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Apostila - Ondas 1

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Notas de aula - Física II – Profs. Amauri e Ricardo 1
MOVIMENTO ONDULATÓRIO 
 
Quando um inseto se move à noite a alguns centímetros de um escorpião, 
imediatamente o escorpião detecta-o e o mata para comer. O escorpião faz isto sem ver ou 
ouvir o inseto. Como o escorpião é capaz de detectar o inseto? 
 
1 – Ondas e Partículas 
 
Partículas e ondas são dois grandes conceitos da física. Estes dois conceitos são 
bastante diferentes. A palavra partícula sugere uma pequena concentração de matéria capaz de 
transmitir energia. A palavra onda sugere justamente o oposto, ou seja, uma grande 
distribuição de energia no espaço por onde ela passa. 
 
Ondas Mecânicas 
 
Uma bandeira tremulando devido ao vento é tão comum, que quando os astronautas 
(http://spaceflight.nasa.gov/mars/reference/flag/flag.html)pisaram na lua (onde não tem vento. 
Por que?) pela primeira vez, colocaram uma bandeira americana com ondulações para dar a 
impressão que a bandeira estava tremulando. Existem ondas na atmosfera, na água e na Terra. 
Estas ondas são denominadas de ondas mecânicas. A principal característica destas ondas é 
que elas são governadas pelas leis de Newton e necessitam de um meio material para se 
propagarem. 
 
Ondas Eletromagnéticas 
 
A onda eletromagnética mais comum para nós é a luz visível, porém convivemos com 
várias outras no nosso dia-a-dia, tais como os raios X (quem não fez ainda uma radiografia?), 
microondas (forno) e as ondas de radio e de televisão que recebemos em nossas casas. 
Fisicamente, é um campo elétrico perpendicular a um campo magnético. Voltaremos a este 
assunto em Física 3. Ao contrário das ondas mecânicas, as ondas eletromagnéticas não 
requerem um meio material para sua propagação. 
 
 
2 – Ondas Transversais e Ondas Longitudinais 
 
As ondas transportam energia e momento através do espaço, sem, porém transportar 
matéria. Em uma onda mecânica, este efeito é obtido através de uma perturbação no meio. 
Dependendo de como esta perturbação ocorre, classificamos as ondas em dois tipos. Ondas 
transversais são aquelas em a perturbação é perpendicular à direção de propagação (Figura 1). 
As ondas de gravidade (http://aerolume.df.ufpb.br:8080/filmes/borewaves.avi) na atmosfera são 
exemplos de ondas transversais (as moléculas oscilam para cima e para baixo). Veja uma 
interessante animação no seguinte endereço: 
http://surendranath.tripod.com/Twave/Twave01.html . 
 
As ondas longitudinais apresentam a perturbação na mesma direção da propagação 
(Figura 2). As ondas acústicas são exemplos de ondas longitudinais (as moléculas do gás, do 
líquido ou do sólido através do qual a onda se propaga oscilam para frente e para trás). Veja 
uma interessante animação em http://surendranath.tripod.com/Lwave/Lwave01.html . 
 
Notas de aula - Física II – Profs. Amauri e Ricardo 2
 
 
Fig. 1 - Exemplo de uma onda transversal. 
 
 
 
 
Fig.2 - Exemplo de onda longitudinal.
 
 
Pulsos Ondulatórios (Função de Onda) 
 
A Figura 3 mostra um pulso numa corda no instante 0=t . A forma da onda, neste 
instante, pode ser representada por uma função ( )´xfy = . Num instante posterior o pulso 
avançou sobre a corda. Num sistema de coordenadas com origem O’, que avança com a mesma 
velocidade do pulso, este pulso é estacionário. 
 
Fig. 3 – Pulso ondulatório que move sem alterar sua forma. O valor de x´ não é fixo. 
 
As coordenadas nos dois sistemas estão relacionadas por: 
 
vtxxvtxx -=¢Þ+= ´ . (1) 
 
Assim, a forma da corda no sistema de coordenadas original avançando para direita é: 
 
( )vtxfy -= . (2) 
 
No caso de uma onda avançando para esquerda teremos: 
 
( )vtxfy += . (3) 
 
Nas duas expressões anteriores, v é a velocidade de propagação da onda. A função 
( )vtxfy -= é a função de onda. No caso de ondas numa corda, a função de onda representa o 
deslocamento transversal dos segmentos da corda. Nas ondas acústicas no ar, a função de onda 
pode representar o deslocamento longitudinal das moléculas do ar, ou então a pressão. 
 
Notas de aula - Física II – Profs. Amauri e Ricardo 3
Velocidade das Ondas 
 
A velocidade das ondas depende das propriedades do meio, mas não depende do 
movimento da fonte das ondas; esta é uma propriedade geral do movimento ondulatório. 
Para ondas numa corda, quanto maior for a tensão na corda, mais rápida será a propagação 
das ondas. Além disso, as ondas se propagam mais rapidamente numa corda leve do que numa 
corda pesada, ambas sujeitas à mesma tensão. 
A velocidade (v) de propagação de uma onda numa corda, como mostraremos depois, é 
dada por: 
 
m
F
v = (4) 
 
onde F é a tensão na corda e m a densidade linear de massa (massa por unidade de 
comprimento). 
No caso de ondas acústicas num fluido como o ar ou a água, a velocidade ( )v de 
propagação é da por: 
r
B
 (5) 
 
onde B é o módulo de compressibilidade (já estudado no Capítulo de Fluidos) e r é a 
densidade do meio. 
Em geral, a velocidade das ondas depende de um a propriedade elástica do meio (tensão 
nas cordas e módulo de compressibilidade, nas ondas acústicas) e de uma propriedade inercial 
do meio (densidade linear de massa, ou densidade volumar). 
Mostraremos mais na frente que a velocidade ( )v do som num gás é dada por: 
 
M
RT
v
g
= (6) 
 
onde T é a temperatura absoluta em kelvins (K), g depende da espécie do gás. Nos gases de 
moléculas diatômicas O2 e N2, g tem o valor de 1,4. Como 98% do ar atmosférico é constituído 
por estes gases, este mesmo valor vale para o ar. A constante R é a constante dos gases ideais e 
vale 8,314 J/mol.K 
 
Demonstração da equação (4) 
 
Seja um pulso que se desloca para direita com velocidade v , ao longo de uma corda. Se 
a amplitude do pulso for pequena diante do comprimento da corda, a tensão F será 
aproximadamente constante em todo ponto. Num sistema de coordenadas que se desloca com 
velocidade v para direita, os pulso está estacionário e a corda se desloca com velocidade v . A 
Figura 4 mostra um pequeno segmento de uma corda de comprimento SD . Num certo instante, 
o segmento tem velocidade v numa trajetória circular e, por isso, tem uma aceleração 
centrípeta R
v2 . As forças que agem são a tensão F em cada extremidade. 
 
Notas de aula - Física II – Profs. Amauri e Ricardo 4
 
 
Fig. 4 – Pulso ondulatório numa corda (esquerda). Representação (direita) das forças que atuam sobre uma região 
da corda onde F é a força (tensão) sobre a corda e F´r é a força radial. 
 
A tensão na corda é F. O módulo do vetor F´r é dado por: 
2
tan.
q
FFr =¢ . Onde q um 
ângulo subtendido pelo segmento de corda e considerado pequeno. 
Quando as duas forças radiais (na figura é mostrada apenas aquela que está no lado esquerdo 
da corda) são somadas vetorialmente, a componente horizontal é anulada, ficando apenas a 
componente vertical FR que é expressa como sendo: 
 
Þ´=¢=
2
cos
2
tan.
2
cos
qqq
FFF rr 
 
2
sen.
q
FFr = 
 
A força radial resultante é: 
 
qqq FFFFr =÷
ø
öç
è
æ»=å 2
12
2
1sen2 (7) 
 
onde foi feito 22sen
qq » , considerando q muito pequeno. Se m for a densidade linear da 
corda a massa do segmento será Sm D= m . Também temos: 
R
SD=q (8) 
Assim podemos escrever qmm RSm =D= . Aplicando a segunda lei de Newton e 
utilizando a Eq. 7, teremos: 
 
R
v
R
R
v
mF
22
qmq == , (9) 
 
ou 
m
F
v = (10) 
 
 
 
F´R 
F 
qq/2 
qq /2 
FR 
Notas de aula - Física II – Profs. Amauri e Ricardo 5
A Equação de Onda 
 
A equação de onda relaciona as derivadas espaciais de ),( txy às derivadas temporais. A 
Figura 5 mostra um segmento isolado de uma corda. Admitindo pequenos deslocamentos 
verticais, a força resultante na direção vertical será: