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Ítalo Meira
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Notas de aula - Física II – Profs. Amauri e Ricardo 1 MOVIMENTO ONDULATÓRIO Quando um inseto se move à noite a alguns centímetros de um escorpião, imediatamente o escorpião detecta-o e o mata para comer. O escorpião faz isto sem ver ou ouvir o inseto. Como o escorpião é capaz de detectar o inseto? 1 – Ondas e Partículas Partículas e ondas são dois grandes conceitos da física. Estes dois conceitos são bastante diferentes. A palavra partícula sugere uma pequena concentração de matéria capaz de transmitir energia. A palavra onda sugere justamente o oposto, ou seja, uma grande distribuição de energia no espaço por onde ela passa. Ondas Mecânicas Uma bandeira tremulando devido ao vento é tão comum, que quando os astronautas (http://spaceflight.nasa.gov/mars/reference/flag/flag.html)pisaram na lua (onde não tem vento. Por que?) pela primeira vez, colocaram uma bandeira americana com ondulações para dar a impressão que a bandeira estava tremulando. Existem ondas na atmosfera, na água e na Terra. Estas ondas são denominadas de ondas mecânicas. A principal característica destas ondas é que elas são governadas pelas leis de Newton e necessitam de um meio material para se propagarem. Ondas Eletromagnéticas A onda eletromagnética mais comum para nós é a luz visível, porém convivemos com várias outras no nosso dia-a-dia, tais como os raios X (quem não fez ainda uma radiografia?), microondas (forno) e as ondas de radio e de televisão que recebemos em nossas casas. Fisicamente, é um campo elétrico perpendicular a um campo magnético. Voltaremos a este assunto em Física 3. Ao contrário das ondas mecânicas, as ondas eletromagnéticas não requerem um meio material para sua propagação. 2 – Ondas Transversais e Ondas Longitudinais As ondas transportam energia e momento através do espaço, sem, porém transportar matéria. Em uma onda mecânica, este efeito é obtido através de uma perturbação no meio. Dependendo de como esta perturbação ocorre, classificamos as ondas em dois tipos. Ondas transversais são aquelas em a perturbação é perpendicular à direção de propagação (Figura 1). As ondas de gravidade (http://aerolume.df.ufpb.br:8080/filmes/borewaves.avi) na atmosfera são exemplos de ondas transversais (as moléculas oscilam para cima e para baixo). Veja uma interessante animação no seguinte endereço: http://surendranath.tripod.com/Twave/Twave01.html . As ondas longitudinais apresentam a perturbação na mesma direção da propagação (Figura 2). As ondas acústicas são exemplos de ondas longitudinais (as moléculas do gás, do líquido ou do sólido através do qual a onda se propaga oscilam para frente e para trás). Veja uma interessante animação em http://surendranath.tripod.com/Lwave/Lwave01.html . Notas de aula - Física II – Profs. Amauri e Ricardo 2 Fig. 1 - Exemplo de uma onda transversal. Fig.2 - Exemplo de onda longitudinal. Pulsos Ondulatórios (Função de Onda) A Figura 3 mostra um pulso numa corda no instante 0=t . A forma da onda, neste instante, pode ser representada por uma função ( )´xfy = . Num instante posterior o pulso avançou sobre a corda. Num sistema de coordenadas com origem O’, que avança com a mesma velocidade do pulso, este pulso é estacionário. Fig. 3 – Pulso ondulatório que move sem alterar sua forma. O valor de x´ não é fixo. As coordenadas nos dois sistemas estão relacionadas por: vtxxvtxx -=¢Þ+= ´ . (1) Assim, a forma da corda no sistema de coordenadas original avançando para direita é: ( )vtxfy -= . (2) No caso de uma onda avançando para esquerda teremos: ( )vtxfy += . (3) Nas duas expressões anteriores, v é a velocidade de propagação da onda. A função ( )vtxfy -= é a função de onda. No caso de ondas numa corda, a função de onda representa o deslocamento transversal dos segmentos da corda. Nas ondas acústicas no ar, a função de onda pode representar o deslocamento longitudinal das moléculas do ar, ou então a pressão. Notas de aula - Física II – Profs. Amauri e Ricardo 3 Velocidade das Ondas A velocidade das ondas depende das propriedades do meio, mas não depende do movimento da fonte das ondas; esta é uma propriedade geral do movimento ondulatório. Para ondas numa corda, quanto maior for a tensão na corda, mais rápida será a propagação das ondas. Além disso, as ondas se propagam mais rapidamente numa corda leve do que numa corda pesada, ambas sujeitas à mesma tensão. A velocidade (v) de propagação de uma onda numa corda, como mostraremos depois, é dada por: m F v = (4) onde F é a tensão na corda e m a densidade linear de massa (massa por unidade de comprimento). No caso de ondas acústicas num fluido como o ar ou a água, a velocidade ( )v de propagação é da por: r B (5) onde B é o módulo de compressibilidade (já estudado no Capítulo de Fluidos) e r é a densidade do meio. Em geral, a velocidade das ondas depende de um a propriedade elástica do meio (tensão nas cordas e módulo de compressibilidade, nas ondas acústicas) e de uma propriedade inercial do meio (densidade linear de massa, ou densidade volumar). Mostraremos mais na frente que a velocidade ( )v do som num gás é dada por: M RT v g = (6) onde T é a temperatura absoluta em kelvins (K), g depende da espécie do gás. Nos gases de moléculas diatômicas O2 e N2, g tem o valor de 1,4. Como 98% do ar atmosférico é constituído por estes gases, este mesmo valor vale para o ar. A constante R é a constante dos gases ideais e vale 8,314 J/mol.K Demonstração da equação (4) Seja um pulso que se desloca para direita com velocidade v , ao longo de uma corda. Se a amplitude do pulso for pequena diante do comprimento da corda, a tensão F será aproximadamente constante em todo ponto. Num sistema de coordenadas que se desloca com velocidade v para direita, os pulso está estacionário e a corda se desloca com velocidade v . A Figura 4 mostra um pequeno segmento de uma corda de comprimento SD . Num certo instante, o segmento tem velocidade v numa trajetória circular e, por isso, tem uma aceleração centrípeta R v2 . As forças que agem são a tensão F em cada extremidade. Notas de aula - Física II – Profs. Amauri e Ricardo 4 Fig. 4 – Pulso ondulatório numa corda (esquerda). Representação (direita) das forças que atuam sobre uma região da corda onde F é a força (tensão) sobre a corda e F´r é a força radial. A tensão na corda é F. O módulo do vetor F´r é dado por: 2 tan. q FFr =¢ . Onde q um ângulo subtendido pelo segmento de corda e considerado pequeno. Quando as duas forças radiais (na figura é mostrada apenas aquela que está no lado esquerdo da corda) são somadas vetorialmente, a componente horizontal é anulada, ficando apenas a componente vertical FR que é expressa como sendo: Þ´=¢= 2 cos 2 tan. 2 cos qqq FFF rr 2 sen. q FFr = A força radial resultante é: qqq FFFFr =÷ ø öç è æ»=å 2 12 2 1sen2 (7) onde foi feito 22sen qq » , considerando q muito pequeno. Se m for a densidade linear da corda a massa do segmento será Sm D= m . Também temos: R SD=q (8) Assim podemos escrever qmm RSm =D= . Aplicando a segunda lei de Newton e utilizando a Eq. 7, teremos: R v R R v mF 22 qmq == , (9) ou m F v = (10) F´R F qq/2 qq /2 FR Notas de aula - Física II – Profs. Amauri e Ricardo 5 A Equação de Onda A equação de onda relaciona as derivadas espaciais de ),( txy às derivadas temporais. A Figura 5 mostra um segmento isolado de uma corda. Admitindo pequenos deslocamentos verticais, a força resultante na direção vertical será:
