processos reversíveis, o ciclo de Carnot é um processo 
reversível. 
 
A variação de entropia entre os estados 2 3 e 4 1, é zero pois não há troca de calor entre 
estes estados. 
 
Se o processo não for reversível o cálculo da entropia é feito da seguinte maneira: 
 
substituir o processo por um reversível, e o cálculo pode ser realizado normalmente. Lembre-se 
que a entropia só depende dos estados inicial e final do processo. Os três exemplos a seguir são 
de fundamental importância para o entendimento do cálculo da entropia. 
 
Exemplo: Expansão adiabática livre. 
 
Este processo está longe de ser reversível pois, iniciado o processo, o gás jamais retornará ao 
seu estado (todo no lado esquerdo) espontaneamente. Assim, para o cálculo da entropia, 
considere um gás expandindo lentamente (por que?) de um volume V1 para um volume V2. 
O calor trocado neste caso é igual ao trabalho pois a expansão é isotérmica. Assim, 
 
1
2
2
1
2
1
2
1
2
1
ln
1
V
V
nR
V
dV
nRPdV
TT
dW
T
dQ
S
 . 
 
Como o volume final é sempre maior que o volume do gás inicial, então a entropia é sempre 
positiva. Veja que variação de entropia negativa é impossível, pois, é impossível o gás do 
exemplo acima voltar a ocupar o volume V1 espontaneamente. 
 
Notas de Física II – Profs Ricardo e Amauri 8 
Exemplo: Ponto de fusão 
 
Considere uma substância de massa m passando do estado sólido para o estado líquido. Seja Lf 
o seu calor latente de fusão. 
 
.
2
1
f
f
T
mL
T
dQ
S
 
 
 
Exemplo: Gás expandindo num processo isobárico (P = cte). 
 
i
f
i
f
VVV
V
V
nR
T
T
CS
V
dV
nR
T
dT
CPdVdTC
TT
dQ
dS lnln)(
1
. 
 
mas como Pf = Pi , então 
i
f
i
f
i
i
f
f
V
V
T
T
V
nRT
V
nRT
, levando este resultado na equação 
acima, obtemos: 
 
i
f
P
i
f
V
i
f
i
f
V
V
V
CS
V
V
nRCS
V
V
nR
V
V
CS lnln)(lnln
 (8) 
 
ou 
 
i
f
P
T
T
CS ln
. (9) 
 
Podemos enunciar a 2
a
 Lei da Termodinâmica sob o ponto de vista da entropia, ou seja, “num 
processo reversível, a entropia do universo é zero”. Por universo entendemos sistema + 
vizinhança. 
 
Exemplo: Expansão adiabática livre. 
 
Variação de entropia do universo = variação de entropia do gás + variação de entropia da 
vizinhança. 
 
0ln0ln
1
2
1
2
V
V
nR
V
V
nRSSS USU
 
 
Podemos então afirmar que num processo de expansão adiabática livre, o processo não é 
reversível. 
 
Num processo irreversível, a entropia do universo sempre aumenta. 
 
Podemos afirmar que, em processo, a entropia do universo nunca diminui. 
 
 
 
 
Notas de Física II – Profs Ricardo e Amauri 9 
Exemplo: pedra de massa m caindo de uma altura h e colidindo inelasticamente com o solo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6 – Entropia e Disponibilidade da Energia - Trabalho indisponível. 
 
O trabalho perdido num processo pode ser calculado a partir do valor da entropia do universo. 
Por trabalho perdido queremos dizer aquela energia que foi transferida de um reservatório para 
outro e que deixou de realizar trabalho devido ao fato da máquina não ter atingindo sua 
eficiência máxima. 
 
O trabalho perdido por uma máquina pode ser calculado a partir da seguinte expressão: 
 
Wperd = T SU. (10) 
 
Aqui, a temperatura refere-se a temperatura do reservatório mais frio. 
 
 
Exemplo: 
Qual o trabalho perdido quando uma quantidade de calor flui de um reservatório quente para 
um reservatório frio? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
onde C é o rendimento de uma máquina de Carnot. Veja que este trabalho perdido é máximo 
pois, o rendimento de Carnot é máximo. 
 
 
Exemplo: Numa máquina de Carnot, qual o trabalho perdido? 
 
 
h 
Considere como sistema o chão, a atmosfera e a pedra (sistema). Esta, 
ao cair, perde energia potencial em forma de energia cinética e ao 
colidir com o chão toda esta energia é transformada em calor, ou seja, 
Q = mgh. O sistema está isolado, logo a variação de entropia da 
vizinhança é nula. Assim, 
 
00 T
mhg
T
Q
SU
. Como a variação de entropia do universo > 0, 
então o processo é irreversível. 
 
 
Q 
Q Tf 
Tq 
QW
T
T
QW
T
Q
T
Q
TW
T
Q
T
Q
SSS
Cperd
q
f
perd
fq
fperd
fq
fqU1
 
Notas de Física II – Profs Ricardo e Amauri 10 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Diferente do exemplo anterior podemos ver que nenhum trabalho é perdido na máquina de 
Carnot, que é uma máquina reversível, pelo fato desta possuir um rendimento máximo. Assim, 
podemos afirmar que: 
 
Num processo irreversível, uma quantidade de calor igual a T SU, fica indisponível para a 
realização de trabalho, onde T é a temperatura do reservatório mais fico disponível. 
 
No caso da pedra caindo, podemos ver que o trabalho perdido é T0 . mgh/T0 = mgh. Isto é a 
energia potencial sofrida pela pedra ao cair de uma altura h. Parte desta energia poderia ter 
sido convertida em calor, mas não foi. 
 
 
7 – Entropia e Probabilidade 
 
A entropia mede o grau de desordem de um sistema e está relacionada com a probabilidade de 
ocorrência de estados do sistema. Isto significa que um estado bem ordenado, ou entropia 
pequena, tem pouca probabilidade de ocorrer. Ou seja, num sistema a entropia tende sempre a 
aumentar. 
 
Vejamos o seguinte exemplo: 
 
Um gás ao expandir livremente para o dobro do volume tem uma S = nR ln2. A probabilidade 
deste gás voltar a ocupar o volume inicial é praticamente zero principalmente se o número de 
moléculas for grande. A probabilidade de uma quantidade n de moléculas ocupar 
espontaneamente apenas a metade do volume após expande-se livremente é dada por: 
 
p = (1/2)
N
. A tabela abaixo mostra alguns valores de p em função de n. 
 
N 1 3 4 10 10
23 
p ½ 0,125 0,0625 1/1024 0 
 
Isto significa que, se o gás tem 10 moléculas, a cada 1024 segundos, estas moléculas ocuparão 
apenas a metade do volume que elas ocupam. Para 10
23
 molécula esperaríamos 36 milhões de 
anos. 
 
Para o caso onde temos o gás saindo de um volume V1 para um volume V2, a probabilidade é 
dada por: 
 
1
2
1
2
1
2 lnlnln
V
V
nN
V
V
Np
V
V
p A
N , (11) 
100 J 
25 J 
75 J 
400 K 
400 K 
O rendimento desta máquina é: = 1 – Tf /Tq = 1 – 300/400 
ou = 0,25. 
 
A variação de entropia do universo é: 
0
300
75
400
100
fqU SSS
. 
Notas de Física II – Profs Ricardo e Amauri 11 
 
mas, a variação de entropia de uma expansão livre é dada por: 
 
2
1
ln
V
S nR
V
 
substituindo 
AR N k
 obtemos 
2 2
1 1
ln lnA A
V VS
S nN k nN
V k V
(12); comparando( 12) 
com (11), podemos concluir: 
ln ln
S
p S k p
k
(12+1)). 
A equação (12+1) a variação da entropia é dada pela probabilidade de encontrar o sistema 
naquela configuração. No entanto, a probabilidade de ocorrência de um evento deste tipo só 
será razoável se o sistema tiver um número muito pequeno de moléculas.Porém, a 
termodinâmica aplica-se somente a sistemas macroscópicos, isto é um sistema com um número 
muito grande de moléculas. 
 
 
Exercícios - Fonte: Tipler 4
a
 edição volume 1 
 
 
1) Um mol de um gás monoatômico sofre um aumento de pressão isocoricamente de P1 = 
100kPa para P2 = 200 kPa. Depois ele sofre uma expansão isotérmica saindo de um 
volume V1,2 = 25 l para V3 = 50 l. Em seguida, é comprimido isobaricamente até seu 
estado inicial. Calcule: a) a temperatura em cada ponto; o calor trocado em cada 
processo do ciclo e c) o rendimento desta máquina. 
 
2) Uma máquina de Carnot opera entre dois reservatórios cujas temperaturas são Tq = 
300K e Tf = 200K. a) Qual o seu rendimento? b) Se forem absorvidos 100 J de calor do 
reservatório quente, por ciclo, que trabalho efetua esta máquina? b) Qual o COE desta 
máquina ao operar como refrigerador entres estes reservatórios? 
 
3) Um mol de um gás ideal sofre, inicialmente, uma expansão livre de V1 = 12,3 l para V2 = 
24,6 l a T1 = T2 = 300 K. O gás é então comprimido isotérmicamente e quase-
estaticamente até atingir seu estado inicial. a) Qual a variação de entropia do universo 
neste ciclo? b) Que trabalho foi perdido no ciclo? e c) Mostrar que este trabalho é T Su. 
 
 
Exercícios propostos - Fonte: Tipler 3
a
 edição volume 2. 
 
De 1 a 30, 36, 45 e 49 (motor a gasolina).